Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
513
512
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Åñëè â ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäå ïðîâåñòè ïëîñêîñòü,
ïàðàëëåëüíóþ îñíîâàíèþ, òî ìíîãîãðàííèê, ãðàíÿìè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòî ñå÷åíèå, îñíîâàíèå è çàêëþ÷åí-
íûå ìåæäó íèìè ÷àñòè áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû, íà-
çûâàåòñÿ óñå÷åííîé ïèðàìèäîé (ðèñ. 294). Ïàðàëëåëü-
íûå ãðàíè óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàþòñÿ åå âåðõ-
íèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó
íèìè âûñîòîé.
Çàìåòèì, ÷òî ïèðàìèäà
,
1111
DCBFA
ëåæàùàÿ
âûøå ñåêóùåé ïëîñêîñòè (ðèñ. 294), ïîäîáíà ïèðà-
ìèäå FABCD. Ïîýòîìó ïëîùàäè îñíîâàíèé S
1
è S
2
óêàçàííûõ ïèðàìèä îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû èõ ëè-
íåéíûõ ðàçìåðîâ, à îáúåìû V
1
è V
2
ýòèõ ïèðàìèä
êàê êóáû ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ (íàïðèìåð, åñëè
,,
211
hFHhFH ==
òî
,::
2
2
2
121
hhSS =
à
=
21
:
VV
=
.:
3
2
3
1
hh
Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè
ïèðàìèäà, èç êîòîðîé îíà ïîëó÷åíà, áûëà ïðàâèëü-
íîé. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðà-
ìèäû ðàâíûå ðàâíîáî÷íûå òðàïåöèè. Âûñîòà áî-
êîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçû-
âàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.
Îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè
ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî
è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé
ìåæäó íèìè:
.
)
(
3
1
2121
SSSShV ++=
(4)
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïè-
ðàìèäû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû ïåðèìåòðîâ
îñíîâàíèé íà àïîôåìó:
S
áîê
= 0,5(Ð
1
+ Ð
2
) m. (5)
=OM
10
3
1
=CM
è èç
FOMD
ïîëó÷èì
=FO
.3101020
22
=-=
Òåïåðü ïî ôîðìóëàì (1) è
(2) íàõîäèì
,3000310
4
33400
3
1
3
1
=×
×
×== ShV
S
áîê
=
.3600203605,05,0 =××=Pm
Äëÿ îòûñêàíèÿ S
áîê
ìîæíî áûëî òàêæå èñïîëüçî-
âàòü ôîðìóëó (3). Â ñàìîì äåëå, âñå äâóãðàííûå óãëû
ïðè îñíîâàíèè ðàâíû
j
, ãäå
.5,0:cos ==j FMOM
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
,3300=S
ïîëó÷èì
S
áîê
=
.36005,0:3300 =
n
Ðèñ. 292 Ðèñ. 293
).
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
513
512
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Åñëè â ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäå ïðîâåñòè ïëîñêîñòü,
ïàðàëëåëüíóþ îñíîâàíèþ, òî ìíîãîãðàííèê, ãðàíÿìè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòî ñå÷åíèå, îñíîâàíèå è çàêëþ÷åí-
íûå ìåæäó íèìè ÷àñòè áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû, íà-
çûâàåòñÿ óñå÷åííîé ïèðàìèäîé (ðèñ. 294). Ïàðàëëåëü-
íûå ãðàíè óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàþòñÿ åå âåðõ-
íèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó
íèìè âûñîòîé.
Çàìåòèì, ÷òî ïèðàìèäà
,
1111
DCBFA
ëåæàùàÿ
âûøå ñåêóùåé ïëîñêîñòè (ðèñ. 294), ïîäîáíà ïèðà-
ìèäå FABCD. Ïîýòîìó ïëîùàäè îñíîâàíèé S
1
è S
2
óêàçàííûõ ïèðàìèä îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû èõ ëè-
íåéíûõ ðàçìåðîâ, à îáúåìû V
1
è V
2
ýòèõ ïèðàìèä
êàê êóáû ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ (íàïðèìåð, åñëè
,,
211
hFHhFH ==
òî
,::
2
2
2
121
hhSS =
à
=
21
:
VV
=
.:
3
2
3
1
hh
Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè
ïèðàìèäà, èç êîòîðîé îíà ïîëó÷åíà, áûëà ïðàâèëü-
íîé. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðà-
ìèäû ðàâíûå ðàâíîáî÷íûå òðàïåöèè. Âûñîòà áî-
êîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçû-
âàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.
Îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè
ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî
è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé
ìåæäó íèìè:
.
)
(
3
1
2121
SSSShV ++=
(4)
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïè-
ðàìèäû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû ïåðèìåòðîâ
îñíîâàíèé íà àïîôåìó:
S
áîê
= 0,5(Ð
1
+ Ð
2
) m. (5)
=OM
10
3
1
=CM
è èç
FOMD
ïîëó÷èì
=FO
.3101020
22
=-=
Òåïåðü ïî ôîðìóëàì (1) è
(2) íàõîäèì
,3000310
4
33400
3
1
3
1
=×
×
×== ShV
S
áîê
=
.3600203605,05,0 =××=Pm
Äëÿ îòûñêàíèÿ S
áîê
ìîæíî áûëî òàêæå èñïîëüçî-
âàòü ôîðìóëó (3). Â ñàìîì äåëå, âñå äâóãðàííûå óãëû
ïðè îñíîâàíèè ðàâíû
j
, ãäå
.5,0:cos ==j FMOM
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
,3300=S
ïîëó÷èì
S
áîê
=
.36005,0:3300 =
n
Ðèñ. 292 Ðèñ. 293
).
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
515
514
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
,
4
9
=
îòêóäà
120
9
2704
9
4
1
1
=
×
==
S
S
(ñì
2
). Èòàê,
1900
)
120270120270
(
3
10
=×++=V
(ñì
3
). n
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõ-
íîñòü ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðà-
ìèäû, åñëè åå äèàãîíàëü ðàâíà 18, à ñòîðîíû îñíîâà-
íèé ðàâíû 14 è 10.
q Èñêîìûé îáúåì âûðàçèòñÿ òàê:
+=
1
(
3
S
h
V
)
,
212
SSS ++
ãäå
.100,196
21
== SS
Íàéäåì =h
KB
1
= (ðèñ. 296). Â
KDB
1
D
èìååì
=KB
1
.
22
1
KDDB -=
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
DDBB
11
ðàâíî-
Ï ð è ì å ð 3.  òðåóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäå
âûñîòà ðàâíà 10 ñì, ñòîðîíû îäíîãî îñíîâàíèÿ ðàâ-
íû 27, 29 è 52 ñì, à ïåðèìåòð äðóãîãî îñíîâàíèÿ ðà-
âåí 72 ñì. Íàéòè îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), èñêîìûé îáúåì
),(
3
2121
SSSS
h
V ++=
ãäå S
1
íàéäåì ïî ôîðìóëå
Ãåðîíà. Òàê êàê ð
1
= 0,5(27 + 29 + 52) = 54 (ñì), òî
2702252754 =×××=S
(ñì
2
). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
~ABCD
111
~
CBAD
(ðèñ. 295), èìååì
===
2
2
2
2
2
1
2
1
72
108
)2(
)2(
p
p
S
S
Ðèñ. 294 Ðèñ. 295
Ðèñ. 296
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
515
514
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
,
4
9
=
îòêóäà
120
9
2704
9
4
1
1
=
×
==
S
S
(ñì
2
). Èòàê,
1900
)
120270120270
(
3
10
=×++=V
(ñì
3
). n
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõ-
íîñòü ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðà-
ìèäû, åñëè åå äèàãîíàëü ðàâíà 18, à ñòîðîíû îñíîâà-
íèé ðàâíû 14 è 10.
q Èñêîìûé îáúåì âûðàçèòñÿ òàê:
+=
1
(
3
S
h
V
)
,
212
SSS ++
ãäå
.100,196
21
== SS
Íàéäåì =h
KB
1
= (ðèñ. 296). Â
KDB
1
D
èìååì
=KB
1
.
22
1
KDDB -=
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
DDBB
11
ðàâíî-
Ï ð è ì å ð 3.  òðåóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäå
âûñîòà ðàâíà 10 ñì, ñòîðîíû îäíîãî îñíîâàíèÿ ðàâ-
íû 27, 29 è 52 ñì, à ïåðèìåòð äðóãîãî îñíîâàíèÿ ðà-
âåí 72 ñì. Íàéòè îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), èñêîìûé îáúåì
),(
3
2121
SSSS
h
V ++=
ãäå S
1
íàéäåì ïî ôîðìóëå
Ãåðîíà. Òàê êàê ð
1
= 0,5(27 + 29 + 52) = 54 (ñì), òî
2702252754 =×××=S
(ñì
2
). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
~ABCD
111
~
CBAD
(ðèñ. 295), èìååì
===
2
2
2
2
2
1
2
1
72
108
)2(
)2(
p
p
S
S
Ðèñ. 294 Ðèñ. 295
Ðèñ. 296
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
517
516
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
âñå åãî îáðàçóþùèå (ò. å. îòðåçêè îáðàçóþùèõ öèëèí-
äðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííûå ìåæäó åå îñíî-
âàíèÿìè).
Öèëèíäð íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, åñëè åãî îáðàçóþ-
ùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ. Åñëè íàïðàâëÿ-
þùåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü, òî öèëèíäð íàçûâàåòñÿ
êðóãîâûì (ðèñ. 297).
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëü-
êî êðóãîâîé öèëèíäð. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì öèëèíäðà, îáðàçóþùàÿ öè-
ëèíäðà îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé. Îòðå-
çîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îñíîâàíèé, íàçûâàåòñÿ
îñüþ öèëèíäðà (Î
1
Î íà ðèñ. 297). Ñå÷åíèå öèëèí-
äðà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâà-
åòñÿ îñåâûì (ÀÀ
1
Â
1
 íà ðèñ. 297). Ïëîñêîñòü, ïðî-
õîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ öèëèíäðà è ïåðïåí-
äèêóëÿðíàÿ îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç
ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñ-
êîñòüþ öèëèíäðà.
Îáúåì öèëèíäðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè
îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.
áî÷íàÿ òðàïåöèÿ, íàõîäèì
=-= )(5,0
11
DBBDBK
,22)210214(5,0 =-=
îòêóäà
=-= BKBDKD
,212=
ò. å.
.6
)
212
(
18
22
=-=h
Çíà÷èò,
.872)140100196(
3
6
=++=V
Òåïåðü ïðîâåäåì àïîôåìó
ED
1
è â
EDD
1
D
èìååì
,112836
22
111
=+=+== BKKBBBDD
DE =
.2)(5,0
11
=-= CDDC
Òîãäà
102444
1
=-=
ED
è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
S
áîê
=
1
(
5,0
P
.1096102
)
1014
(
2
)
2
=×+=+ mP
n
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
312. Öèëèíäð. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ
ëèíèþ l. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ýòîé ëèíèè ïðîâåäåì
ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íå ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëè-
íèè l (ðèñ. 297). Ïîëó÷åííàÿ ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü
íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé. Ëèíèÿ l íàçûâàåòñÿ
íàïðàâëÿþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à ïà-
ðàëëåëüíûå ïðÿìûå åå îáðàçóþùèìè.
Òåëî, îãðàíè÷åííîå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ
ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé è äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè, ïåðåñåêàþùèìè åå îáðàçóþùèå, íàçûâà-
åòñÿ öèëèíäðîì. ×àñòè ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëå-
æàùèå âíóòðè öèëèíäðà, íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè, à
ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîñòÿìè âûñîòîé
öèëèíäðà. Îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâíû, òàêæå ðàâíû è
Ðèñ. 297
l
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
517
516
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
âñå åãî îáðàçóþùèå (ò. å. îòðåçêè îáðàçóþùèõ öèëèí-
äðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííûå ìåæäó åå îñíî-
âàíèÿìè).
Öèëèíäð íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, åñëè åãî îáðàçóþ-
ùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ. Åñëè íàïðàâëÿ-
þùåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü, òî öèëèíäð íàçûâàåòñÿ
êðóãîâûì (ðèñ. 297).
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëü-
êî êðóãîâîé öèëèíäð. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì öèëèíäðà, îáðàçóþùàÿ öè-
ëèíäðà îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé. Îòðå-
çîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îñíîâàíèé, íàçûâàåòñÿ
îñüþ öèëèíäðà (Î
1
Î íà ðèñ. 297). Ñå÷åíèå öèëèí-
äðà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâà-
åòñÿ îñåâûì (ÀÀ
1
Â
1
 íà ðèñ. 297). Ïëîñêîñòü, ïðî-
õîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ öèëèíäðà è ïåðïåí-
äèêóëÿðíàÿ îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç
ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñ-
êîñòüþ öèëèíäðà.
Îáúåì öèëèíäðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè
îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.
áî÷íàÿ òðàïåöèÿ, íàõîäèì
=-= )(5,0
11
DBBDBK
,22)210214(5,0 =-=
îòêóäà
=-= BKBDKD
,212=
ò. å.
.6
)
212
(
18
22
=-=h
Çíà÷èò,
.872)140100196(
3
6
=++=V
Òåïåðü ïðîâåäåì àïîôåìó
ED
1
è â
EDD
1
D
èìååì
,112836
22
111
=+=+== BKKBBBDD
DE =
.2)(5,0
11
=-= CDDC
Òîãäà
102444
1
=-=
ED
è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
S
áîê
=
1
(
5,0
P
.1096102
)
1014
(
2
)
2
=×+=+ mP
n
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
312. Öèëèíäð. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ
ëèíèþ l. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ýòîé ëèíèè ïðîâåäåì
ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íå ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëè-
íèè l (ðèñ. 297). Ïîëó÷åííàÿ ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü
íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé. Ëèíèÿ l íàçûâàåòñÿ
íàïðàâëÿþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à ïà-
ðàëëåëüíûå ïðÿìûå åå îáðàçóþùèìè.
Òåëî, îãðàíè÷åííîå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ
ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé è äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè, ïåðåñåêàþùèìè åå îáðàçóþùèå, íàçûâà-
åòñÿ öèëèíäðîì. ×àñòè ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëå-
æàùèå âíóòðè öèëèíäðà, íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè, à
ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîñòÿìè âûñîòîé
öèëèíäðà. Îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâíû, òàêæå ðàâíû è
Ðèñ. 297
l
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
519
518
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
â 4 ðàçà áîëüøå îáúåìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà, âïèñàííîãî â ýòîò öèëèíäð. Íàéòè ñòîðîíû
îñíîâàíèÿ âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
q Íà ðèñ. 299 èçîáðàæåíî ïëîñêîå ñå÷åíèå çà-
äàííîé êîíôèãóðàöèè. Îñíîâàíèåì îïèñàííîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà ñëóæèò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 2R, îáúåì
ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
,4
2
1
hRV =
ãäå h âûñîòà
öèëèíäðà. Ïóñòü îñíîâàíèå âïèñàííîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à è b; òîãäà
îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
,
2
abhV =
îòêóäà
,4:4
2
=abhhR ò. å.
.
2
Rab =
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
+
2
a
+
,4
22
Rb =
à
,22
2
Rab =
ïðèõîäèì ê ñèñòåìå
ï
î
ï
í
ì
=-
=+
ï
î
ï
í
ì
=+-
=++
.2
,6
;22
,62
222
222
Rba
Rba
Rbaba
Rbaba
.
2
hRShV p==
(1)
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàâíà ïðîèçâå-
äåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó,
ò. å.
S
áîê
=
.2 RhCl p=
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå äèà-
ìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè À è Â
1
íèæíåãî
è âåðõíåãî îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ. 298), ðàâåí
12 ñì è ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþ íèæíåãî îñíîâàíèÿ
óãîë 30°. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì öè-
ëèíäðà.
q Ïðîâåäåì ÷åðåç îòðåçîê ÀÂ
1
ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñíîâàíèþ öèëèíäðà. Â
1
ABBD
èìååì
3630cos122 =°== RAB
(ñì),
== hBB
1
630sin12 =°=
(ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2)
è (1), íàõîäèì
37263622 p=××p=p= RhS
(ñì
2
),
p=××p=p= 1626)33(
22
hRV
(ñì
3
). n
Ïðèçìîé, âïèñàííîé â öèëèíäð, íàçûâàåòñÿ ïðè-
çìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé ìíîãîóãîëüíèêè, âïèñàí-
íûå â îñíîâàíèÿ öèëèíäðà. Åå áîêîâûå ðåáðà ñîâïà-
äàþò ñ îáðàçóþùèìè öèëèíäðà.
Ïðèçìîé, îïèñàííîé îêîëî öèëèíäðà, íàçûâà-
åòñÿ òàêàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé ìíîãîóãîëü-
íèêè, îïèñàííûå îêîëî îñíîâàíèé öèëèíäðà. Ïëîñ-
êîñòè åå áîêîâûõ ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè öèëèíäðà.
Ï ð è ì å ð 2. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà, îïèñàííîãî îêîëî öèëèíäðà ðàäèóñà R,
Ðèñ. 299Ðèñ. 298
3
36
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
519
518
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
â 4 ðàçà áîëüøå îáúåìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà, âïèñàííîãî â ýòîò öèëèíäð. Íàéòè ñòîðîíû
îñíîâàíèÿ âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
q Íà ðèñ. 299 èçîáðàæåíî ïëîñêîå ñå÷åíèå çà-
äàííîé êîíôèãóðàöèè. Îñíîâàíèåì îïèñàííîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà ñëóæèò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 2R, îáúåì
ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
,4
2
1
hRV =
ãäå h âûñîòà
öèëèíäðà. Ïóñòü îñíîâàíèå âïèñàííîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à è b; òîãäà
îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
,
2
abhV =
îòêóäà
,4:4
2
=abhhR ò. å.
.
2
Rab =
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
+
2
a
+
,4
22
Rb =
à
,22
2
Rab =
ïðèõîäèì ê ñèñòåìå
ï
î
ï
í
ì
=-
=+
ï
î
ï
í
ì
=+-
=++
.2
,6
;22
,62
222
222
Rba
Rba
Rbaba
Rbaba
.
2
hRShV p==
(1)
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàâíà ïðîèçâå-
äåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó,
ò. å.
S
áîê
=
.2 RhCl p=
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå äèà-
ìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè À è Â
1
íèæíåãî
è âåðõíåãî îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ. 298), ðàâåí
12 ñì è ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþ íèæíåãî îñíîâàíèÿ
óãîë 30°. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì öè-
ëèíäðà.
q Ïðîâåäåì ÷åðåç îòðåçîê ÀÂ
1
ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñíîâàíèþ öèëèíäðà. Â
1
ABBD
èìååì
3630cos122 =°== RAB
(ñì),
== hBB
1
630sin12 =°=
(ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2)
è (1), íàõîäèì
37263622 p=××p=p= RhS
(ñì
2
),
p=××p=p= 1626)33(
22
hRV
(ñì
3
). n
Ïðèçìîé, âïèñàííîé â öèëèíäð, íàçûâàåòñÿ ïðè-
çìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé ìíîãîóãîëüíèêè, âïèñàí-
íûå â îñíîâàíèÿ öèëèíäðà. Åå áîêîâûå ðåáðà ñîâïà-
äàþò ñ îáðàçóþùèìè öèëèíäðà.
Ïðèçìîé, îïèñàííîé îêîëî öèëèíäðà, íàçûâà-
åòñÿ òàêàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé ìíîãîóãîëü-
íèêè, îïèñàííûå îêîëî îñíîâàíèé öèëèíäðà. Ïëîñ-
êîñòè åå áîêîâûõ ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè öèëèíäðà.
Ï ð è ì å ð 2. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà, îïèñàííîãî îêîëî öèëèíäðà ðàäèóñà R,
Ðèñ. 299Ðèñ. 298
3
36
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
521
520
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
è ïëîñêîñòüþ, ïåðåñåêàþùåé ýòó êîíè÷åñêóþ ïîâåðõ-
íîñòü è íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó F (ðèñ. 300, á).
×àñòü ýòîé ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ âíóòðè êîíè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì êîíóñà. Ïåð-
ïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû êîíóñà íà îñ-
íîâàíèå, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé êîíóñà (FH íà ðèñ.
300, á).
Ïèðàìèäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé
ñëó÷àé êîíóñà (íàïðàâëÿþùåé ñëóæèò ìíîãîóãîëü-
íèê).
Åñëè â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé âçÿòü îêðóæíîñòü,
òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì; åñëè, êðîìå òîãî, âû-
ñîòà êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îñíîâàíèÿ, òî êî-
íóñ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì êðóãîâûì. Â äàëüíåéøåì
ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðÿìîé êðóãîâîé
êîíóñ.
Ðàññìîòðèì ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè, íå ïðî-
õîäÿùèìè ÷åðåç åãî âåðøèíó. Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñ-
êîñòü ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèþ, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùà-
ÿñÿ â ñå÷åíèè, îêðóæíîñòü (ðèñ. 301, à); åñëè ñåêó-
ùàÿ ïëîñêîñòü íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé èç îáðàçóþ-
ùèõ è ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü, òî â ñå÷åíèè
ïîëó÷àåòñÿ ëèíèÿ, íàçûâàåìàÿ ýëëèïñîì (ðèñ. 301, á;
÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñà ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü);
åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïî-
ëîñòü è ïàðàëëåëüíà îáðàçóþùåé, òî ëèíèÿ, ïîëó÷à-
þùàÿñÿ â ñå÷åíèè, ïàðàáîëà (ðèñ. 301, â); åñëè ñå-
êóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò îáå ïîëîñòè êîíóñà, òî
ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, ãèïåðáîëà (ðèñ.
301, ã). Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà íàçûâàþòñÿ êî-
íè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè.
Ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî
îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷å-
ðåç îáðàçóþùóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñåâîìó ñå÷åíèþ,
ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ êîíóñà.
Èòàê,
).26(5,0),26(5,0 -=+= RbRa
n
313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ. Ðàññìîòðèì êà-
êóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
F, íå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ýòîé ëèíèè (ðèñ. 300, à).
Âñåâîçìîæíûå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êó F ñî âñå-
ìè òî÷êàìè ëèíèè l, îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ êî-
íè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïðè ýòîì òî÷êà F íàçû-
âàåòñÿ âåðøèíîé, ëèíèÿ l íàïðàâëÿþùåé, à óêà-
çàííûå ïðÿìûå îáðàçóþùèìè êîíè÷åñêîé ïî-
âåðõíîñòè. Êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò äâå ïî-
ëîñòè: îäíà èç íèõ îáðàçîâàíà ëó÷àìè, ïåðåñåêàþ-
ùèìè l, à äðóãàÿ èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Êîíóñîì
íàçûâàåòñÿ òåëî, îãðàíè÷åííîå îäíîé ïîëîñòüþ êî-
íè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé
Ðèñ. 300
à)
á)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
521
520
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
è ïëîñêîñòüþ, ïåðåñåêàþùåé ýòó êîíè÷åñêóþ ïîâåðõ-
íîñòü è íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó F (ðèñ. 300, á).
×àñòü ýòîé ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ âíóòðè êîíè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì êîíóñà. Ïåð-
ïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû êîíóñà íà îñ-
íîâàíèå, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé êîíóñà (FH íà ðèñ.
300, á).
Ïèðàìèäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé
ñëó÷àé êîíóñà (íàïðàâëÿþùåé ñëóæèò ìíîãîóãîëü-
íèê).
Åñëè â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé âçÿòü îêðóæíîñòü,
òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì; åñëè, êðîìå òîãî, âû-
ñîòà êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îñíîâàíèÿ, òî êî-
íóñ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì êðóãîâûì. Â äàëüíåéøåì
ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðÿìîé êðóãîâîé
êîíóñ.
Ðàññìîòðèì ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè, íå ïðî-
õîäÿùèìè ÷åðåç åãî âåðøèíó. Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñ-
êîñòü ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèþ, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùà-
ÿñÿ â ñå÷åíèè, îêðóæíîñòü (ðèñ. 301, à); åñëè ñåêó-
ùàÿ ïëîñêîñòü íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé èç îáðàçóþ-
ùèõ è ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü, òî â ñå÷åíèè
ïîëó÷àåòñÿ ëèíèÿ, íàçûâàåìàÿ ýëëèïñîì (ðèñ. 301, á;
÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñà ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü);
åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïî-
ëîñòü è ïàðàëëåëüíà îáðàçóþùåé, òî ëèíèÿ, ïîëó÷à-
þùàÿñÿ â ñå÷åíèè, ïàðàáîëà (ðèñ. 301, â); åñëè ñå-
êóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò îáå ïîëîñòè êîíóñà, òî
ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, ãèïåðáîëà (ðèñ.
301, ã). Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà íàçûâàþòñÿ êî-
íè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè.
Ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî
îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷å-
ðåç îáðàçóþùóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñåâîìó ñå÷åíèþ,
ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ êîíóñà.
Èòàê,
).26(5,0),26(5,0 -=+= RbRa
n
313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ. Ðàññìîòðèì êà-
êóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
F, íå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ýòîé ëèíèè (ðèñ. 300, à).
Âñåâîçìîæíûå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êó F ñî âñå-
ìè òî÷êàìè ëèíèè l, îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ êî-
íè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïðè ýòîì òî÷êà F íàçû-
âàåòñÿ âåðøèíîé, ëèíèÿ l íàïðàâëÿþùåé, à óêà-
çàííûå ïðÿìûå îáðàçóþùèìè êîíè÷åñêîé ïî-
âåðõíîñòè. Êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò äâå ïî-
ëîñòè: îäíà èç íèõ îáðàçîâàíà ëó÷àìè, ïåðåñåêàþ-
ùèìè l, à äðóãàÿ èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Êîíóñîì
íàçûâàåòñÿ òåëî, îãðàíè÷åííîå îäíîé ïîëîñòüþ êî-
íè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé
Ðèñ. 300
à)
á)