Макаров Е.Г. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

Условием приведения массы является равенство кинетических энергий

систем с распределенной и с сосредоточенной приведенной

массой (в нашем случае балки с распределенной массой и

балки с сосредоточенной массой ).

распред

сосред

пр 0

⋅

∫∫

распред

mdx V

dm V

сосред пр 00

TkmV

Приравнивая кинетические энергии , находим

коэффициент приведения массы

распред сосред

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∫

пр

Распределение скоростей по длине балки неизвестно. Примем

гипотезу:

распределение скоростей пропорционально распределению

перемещений по длине балки.

Эта гипотеза справедлива для достаточно жестких тел при

сравнительно малых собственных частотах (порядка первой

собственной частоты). Тогда

0 0

≈

и коэффициент приведения массы примет вид

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∫

пр

dm (14.11).

В этих выражениях — масса балки,

и V — перемещение и

скорость произвольной точки балки,

и — скорость и

перемещения точки приведения массы балки,

()dm A x dx

Если сечение по длине балки постоянное

Const , то =

dm dx

коэффициент приведения массы примет вид

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∫

пр

dx (14.12).

После приведения всех масс в одну точку получили систему с одной

степенью свободы. Ее собственная частота

ω=

пр 0

mkm

(14.13).

Если определить перемещение

стат

от веса груза, выражение для

собственной частоты колебаний системы с учетом

стат

k примет вид

ω= ⋅

Δ+

стат пр 0

mkm

. (14.14).

14.3.3. Крутильные колебания

При крутильных колебаниях роль массы m исполняет момент инерции

массы . Уравнение колебательного движения имеет вид

JhJkM

dt dt

ϕϕ

++=)t.

Здесь k — жесткость стержня при кручении. Жесткости при кручении

и при изгибе — разные.

Решение этого уравнения аналогично решению уравнения (14.1).

Соответственно подобным получается и выражение для круговой

частоты

ω=

прmm

151

14.3.4. Замечания к расчету собственных частот колебаний

В этом разделе рассматривается только определение собственной

частоты системы с одной степенью свободы, как правило, для прямых

стержней. Для рам и кривых брусьев движение точек в процессе

колебаний происходит по сложным криволинейным траекториям и

следует учитывать несколько степеней свободы. В этом случае расчет

многократно усложняется.

Расчет колебаний систем с большим числом степеней свободы лучше

всего производить с использованием метода конечных элементов, как

описано в главе 24. Примеры динамических расчетов методом

конечных элементов приводятся в электронной книге в разделе

Метод

конечных элементов. Для различных случаев колебания двух-трех

массовых систем готовые формулы для определения собственных

частот можно найти в справочниках.

Следует иметь в виду, что от того, что мы решили рассмотреть балку,

как систему с одной степенью свободы, она не перестала быть

системой с бесконечным числом степеней и с бесконечным

количеством собственных частот.

На рис. 14.9 приведены формы колебания на первых трех собственных

частотах консольной балки. Собственные частоты

и максимальные

амплитуды колебаний приведены для линейки из оргстекла длиной

0,5 м. Заметим, что никакой кратности собственных частот не

наблюдается. Амплитуда колебаний максимальна для первой (низшей)

собственной частоты. Для второй уже в три раза меньше, для третьей в

10 раз меньше, чем для первой. Для четвертой собственной частоты

амплитуда исчезающе мала. Если дотронутся рукой можно ощутить

дрожание линейки, но померить амплитуду колебаний уже нельзя.

Рис. 14.9. Формы колебания консольной балки

Наибольшие деформации и напряжения в любой системе возникают

при резонансе на первой собственной частоте, поэтому для расчета на

прочность важно знать именно первую (низшую) собственную частоту.

Формулы (14.8) и (14.13) можно использовать и при расчете рам для

определения первой собственной частоты. При этом ошибка может

быть довольно большой.

Не следует забывать, что расчеты на прочность вообще не отличаются

высокой точностью. Какими бы точными не были расчетные формулы,

ошибка в определении механических свойств материала и в выборе

коэффициента запаса, необходимость учета вероятности разрушения

не позволяют достигнуть высокой точности расчета.

Ориентировочно можно определить и первую собственную частоту

сложной конструкции. Допустим: перед вами "черный ящик" —

сложная конструкция с исполнительным органом-рычагом. Для оценки

его собственной частоты определим жесткость конструкции. Подвесим

на рычаг любой груз весом и измерим перемещение

стат

под

действием этого груза. Тогда жесткость

стат

k . По формуле (14.8)

определяем ориентировочную низшую собственную частоту

конструкции.

Частота колебаний исполнительного органа при эксплуатации не

должна приближаться к собственной частоте колебаний конструкции.

Если простейший расчет по формуле (14.8) показывает близость таких

частот, надо изменить жесткость системы или ее массу.

Порой достаточно положить на раму мешок с песком, чтобы резко

уменьшить собственную частоту конструкции, или приварить какую-

152

нибудь перекладину, чтобы увеличить жесткость и собственную

частоту.

14.4.Ударная нагрузка

Действие на систему с одной степенью свободы ударной нагрузки

рассмотрим как частный случай колебаний.

Далее излагается приближенная теория удара, основанная на ряде

упрощающих расчет допущений.

 Ударяющее тело абсолютно жесткое.

 Удар происходит без отскока, то есть практически ударяющее тело

прилипает к ударяемому.

 Справедлив закон Гука. Пластических деформаций нет

 Не учитывается волновой характер удара.

Есть некоторые особенности в рассмотрении вертикального,

горизонтального и крутящего удара.

14.4.1.Вертикальный удар

Пусть на горизонтальную балку падает с высоты груз массой

(рис. 14.10).Максимальное перемещение точки соударения при

ударе обозначим .

дин

После удара начинается совместное колебательное движение системы

груз-балка. Перемещение точки соударения во времени показано

справа на рис. 14.9.

ас

я т

чк

стат

дин

Рис.14.10. Перемещения при вертикальном ударе

Колебания — затухающие. После остановки колебаний точка

соударения займет положение

стат

, соответствующее статической

нагрузке

. Это положение примем за нуль отсчета перемещений

. Тогда при .

u 0t = =Δ

0 стат

При затухающих колебаниях максимальная амплитуда колебаний

достигается в первом полупериоде. Соответственно в этот момент

динамические напряжения в балке будут наибольшие. Дальнейшие

колебания можно не учитывать. Такой процесс называют

квазистатическим.

Затуханием колебаний в этом процессе можно пренебречь.

Коэффициент затухания колебаний в дальнейших расчетах полагаем

равным нулю .

0h =

Динамическое перемещение точки соударения представим как сумму

статического перемещения

стат

и амплитуды колебаний A

Δ=Δ+

дин стат

По формуле (14.5)

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Vhu

С учетом

0 стат

u и λ≈ ω

Δ=Δ+Δ +

дин стат стат

(14.14).

153

В этом выражении — скорость движения системы груз-балка в

начальный момент колебаний. Для ее нахождения воспользуемся

теоремой о количестве движения.

пр 00

()

mV m k m V

Здесь — количество движения падающего груза перед ударом,

пр 00

()

mkmV

— количество движения системы груз-балка в момент

начала колебаний. Тогда

пр 0

mkm

(14.15).

Подставим выражения (14.15) и

(14.13) в выражение

дин

(14.14)

()

Δ+

Δ=Δ+Δ +

стат пр 0

)

дин стат стат

пр 0

(mV m k m

mkm gm

После упрощения получаем

⎛⎞

⎜⎟

Δ=Δ=Δ ++ ⋅

⎜⎟

Δ+

⎝⎠

дин д стат стат

стат пр 0

gmkm

В этом выражении

=+ + ⋅

Δ+

стат пр 0

mkm

— коэффициент динамичности,

показывающий во сколько раз динамические перемещения больше

статических.

Выразим скорость движения груза

V через высоту его падения H

= 2V

H . Тогда формула для коэффициента динамичности примет

вид

=+ + ⋅

Δ+

стат пр 0

mkm

(14.16).

Поскольку деформации при ударе считаем упругими, то напряжения

пропорциональны перемещениям и возрастают при ударе во столько

же раз, что и перемещения

Δ=Δ

σ=σ

дин д стат

(14.17).

14.4.2. Горизонтальный удар

Рассмотрим вертикальную балку, в которую ударяется груз массой ,

движущийся горизонтально (рис. 14.11).

После совместного колебания система груз-балка останавливается в

положении

стат

0 . Поэтому динамическое перемещение точки

соударения равно максимальной амплитуде колебаний

дин

A . Тогда

выражение (14.14) примет вид

Δ=

дин

Подставим выражения (14.15) и

(14.13) в выражение

дин

получаем

Δ=Δ ⋅

Δ+

дин стат

стат пр 0

mkm

154

дин

Δ=



Рис. 14.11. Перемещения при горизонтальном ударе

Окончательно для расчета при горизонтальном ударе получаем

Δ=Δ

σ=σ

дин д стат

и =⋅

Δ+

стат пр 0

mkm

(14.18)).

14.4.3. Крутящий удар

При крутящем ударе нет понятия коэффициент динамичности, так как

энергию вращающегося тела нельзя связать с какой-либо статической

нагрузкой. В такой задаче надо использовать закон сохранения энергии

. Кинетическая энергия ударяющего тела

T равна потенциальной

энергии упругой деформации

П системы тел (ударяющего и

ударяемого).

= ПT

Общей формулы для решения задач на крутящий удар нет.

Рассмотрим резкое торможение вращающегося вала с маховиком (рис.

14.12).

Рис. 14.12 Схема вращающегося вала с маховиком

Кинетическая энергия вращающегося вала

()

+ω

пр

JkJ

где и — моменты инерции массы маховика и вала,

—

угловая скорость вращения вала.

Потенциальная энергия вала в момент остановки

к.дд к.д

П=

где и ϕ — динамические крутящий момент и угол закручивания

стержня,

к.д

— жесткость вала при кручении.

155

Тогда из условия находим = ПT =

к.д

kT .

Максимальное динамическое напряжение при ударе τ=

к.д

max.д

14.4.4. Замечания к расчетам на ударную нагрузку

В силу принятых допущений расчет получается неточным. В месте

удара, как правило, остается вмятина, свидетельствующая о наличии

пластических деформаций, увеличивающих величину

дин

. Упругий

удар всегда происходит с отскоком падающего груза. Распространение

ударных волн и их интерференция может резко изменить картину

удара.

Реально коэффициент динамичности меньше, найденного по формулам

(14.16) и (14.18).

В силу приближенности расчета в формуле (14.16) можно пренебречь

единицами под корнем квадратным и перед корнем при

стат

100

=⋅

Δ+

стат пр 0

2Hm

mkm

Зачастую можно в первом приближении пренебречь собственной

массой системы по сравнению с массой падающего груза. Тогда

При вертикальном ударе =

стат

(14.19),

При горизонтальном ударе

стат

(14.20).

Расчет по формулам (14.19) и (14.20) приводит к завышенным

значениям динамических напряжений и перемещений.

14.5. Вынужденные колебания системы с одной

степенью свободы

Рассмотрим общий случай решения дифференциального уравнения

движения (14.1) под действием вынуждающей силы (),

изменяющейся во времени

++=

()

du du

mhmkuF

+ε)

Решение этого уравнения состоит из общего и частного

общ част

uu u .

Общее решение было получено в разделе (14.2)

−

=λ(

uAeSint .

Частное решение зависит от вида правой части уравнения, то есть от

характера вынуждающей силы (). Рассмотрим некоторые виды

вынуждающей силы.

14.5.1. Импульс силы

Стукнем молотком по концу консольной балки (рис. 14.13, а).

б)

в)

Рис. 14.13. Импульс силы, приложенный к балке

156

Продолжительность действия силы t

мала. Величина импульса силы

равна площади диаграммы

−

Δ (рис. 14.13, б)

SFd

∫

По окончании действия силы происходят свободные колебания балки.

Определим начальные условия свободных колебаний: перемещение

и скорость в конце времени действия импульса силы .

Δ t

tΔ

Представим силу как произведение массы на ускорение

du dV

Fm m

dt dt

==. Тогда импульс силы

()

SmdtmVV

==−

∫

До приложения импульса силы скорость равна нулю

. Тогда

= .

С учетом инерционности системы при малом времени действия силы

можно принять

0, 2

tΔ< T 0

≈

По окончании действия импульса силы свободные колебания

начинаются при начальных условиях

0 t

= .

Перемещения описываются общим решением уравнения (14.1)

(

uAeSint

−

=+), где

≅

00 0

Vhu V

ωω

⎛⎞

=+ ==

⎜⎟

⎝⎠

arctg

Vhu

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

. Тогда

()

ueSin

−

= .

Рассмотрим сдвиг по времени. Пусть импульс силы прикладывается к

системе при

= (рис. 14.13, в). Тогда

(

(ht

ueSint

)

−−)

=(−) (14.21).

14.5.2. Произвольная нагрузка

Представим произвольную нагрузку (рис. 14.14) как сумму импульсов,

а перемещение от произвольной нагрузки как сумму перемещений от

всех импульсов.

Рис. 14.14. Представление произвольной нагрузки как суммы импульсов

Вклад в перемещение отдельно взятого импульса, приложенного в

момент времени

и продолжительностью d

()

(ht

du e Sin t

−−)

=(−dS F d

), где

. Тогда полное перемещение

157

()

(

−−)

∫

uFeSint

−)⋅d

(14.22).

Последнее выражение называется

интеграл Дюамеля.

Вернемся к полному решению уравнения движения (14.1).

общ част

uu u .

Общее решение (

uAeSint

−

=+)

со временем быстро затухает и,

если вынуждающая сила действует длительное время, полное решение

равняется частному . Частное решение — это есть интеграл

Дюамеля.

≈

част

Интеграл Дюамеля описывает отклик системы с одной степенью

свободы на любую вынуждающую силу. Примеры использования

интеграла Дюамеля приведены в электронной книге в разделе

Динамика упругих систем (Для главы 14).

14.5.3. Гармоническое действие силы

На практике часто встречается гармоническое действие вынуждающей

силы, когда величина силы изменяется по синусоиде.

=ν+

() ( )

Ft FSin t . Для упрощения вывода формул в этом случае часто

предыдущее выражение записывают через комплексные числа

()

Ft Fe

Уравнение колебательного движения системы с одной степенью

свободы имеет вид (14.2)

()

du du Ft F

dt m m

++ω== (14.23).

Решение этого уравнения состоит из общего и частного

общ част

uu u .

Общее решение было получено в разделе (14.2)

−

=λ(

uAeSint+ε)

При продолжительном действии периодически повторяющейся

нагрузки общее решение быстро затухает, стремится к нулю и им

можно пренебречь. Тогда полное решение равно частному. Частное

решение зависит от вида правой части уравнения. Пусть

частѝ

uAe (14.24),

где

А — амплитуда колебаний.

Подставив частное решение (14.24) в уравнение колебательного

движения (14.23) после упрощений, получаем выражение для

коэффициента динамичности

===

ΔΔ

⎡⎤

νν

⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞

−+

⎢⎥

⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟

ωωω

⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠

⎢⎥

⎣⎦

дин

стат стат

(14.25).

158

Рис. 14. 15 Амплитудно-частотная характеристика

Коэффициент динамичности показывает во сколько раз возрастает

динамическое перемещение по сравнению со статическим.

В момент резонанса , тогда

ν=ω =

(14.26).

Взяв из справочника приближенное значение отношения

h , можно

определить динамические перемещения и напряжения в конструкции.

Выражение (14.25) не зависит от вида колеблющейся системы. График,

построенный по этому выражению, называется амплитудно-частотной

характеристикой (рис. 14.15).

14.5.4. Критическая скорость вращения вала

Быстровращающиеся детали машин не могут быть идеально

сбалансированы и, практически всегда, при их вращении возникает

вынуждающая центробежная сила, вызывающая поперечные

колебания конструкции.

Если на валу установлен маховик с небольшим эксцентриситетом

e , то

при вращении вала с угловой скоростью

возникает центробежная

сила

Fme

= . Тогда по любому направлению на вал действует

переменная возмущающая сила

() ( )

Ft m eSin t

=⋅ .

В случае, когда частота возмущающей силы совпадет с частотой

собственных поперечных колебаний вала, наступает состояние

резонанса. Амплитуда колебаний вала резко возрастает.

Такая частота называется

критической скоростью вращения вала.

Для уменьшения опасности резонанса критическую скорость вращения

вала стараются сместить в сторону меньших частот, подальше от

диапазона рабочих частот вала. Тогда будет меньше центробежная

сила и, соответственно, амплитуда колебаний и напряжения.

Поскольку

= , для уменьшения критической скорости

конструктивно уменьшают жесткость опор вала и тем самым

уменьшают жесткость

k , в формуле собственной частоты. Примером

может служить подвеска электромотора и центрифуги стиральной

машины на резиновых тягах. При неуравновешенной загрузке белья в

центрифугу резонанс происходит при малой скорости вращения,

практически перед самой остановкой центрифуги.

159

Глава 15. Усталость материалов

Под действием повторяющихся нагрузок в материале конструкции накапливаются

повреждения, ведущие к преждевременному разрушению конструкции. Рассмотрим

расчет конструкций на прочность и долговечность при действии переменных

нагрузок. Введем некоторые основные понятия.

 Усталость — снижение прочности конструкции под действием переменных

нагрузок.

 Выносливость — способность материала и конструкции выдерживать, не

разрушаясь, определенное число циклов переменных нагрузок

 Долговечность — число циклов нагружения до разрушения конструкции ( иногда

срок службы конструкции в часах).

Усталость и выносливость — две стороны одного и того же явления. Расчет

конструкции на усталость и на выносливость — это одно и тоже.

15.1. Механизм усталостного разрешения

В каждой детали есть макро и микродефекты, вблизи которых возникает

концентрация напряжений. Макродефекты — это отверстия, резкие изменения

формы и площади поперечного сечения, в валах – шпоночные канавки, отверстия для

смазки и т.п. Микродефекты: вакансии, дислокации, неметаллические включения,

усадочные раковины, закалочные трещины;

При действии переменных нагрузок дефекты структуры материала претерпевают

изменения. В частности, увеличивается плотность дислокаций, особенно у границ

зерен и включений, растут напряжения у скоплений дислокаций и возникают

микротрещины, постепенно сливаясь и образуя макроскопические трещины.

Развитие последних приводит к разрушению деталей. Эти процессы усиливаются и

протекают интенсивнее в области концентрации напряжений.

Тстат

max

цик

max

упр

max

цикл

Рис. 15.1 Распределение напряжений вблизи опасного дефекта

Рассмотрим распределение напряжений вблизи опасного дефекта (рис. 15.1). Под

действием нагрузок вблизи дефекта происходит всплеск напряжений. У вершины

микротрещины напряжения могут возрасти в 200 раз по сравнению с

номинальными

упр ном

max ≈200

При статическом однократном напряжении, достигнув предела текучести,

напряжения дальше не растут

пласт т

max

При переменной нагрузке, максимальные напряжения постепенно возрастают,

становясь больше предела текучести, но меньше

упр

max

Рост усталостной трещины начинается в самом опасном дефекте, там, где действуют

максимальные напряжения. Чем опаснее самый опасный дефект в детали, тем

меньше ее долговечность.

Отметим особенности усталостного разрушения:

 усталостное разрушение носит статистический характер и сопровождается

огромным разбросом по долговечности (до 10 раз) для одинаковых образцов

или деталей;

 усталостное разрушение всегда начинается с поверхности, что трудно

объяснить, но — факт;

 накопление микроповреждений (микросдвиги) вызываются касательными

напряжениями

, развитие трещин и разрушение в основном определяется

нормальными напряжениями

Процесс усталостного разрушения можно условно разбить на 3 стадии:

1. накопление микроповреждений до образования видимых трещин;

2. развитие усталостной трещины;

3. мгновенный хрупкий долом.

160