Макаров Е.Г. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
13.1.4. Расчет на прочность
Из выражений (13.1) и (13.2) определяем напряжения
t
σ
и
m
σ
. Поскольку оболочка
находится в плоском напряженном состоянии, для условия прочности необходимо
определить эквивалентные напряжения.
По третьей гипотезе
[
]
экв3 I III
max =− ≤
σ
σσ σ
.
По четвертой гипотезе
()( )( )
[]
222
экв4 l ll ll lll lll l
1
max
2
=−+−+−≤
σ
σσ σ σ σ σ σ
.
Поскольку принято расставлять главные напряжения "по росту"
llllll
σ
σσ
>>, то
l t
σ
σ
= ,
ll m
σ
σ
= ,
lll
0
r
σ
σ
==.
Тогда по третьей гипотезе прочности
[]
экв3
max =≤
t
σ
σσ
(13.7),
По четвертой гипотезе прочности
[]
22
экв4
max =+− ≤
tmtm
σ
σσ σσ σ
(13.8).
Из условия прочности, подставив в него найденные значения напряжений, можно
определить толщину оболочки при заданном давлении, либо давление для заданной
оболочки.
13.2 Расчет распорного кольца
В местах резкого изменения формы оболочки появляется изгибающий момент. Для
его компенсации ставят распорное кольцо, принимающее на себя дополнительную
нагрузку.
Рассмотрим часть оболочки влево и вправо от места резкого изменения формы
(рис. 13.7). Считаем, что левое и правое крайние сечения настолько близки, что
радиус
r обоих сечений одинаков.
dx
Р
q
1
q
2
q
δ
1
δ
2
β
1
β
2
σ
1m
σ
2m
Рис. 13.7. Элемент оболочки с резким изменением ее формы
Составим уравнение равновесия вырезанной части оболочки.
11 2 2
2()2 ()
xm m
FrCos rCos0
σ
πδ α σ πδ α
12
=−
∑
=. Откуда
112
() ( )
mm
Cos a Cos
σ
δσδ
12
α
2
=
.
Обозначим
11m
q
σ
δ
1
=
и
22m
q
σ
δ
2
=
— погонная нагрузка на единицу длины
окружности. В результате действия и появляется радиальная нагрузка
1
q
2
q
12
() (qqSin qSin
α
α
1
=+
2)
, вызывающая изгиб оболочки.
Если
p
— внутреннее давление, нагрузка направлена к центру оболочки
(сжимает ее), если
q
p
— наружное давление, направлена от центра оболочки. q
Для разгрузки от радиальной нагрузки ставят распорное кольцо (рис.13.8). В силу
круговой симметрии нагружения, изгибающий момент в кольце отсутствует. При
внутреннем давлении кольцо сжато, при наружном давлении растянуто. Из условия
равновесия половинки кольца найдем продольное усилие в кольце
q
22
y
FNqr=− =
∑
0. Откуда
N
qr
=
.
141
Рис.13.8. Схема нагружения распорного кольца
Из условия прочности найдем площадь поперечного сечения распорного кольца
[]
max
qr
A
σ
σ
Ν
== ≤
Α
[]
qr
A
σ
≥ (13.9).
Технологически роль распорного кольца может выполнить отбортовка края
оболочки, удваивающая толщину оболочки в месте сварки двух ее частей.
13.3 Деформация трубы под давлением
Определим изменение радиуса тонкостенной оболочки под давлением. Для этого
запишем окружную (тангенциальную) деформацию оболочки, равную
относительному изменению длины окружности,
)2
2
t
rr r r
rr
ππ
ε
π
2(+Δ − Δ
==
.
С другой стороны из закона Гука
()
1
ttm
E
r
ε
σμσ μσ
=−−.
Для цилиндрической оболочки при
0, 3
μ
=
1
0,3
2
t
p
rprr
E
r
ε
δδ
Δ
⎛⎞
=− =
⎜⎟
⎝⎠
. (13.10).
Приращение радиуса
2
0,85
p
r
r
E
δ
Δ= .
13.4 Краевой эффект
Рассмотрим длинную цилиндрическую трубу, две части которой соединены жестким
фланцем. Если бы фланцев не было, то под действием давления в трубе ее диаметр
увеличился бы по всей длине одинаково. Но фланец жесткий. Его радиус не
изменяется, поэтому вблизи фланца оболочка изгибается (рис. 13.9). Это явление
носит название краевой эффект.
Для определения изгибающего момента рассмотрим деформацию узкой полоски,
вырезанной вдоль образующей оболочки вблизи жесткого фланца (рис. 13.10, а).
p
Рис. 13.9. Труба с жестким фланцем под давлением
142
q
q
Q
М
Р
а)
Р
r
б)
t
σ
αΔ
δ
S
Δ
L
Δ
Рис. 13.10. К расчету краевого эффекта в цилиндрической оболочке
Со стороны оболочки на вырезанную полоску действуют усилия
t
L
σ
δ
⋅Δ , которые
играют роль упругой реакции. Определим погонную реакцию оболочки на
единицу длины оболочки (рис. 13.10,б)
q
1LΔ=
2
t
qSin
α
σδ
Δ
⎛⎞
=
⎜⎟
2
⎝⎠
.
Здесь окружное напряжение
tt
u
E
E
r
σε
==, — радиальное смещение
полоски единичной ширины ,
u
1SΔ=
1
22
S
Sin
rr
α
ΔΔ
⎛⎞
==
⎜⎟
2
⎝⎠
.
Погонная реакция оболочки
2
2
uu
qE E
rr
r
δ
δ
1
==
2
.
Поскольку реакция оболочки линейно зависит от перемещения оболочки,
рассматриваемую полоску можно рассматривать, как балку на упругом основании и
использовать уравнение изогнутой оси такой балки (7.15)
IV
zz
kb q
uu
E
JEJ
+=,
где
2
E
k
r
δ
= ,
12
J
δ
3
= .
Решая это уравнение, определяем прогиб оболочки. Изгибающий момент
пропорционален второй производной от прогиба
M
EJu
′
′
=
.
Решение этой задачи приведено в электронной книге.
Результаты расчета приведены на рис. 13.11. Вблизи жесткого фланца наблюдается
резкий всплеск изгибающего момента и резкое уменьшение прогиба до нуля (краевой
эффект). Размер зоны краевого эффекта мал.
При
100≈
r
δ
0
4
≈
r
h ,
при
0
20≈
r
δ
0
2
≈
r
h ,
при
0
10≈
r
δ
0
3
4
≈hr.
Функции прогиба и изгибающего момента имеют волновой быстро затухающий
характер. Амплитуда каждой последующей полуволны примерно в 10 раз меньше
амплитуды волны предыдущей. На рис 13.11, слева изображены полные графики
прогиба и изгибающего момента
u
M
. Справа те же графики в увеличенном
масштабе. При увеличении масштаба в 10 раз на графике появляется очередная
полуволна.
Внизу рис. 13.11 приведен расчет максимальных напряжений в месте соединения
оболочки с фланцем. Они в 3 раза превышают напряжения вдали от края оболочки.
143
Рис. 13.11 Краевой эффект в оболочке с жестким фланцем
Следует отметить, что в этом расчете не учтено влияние меридионального
напряжения
m
σ
, которое растягивает вырезанную из оболочки полоску. При этом
поперечный размер полоски уменьшается, что эквивалентно уменьшению упругой
реакции оболочки или, что то же самое, уменьшению давления в оболочке.
Учет меридионального напряжения несколько уменьшает краевой эффект, но не
меняет характер краевого эффекта, что можно наблюдать в примере, приведенном в
электронной книге.
144
Глава 14. Динамика упругих систем
Рассмотрим особенности динамического поведения конструкций.
1. Появление сил инерции и необходимость их учета при определении деформаций
и напряжений.
В основе динамических расчетов лежит принцип Д′Аламбера. Согласно этому
принципу движущееся тело можно рассматривать как находящееся в равновесии
под действием внешних сил и сил инерции.
Динамическим считаем нагружение, при котором силы инерции сопоставимы со
статическими нагрузками, или даже значительно превосходят их.
2. Учет сил сопротивления движению. Силы сопротивления движению тела
уменьшают скорость движения, вызывают затухание колебаний. К силам
сопротивления относятся
сопротивление внешней среды (газа или жидкости) движению тела.
Сила сопротивления газа примерно пропорциональна скорости движения
тела ,
сопр
RV∼
сила сопротивления жидкости пропорциональна квадрату скорости
(гидравлический тормоз) .
2
сопр
RV∼
сила трения. Силу сухого трения в расчетах обычно берут постоянной
.
сопр
RCon∼ st
V
сила внутренного трения пропорциональна скорости деформации тела
. Причина внутреннего трения — в микропластических
деформациях, происходящих в микрочастицах металла.
сопр
R∼
3. Нагрузки, перемещения, деформации и напряжения зависят от времени.
14.1. Учет сил инерции при движении тела
При движении тела возникающие силы инерции рассматриваются как
обычные внешние силы, действующие на тело. Силы инерции всегда
противоположны ускорению тела.
2
ин
2
du
Fm
dt
=
. При движении тела с
постоянной скоростью силы инерции отсутствуют. При
равноускоренном (равнозамедленном) движении сила инерции
складывается с внешними силами (рис. 14.1).
m
mg
T=mg+F
ин
а)
m
mg
T=mg-F
ин
б)
m
mg
T=mg+F
ин
в)
v
v
v
a
a
a
ин
F
ин
F
ин
F
Рис. 14.1. Силы инерции при равноускоренном подъеме груза
Усилие в тросе при равноускоренном подъеме (рис. 14.1,а) (скорость направлена
вверх, ускорение вверх, сила инерции противоположна ускорению) или
равнозамедленном спуске(рис. 14.1,в)
⎛⎞
=+ = + = + =⋅
⎜⎟
⎝⎠
ин д
1
a
N
Q
Fm
g
ma m
gQ
k
g
,
где =+
д
1
a
k
g
— коэффициент динамичности.
При упругой деформации, когда справедлив закон Гука, коэффициент
динамичности показывает во сколько раз нагрузки, перемещения,
деформации и напряжения возрастают по сравнению со статическим
нагружением конструкции.
д
k
145
При равнозамедленном подъеме (рис. 14.1,б) или равноускоренном
спуске
⎛⎞
=− = − =⋅
⎜⎟
⎝⎠
ин д
1
a
N
Q
Fm
gQ
k
g
, где
=
−
д
1
a
k
g
.
При вращении конструкции возникает центробежная сила. При
вращении с постоянной угловой скоростью
ω
центробежная сила
, где — радиус вращения (рис. 14.2).
2
=ω
ц
FmR R
m
mg
R
F
ц
a
ц
ω
Рис. 14.2. Учет сил инерции при вращении системы
14.2. Колебания упругой системы
В этом разделе рассмотрим колебательное движение системы с одной
степенью свободы.
Под степенью свободы понимаем число независимых координат,
однозначно определяющих положение тела в пространстве.
Система с одной степенью свободы (рис. 14.3, а) — это система, вся
масса которой сосредоточена в одной точке и перемещение
происходит по одному направлению.
Если в системе три сосредоточенные массы, каждая из которых
движется по одному направлению (рис. 14.3, б), — это система с тремя
степенями свободы.
Если в системе одна масса, но надо учитывать два движения:
поступательное и вращательное, — это система с двумя степенями
свободы (рис. 14.3, в).
m
а
)
m
1
m
2
m
3
б)
в
)
m
(
)
J
m
Рис. 14.3. Системы с различным числом степеней свободы
Если масса распределена по всему объему тела, то число степеней
свободы такого тела бесконечно велико.
Далее в этой главе будем рассматривать лишь простейший случай
колебательного движения системы с одной степенью свободы.
Если система имеет несколько степеней свободы, то сложность расчета
многократно увеличивается и составлять сложные аналитические
уравнения для решения задачи нерационально. Лучше воспользоваться
методом конечных элементов, где число степеней свободы не имеет
значения (Глава 24).
Примеры динамических расчетов методом конечных элементов на базе
Mathcad приведены в электронной книге в разделе Метод конечных
элементов.
14.2.1. Уравнение движения системы с одной степенью свободы
Рассмотрим модель простейшей колебательной системы с одной
степенью свободы. Каждое реальное тело можно представить как
набор элементов, соединенных между собой последовательно или
параллельно. Критерий правильности выбора модели поведения тела
— совпадение или близость поведения реального тела и его модели.
146
В нашем случае модель (рис. 14.4) составлена из трех элементов:
инерционного элемента (масса ), упругого элемента (пружина) с
жесткостью и демпфера с коэффициентом демпфирования .
m
k d
Рассечем модель произвольным сечением и рассмотрим равновесие
отсеченной части под действием внешних и внутренних сил.
Внешними являются вынуждающая сила
()
F
t и сила инерции
2
ин
2
du
Fm
dt
=
, направленная противоположно ускорению движения
системы.
Внутренними являются упругая сила пружины
=
упр
F
ku
и сила
сопротивления, вызванная внутренним трением между частицами тела
==
сопр
2
du du
Rd hm
dt dt
. Коэффициент демпфирования в расчетах
обычно заменяют величиной , где h — коэффициент затухания
колебаний. Такая форма записи более удобна при решении
дифференциального уравнения движения тела.
d
2hm
Здесь и далее u — перемещение массы по направлению степени
свободы тела.
m
F(t)
dk
m
F(t)
d
k
F
у
пр
R
F
ин
a
Рис. 14.4. Модель простейшей колебательной системы с одной степенью свободы
Запишем уравнение равновесия отсеченной части модели
=+ + − =
∑
ин сопр упр
()
0
y
FF R F Ft .
Подставим аналитические выражения этих сил
++=
2
2
2
()
du du
mhmkuF
dt
dt
t
(14.1).
Полученное выражение (14.1) называется уравнением движения
системы с одной степенью свободы. Решение этого уравнения
рассматривается в курсе физики и в теоретической механике, поэтому
здесь приведем лишь результаты его решения .
Представим уравнение в стандартном виде, разделив все его члены на
m
2
++ω=
2
2
()
2
du du Ft
hu
dt m
dt
(14.2),
где ω=
k
m
—собственная частота колебаний тела.
Отметим частные случаи этого уравнения.
Уравнение (14.1) описывает вынужденные затухающие колебания системы.
Если =
()
0Ft , то свободные затухающие колебания.
Если =
()
0Ft и , то свободные незатухающие колебания. = 0h
Решение уравнения (14.1) складывается из общего решения
дифференциального уравнения (без правой части) и частного решения,
то есть . =+
общ част
uu u
147
14.2.2. Свободные затухающие колебания.
Частное решение равно нулю. Полное решение равно общему .
Решение ищем в виде
=
общ
uu
(
−
=λ+
12
)
λ
() ()
ht
ue CCost CSint (14.3),
или
−
=λ+ε
)
(
ht
uAeSint (14.4),
где
2
λ= ω −
2
h , где ω — собственная (круговая) частота колебаний
системы, — коэффициент затухания колебаний системы. h
Произвольные постоянные и определяем из начальных условий.
1
C
2
C
При 1) перемещение0t =
0
uu
=
, 2) скорость
0
du
V
dt
=
.
Тогда из первого условия
10
Cu
=
.
Из второго условия
()(
12 1 2
() () () ()
ht ht
du
he C Cos t C Sin t e C Sin t C Cos t
dt
)
λ
λλλλ
−−
=− + + − +
λ
.
При
0t =
012
VhCC
λ
=− + .
010
2
VhC Vhu
C
λλ
0
+
+
==
.
В уравнении (14.4)
22
12
ACC=+
1
2
arctg
C
C
ε
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
,
Или с учетом значений и
1
C
2
C
2
2
00
0
Vhu
Au
λ
+
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
0
00
u
arctg
Vhu
λ
ε
⎛⎞
=
⎜
+
⎝⎠
⎟
(14.5).
На рис. 14.5 показаны графики затухающих
0h
≠
и незатухающих
колебаний, построенных по уравнению (14.4).
0h =
u
t
h=0
h>0
12
2T =πω
2T =πλ
Рис. 14.5. Диаграммы затухающих (кривая 2) и незатухающих (кривая 1) колебаний
Период затухающих колебаний больше, чем период незатухающих
колебаний. Из выражения
2
h
λω
2
=
− следует, что
λ
ω
≤
.
Для оценки затухания колебаний введем
h
ω
— относительный
коэффициент затухания.
По экспериментальным данным:
Для стальных балок, где колебания затухают довольно медленно 0, 02≈
h
ω
,
Для автомобильного амортизатора, отличающегося быстрым затуханием
колебаний
0, 2≈
h
ω
.
148
В большинстве случаев 0, 01 0, 3
h
ω
<< .
Сравним значения
λ
и
ω
при 0,3
h
ω
=
2
2
0,95
h
h
λ
ωω ω
ω
2
⎛⎞
= − = 1− = 1− 0,09 =
⎜⎟
⎝⎠
ω
, то есть
λ
ω
≈
.
Для стальных конструкций
0, 02≈
h
ω
практически нет разницы между
λ
и
ω
.
Особым случаем являются гидравлические устройства. Для
гидробуфера
1
h
ω
> .
14.2.3. Опытное определение коэффициента затухания
колебаний
Затухание колебаний оценивается логарифмическим декрементом
1
ln
i
i
u
u
δ
+
= (14.6),
где и — амплитуда двух соседних пиков свободных
затухающих колебаний (рис. 14.6).
i
u
1i
u
+
Запишем отношение амплитуд колебаний с использованием
выражения (14.4)
()
()
1
(
ht
hT
i
ht T
i
uAeSint
ee
uAeSin
δ
λε
λτ ε
−
−+
+
+)
== =
(+Τ)+
,
где
T — период колебаний. Тогда
2
hT h
π
δ
λ
== . Откуда h
δ
λ
π
=
2
.
С учетом
λ
ω
≈
h
δ
ω
π
=
2
(14.7).
Рис. 14.6. Экспериментальная диаграмма затухающих колебаний
Для определения коэффициента затухания надо иметь график
затухающих колебаний. Например, стукнуть кулаком по балке и
записать изменение амплитуды колебаний на диаграмму или
осциллограмму (рис. 14.6). Определить логарифмический декремент
по формуле (14.6) и коэффициент затухания
δ
h
ω
по формуле (14.7).
14.3. Определение собственной частоты
системы с одной степенью свободы
Рассмотрим два варианта определения собственной частоты: без учета
собственной массы системы и с учетом этой массы.
149
14.3.1. Без учета собственной массы системы
Для системы с одной степенью свободы собственная частота
ω
определятся по уравнению (14.2) как
k
m
ω
= (14.8),
где — жесткость системы,
m — сосредоточенная масса,
собственной массой системы пренебрегаем (рис. 14.7).
k
m
F=mg
Δ
ста
т
Рис. 14.7. К расчету собственной частоты без учета массы системы
По закону Гука или Δ=δ⋅F
=
⋅Δ
F
k . Жесткость системы k величина,
обратная податливости
δ
, а податливость — это статическое
перемещение от единичной силы
1F
=
, определяемое чаще всего с
помощью интеграла Мора
2
11
L
M
dS
EJ
δ
=
∑
∫
.
Для определения жесткости системы нагрузим ее сосредоточенной
силой (любой), приложенной в точке, где находится сосредоточенная
масса, в направлении перемещения точки в процессе колебаний.
По закону Гука , тогда =Δ
стат
Fk ==
Δ
δ
стат 11
1F
k
, где
Δ
стат
или
δ
11
определяются с помощью интеграла Мора.
Если при определении жесткости в качестве силы взять вес груза,
формулу (14.8) можно упростить. Пусть
=
=Δ
стат
Fmgk , тогда =
Δ
стат
m
g
k ,
где — перемещение от веса груза. Подставив в формулу (14.8),
получаем собственную (круговую) частоту системы
Δ
стат
k
ω=
Δ
стат
g
(14.9),
где — вертикальное перемещение от веса сосредоточенной
массы.
Δ
стат
Зная круговую частоту
ω
, можно определить частоту колебаний
f
(герц) и период колебаний T
f
ω
π
=
2
и
1
T
f
π
ω
2
== (14.10).
14.3.2. С учетом собственной массы системы
Рассмотрим консольную балку массой с сосредоточенной массой
на конце балки (рис. 14.8). Если массу балки считать
распределенной, система имеет бесконечное число степеней свободы.
0
m
m
0
m
Чтобы рассматривать ее как систему с одной степенью свободы, надо
распределенную массу заменить сосредоточенной, приложенной в той
же точке, что и масса
m . Собственную частоту определим для системы
с сосредоточенной массой , где — коэффициент
приведения массы.
+
пр 0
mkm
пр
k
m
dx
0
m
dm dx
l
=
l
0
m
0пр
mkm+
Рис. 14.8. К расчету собственной частоты с учетом массы системы
150