Макаров Е.Г. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 19. Элементы рационального и
оптимального проектирования конструкций
Задачей конструктора является проектирование и соответственно расчет
рациональной и, по возможности, оптимальной конструкции.
Рациональная конструкция должна удовлетворять техническим и эксплуатационным
требованиям. При проектировании надо стремиться обеспечить наименьший вес и
размеры конструкции путем выбора рациональных форм поперечных сечений и
геометрии ее элементов. Выбор рациональной конструкции обеспечивается, как
правило, опытом и знаниями инженера.
Оптимальная конструкция должна быть наилучшей из всех рациональных. Она
должна удовлетворять математически обоснованным критериям оптимальности.
Выбор оптимальной конструкции достигается путем математических расчетов, часто
путем перебора большого количества вариантов до достижения экстремального
значения выбранного критерия эффективности работы конструкции.
Выбор рациональной конструкции — это движение в сторону наибольшей
эффективности конструкции.
Выбор оптимальной конструкции — это достижение математически обоснованной
максимальной эффективности конструкции.
19.1. Выбор рациональной конструкции
Вопросы рационального проектирования нет смысла выделять в отдельную главу.
Это культура проектирования, которая накапливается по мере накопления знаний о
конструировании и расчете конструкций, в том числе по мере изучения этой книги.
В последней главе книги, как бы подводя итоги, отметим некоторые общие
положения рационального проектирования конструкций.
Вблизи мест приложения сосредоточенных нагрузок напряжения значительно
больше, чем вдали от них (о чем говорилось в разделе 1.14.4 — принцип Сен-
Венана). Создавая конструкцию надо предусмотреть усиление конструкции в
местах воздействия сосредоточенных нагрузок, увеличить поверхность, на
которой прикладывается нагрузка.
Использование в конструкции ступенчатых стержней вызывает концентрацию
напряжений в местах резкого изменения формы. Концентрация напряжений —
главный фактор снижения прочности. Необходимо предусматривать плавный
переход от одной формы к другой. В местах концентрации напряжений
желательно поверхностное упрочнение с созданием остаточных напряжений
сжатия в поверхностном слое, что позволяет практически полностью устранить
снижение прочности, вызванное концентрацией напряжений.
Для уменьшения веса конструкции и увеличения ее жесткости при изгибе
целесообразно использовать сечения коробчатой формы вместо сплошных,
применять ребра жесткости и подпорки.
В конструкциях больших размеров желательно избегать появления деформаций
изгиба. Желательно по возможности заменять балки фермой, стержни которой
работают на растяжение или сжатие. Правда, в этих случаях необходима
проверка сжатых стержней на устойчивость.
Внешние нагрузки, если есть возможность, лучше прикладывать ближе к
опорным точкам конструкции, что ведет к уменьшению изгибающих моментов и
соответственно к уменьшению веса конструкции при той же прочности.
Статически неопределимые системы всегда жестче, чем статически определимые
того же веса.
С точки зрения только прочности система из одного стержня всегда будет весить
меньше, чем система из многих стержней.
Увеличение жесткости статически неопределимых систем влечет за собой
увеличение собственной частоты, коэффициента динамичности, рост
динамических напряжений при ударных нагрузках.
Расчет статически неопределимой системы значительно сложнее, чем статически
определимой, но приведенные в электронной книге программы позволяют
решить задачи практически любой сложности.
В статически неопределимых системах возникают температурные и монтажные
напряжения, что надо учитывать при проектировании и, по возможности,
предусматривать возможность регулировки зазоров и мест сборки элементов
конструкции.
Нерационально использование высокопрочных сталей для стержней,
работающих на сжатие, так как устойчивость зависит от модуля Юнга, который
201
примерно одинаков для всех сталей.
С точки зрения механики разрушения применение малоуглеродистых
пластичных сталей снижает опасность хрупкого разрушения, так как для них
критическая длина трещины настолько велика, что трещина легко может быть
обнаружена визуальным осмотром.
Для деталей сравнительно малых размеров нет необходимости иметь большую
критическую длину трещины. Для них целесообразно применение
высокопрочных сталей.
Собственная частота конструкций, нагруженных периодически действующей
силой, не должна быть близкой к резонансной. Отодвинуться от резонансной
частоты (в ту или иную сторону) можно, изменив массу или жесткость
конструкции. Увеличение массы или уменьшение жесткости ведет к
уменьшению низшей собственной частоты конструкции.
Нельзя забывать и об условиях хрупкого и вязкого разрушения. Ведь переход от
пластичного разрушения к хрупкому может вызвать внезапное разрушение при
нагрузках, вроде бы гарантирующих надежную работу конструкции.
Используемый материал должен при заданных условиях эксплуатации сохранять
вязкий характер разрушения.
Использование Mathcad при расчете любой конструкции позволяет путем замены
численных значений параметров и построения графиков пронаблюдать тенденции
изменения эффективности работы конструкции и выбрать наиболее рациональную
конструкцию.
Все, без исключения, задачи в электронной книге дают возможность
проанализировать результаты расчета.
Далее поговорим о выборе оптимальных конструкций. Вычислительные
возможности Mathcad позволяют решить и задачи оптимизации.
19.2. Выбор критериев оптимизации
В большинстве случаев главным показателем совершенства конструкции является ее
масса. При проектировании необходимо выбрать такие геометрические
характеристики конструкции, которые обеспечивают ее минимальную массу.
В ряде случаев основным критерием эффективности служит производительность
работы механизма или его цена.
С математической точки зрения цель оптимизации состоит в отыскании
максимального или минимального значения функции нескольких переменных,
удовлетворяющей нескольким дополнительным требованиям. Эта функция
называется целевой, а дополнительным требованиям соответствуют конструктивные
или технологические ограничения задачи.
Целевая функция
Z
и функции ограничений
12
, ,...
n
f
ff должны быть выражены
через структурные переменные
12
, ,...
n
X
XX
12
1112
2212
12
( , ,... )
( , ,... )
( , ,... )
..................................
( , ,... )
n
n
n
nn n
ZZXX X
f
fXX X
f
fXX X
f
fXX X
=
=
=
=
(19.1).
В стержневых системах, работающих на растяжение-сжатие, структурные
переменные — это площади поперечных сечений
11
X
A
=
,
22
X
A
=
, ...
nn
X
A=
или их размеры, а целевая функция — масса стержневой системы
1
n
ii
i
i
Z
LA
ρ
=
=
∑
,
где
i
ρ
— плотность материала, — длина стержня. Через площади сечений или их
размеры должны быть выражены и функции ограничений.
i
L
Единственными независимыми изменяемыми структурными переменными при
решении задачи оптимизации будут площади сечений или размеры сечений.
Для стержней, работающих на изгиб, структурными переменными будут размеры
сечений, через которые выражаются моменты инерции, моменты сопротивления,
напряжения и перемещения, а также целевая функция и ограничения к ней.
В качестве ограничений часто используются:
допускаемые значения напряжений,
перемещения в определенных точках конструкции,
критические усилия или напряжения потери устойчивости,
толщина стенки или размеры сечений.
202
Список литературы
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. —
М.: Высшая школа, 2000. — 559с.
2. Алмаметов Ф.З., Арсеньев С.И., Курицын Н.А., Мишин А.М. Расчетные и
курсовые работы по сопротивлению материалов. —М.: Высшая школа, 2003. —
367с.
3. Басов К.А. ANSYS Справочник пользователя, — М.: ДМК, 2005, — 563с.
4. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1986. —
560с.
5. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. — М.:
Машиностроение, 1979. — 567с.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике (перевод с англ.), — М.: МИР,
1975, — 567с.
7. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера, — М.:
УРСС, 2003, — 269с.
8. Когаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и
конструкций на прочность и долговечность. — М.: Машиностроение, 1985. —
223с.
9. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. — СПБ; Питер. 2003. — 455с.
10. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad 14. — СПБ; Питер. 2007. — 592с.
11. Макаров Е.Г. Оценка чувствительности материалов к концентрации напряжений
при переменных нагрузках. //Проблемы прочности. — 1973. №8. — С. 102 – 106.
12. Макаров Е.Г. Оценка влияния температуры на усталостную прочность сталей.
//Проблемы прочности. — 1973. №11 — С. 102 –106.
13. Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. — CПБ.; БХВ,2004. —
512с.
14. Макаров Е.Г. Элементы механики разрушения. — Ленинград.: ЛМИ, 1989. —
66с.
15. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М.:
Машиностроение,1979. — 400с.
16. Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х томах.
— Киев.: Наукова думка, 1988. — 2000с.
17. Миролюбов И.Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов.
— М.: Высшая школа, 1985. — 400с.
18. Петерсен Р. "Коэффициенты концентрации напряжений". — М.: МИР, 1977, —
302с.
19. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению
материалов. — Киев.: Наука. 1975. — 400с.
20. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов, — М.: МИР, 1979, —
567с.
21. Сопротивление материалов. Под ред. Смирнова А.Ф., — М.: Высшая школа,
1975. — 480с.
22. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1986. — 560с.
23. Шалашилин В.И., Горшков А.Г., Трошин В.Н. Сопротивление материалов. — М.:
МАИ, 2000. — 615с.
203
Быстрый старт
В разделе Быстрый старт приводятся основные сведения, необходимые для работы
с Mathcad. Используя их, можно решить примерно 95 % всех задач. Внимательно
изучите их и приступайте к работе с Mathcad.
СОВЕТ
Читая этот раздел полезно параллельно открыть в Mathcad раздел «Быстрый старт»
в электронной книге. Содержимое рисунков в текущем разделе соответствует
содержанию файла
start (Быстрый старт). Переключаясь с одной программы на
другую с помощью сочетания клавиш Alt+Tab, вы можете сразу же поупражняться
в работе с Mathcad.
Построение выражений и графиков в
Mathcad
Перед началом работы в Mathcad ознакомимся с рабочим окном и содержанием
панелей Mathcad. Далее описываются панели и окна Mathcad 14. В других версиях
Mathcad внешний вид и содержание панелей и окон немного отличаются от
указанных ниже.
Интерфейс Mathcad
Интерфейс Mathcad по своей структуре аналогичен интерфейсу других Windows-
приложений.
Рабочее окно Mathcad
При открытии файла Mathcad.exe на экране появляется рабочее окно Mathcad с
главным меню и 5-ю панелями:
Standard (Стандартная), Formatting
(Форматирование) и
Math (Математическая), Controls (Контроль), Resources
(Документация) (рис. 1).
Автоматически загружен файл Untitled 1 (Безымянный 1), представляющий собой
шаблон
Normal (обычный) рабочего документа Mathcad, называемого Worksheet
(Рабочий лист).
Кроме того, автоматически загружаются окно
Tip of the day (Совет дня) и окно
Mathcad Resource (Документация Mathcad). Перед началом работы их надо
закрыть.
В окне
Tips of the day следует снять флажок Show Mathcad tips at startup
(Показывать совет дня при загрузке) и щелкнуть на кнопке
Close.
Рис. 1. Вид рабочего окна Mathcad после загрузки
Чтобы впредь это окно не появлялось на экране «без спроса» в главном меню
Mathcad (верхняя строчка команд на рис. 1) выберите
Tools Preferance
1
(Инструменты Предпочтение), снимите флажок у пункта Show Mathcad tips at
startup (рис. 2).
Рис. 2. Окно Preferance в Mathcad 14
Главное меню
Главное меню Mathcad занимает верхнюю строку рабочего окна. Оно не зря
называется главным. Все необходимые действия можно выполнить, следуя пунктам
этого меню и последовательно открывающихся окон. Вид главного меню показан на
рис. 3. Щелчок мышью на любом пункте меню открывает подменю с перечнем
команд.
1. Управление рабочим окном Mathcad.
2. File (Файл) — команды, связанные с созданием, открытием, сохранением,
пересылкой по электронной почте и печатью на принтере файлов с документами.
3.
Edit (Правка) — команды, относящиеся к правке текста (копирование, вставка,
удаление фрагментов и т. д.).
4.
View (Вид) — команды, управляющие внешним видом документа в рабочем окне
Mathcad, а также команды создания файлов анимации.
5. Insert (Вставка) — команды вставки различных объектов в документ.
6.
Format (Формат) — команды форматирования текста, формул и графиков.
7.
Tools (Инструменты) — команды управления вычислительным процессом.
8.
Symbolics (Символические вычисления) — команды символьных вычислений.
9. Window (Окно) — команды расположения окон с различными документами на
экране
10.
Help (Помощь) —команды вызова справочной информации,
Щелчок мышью на пункте подменю вызывает появление соответствующего
диалогового окна и т. д.
2
Рис. 3. Главное меню и панели Mathcad
Панели инструментов
Панели инструментов служат для быстрого выполнения наиболее часто
применяемых команд. Вид панелей показан на рис. 3.
Главное меню Mathcad (верхняя панель на рис. 3) осуществляет полное
управление всеми процессами, кроме того, позволяет выполнить все команды,
вынесенные в остальные меню.
Standard (Стандартная) служит для выполнения действий с файлами,
редактирования документов, вставки объектов и т. д.
Formatting (Форматирование) служит для форматирования текста и формул.
Math (Математика) служит для вставки математических символов и операторов в
документы.
Recources (Дополнительные ресурсы) содержит список электронных книг,
включенных в оболочку Mathcad.
Controls (Контроль) содержит кнопки для дополнительного контроля над
работой Mathcad-документа.
Debug (Отладка) появилась в Mathcad 13, служит для трассировки выполнения
программ.
При наведении указателя мыши (курсора) на любую из кнопок рядом с ним
появляется всплывающая подсказка — короткий текст, поясняющий назначение
кнопки.
Содержание панелей (кроме главного меню) можно корректировать. При наведении
курсора на панель и нажатии правой кнопки мыши появляется контекстное меню с
двумя пунктами
Hide (Скрыть панель) и Customize (Выбрать нужные кнопки).
Выбрав
Customize можно удалить старые и добавить на панель новые кнопки из
предлагаемого списка.
Кратко укажем типичное содержание панелей, показанных на рис. 3.
Стандартная панель
Стандартная панель Mathcad содержит перечисленные ниже пункты.
1. Создание документа на основе шаблона
Normal (Обычный).
2. Перечень предлагаемых шаблонов документов.
3. Открытие файла.
4. Сохранение файла.
5. Печать файла.
6. Просмотр печати (вид готового документа).
7. Проверка орфографии (только англоязычного текста).
3
8. Вырезание объекта.
9. Копирование объекта.
10. Вставка объекта.
11. Отмена предыдущего действия (только при вводе текста или формул).
12. Повтор отмененного действия.
13. Выравнивание выделенной группы объектов по горизонтали.
14. Выравнивание выделенной группы объектов по вертикали.
15. Список встроенных функций и их вставка.
16. Список размерностей и их вставка.
17. Пересчет документа.
18. Вставка гиперссылки.
19.
Component Wizard (Вставка компонентов) — вставка в рабочий документ окна
другого приложения.
20. Масштаб и его изменение.
21. Открытие окна
Mathcad Help (Справочная система Mathcad).
Ряд кнопок стандартного меню, показанных на рис. 1, мною уже удален. Это кнопки
вызова конкретных компонентов других программ, о которых не идет речь в данной
книге.
Панель форматирования
Панель форматирования Mathcad содержит следующие пункты:
22. Стиль набора текста и формул.
23. Шрифт, применяемый для набора текста и формул.
24. Размер шрифта.
25. Полужирный шрифт.
26. Курсив.
27. Подчеркнутый шрифт.
28. Выравнивание текста по правому краю.
29. Выравнивание текста по центру.
30. Выравнивание текста по правому краю.
31. Маркированный список.
32. Нумерованный список.
33. Верхний индекс
34. Нижний индекс.
Математическая панель
Математическая панель со всеми остальными панелями инструментов показана на
рис. 4. Щелчок мышью на любом из значков вызывает вставку соответствующего
этому значку символа или шаблона выполнения математической операции на место
курсора в рабочем документе.
4
Рис. 4. Математическая панель
35. Calculator (Калькулятор) — вставка шаблонов основных математических
операций, цифр, знаков арифметических операций.
36. Graph (График) — вставка шаблонов графиков.
37.
Matrix (Матрица) — вставка шаблонов матриц и матричных операций.
38. Evaluation (Оценка) — операторы присвоения значений и вывода результатов
расчета.
39. Calculus (Вычисления) — вставка шаблонов дифференцирования,
интегрирования, суммирования.
40.
Boolean (Булевы операторы) — вставка логических (булевых) операторов.
41.
Programming (Программирование) — операторы, необходимые для создания
программных модулей.
42.
Greek (Греческие буквы).
43.
Symbolics (Символика) — вставка операторов символьных вычислений.
Панель ресурсов
В выпадающем меню этой панели (рис.3) содержится список электронных книг,
включенных в пакет Mathcad.
Tutorials — Обучение работе с Mathcad.
QuickSheets — Примеры использования Mathcad
Referance Tables — Справочные таблицы.
Data Analysis Extension Pack — Пакет для работы с наборами данных
Images Processing — Обработка изображений в Mathcad.
Signal Processing —Обработка цифровых сигналов в Mathcad.
Wavelets Extention Pack — Волновые преобразования массивов данных в
Mathcad.
Mathcad — конструктор программ — Электронная книга автора
При нажатии на кнопку
Go открывается окно справочной информации Mathcad.
5
Панель контроля
Панель контроля содержит кнопки для дополнительного контроля над работой
Mathcad-документа. Эти кнопки предназначены для украшения документа, как
средства диалога с пользователем, для управления работой подключенных к
документу других файлов. Их использование, как правило, требует написания
пользовательских DDL-файлов. При разработке Mathcad-документов нет
необходимости использовать такие средства контроля. В данной книге они не
рассматриваются. Подробные сведения о них содержатся в меню
Help раздел
Developer’s Referance.
Панель Debug
Панель Debug, появившаяся в Mathcad 13, содержит кнопки появления на экране
окна отладки программ и включения (остановки) процесса трассировки (вывода
промежуточных результатов расчета на экран).
При наведении курсора на кнопку панели инструментов появляется всплывающая
подсказка с названием операции и сочетанием клавиш, эквивалентным щелчку по
данной кнопке.
Построение выражений и их вычисление
Перед началом работы на экране курсор имеет вид крестика. В момент ввода
выражения курсор приобретает вид синего уголка, охватывающего вводимое
выражение. В рабочем документе введите какие-либо буквенные выражения и
присвойте им численные значения. Имя выражения (все, что стоит слева от
оператора присваивания) может состоять из латинских, русских, греческих и других
букв и цифр, знаков подчеркивания (
_), штриха (`), символа процента (%), знака
бесконечности, вводимых с клавиатуры.
Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, знака подчеркивания,
штриха, символа процента (
%), не могут включать в себя пробелы. Символ
бесконечности может быть только первым символом в имени.
ВНИМАНИЕ
Mathcad воспринимает заглавные и строчные буквы как различные
идентификаторы, то же касается букв, изображенных различными шрифтами — это
разные имена.
Mathcad не делает различий между именами переменных и функций. Если
определить вначале функцию
f(x)
,
а затем переменную f, окажется невозможным
использовать
f(x) в последующих расчетах где-либо ниже определения f.
ПРИМЕЧАНИЕ
Mathcad 12 не допускает переопределения значений функций. Mathcad 13 и 14
разрешают, но предупреждают о нем появлением волнистой линии под именем
функции. В окне
Preferance (рис. 2), выбрав вкладку Warnings, можно такие
предупреждения отключить.
Некоторые имена уже используются Mathcad для встроенных констант, единиц
измерения, функций. Имена можно переопределить, но имейте в виду, что это
уничтожит их встроенные значения и этими константами, функциями пользоваться
будет нельзя.
Оператор присваивания (
:=) для первого раза выберите с математической панели
Calculator (Калькулятор). Познакомьтесь с содержанием панели. При наведении
стрелки указателя мыши на какую-либо кнопку появляется всплывающая подсказка с
названием оператора, вызываемого при щелчке на этой кнопке, и указанием клавиши
или сочетания клавиш, нажатие которых вызывает то же действие, что и щелчок на
кнопке. В дальнейшем оператор присваивания вы будете набирать с клавиатуры,
нажав клавишу «двоеточие» (
:).
Все операции в Mathcad продублированы. Их можно ввести:
выбрав соответствующий пункт меню;
нажав соответствующую клавишу (сочетание клавиш) на клавиатуре.
Набрав вычисляемое выражение, нажмите клавишу (
=) — появится численный
результат (рис 5).
Попробуйте набрать
+
4
x
y
— у вас получилось
4
y
x
+
. Для правильной записи надо
нажать клавишу пробел, чтобы уголок курсора охватывал нужную часть выражения
(в нашем случае
xy
+ ). Другой способ — взять в скобки выражение
()
xy
+ . В
некоторых случаях это просто необходимо.
6
Рис. 5 Пример построения математических выражений
Цепкие операторы
С первым захватом цепкого оператора вы уже познакомились на примере дроби.
Цепкие операторы — это возведение в степень, извлечение корня, знаменатель дроби
(рис. 6). Чтобы вырваться из объятий цепкого оператора, надо выделить клавишей
пробел или клавишей (стрелкой вправо) нужную часть выражения, тогда
следующая вводимая операция будет относиться ко всему выделенному выражению.
→
На первых порах цепкие операторы раздражают. Вы начинаете печатать быстрее и не
всегда вспоминаете о выделении нужной части выражения. В результате вместо,
например,
2
x
y
+
появляется на экране
2
y
x
+
. Для возведения числа в степень
используйте клавишу .
∧
Рис. 6 Примеры построения выражений «с цепкими операторами»
Переключитесь на раздел «Быстрый старт» электронной книги, как указано в начале
этого раздела, и поупражняйтесь во введении выражений и получении их результатов
(рис. 7).
Рис. 7 Самостоятельная работа. Построение выражений и их вычисление
Редактирование объектов Mathcad
Редактирование введенных выражений производится обычным для всех Windows-
приложений способом.
Уголок курсора перемещается по экрану клавишами со стрелками или щелчком
левой кнопки мыши в нужном месте экрана.
Для выделения уголком курсора одного символа надо установить синий уголок
курсора, так чтобы он охватывал нужный символ слева или справа.
Для расширения выделения на часть выражения или все выражение целиком
следует использовать клавиши со стрелками или клавишу пробел. Для выхода из
цепкого оператора предпочтительно пользоваться клавишей пробел. Уголок
курсора должен охватывать все выражение или всю его часть, над которой надо
выполнить какие-либо действия.
Для выделения части выражения или всего выражения надо щелкнуть мышью в
начале или в конце выделяемой части выражения и переместить курсор до
другого края выделяемого выражения не отпуская левую кнопку мыши. Можно
использовать и сочетание клавиш
Shift+← или Shift+→. Выделенная часть
7