Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
541
540
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
=
1
z
= r
1
(cos j
1
+ i sin j
1
) è z
2
= r
2
(cos j
2
+ i sin j
2
):
))
,sin
(
)
(
cos
(
21212121
j
+
j
+
j
+
j
= irrzz
))
.sin
(
)
(
cos
(
2121
2
1
2
1
j
-
j
+
j
-
j
=
i
r
r
z
z
Âîçâåäåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà +j= (cosrz
+ i sin j) â ñòåïåíü n:
.);sin(cos NÎj+j= nninrz
nn
Ôîðìóëà Ìóàâðà:
.,sincos)sin(cos NÎj+j=j+j nnini
n
Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè
)( NÎn
èç êîìï-
ëåêñíîãî ÷èñëà
:)sin(cos j+j= irz
,
2
sin
2
cos
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+j
+
p+j
=
n
k
i
n
k
rz
nn
ãäå k = 0, 1, 2, ..., n 1.
7. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ
22
)()(
bababa -=-+
(ðàçíîñòü êâàäðàòîâ);
222
2)(
bababa ++=+
(êâàäðàò ñóììû);
222
2)(
bababa +-=+
(êâàäðàò ðàçíîñòè);
32233
33)(
babbaaba +++=+
(êóá ñóììû);
32233
33)(
babbaaba -+-=-
(êóá ðàçíîñòè);
)()(
2233
babababa +-+=+
(ñóììà êóáîâ);
)()(
2233
babababa ++-=-
(ðàçíîñòü êóáîâ).
8. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
:0
2
=++ cbxax
,
2
4
2
2
a
acbb
a
Db
x
-±-
=
±-
=
ãäå
.4
2
acbD -=
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
0
2
=++ cbxax â ñëó÷àå, êîãäà b ÷åò-
íîå ÷èñëî:
,
2*
a
ackb
a
Dk
x
-±-
=
±-
=
ãäå
,
2
b
k =
.
4
*
D
D =
Òåîðåìà Âèåòà äëÿ ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
:0
2
=++ qpxx
.,
2121
qxxpxx =-=+
541
540
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
=
1
z
= r
1
(cos j
1
+ i sin j
1
) è z
2
= r
2
(cos j
2
+ i sin j
2
):
))
,sin
(
)
(
cos
(
21212121
j
+
j
+
j
+
j
= irrzz
))
.sin
(
)
(
cos
(
2121
2
1
2
1
j
-
j
+
j
-
j
=
i
r
r
z
z
Âîçâåäåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà +j= (cosrz
+ i sin j) â ñòåïåíü n:
.);sin(cos NÎj+j= nninrz
nn
Ôîðìóëà Ìóàâðà:
.,sincos)sin(cos NÎj+j=j+j nnini
n
Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè
)( NÎn
èç êîìï-
ëåêñíîãî ÷èñëà
:)sin(cos j+j= irz
,
2
sin
2
cos
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+j
+
p+j
=
n
k
i
n
k
rz
nn
ãäå k = 0, 1, 2, ..., n 1.
7. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ
22
)()(
bababa -=-+
(ðàçíîñòü êâàäðàòîâ);
222
2)(
bababa ++=+
(êâàäðàò ñóììû);
222
2)(
bababa +-=+
(êâàäðàò ðàçíîñòè);
32233
33)(
babbaaba +++=+
(êóá ñóììû);
32233
33)(
babbaaba -+-=-
(êóá ðàçíîñòè);
)()(
2233
babababa +-+=+
(ñóììà êóáîâ);
)()(
2233
babababa ++-=-
(ðàçíîñòü êóáîâ).
8. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
:0
2
=++ cbxax
,
2
4
2
2
a
acbb
a
Db
x
-±-
=
±-
=
ãäå
.4
2
acbD -=
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
0
2
=++ cbxax â ñëó÷àå, êîãäà b ÷åò-
íîå ÷èñëî:
,
2*
a
ackb
a
Dk
x
-±-
=
±-
=
ãäå
,
2
b
k =
.
4
*
D
D =
Òåîðåìà Âèåòà äëÿ ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
:0
2
=++ qpxx
.,
2121
qxxpxx =-=+
543
542
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
9. Ìíîãî÷ëåíû
Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà èç êâàäðàòíîãî òðåõ-
÷ëåíà:
.
4
4
2
2
2
2
a
bac
a
b
xacbxax
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=++
Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè:
)
,
(
)
(
21
2
xxxxacbxax
--=++
ãäå
21
,
xx
êîðíè òðåõ÷ëåíà.
Òåîðåìà î äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì: äëÿ
ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ
)(xP
è
)(xQ
òàêèõ, ÷òî
ñòåïåíü
)(xP
íå ìåíüøå ñòåïåíè
),(xQ
ñóùåñòâóåò
îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ
)(xS
è
)(xR
òàê, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
),()()()( xRxSxQxP +=
ïðè÷åì ñòåïåíü îñòàòêà
)(xR
ìåíüøå ñòåïåíè
)(xQ
.
Òåîðåìà Áåçó: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
)(xP
íà äâó÷ëåí a-x ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà
ïðè
,a=x
ò. å.
).(a= PR
Ñõåìà Ãîðíåðà: ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà
nnn
n
axaxaxP
+++=
-
...
)
(
1
10
íà äâó÷ëåí a-x êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà
ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
10. Îïðåäåëèòåëè è ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåé-
íûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè
Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà:
.
12212211
2221
1211
aaaa
aa
aa
-=
Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà:
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
332112322311312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
---
-++
Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-
ëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà; íàïðèìåð,
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
++=
ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, ãäå
,)1(
3332
2322
3332
2322
11
11
aa
aa
aa
aa
A =-=
+
,
)
1
(
3331
2321
3331
2321
21
12
aa
aa
aa
aa
A -=-=
+
3231
2221
3231
2221
31
13
)1(
aa
aa
aa
aa
A =-=
+
àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ýëåìåíòîâ
.,,
131211
aaa
a
00
ba =
"!"
1
10
b
ab
+a
"!"
2
21
b
ab
+a
""!""
1
12
-
--
+a
n
b
nn
ab
0
a
1
a
2
a
1-n
a
n
a
rab
nn
=+a
-1
543
542
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
9. Ìíîãî÷ëåíû
Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà èç êâàäðàòíîãî òðåõ-
÷ëåíà:
.
4
4
2
2
2
2
a
bac
a
b
xacbxax
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=++
Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè:
)
,
(
)
(
21
2
xxxxacbxax
--=++
ãäå
21
,
xx
êîðíè òðåõ÷ëåíà.
Òåîðåìà î äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì: äëÿ
ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ
)(xP
è
)(xQ
òàêèõ, ÷òî
ñòåïåíü
)(xP
íå ìåíüøå ñòåïåíè
),(xQ
ñóùåñòâóåò
îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ
)(xS
è
)(xR
òàê, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
),()()()( xRxSxQxP +=
ïðè÷åì ñòåïåíü îñòàòêà
)(xR
ìåíüøå ñòåïåíè
)(xQ
.
Òåîðåìà Áåçó: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
)(xP
íà äâó÷ëåí a-x ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà
ïðè
,a=x
ò. å.
).(a= PR
Ñõåìà Ãîðíåðà: ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà
nnn
n
axaxaxP
+++=
-
...
)
(
1
10
íà äâó÷ëåí a-x êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà
ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
10. Îïðåäåëèòåëè è ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåé-
íûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè
Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà:
.
12212211
2221
1211
aaaa
aa
aa
-=
Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà:
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
332112322311312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
---
-++
Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-
ëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà; íàïðèìåð,
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
++=
ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, ãäå
,)1(
3332
2322
3332
2322
11
11
aa
aa
aa
aa
A =-=
+
,
)
1
(
3331
2321
3331
2321
21
12
aa
aa
aa
aa
A -=-=
+
3231
2221
3231
2221
31
13
)1(
aa
aa
aa
aa
A =-=
+
àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ýëåìåíòîâ
.,,
131211
aaa
a
00
ba =
"!"
1
10
b
ab
+a
"!"
2
21
b
ab
+a
""!""
1
12
-
--
+a
n
b
nn
ab
0
a
1
a
2
a
1-n
a
n
a
rab
nn
=+a
-1
545
544
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðå-
ìåííûìè
î
í
ì
=+
=+
22212
11211
,
byaxa
byaxa
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
,0
2221
1211
¹=D
aa
aa
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
,,
D
D
=
D
D
=
y
y
x
x
ãäå
yx DD ,
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäå-
ëèòåëÿ
D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè íåèçâåñòíûõ ñòîëá-
öîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðå-
ìåííûìè
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3333231
2232221
1131211
,
,
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
,0
333231
232221
131211
¹=D
aaa
aaa
aaa
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
,,,
D
D
=
D
D
=
D
D
=
z
z
y
y
x
x
ãäå
zyx DDD ,,
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îï-
ðåäåëèòåëÿ
D
çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþ-
ùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
11. Ëîãàðèôìû
Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà:
,
log
xa
x
a
=
ãäå
.1,0,0 ¹>> aax
Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ:
åñëè
0
1
>x
è
,0
2
>x òî
+=
121
log)(log
xxx
aa
;log
2
x
a
åñëè
0
1
<x è
,0
2
<x òî
-=
121
log
)
(
log
xxx
aa
.log
2
x
a
Ëîãàðèôì ÷àñòíîãî:
åñëè
0
1
>x
è
,0
2
>x
òî
-=
1
2
1
loglog
x
x
x
aa
;log
2
x
a
åñëè
0
1
<x
è
,0
2
<x
òî
-=
1
2
1
loglog
x
x
x
aa
.log
2
x
a
Ëîãàðèôì ñòåïåíè:
åñëè
0>x
, òî
;loglog xrx
a
r
a
=
åñëè
0¹x
è k ÷åòíîå ÷èñëî, òî
=
k
a
x
log
k log
a
|x|.
21
x
y
x
y
y
x z
y z
x
+
545
544
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðå-
ìåííûìè
î
í
ì
=+
=+
22212
11211
,
byaxa
byaxa
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
,0
2221
1211
¹=D
aa
aa
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
,,
D
D
=
D
D
=
y
y
x
x
ãäå
yx DD ,
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäå-
ëèòåëÿ
D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè íåèçâåñòíûõ ñòîëá-
öîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðå-
ìåííûìè
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3333231
2232221
1131211
,
,
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
,0
333231
232221
131211
¹=D
aaa
aaa
aaa
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
,,,
D
D
=
D
D
=
D
D
=
z
z
y
y
x
x
ãäå
zyx DDD ,,
îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îï-
ðåäåëèòåëÿ
D
çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþ-
ùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
11. Ëîãàðèôìû
Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà:
,
log
xa
x
a
=
ãäå
.1,0,0 ¹>> aax
Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ:
åñëè
0
1
>x
è
,0
2
>x òî
+=
121
log)(log
xxx
aa
;log
2
x
a
åñëè
0
1
<x è
,0
2
<x òî
-=
121
log
)
(
log
xxx
aa
.log
2
x
a
Ëîãàðèôì ÷àñòíîãî:
åñëè
0
1
>x
è
,0
2
>x
òî
-=
1
2
1
loglog
x
x
x
aa
;log
2
x
a
åñëè
0
1
<x
è
,0
2
<x
òî
-=
1
2
1
loglog
x
x
x
aa
.log
2
x
a
Ëîãàðèôì ñòåïåíè:
åñëè
0>x
, òî
;loglog xrx
a
r
a
=
åñëè
0¹x
è k ÷åòíîå ÷èñëî, òî
=
k
a
x
log
k log
a
|x|.
21
x
y
x
y
y
x z
y z
x
+
547
546
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Ïåðåõîä ê íîâîìó îñíîâàíèþ:
åñëè
0>x
, òî
;
log
log
log
a
x
x
b
b
a
=
åñëè
0>x
, òî
.loglog
k
a
a
xx
k
=
12. Çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
íåêîòîðûõ óãëîâ
14. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ
tsin
tcos
ttg
tctg
Ôóíêöèÿ
Àðãóìåíò t
0
° 30°
45°
60° 90°
180°
270°
0
1
2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
3
3
3
3
0
3
3
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
13. Ñâÿçü ìåæó ãðàäóñíîé
)( °a
è ðàäèàííîé (
a
)
ìåðàìè îäíîãî è òîãî æå óãëà
.
180
;
180
°
°pa
=a
p
a×°
=°a
Àðãóìåíò t
Ôóíêöèÿ
acos
acos
actg
asin
a+
p
2
asin
a- sin
a- cos
a-
p
2
a-p
a+p
a-
p
2
3
a+
p
2
3
a-p2
a- cos
a- sin
a- sin a- cos
a- cos
a-
sin
asin
acos
a- ctg
a- ctg
a- tg
a- tg
actg
atg
atg
a- tg
a- ctg
actg
atg a- tg a- ctg
tsin
tcos
ttg
tctg
15. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà
;1sincos
22
=+ tt
;,
2
;
cos
1
tg1
2
2
Znnt
t
t Îp+
p
¹=+
;,;
cos
1
ctg1
2
2
Znnt
t
t Îp¹=+
.,
2
;1ctgtg Zn
n
ttt Î
p
¹=×
16. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ
àðãóìåíòîâ
;sinsincoscos)(cos ba-ba=b+a
;sinsincoscos)(cos ba+ba=b-a
sin
2
Z
Z
Z
547
546
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
Ïåðåõîä ê íîâîìó îñíîâàíèþ:
åñëè
0>x
, òî
;
log
log
log
a
x
x
b
b
a
=
åñëè
0>x
, òî
.loglog
k
a
a
xx
k
=
12. Çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
íåêîòîðûõ óãëîâ
14. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ
tsin
tcos
ttg
tctg
Ôóíêöèÿ
Àðãóìåíò t
0
° 30°
45°
60° 90°
180°
270°
0
1
2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
3
3
3
3
0
3
3
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
13. Ñâÿçü ìåæó ãðàäóñíîé
)( °a
è ðàäèàííîé (
a
)
ìåðàìè îäíîãî è òîãî æå óãëà
.
180
;
180
°
°pa
=a
p
a×°
=°a
Àðãóìåíò t
Ôóíêöèÿ
acos
acos
actg
asin
a+
p
2
asin
a- sin
a- cos
a-
p
2
a-p
a+p
a-
p
2
3
a+
p
2
3
a-p2
a- cos
a- sin
a- sin a- cos
a- cos
a-
sin
asin
acos
a- ctg
a- ctg
a- tg
a- tg
actg
atg
atg
a- tg
a- ctg
actg
atg a- tg a- ctg
tsin
tcos
ttg
tctg
15. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà
;1sincos
22
=+ tt
;,
2
;
cos
1
tg1
2
2
Znnt
t
t Îp+
p
¹=+
;,;
cos
1
ctg1
2
2
Znnt
t
t Îp¹=+
.,
2
;1ctgtg Zn
n
ttt Î
p
¹=×
16. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ
àðãóìåíòîâ
;sinsincoscos)(cos ba-ba=b+a
;sinsincoscos)(cos ba+ba=b-a
sin
2
Z
Z
Z
549
548
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
;sincoscossin)(sin ba+ba=b+a
;sincoscossin)(sin ba-ba=b-a
;,
2
,,;
tgtg1
tgtg
)
(
tg Znn Îp+
p
¹
b
+a
b
a
b
a-
b
+a
=
b
+a
.,
2
,,;
tgtg1
tgtg
)
(
tg Znn Îp+
p
¹
b
-a
b
a
b
a+
b
-a
=
b
-a
17. Ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà
;cossin22sin ttt =
;sincos2cos
22
ttt -=
.
tg1
tg2
2tg
2
t
t
t
-
=
18. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè
2
2cos1
cos
2
t
t
+
=
;
2
2cos1
sin
2
t
t
-
=
.
19. Âûðàæåíèå sin t , cos t è tg t ÷åðåç tg
2
tg1
2
tg2
sin
2
t
t
t
+
=
,
,
2
tg1
2
tg1
cos
2
2
t
t
t
+
-
=
.
2
tg1
2
tg2
tg
2
t
t
t
-
=
20. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå
;
2
cos
2
sin2sinsin
b-ab+a
=b+a
;
2
cos
2
sin2sinsin
b+ab-a
=b-a
;
2
cos
2
cos2coscos
b
-a
b
+a
=
b
+a
;
2
sin
2
sin2coscos
b-ab+a
-=b-a
;,
2
,;
coscos
)
(
sin
tgtg Znn Îp+
p
¹
b
a
b
a
b
+a
=
b
+a
.,
2
,;
coscos
)
(
sin
tgtg Znn Îp+
p
¹
b
a
b
a
b
-a
=
b
-a
Ôîðìóëà âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà:
),(sinsincos a+=+ tAtbta
ãäå
=a= BAa ,sin
,,cos
22
baAA +=a
a
+
=a cos,sin
22
ba
a
.
22
ba
b
+
=
Z
Z
t
2
Z
Z
549
548
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Àëãåáðà
;sincoscossin)(sin ba+ba=b+a
;sincoscossin)(sin ba-ba=b-a
;,
2
,,;
tgtg1
tgtg
)
(
tg Znn Îp+
p
¹
b
+a
b
a
b
a-
b
+a
=
b
+a
.,
2
,,;
tgtg1
tgtg
)
(
tg Znn Îp+
p
¹
b
-a
b
a
b
a+
b
-a
=
b
-a
17. Ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà
;cossin22sin ttt =
;sincos2cos
22
ttt -=
.
tg1
tg2
2tg
2
t
t
t
-
=
18. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè
2
2cos1
cos
2
t
t
+
=
;
2
2cos1
sin
2
t
t
-
=
.
19. Âûðàæåíèå sin t , cos t è tg t ÷åðåç tg
2
tg1
2
tg2
sin
2
t
t
t
+
=
,
,
2
tg1
2
tg1
cos
2
2
t
t
t
+
-
=
.
2
tg1
2
tg2
tg
2
t
t
t
-
=
20. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå
;
2
cos
2
sin2sinsin
b-ab+a
=b+a
;
2
cos
2
sin2sinsin
b+ab-a
=b-a
;
2
cos
2
cos2coscos
b
-a
b
+a
=
b
+a
;
2
sin
2
sin2coscos
b-ab+a
-=b-a
;,
2
,;
coscos
)
(
sin
tgtg Znn Îp+
p
¹
b
a
b
a
b
+a
=
b
+a
.,
2
,;
coscos
)
(
sin
tgtg Znn Îp+
p
¹
b
a
b
a
b
-a
=
b
-a
Ôîðìóëà âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà:
),(sinsincos a+=+ tAtbta
ãäå
=a= BAa ,sin
,,cos
22
baAA +=a
a
+
=a cos,sin
22
ba
a
.
22
ba
b
+
=
Z
Z
t
2
Z
Z