Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
560
561
Ãåîìåòðèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
1. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ:
cba ,,
ñòîðîíû;
CBA ,,
óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíàì
cba ,,
;
cba
lll
,,
áèññåêòðèñû;
cba
mmm
,,
ìåäèàíû;
cba
hhh
,,
âûñîòû;
r
ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
R
ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
)(5,0 cbap ++=
ïîëóïåðèìåòð;
S
ïëîùàäü.
Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà:
.180°=++ CBA
Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 311) ðàâåí ñóì-
ìå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ:
.CACBM Ð+Ð=Ð
Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
.,, baccabcba +<+<+<
Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé
òî÷êå öåíòðå îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëü-
íèê (ðèñ. 312).
Áèññåêòðèñà äåëèò ïðîòèâîëåæàùóþ ñòîðîíó íà
îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 312):
.
1
1
b
a
b
a
=
Äëèíà áèññåêòðèñû:
,
)()(
ba
cbacbaab
l
c
+
-+++
=
.
11
baabl
c
-=
Ðèñ. 311
Ðèñ. 312
560
561
Ãåîìåòðèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
1. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ:
cba ,,
ñòîðîíû;
CBA ,,
óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíàì
cba ,,
;
cba
lll
,,
áèññåêòðèñû;
cba
mmm
,,
ìåäèàíû;
cba
hhh
,,
âûñîòû;
r
ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
R
ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
)(5,0 cbap ++=
ïîëóïåðèìåòð;
S
ïëîùàäü.
Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà:
.180°=++ CBA
Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 311) ðàâåí ñóì-
ìå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ:
.CACBM Ð+Ð=Ð
Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
.,, baccabcba +<+<+<
Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé
òî÷êå öåíòðå îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëü-
íèê (ðèñ. 312).
Áèññåêòðèñà äåëèò ïðîòèâîëåæàùóþ ñòîðîíó íà
îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 312):
.
1
1
b
a
b
a
=
Äëèíà áèññåêòðèñû:
,
)()(
ba
cbacbaab
l
c
+
-+++
=
.
11
baabl
c
-=
Ðèñ. 311
Ðèñ. 312
563
562
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷-
êå öåíòðå ìàññ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 313). Ýòà òî÷êà
äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò
âåðøèíû:
.1:2
111
===
MC
CM
MB
BM
MA
AM
Äëèíà ìåäèàíû:
.
)
(
25,0
222
cbam
c
-+=
Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷-
êå îðòîöåíòðå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 314).
Äëèíà âûñîòû:
c
cpbpapp
h
c
.
)
(
)
(
)
(
2 ---
=
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è âûñîòàìè:
.
1
:
1
:
1
::
cba
hhh
cba
=
Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì òðåó-
ãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå öåíòðå îê-
ðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 315).
Òåîðåìà êîñèíóñîâ:
.cos2
222
Cabbac -+=
Òåîðåìà ñèíóñîâ:
.2
sinsinsin
R
C
c
B
b
A
a
===
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
.5,0
a
ahS
=
Ðèñ. 313
Ðèñ. 314
.
563
562
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷-
êå öåíòðå ìàññ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 313). Ýòà òî÷êà
äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò
âåðøèíû:
.1:2
111
===
MC
CM
MB
BM
MA
AM
Äëèíà ìåäèàíû:
.
)
(
25,0
222
cbam
c
-+=
Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷-
êå îðòîöåíòðå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 314).
Äëèíà âûñîòû:
c
cpbpapp
h
c
.
)
(
)
(
)
(
2 ---
=
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è âûñîòàìè:
.
1
:
1
:
1
::
cba
hhh
cba
=
Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì òðåó-
ãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå öåíòðå îê-
ðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 315).
Òåîðåìà êîñèíóñîâ:
.cos2
222
Cabbac -+=
Òåîðåìà ñèíóñîâ:
.2
sinsinsin
R
C
c
B
b
A
a
===
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1)
.5,0
a
ahS
=
Ðèñ. 313
Ðèñ. 314
.
565
564
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
2)
.sin5,0 AbcS =
3)
)
(
)
(
)
(
cpbpappS ---=
(ôîðìóëà Ãåðîíà).
4)
.prS =
5)
.
4R
abc
S =
6) Åñëè
);(),;(),;(
332211
yxCyxByxA
âåðøè-
íû òðåóãîëüíèêà, òî
,5,0 D=S
ãäå
D
îïðåäåëèòåëü
.
111
321
321
yyy
xxx
7) Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòî-
ðàõ
a
è
,b
ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðî-
èçâåäåíèÿ
a
íà
.b
Îòíîøåíèå ïåðèìåòðîâ è ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðå-
óãîëüíèêîâ: åñëè
111
~
CBAABC DD
(ðèñ. 316), òî
==
++
++
=
D
D
11111111
111
BA
AB
CACBBA
ACBCAB
P
P
CBA
ABC
;
1111
CA
AC
CB
BC
==
.
2
11
2
111
BA
AB
S
S
CBA
ABC
=
D
D
2. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ 317):
;90°=C
ba,
êàòåòû;
Ðèñ. 316
Ðèñ. 315
565
564
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
2)
.sin5,0 AbcS =
3)
)
(
)
(
)
(
cpbpappS ---=
(ôîðìóëà Ãåðîíà).
4)
.prS =
5)
.
4R
abc
S =
6) Åñëè
);(),;(),;(
332211
yxCyxByxA
âåðøè-
íû òðåóãîëüíèêà, òî
,5,0 D=S
ãäå
D
îïðåäåëèòåëü
.
111
321
321
yyy
xxx
7) Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòî-
ðàõ
a
è
,b
ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðî-
èçâåäåíèÿ
a
íà
.b
Îòíîøåíèå ïåðèìåòðîâ è ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðå-
óãîëüíèêîâ: åñëè
111
~
CBAABC DD
(ðèñ. 316), òî
==
++
++
=
D
D
11111111
111
BA
AB
CACBBA
ACBCAB
P
P
CBA
ABC
;
1111
CA
AC
CB
BC
==
.
2
11
2
111
BA
AB
S
S
CBA
ABC
=
D
D
2. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ 317):
;90°=C
ba,
êàòåòû;
Ðèñ. 316
Ðèñ. 315
567
566
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
ñ ãèïîòåíóçà;
h âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû Ñ;
cc
ba
,
äëèíû îòðåçêîâ, îòñåêàåìûõ âûñîòîé íà
ãèïîòåíóçå.
Òåîðåìà Ïèôàãîðà:
c
2
= a
2
+ b
2
.
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.5,0 cR =
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
).(5,0 cbar -+=
Ñâÿçü ìåæäó
cc
bacba
,,,,
è h:
.;;
c
ccc
b
h
h
a
c
b
b
b
c
a
a
a
===
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.5,0;5,0 chSabS ==
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.
6
3a
r =
Âûñîòà:
.
2
3a
h =
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.33;
4
33
;
4
3
2
22
rS
R
S
a
S ===
3. Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê
(à ñòîðîíà; ðèñ. 318)
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.
3
3a
R =
Ðèñ. 317
Ðèñ. 318
567
566
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
ñ ãèïîòåíóçà;
h âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû Ñ;
cc
ba
,
äëèíû îòðåçêîâ, îòñåêàåìûõ âûñîòîé íà
ãèïîòåíóçå.
Òåîðåìà Ïèôàãîðà:
c
2
= a
2
+ b
2
.
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.5,0 cR =
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
).(5,0 cbar -+=
Ñâÿçü ìåæäó
cc
bacba
,,,,
è h:
.;;
c
ccc
b
h
h
a
c
b
b
b
c
a
a
a
===
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.5,0;5,0 chSabS ==
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.
6
3a
r =
Âûñîòà:
.
2
3a
h =
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
.33;
4
33
;
4
3
2
22
rS
R
S
a
S ===
3. Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê
(à ñòîðîíà; ðèñ. 318)
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
.
3
3a
R =
Ðèñ. 317
Ðèñ. 318
569
568
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
4. Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê
Ñóììà óãëîâ:
.360°=+++ DCBA
Ïëîùàäü:
,sin5,0
21
j= ddS
ãäå
1
d
è
2
d
äèàãîíàëè,
j
óãîë ìåæäó íèìè.
Ïëîùàäü:
,
)
(
)
(
)
(
)
(
dpcpbpapS ----=
ãäå
dcba ,,,
ñòîðîíû,
)(5,0 dcbap +++=
ïî-
ëóïåðèìåòð.
6. ×åòûðåõóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî
îêðóæíîñòè (ðèñ. 321)
Ñóììû äëèí ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû:
.ADBCCDAB +=+
5. ×åòûðåõóãîëüíèê, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü
(ðèñ. 320)
Ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíû 180°:
.180°=+=+ DBCA
Ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè
ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû:
.FDBFFCAF ×=×
Òåîðåìà Ïòîëåìåÿ: ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâ-
íî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí:
.ADBCCDABBDAC ×+×=×
Ðèñ. 321
Ðèñ. 320
Ðèñ. 319
569
568
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
4. Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê
Ñóììà óãëîâ:
.360°=+++ DCBA
Ïëîùàäü:
,sin5,0
21
j= ddS
ãäå
1
d
è
2
d
äèàãîíàëè,
j
óãîë ìåæäó íèìè.
Ïëîùàäü:
,
)
(
)
(
)
(
)
(
dpcpbpapS ----=
ãäå
dcba ,,,
ñòîðîíû,
)(5,0 dcbap +++=
ïî-
ëóïåðèìåòð.
6. ×åòûðåõóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî
îêðóæíîñòè (ðèñ. 321)
Ñóììû äëèí ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû:
.ADBCCDAB +=+
5. ×åòûðåõóãîëüíèê, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü
(ðèñ. 320)
Ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíû 180°:
.180°=+=+ DBCA
Ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè
ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû:
.FDBFFCAF ×=×
Òåîðåìà Ïòîëåìåÿ: ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâ-
íî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí:
.ADBCCDABBDAC ×+×=×
Ðèñ. 321
Ðèñ. 320
Ðèñ. 319