Макаров Е.Г. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

−

Рис. 15.17. Сравнение плотности вероятности разрушения образцов различных размеров

Влияние размеров детали на средневероятностный предел выносливости при

симметричном цикле оценивается коэффициентом

−

−1,

, где

1,d

−

— пределы выносливости при симметричном цикле детали размером и

стандартного образца диаметром .

Существует статистическая теория усталостного разрушения, согласно которой

усталостная прочность во многом зависит от градиента напряжений в опасных

точках детали.

Размеры детали и наличие концентрации напряжений влияют на величину градиента

напряжений, поэтому часто их влияние на предел выносливости при симметричном

цикле объединяют в единый коэффициент

. Графики и таблицы для его

определения приводятся в справочниках по деталям машин, эмпирические формулы

— в ГОСТ 25.504–82.

0,5

200мм

Рис. 15.18. Влияние размеров детали на усталостную прочность (1 —углеродистая сталь,

гладкие образцы, 2 — легированная сталь, образцы с надрезом)

Характер влияния размеров детали на усталостную прочность показан на рис. 15.18.

При малых размерах детали (

30d

мм) можно принять 1

. Однако при

увеличении размеров детали до 150 мм предел выносливости ее может уменьшиться

в 2 раза.

15.5.3. Состояние поверхности

Усталостное разрушение всегда начинается с поверхности детали. Следы

механической обработки на поверхности являются концентраторами напряжений и

снижают усталостную прочность.

Наибольшей прочностью обладают полированные детали, наименьшей — после

грубой черновой обточки.

Степень концентрации напряжений у поверхности детали определяется размером

шероховатости поверхности. Влияние состояния поверхности на предел

выносливости при симметричном цикле оценивается коэффициентом

,полир

−1

=<, где

−1

,полир

−1

— пределы выносливости стандартных

образцов с заданной поверхностной обработкой и полированных.

171

0,5

400

800

МПа

Рис. 15.19. Влияние состояния поверхности детали на усталостную прочность (1 —

полированные детали, 2 — шлифованные, 3 — грубая обточка)

Эмпирические формулы для расчета коэффициента

K приведены в ГОСТ 25.504-

82. Характер зависимости предела выносливости детали от вида механической

обработки показан на рис. 15.19.

Полировка поверхности детали обеспечивает наивысшую усталостную прочность

( ), шлифовка незначительно снижает ее ( ), грубая токарная

обработка может снизить предел выносливости почти в 2 раза.

K = 0,9

K >

15.5.4. Поверхностное упрочнение

Существенное влияние на усталостную прочность оказывают остаточные

напряжения в поверхностном слое детали. На рисунке 15.20 показано распределение

напряжений при растяжении упрочненной детали с концентратором напряжений.

Остаточные напряжения сжатия, накладываясь на рабочие напряжения растяжения в

детали, вызывают снижение пиков напряжений и, как следствие, повышают

усталостную прочность детали.

Остаточные напряжения растяжения, наоборот, увеличивают пики напряжений и

снижают усталостную прочность.

ост

аб

сумм

аб ост

Рис. 15.20. Распределение напряжений при растяжении упрочненной детали с концентратором

напряжений

Для создания в поверхностном слое остаточных напряжений сжатия, а также для

увеличения прочности поверхностного слоя используют различные способы

поверхностного упрочнения:

 механические (дробеструйный наклеп, обкатка роликами);

 термические (поверхностная закалка токами высокой частоты ТВЧ);

 химико-термические (азотирование, цементирование, цианирование)

Некоторые виды поверхностной обработки вызывают появление в поверхностных

слоях остаточных напряжений растяжения, снижающих прочность. Это —

шлифование, хромирование, никелирование, воронение. Для снятия остаточных

напряжений в этих случаях необходим отжиг детали после обработки.

При токарной обработке острым резцом возможно появление остаточных

напряжений растяжения. При грубой обточке тупым резцом с уменьшенным углом

наклона задней грани резца вследствие пластической деформации могут возникнуть

остаточные напряжения сжатия, повышающие прочность.

Влияние поверхностного упрочнения оценивается коэффициентом

упроч

неупроч

−1

=>, где

упроч

−1

неупроч

−1

— пределы выносливости при

симметричном цикле соответственно упрочненного и неупрочненного образцов.

Эффект упрочнения особенно велик для деталей с концентраторами напряжений

, тогда как для гладких деталей

K ≈− 1, 4

172

15.5.5. Влияние коррозии

Воздействие коррозионной среды существенно снижает усталостную прочность. В

условиях коррозии исчезает само понятие предела выносливости, то есть разрушение

происходит и при числах циклов циклов, значительно

превосходящих базовое циклов. В этих случаях усталостную кривую

изображают в виде двух наклонных прямых (рис. 15.21).

10 10N −∼

310N =⋅

Рис. 15.21. Влияние коррозии на усталостную кривую

15.5.6. Влияние температуры

С понижением температуры прочность материалов сильно возрастает, если материал

находится в пластичном состоянии, и очень медленно растет, если материал

находится в хрупком состоянии. Это относится ко всем характеристикам прочности:

и к пределу текучести, и к пределу прочности, и к пределу выносливости (глава 17,

рис. 17.2).

С повышением температуры предел выносливости материалов убывает, с

понижением температуры растет.

В интервале температур от -200°С до 200°С (рис. 17.2) зависимость предела

выносливости от температуры можно приближенно описать выражением [12]

σσ

−1 −1

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

где

0,7 0,003

=− ⋅ ,

−1

−

— пределы выносливости при симметричном

цикле при температурах

T и

293TK

( 20 )

15.6. Предел выносливости детали

Перечисленные факторы могут в несколько раз уменьшить предел выносливости

детали по сравнению с пределом выносливости стандартного образца. Для учета

влияния всех факторов при расчете на усталостную прочность используется

поправочный коэффициент

K по ГОСТ 25.504-82.

dF VA

KKK

⎛⎞

=+−

⎜⎟

Κ⋅

⎝⎠

Коэффициент

K предназначен для учета прочих факторов, неучтенных

остальными коэффициентами.

Предел выносливости детали при симметричном цикле нагружения

дет

−

−1

= , где

−1

— предел выносливости стандартного образца

мм.

При проведении расчетов на усталостную прочность полагают, что перечисленные

факторы не влияют на прочность при постоянной статической нагрузке. Так как

любой цикл нагружения можно представить как наложение симметричного цикла

(

) на постоянную нагрузку (

), то предел выносливости детали при

асимметричном цикле нагружения

дет дет дет

ram

σσ σ

=+=+, где

— амплитуда и среднее напряжение

цикла, соответствующие пределу выносливости стандартного образца при том же

коэффициенте асимметрии цикла

r , что и у рассматриваемой детали.

173

15.7. Расчет на усталостную прочность

Построим диаграмму предельных амплитуд детали по двум точкам (рис. 15.22),

отложив на осях

дет

−1

−

= и . На оси

отметим точку

тm

и проведем

через нее прямую под углом . Для любой точки на этой прямой

max тam

σσ σ

=+ =.

−

arct

arctg

Рис. 15.22. Области расчета на усталость и текучесть на диаграмме предельных амплитуд

детали

Если предел выносливости детали

дет дет дет

тram

σσσ

+<, расчет ведется на

усталостную прочность.

Если

дет дет дет

тram

σσσ

=+>, расчет ведется на статическую прочность по пределу

текучести.

Расчет на усталостную прочность обычно проводят в два этапа:

 Подбор размеров детали из условия статической прочности при заниженных

допускаемых напряжениях

[]

max

σ≤σ=, где = 6 – 8— коэффициент

запаса.

 Проверка на усталостную прочность по коэффициенту запаса усталостной

прочности

дет

уу

раб

max

⎡

⎤

⎡

⎤

=≥

⎣

⎦

, где

⎣

⎦

— допускаемый коэффициент запаса,

выбираемый по справочникам [8], [19].

раб

max

— максимальные рабочие

напряжения в детали.

Рассмотрим проверку по усталостной прочности.

При симметричном цикле

дет

уу

раб раб

max max

σσ

−1

⎡

⎤

== ≥

⎣

⎦

⋅

При асимметричном цикле предел выносливости детали определяем с помощью

диаграммы предельных амплитуд детали (рис. 15.23). Для заданного коэффициента

асимметрии проведем луч

r ОАВ, для которого

−

. На этом луче точка А

соответствует реальным рабочим напряжениям в детали, Точка В соответствует

разрушающим напряжениям (пределу выносливости детали).

−

Рис. 15.23. К определению коэффициента запаса усталостной прочности

Если максимальные напряжения в детали max

σσ

+ , а предел выносливости

детали , то из подобия треугольников коэффициент запаса

усталостной прочности по нормальным напряжениям

дет дет дет

σσσ

дет дет дет дет

дет

max

ama m

am a m

σσσσ

σσσ σ σ

= = ===

Откуда

дет

уaa

=⋅;

дет

уmm

=⋅

174

дет

−1

= ;

дет

SSKK

σσ

−1 −

== =

⋅

где и

дет

— тангенс угла наклона диаграммы предельных амплитуд

соответственно для детали и для стандартного образца.

Уравнение диаграммы предельных амплитуд

дет дет дет дет

ууaa m

σσ ψ σ σ

−1

=⋅ = − ⋅ = −⋅⋅

ΚΚ

Откуда коэффициент запаса усталостной прочности

дет

уу

max

−1

⎡

⎤

== ≥

⎣

⎦

Κ⋅ + ⋅

σσ

σσψσ

где

max am

σσ

=+ — рабочие напряжения в детали.

При сложном напряженном состоянии коэффициент запаса определяется по

эмпирической формуле Гафа и Полларда

уу у

11 1

nn n

=+,

где

— коэффициент запаса по нормальным напряжениям (при изгибе и при

растяжении), выше обозначенный

— коэффициент запаса по касательным

напряжениям (при кручении и при сдвиге), определяемый аналогично

дет

max

−1

σσ

σ⋅σ+ψ⋅

−1

ττ

⋅τ +ψ ⋅τ

дет

max

В электронной книге в разделе

Для главы 15 приведено несколько примеров расчета

деталей на усталостную прочность.

15.8. Понятие о малоцикловой усталости

Малоцикловой усталостью называют циклическое нагружение материала, при

котором максимальное напряжение цикла превышает предел текучести

max т

> .

Долговечность при малоцикловой усталости циклов.

10N <

При обычной многоцикловой усталости напряжения в конструкции определяют по

формулам сопротивления материалов. В качестве предельного напряжения берут

предел выносливости или предел ограниченной выносливости при расчетах на

долговечность.

При малоцикловой усталости необходим учет пластических деформаций. Расчет

напряжений и деформаций производится методами теории пластичности.

Особенность, резко усложняющая расчет, состоит в нестабильности диаграммы

деформирования. Она изменяется от цикла к циклу.

Графически зависимость напряжений от деформаций при малоцикловой усталости

представляет собой петлю гистерезиса (рис. 15. 24), изменяющуюся от цикла к циклу.

Она характеризуется шириной петли

и максимальным напряжением

max

Рис. 15.24. Петля гистерезиса при малоцикловой усталости

По результатам экспериментальных замеров петель гистерезиса строится

обобщенная кривая циклического деформирования. Она представляет собой

половинки петель гистерезиса.

При совмещении петель, записанных при различных действующих нагрузках, но

одинаковом номере полуцикла деформации кривые петель гистерезиса совпадают,

образуя единую обобщенную диаграмму циклического деформирования (ОДЦД) для

данного номера полуцикла нагружения (рис. 15.25).

175

=Const

К=

К=10

К=2

К=1

Рис. 15.25. Обобщенная диаграмма циклического деформирования

Для экспериментальных ОДЦД выбирается аппроксимация, линейная или степенная,

как описано в разделе 8.1.

С использованием ОДЦД методами теории пластичности определяются

максимальные упругопластические напряжения и деформации в конструкции

max

По результатам испытаний на малоцикловую усталость строится усталостная кривая

в координатах

− или

−

, где ,

— амплитудные значения

разрушающих деформаций или напряжений,

— число циклов до разрушения.

Далее определяются коэффициенты запаса по деформациям или напряжениям

[]

ээ

nn nn

σε

εσ

===≥ и коэффициенты запаса по долговечности

[]

=≥ , где ,,

ээ э

εσ

— эксплуатационные значения амплитуды

деформаций, напряжений и числа циклов нагружения.

Допускаемые значения коэффициентов запаса

[][]

1, 5 2nn

εσ

=−∼

[]

310

−

∼ .

При заданных значениях коэффициентов запаса по расчетно-экспериментальным

формулам строится кривая, связывающая допускаемые значения деформаций

[]

напряжений

[]

и долговечности

[

]

(рис. 15.26).

lg N

Рис. 15. 26. Связь допускаемых величин при заданном коэффициенте запаса

Расчет на малоцикловую усталость очень сложный. Он требует глубоких знаний

теории пластичности, метода конечных элементов, большого количества

экспериментальных данных и выходит далеко за рамки курса сопротивления

материалов.

Для чего нужен такой расчет? В особо ответственных конструкциях (в космической

технике, ядерной энергетике, при создании современного вооружения) ставится

задача увеличения нагрузок при снижении веса конструкции, повышения надежности

работы изделия. Для этого приходится уменьшать коэффициенты запаса, вторгаться

в область пластических деформаций.

Если нет таких суровых требований к конструкции, то можно или уменьшить

рабочие нагрузки, или увеличить толщину стенок конструкции, прибавив ее вес,

176

выйти из области малоцикловой в область многоцикловой усталости и провести

сравнительно простой расчет по формулам сопротивления

материалов.

177

Глава 16. Природа разрушения твердых

тел

16.1. Природа упругой деформации

По своей структуре твердые тела бывают кристаллические и аморфные. Все металлы

и сплавы имеют кристаллическое строение. Атомы в кристаллической решетке

находятся в строгом порядке.

Между атомами действуют силы взаимодействия. Чтобы переместить атом из одного

узла решетки в другой надо приложить значительное усилие, преодолеть

энергетический барьер.

Прочность твердого тела обеспечивается силами притяжения между частицами.

Электронная структура атомов определяет связь между ними. Межатомные связи в

твердых телах бывают двух типов: первичные и вторичные.

Энергия первичных связей (ионных, ковалентных или металлических) составляет от

2 до8 электронвольт. Вторичные связи, например, вандерваальсовы, имеют энергию

от 0,02 до 0,2 эВ. Водородная связь, относящаяся к промежуточному типу, имеет

энергию от 0,2 до 0,5 эВ.

Полному сближению атомов мешают возрастающая по мере уменьшения

межатомного расстояния сила отталкивания, возникающая вследствие деформации

электронных оболочек. а также сила отталкивания между положительно

заряженными ионами.

Удалению атомов препятствует сила притяжения отрицательно заряженной

электронной оболочки к положительно заряженному ядру атома.

Рис. 16.1 Силы взаимодействия двух атомов

Зависимости силы притяжения

, силы отталкивания

и суммарной силы

взаимодействия между атомами

+ от расстояния между атомами

показаны на рис. 16.1. Когда

, атомы находятся в равновесии. Равновесное

расстояние между атомами

10r

−

∼ см (от 1 до 4 ангстрем). Чтобы оторвать атомы

друг от друга надо приложить силу

max

F> .

16.2. Теоретическая прочность твердых тел

Определим прочность твердого тела, предполагая отсутствие пластических

деформаций. При хрупком разрушении в кристалле образуются две новые

поверхности (рис. 16.2). На этих поверхностях разрыва межатомные связи

оказываются свободными. и идут на создание поверхностного натяжения. Энергия

этих связей является поверхностной энергией.

178

)

б)

Рис. 16.2 Разделение двух слоев атомов при разрушении

Согласно предположению Гриффитса, хрупкое разрушение происходит тогда, когда

величина потенциальной энергии упругой деформации, накопленной в теле,

достигнет уровня энергии, необходимой для образования двух новых поверхностей,

то есть разделения тела на две части.

Найдем напряжение, необходимое для разделения двух прилегающих друг к другу

атомных слоев. Энергия деформации, накопленная в теле,

=⋅

П V ,

где

(

)

2=⋅

— удельная потенциальная энергия упругой деформации;

— объем, заключенный между двумя слоями атомов; — расстояние

между атомами.

VAr=⋅ r

По условию Гриффитса

теор

=⋅⋅=⋅⋅

⋅

Ar A

где

— удельная энергия образования новых поверхностей;

Teop

— разрушающее

напряжение (теоретическая прочность).

Откуда

Teop

σγ

=⋅ ⋅ .

Найденное значение теоретической прочности, как показывают более точные

расчеты, завышено примерно вдвое, так как предполагает соблюдение закона Гука до

момента разрушения, поэтому часто используют значение

0Teop

σγ

=⋅ .

Численный расчет теоретической прочности мягкой стали приведен на рис. 16.3.

Рис. 16.3 Расчет теоретической прочности стали

Реальная прочность углеродистой стали в 50 – 100 раз меньше теоретической

прочности. Считается, что

(0,1 0,2)

Teop

−

∼ . При достижении теоретической

прочности тело должно разделяться на отдельные слои атомов. Действительно, при

разрыве сверхтонких стеклянных усов, где достигается прочность, близкая к

теоретической, образец разлетается в пыль.

16.3. Реальная прочность. Роль дефектов структуры

Причина расхождения между реальной и теоретической прочностью в том, что при

расчете теоретической прочности принимаем, будто все атомы в сечении

одновременно разрывают свои связи. В действительности же атомные связи

разрываются постепенно одна за другой.

Разрушение реальных кристаллов происходит в 2 стадии:

 Возникновение трещин в дефектных местах;

 Распространение трещин по всему сечению с разделением тела на части.

В каждом теле содержатся технологические дефекты. На поверхности — следы

механической обработки, Внутри — раковины, усадочные, закалочные и другие

трещины, неметаллические включения и так далее. Но эти дефекты могут и

отсутствовать в теле, что не приводит, однако, к теоретической прочности.

Основную роль играют дефекты атомного строения, без которых реальных

материалов не существует.

179

Одними из простейших дефектов кристаллической решетки являются: вакансия,

образующаяся при уходе атома из узла кристаллической решетки, и межузельный

атом, то есть лишний атом, для которого не нашлось свободного узла. Эти и

подобные им дефекты называются точечными.

К линейным дефектам относятся дислокации. которые неизбежно образуются в

процессе кристаллизации металла. Если слои атомов в кристалле представить себе

страницами книги, то дислокация — это край незавершенного листа, вставленного

между страницами книги.

На границе ″лишнего″ слоя, называемого экстраплоскостью, атомы сдвинуты на

угол, примерно соответствующий теоретической прочности на сдвиг, то есть в этих

зонах кристалл почти разрушен.

Дислокации являются подвижными. Достаточно небольшой сдвиговой нагрузки,

чтобы разорвать всю линию сильно натянутых связей и передвинуть дислокацию.

16.4. Виды дислокаций

Существуют два вида дислокаций: краевая и винтовая, которые только вместе и

могут вызвать пластическую деформацию кристаллов. В реальных условиях

дислокации бывают, как правило, криволинейными, то есть смешанными.

Краевая дислокация — дефект, образованный лишней атомной полуплоскостью,

вставленной в кристалл. Это край лишней полуплоскости (отсюда название краевая),

который вместе с прилегающими атомами имеет вид шнура. Поперечное сечение

шнура близко к 4-м межатомным расстояниям, (

−

∼ см). Длина края атомной

полуплоскости, называемой экстраплоскостью, составляет от 10

-3

до 10

-4

см в

поликристаллах с примерно таким же размером зерна. Такая дислокация — это

линейный дефект.

Дислокация вызывает внутренние напряжения в кристаллической решетке

1 r

≈ ,

где — расстояние от оси дислокации.

1 2 3 4 5

1 2 4 5

а)

1 2 3 4 5

1 2 4 5

б)

1 2 4 5

1 2 3 4 5

1 2 4 5

в)

1 2 4 5

Рис. 16.4 Движение краевой дислокации

Рассмотрим движение дислокации. На рисунке 16.4, а цифрами 1,2,3,4,5 отмечены

атомы пяти атомных плоскостей, цифрой 3 — экстраплоскость с краевой

дислокацией.

Под действием сдвигающей нагрузки Q разрываются связи в слое атомов 4, так как

они уже испытывали высокие напряжения от искажения кристаллической решетки.

Атомы слоя 4 переходят в слой 3, образуя новую бездефектную плоскость.

Экстраплоскостью с краевой дислокацией становится оставшаяся часть слоя

атомов 4. В результате дислокация сместилась на одно межатомное расстояние

(рис. 16.4, б).

При дальнейшем приложении нагрузки Q дислокация перемещается на край

кристалла, образуя на его поверхности ступеньку, (рис. 16.4, в).

При движении дислокации ни один атом не смещается от своего исходного

положения более, чем на одно межатомное расстояние (~10

-10

м).

Линейная (краевая) дислокация движется в направлении, перпендикулярном к

экстраплоскости.

Винтовая дислокация — это закручивание одной атомной плоскости относительно

другой (рис. 16.5, а).

а)

б)

в)

180