Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

523

522

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 1. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà âäâîå

áîëüøå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ. Íàéòè îáúåì êîíóñà,

åñëè ïëîùàäü åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ ðàâíà

ñì

q Ïî óñëîâèþ, S

áîê

= 2S, ò. å.

RRl p=p

(ðèñ.

302), îòêóäà

Rl 2=

è, çíà÷èò,

AFBD

 ïðàâèëüíûé.

Èìååì

AFB

÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ

ðàâíî

,33

ò. å.

.3=R

Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íà-

õîäèì

hRV p=

ãäå

.33 == Rh

Èòàê,

´p=

3 · 3 = 3p (ñì

). n

Ïèðàìèäîé, âïèñàííîé â êîíóñ, íàçûâàåòñÿ ïè-

ðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé  ìíîãîóãîëüíèê, âïè-

ñàííûé â îñíîâàíèå êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ

âåðøèíîé êîíóñà. Áîêîâûå ðåáðà âïèñàííîé ïèðà-

ìèäû ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè êîíóñà.

Ïèðàìèäîé, îïèñàííîé îêîëî êîíóñà, íàçûâà-

åòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé  ìíîãîóãîëüíèê,

îïèñàííûé îêîëî îñíîâàíèÿ êîíóñà, à âåðøèíà ñî-

âïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Ïëîñêîñòè áîêîâûõ ãðà-

íåé îïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè

ïëîñêîñòÿìè êîíóñà.

Ï ð è ì å ð 2. Â êîíóñ âïèñàíà òðåóãîëüíàÿ ïè-

ðàìèäà, áîêîâûå ðåáðà êîòîðîé ïîïàðíî âçàèìíî ïåð-

ïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë ìåæäó îáðàçóþùåé êî-

íóñà è åãî âûñîòîé.

q Òàê êàê

FCFBFA ==

(ðèñ. 303), òî

=D AFB

BFCAFC =D=

(ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, èìå-

Îáúåì êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ

ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.

hRShV p==

(1)

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâíà ïîëîâèíå ïðî-

èçâåäåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà îáðàçó-

þùóþ, ò. å.

áîê

.5,0 RlCl p==

(2)

à)

Ðèñ. 301

á)

ã)â)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

523

522

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 1. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà âäâîå

áîëüøå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ. Íàéòè îáúåì êîíóñà,

åñëè ïëîùàäü åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ ðàâíà

ñì

q Ïî óñëîâèþ, S

áîê

= 2S, ò. å.

RRl p=p

(ðèñ.

302), îòêóäà

Rl 2=

è, çíà÷èò,

AFBD

 ïðàâèëüíûé.

Èìååì

AFB

÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ

ðàâíî

,33

ò. å.

.3=R

Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íà-

õîäèì

hRV p=

ãäå

.33 == Rh

Èòàê,

´p=

3 · 3 = 3p (ñì

). n

Ïèðàìèäîé, âïèñàííîé â êîíóñ, íàçûâàåòñÿ ïè-

ðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé  ìíîãîóãîëüíèê, âïè-

ñàííûé â îñíîâàíèå êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ

âåðøèíîé êîíóñà. Áîêîâûå ðåáðà âïèñàííîé ïèðà-

ìèäû ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè êîíóñà.

Ïèðàìèäîé, îïèñàííîé îêîëî êîíóñà, íàçûâà-

åòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé  ìíîãîóãîëüíèê,

îïèñàííûé îêîëî îñíîâàíèÿ êîíóñà, à âåðøèíà ñî-

âïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Ïëîñêîñòè áîêîâûõ ãðà-

íåé îïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè

ïëîñêîñòÿìè êîíóñà.

Ï ð è ì å ð 2. Â êîíóñ âïèñàíà òðåóãîëüíàÿ ïè-

ðàìèäà, áîêîâûå ðåáðà êîòîðîé ïîïàðíî âçàèìíî ïåð-

ïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë ìåæäó îáðàçóþùåé êî-

íóñà è åãî âûñîòîé.

q Òàê êàê

FCFBFA ==

(ðèñ. 303), òî

=D AFB

BFCAFC =D=

(ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, èìå-

Îáúåì êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ

ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.

hRShV p==

(1)

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâíà ïîëîâèíå ïðî-

èçâåäåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà îáðàçó-

þùóþ, ò. å.

áîê

.5,0 RlCl p==

(2)

à)

Ðèñ. 301

á)

ã)â)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

525

524

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé óñå÷åííîãî êîíóñà (Î

íà ðèñ. 304).

Îáúåì óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðî-

èçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è

íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæ-

äó íèìè:

).(

)(

12121

RRRRhSSSShV ++p=++=

(3)

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà

ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû äëèí îêðóæíîñòåé îñíî-

âàíèé íà îáðàçóþùóþ:

áîê

.)()(5,0

2121

lRRlCC +p=+=

(4)

Ï ð è ì å ð 3. Ðàäèóñû îñíîâàíèé óñå÷åííîãî

êîíóñà ðàâíû 3 è 4 ñì. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïî-

âåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà, åñëè ïîñëåäíÿÿ ðàâíà

ñóììå ïëîùàäåé îñíîâàíèé.

þùèå ïî äâà ðàâíûõ êàòåòà); çíà÷èò,

ABCD

 ïðà-

âèëüíûé. Èñêîìûé óãîë

 ýòî óãîë AFO ìåæäó

âûñîòîé è ðåáðîì ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû FABC.

Ïóñòü ÀÂ = à. Òîãäà

2 a

FA ==

îòêóäà

sin ===j

arcsin

Åñëè îò êîíóñà îòñå÷ü ÷àñòü ïëîñêîñòüþ, ïàðàë-

ëåëüíîé åãî îñíîâàíèþ, òî òåëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó

ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ è îñíîâàíèåì, íàçûâàåòñÿ óñå-

÷åííûì êîíóñîì (ðèñ. 304). Ïðè ýòîì êðóãè ñ öåí-

òðàìè Î

è Î, ëåæàùèå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ,

íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè óñå-

÷åííîãî êîíóñà, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêî-

Ðèñ. 302

Ðèñ. 304 Ðèñ. 305

Ðèñ. 303

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

525

524

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé óñå÷åííîãî êîíóñà (Î

íà ðèñ. 304).

Îáúåì óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðî-

èçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è

íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæ-

äó íèìè:

).(

)(

12121

RRRRhSSSShV ++p=++=

(3)

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà

ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû äëèí îêðóæíîñòåé îñíî-

âàíèé íà îáðàçóþùóþ:

áîê

.)()(5,0

2121

lRRlCC +p=+=

(4)

Ï ð è ì å ð 3. Ðàäèóñû îñíîâàíèé óñå÷åííîãî

êîíóñà ðàâíû 3 è 4 ñì. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïî-

âåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà, åñëè ïîñëåäíÿÿ ðàâíà

ñóììå ïëîùàäåé îñíîâàíèé.

þùèå ïî äâà ðàâíûõ êàòåòà); çíà÷èò,

ABCD

 ïðà-

âèëüíûé. Èñêîìûé óãîë

 ýòî óãîë AFO ìåæäó

âûñîòîé è ðåáðîì ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû FABC.

Ïóñòü ÀÂ = à. Òîãäà

2 a

FA ==

îòêóäà

sin ===j

arcsin

Åñëè îò êîíóñà îòñå÷ü ÷àñòü ïëîñêîñòüþ, ïàðàë-

ëåëüíîé åãî îñíîâàíèþ, òî òåëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó

ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ è îñíîâàíèåì, íàçûâàåòñÿ óñå-

÷åííûì êîíóñîì (ðèñ. 304). Ïðè ýòîì êðóãè ñ öåí-

òðàìè Î

è Î, ëåæàùèå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ,

íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè óñå-

÷åííîãî êîíóñà, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêî-

Ðèñ. 302

Ðèñ. 304 Ðèñ. 305

Ðèñ. 303

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

527

526

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà

øàðà ðàâíî d, òî ðàäèóñ ñå÷åíèÿ

dRr -=

Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð øàðà, íàçû-

âàåòñÿ åãî äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ñå÷åíèå

øàðà äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ áîëü-

øèì êðóãîì.

Ëþáàÿ äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïëîñ-

êîñòüþ ñèììåòðèè øàðà. Öåíòð øàðà  åãî öåíòð

ñèììåòðèè.

Øàðîâûì ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, îò-

ñå÷åííàÿ îò íåãî ïëîñêîñòüþ (MABCD íà ðèñ. 306).

Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà øàðà

ðàâíî d, òî ðàçíîñòü R  d = h íàçûâàåòñÿ âûñîòîé

ñåãìåíòà (MN íà ðèñ. 306).

Øàðîâûì ñëîåì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, çàêëþ-

÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñåêóùèìè

ïëîñêîñòÿìè (íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñëîé

ÀÀ

Ñ, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ÀÂCD è

). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿ-

ìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé øàðîâîãî ñëîÿ (NN

íà

ðèñ. 306).

Ðàññìîòðèì êîíóñ ñ âåðøèíîé â öåíòðå øàðà. ×àñòü

øàðà, ëåæàùàÿ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ øàðî-

âûì ñåêòîðîì; íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñåêòîð

ÎÀÌÑ, ñîñòîÿùèé èç êîíóñà OABCD è øàðîâîãî ñåã-

ìåíòà MABCD. (Øàðîâûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òàê-

æå è ÷àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíå ýòîãî êîíóñà, ò. å. äîïîë-

íÿþùàÿ óêàçàííûé âûøå ñåêòîð äî ïîëíîãî øàðà).

Îáúåì øàðà ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

RV p=

(1)

q Ïðîâåäåì

OABB ^

è ïîëîæèì

hBB =

=AB

a=Ð ABB

(ðèñ. 305). Â

BAB

èìååì: ÂÀ =

= 1 ñì,

cos

== lAB

Ïî óñëîâèþ, S

áîê

= S

íèæí.îñí

+ S

âåðõ.îñí

, èëè

),43()43(

+p=+p l îòêóäà

Çíà÷èò, S

áîê

p25

(ñì

). Òå-

ïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3):

296

)

4343

(

=×++

×p

(ñì

). n

314. Øàð, ñôåðà. Øàðîâîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè

ñôåðîé) íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäà-

ëåííûõ îò çàäàííîé òî÷êè Î (öåíòðà) íà çàäàííîå

ðàññòîÿíèå R (ðàäèóñ). Øàð  ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñ-

òî òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå ïðå-

âûøàþùåå ðàäèóñ (ðèñ. 306).

Ëþáîé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ïðîèçâîëüíóþ òî÷-

êó ñôåðû ñ öåíòðîì, íàçûâàåòñÿ åå ðàäèóñîì. Îòðå-

çîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè ñôåðû è

ïðîõîäÿùèé ÷åðåç åå öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì.

Öåíòð, ðàäèóñ è äèàìåòð ñôåðû ÿâëÿåòñÿ òàêæå öåí-

òðîì, ðàäèóñîì è äèàìåòðîì øàðà.

Ïëîñêîñòü, èìåþùàÿ ñ øàðîì îäíó îáùóþ òî÷êó,

íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ øàðà.

Ò.11.4. Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ, ïåð-

ïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.

Ò.11.5. Âñÿêîå ñå÷åíèå øàðà ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

527

526

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà

øàðà ðàâíî d, òî ðàäèóñ ñå÷åíèÿ

dRr -=

Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð øàðà, íàçû-

âàåòñÿ åãî äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ñå÷åíèå

øàðà äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ áîëü-

øèì êðóãîì.

Ëþáàÿ äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïëîñ-

êîñòüþ ñèììåòðèè øàðà. Öåíòð øàðà  åãî öåíòð

ñèììåòðèè.

Øàðîâûì ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, îò-

ñå÷åííàÿ îò íåãî ïëîñêîñòüþ (MABCD íà ðèñ. 306).

Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà øàðà

ðàâíî d, òî ðàçíîñòü R  d = h íàçûâàåòñÿ âûñîòîé

ñåãìåíòà (MN íà ðèñ. 306).

Øàðîâûì ñëîåì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, çàêëþ-

÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñåêóùèìè

ïëîñêîñòÿìè (íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñëîé

ÀÀ

Ñ, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ÀÂCD è

). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿ-

ìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé øàðîâîãî ñëîÿ (NN

íà

ðèñ. 306).

Ðàññìîòðèì êîíóñ ñ âåðøèíîé â öåíòðå øàðà. ×àñòü

øàðà, ëåæàùàÿ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ øàðî-

âûì ñåêòîðîì; íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñåêòîð

ÎÀÌÑ, ñîñòîÿùèé èç êîíóñà OABCD è øàðîâîãî ñåã-

ìåíòà MABCD. (Øàðîâûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òàê-

æå è ÷àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíå ýòîãî êîíóñà, ò. å. äîïîë-

íÿþùàÿ óêàçàííûé âûøå ñåêòîð äî ïîëíîãî øàðà).

Îáúåì øàðà ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

RV p=

(1)

q Ïðîâåäåì

OABB ^

è ïîëîæèì

hBB =

=AB

a=Ð ABB

(ðèñ. 305). Â

BAB

èìååì: ÂÀ =

= 1 ñì,

cos

== lAB

Ïî óñëîâèþ, S

áîê

= S

íèæí.îñí

+ S

âåðõ.îñí

, èëè

),43()43(

+p=+p l îòêóäà

Çíà÷èò, S

áîê

p25

(ñì

). Òå-

ïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3):

296

)

4343

(

=×++

×p

(ñì

). n

314. Øàð, ñôåðà. Øàðîâîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè

ñôåðîé) íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäà-

ëåííûõ îò çàäàííîé òî÷êè Î (öåíòðà) íà çàäàííîå

ðàññòîÿíèå R (ðàäèóñ). Øàð  ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñ-

òî òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå ïðå-

âûøàþùåå ðàäèóñ (ðèñ. 306).

Ëþáîé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ïðîèçâîëüíóþ òî÷-

êó ñôåðû ñ öåíòðîì, íàçûâàåòñÿ åå ðàäèóñîì. Îòðå-

çîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè ñôåðû è

ïðîõîäÿùèé ÷åðåç åå öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì.

Öåíòð, ðàäèóñ è äèàìåòð ñôåðû ÿâëÿåòñÿ òàêæå öåí-

òðîì, ðàäèóñîì è äèàìåòðîì øàðà.

Ïëîñêîñòü, èìåþùàÿ ñ øàðîì îäíó îáùóþ òî÷êó,

íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ øàðà.

Ò.11.4. Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ, ïåð-

ïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.

Ò.11.5. Âñÿêîå ñå÷åíèå øàðà ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

529

528

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà íà-

õîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

ñåãì

,2 Rhp=

(6)

ãäå R  ðàäèóñ ñôåðû, h  âûñîòà ñåãìåíòà.

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ íàõîäèòñÿ

ïî ôîðìóëå

ñëîÿ

,2 RHp=

(7)

ãäå R  ðàäèóñ ñôåðû, H  âûñîòà cëîÿ, ò. å. ýòà

ïëîùàäü çàâèñèò òîëüêî îò âûñîòû ñëîÿ, à íå îò åãî

ïîëîæåíèÿ íà ñôåðå.

Ï ð è ì å ð 1. Øàð ïåðåñå÷åí ïëîñêîñòüþ, ïåð-

ïåíäèêóëÿðíîé åãî ðàäèóñó è îòñòîÿùåé îò åãî öåí-

òðà íà 9 ñì. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ðàâíà

p144

ñì

. Íàé-

òè îáúåì øàðà è ïëîùàäü ñôåðû.

q Ïóñòü ÎÂ = õ  ðàäèóñ ñôåðû (ðèñ. 307). Â

OABD

èìååì

.81

2222

-=-= xOAOBAB

Ïî óñëî-

âèþ,

,144)81(

p=-p x

îòêóäà õ = 15 (ñì). Òåïåðü,

èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è (5), íàõîäèì

p=×p= 45015

(ñì

), S = 4p · 15

= 900p (ñì

). n

Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïðèìåðà 1,

íàéòè: à) îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà

OBFC

(ñì. ðèñ.

307); á) îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà ÂFC è ïëîùàäü

ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ýòîãî ñåãìåíòà; â) ïëîùàäü

ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó

ïëîñêîñòüþ äàííîãî ñå÷åíèÿ è ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñ-

êîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà.

Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

ñåãì

),3(

hRh -p=

(2)

ãäå R  ðàäèóñ øàðà, h  âûñîòà ñåãìåíòà.

Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

ñåêò

hRp=

(3)

ãäå R  ðàäèóñ øàðà, h  âûñîòà ñîîòâåòñòâóþ-

ùåãî ñåãìåíòà (çäåñü øàðîâîé ñåêòîð ðàññìàòðèâà-

åòñÿ êàê òåëî, ñîñòîÿùåå èç êîíóñà è øàðîâîãî ñåã-

ìåíòà).

Åñëè

a  óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíó-

ñà, òî ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä

ñåêò

sin

p= R

(4)

Ïëîùàäü ñôåðû ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

RS p=

(5)

Ðèñ. 306 Ðèñ. 307

4500p

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

529

528

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà íà-

õîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

ñåãì

,2 Rhp=

(6)

ãäå R  ðàäèóñ ñôåðû, h  âûñîòà ñåãìåíòà.

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ íàõîäèòñÿ

ïî ôîðìóëå

ñëîÿ

,2 RHp=

(7)

ãäå R  ðàäèóñ ñôåðû, H  âûñîòà cëîÿ, ò. å. ýòà

ïëîùàäü çàâèñèò òîëüêî îò âûñîòû ñëîÿ, à íå îò åãî

ïîëîæåíèÿ íà ñôåðå.

Ï ð è ì å ð 1. Øàð ïåðåñå÷åí ïëîñêîñòüþ, ïåð-

ïåíäèêóëÿðíîé åãî ðàäèóñó è îòñòîÿùåé îò åãî öåí-

òðà íà 9 ñì. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ðàâíà

p144

ñì

. Íàé-

òè îáúåì øàðà è ïëîùàäü ñôåðû.

q Ïóñòü ÎÂ = õ  ðàäèóñ ñôåðû (ðèñ. 307). Â

OABD

èìååì

.81

2222

-=-= xOAOBAB

Ïî óñëî-

âèþ,

,144)81(

p=-p x

îòêóäà õ = 15 (ñì). Òåïåðü,

èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è (5), íàõîäèì

p=×p= 45015

(ñì

), S = 4p · 15

= 900p (ñì

). n

Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïðèìåðà 1,

íàéòè: à) îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà

OBFC

(ñì. ðèñ.

307); á) îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà ÂFC è ïëîùàäü

ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ýòîãî ñåãìåíòà; â) ïëîùàäü

ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó

ïëîñêîñòüþ äàííîãî ñå÷åíèÿ è ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñ-

êîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà.

Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

ñåãì

),3(

hRh -p=

(2)

ãäå R  ðàäèóñ øàðà, h  âûñîòà ñåãìåíòà.

Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

ñåêò

hRp=

(3)

ãäå R  ðàäèóñ øàðà, h  âûñîòà ñîîòâåòñòâóþ-

ùåãî ñåãìåíòà (çäåñü øàðîâîé ñåêòîð ðàññìàòðèâà-

åòñÿ êàê òåëî, ñîñòîÿùåå èç êîíóñà è øàðîâîãî ñåã-

ìåíòà).

Åñëè

a  óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíó-

ñà, òî ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä

ñåêò

sin

p= R

(4)

Ïëîùàäü ñôåðû ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

RS p=

(5)

Ðèñ. 306 Ðèñ. 307

4500p

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

531

530

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 3. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé

ïðèçìû, âûñîòà êîòîðîé âäâîå áîëüøå ñòîðîíû îñíî-

âàíèÿ, îïèñàí øàð. Íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà øàðà ê

îáúåìó ïðèçìû.

q Ïóñòü ÀÂ = à, ÎÀ = R (ðèñ. 308). Òîãäà V

øàðà

Rp=

ïð

AAS

ABC

=×=×=

OEAD

èìååì

AEaAAOE ===

(ðàäèóñ

îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëü-

íèêà); çíà÷èò,

222

aAEOER =+=+=

Îòñþäà íàõîäèì V

øàðà

aa p

=×p=

Èòàê,

øàðà

: V

ïð

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïîâåðõíîñòü øàðà, âïèñàí-

íîãî â ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ñ ðåáðîì à.

q Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç âûñîòó ïèðàìè-

äû FO è àïîôåìó FD (ðèñ. 309); ðàäèóñ êðóãà â ïîëó-

÷åííîì ñå÷åíèè ðàâåí ðàäèóñó øàðà. Òàê êàê âñå

ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû à, òî

3 a

FD ==

=BO

FK =

Èç

FODD

ñëåäóåò, ÷òî

=FO

ODFD =-=

Ïóñòü R  ðàäèóñ øàðà; òîã-

q à) Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OÂFC âû÷èñëèì ïî

ôîðìóëå (3): V

ñåêò

hRp=

ãäå R = 15 ñì, h = AF =

= OF  OA = 15  9 = 6 (ñì). Çíà÷èò,

ñåêò

p=××p= 900615

(ñì

Ïðîâåðèì, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò äàåò è ôîðìó-

ëà (4). Èìååì

,AOCÐ=a

,6,0

cos ===a

,2,0

6,01

cos1

sin

îòêóäà

ñåêò

p=××p= 9002,015

(ñì

á) Òàê êàê R = 15 ñì, h = 6 ñì, òî, èñïîëüçóÿ ôîð-

ìóëû (2) è (6), ïîëó÷èì

ñåãì

p=-=×

= 468)645(6

(ñì

ñåãì

p=××p= 1806152

(ñì

). n

â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7), ãäå R = 15 ñì, H = 9 ñì,

íàõîäèì

ñëîÿ

p=××p= 2709152

(ñì

). n

Øàð íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì îêîëî ìíîãîãðàííè-

êà, åñëè âñå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ëåæàò íà ñôåðå.

Øàð íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì â ìíîãîãðàííèê,

åñëè îí êàñàåòñÿ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà.

(45  6) = 468p

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

531

530

Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 3. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé

ïðèçìû, âûñîòà êîòîðîé âäâîå áîëüøå ñòîðîíû îñíî-

âàíèÿ, îïèñàí øàð. Íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà øàðà ê

îáúåìó ïðèçìû.

q Ïóñòü ÀÂ = à, ÎÀ = R (ðèñ. 308). Òîãäà V

øàðà

Rp=

ïð

AAS

ABC

=×=×=

OEAD

èìååì

AEaAAOE ===

(ðàäèóñ

îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëü-

íèêà); çíà÷èò,

222

aAEOER =+=+=

Îòñþäà íàõîäèì V

øàðà

aa p

=×p=

Èòàê,

øàðà

: V

ïð

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïîâåðõíîñòü øàðà, âïèñàí-

íîãî â ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ñ ðåáðîì à.

q Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç âûñîòó ïèðàìè-

äû FO è àïîôåìó FD (ðèñ. 309); ðàäèóñ êðóãà â ïîëó-

÷åííîì ñå÷åíèè ðàâåí ðàäèóñó øàðà. Òàê êàê âñå

ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû à, òî

3 a

FD ==

=BO

FK =

Èç

FODD

ñëåäóåò, ÷òî

=FO

ODFD =-=

Ïóñòü R  ðàäèóñ øàðà; òîã-

q à) Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OÂFC âû÷èñëèì ïî

ôîðìóëå (3): V

ñåêò

hRp=

ãäå R = 15 ñì, h = AF =

= OF  OA = 15  9 = 6 (ñì). Çíà÷èò,

ñåêò

p=××p= 900615

(ñì

Ïðîâåðèì, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò äàåò è ôîðìó-

ëà (4). Èìååì

,AOCÐ=a

,6,0

cos ===a

,2,0

6,01

cos1

sin

îòêóäà

ñåêò

p=××p= 9002,015

(ñì

á) Òàê êàê R = 15 ñì, h = 6 ñì, òî, èñïîëüçóÿ ôîð-

ìóëû (2) è (6), ïîëó÷èì

ñåãì

p=-=×

= 468)645(6

(ñì

ñåãì

p=××p= 1806152

(ñì

). n

â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7), ãäå R = 15 ñì, H = 9 ñì,

íàõîäèì

ñëîÿ

p=××p= 2709152

(ñì

). n

Øàð íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì îêîëî ìíîãîãðàííè-

êà, åñëè âñå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ëåæàò íà ñôåðå.

Øàð íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì â ìíîãîãðàííèê,

åñëè îí êàñàåòñÿ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà.

(45  6) = 468p