Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А. Лекции по физике. Часть I. Механика, молекулярная физика и термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

Линия тока – мысленно проведенная в потоке линия, касательная, в

каждой точке которой совпадает по направлению с вектором скорости

жидкости в этой точке. Линии тока, проходящие через замкнутый контур,

образуют

трубку тока (рис. 8.1). Часть (или весь) потока, ограниченного

трубкой тока называется

струйкой тока.

Отвлекаясь от строения среды, ее часто представляют

сплошной,

несжимаемой и без внутреннего

(см. ниже) трения (в гидродинамике это

–

модель идеальной жидкости (плотность жидкости слабо зависит от дав-

ления)).

В отличие от твердых тел,

жидкости и газы в состоянии равнове-

сия

обычно не обладают упругостью формы, а лишь упругостью объе-

ма

. Это значит, что газ и жидкость принимают форму сосуда, в котором

находятся, но жидкость имеет определенный объем, а газ занимает весь

объем сосуда, в котором находится (плотность газов сильно зависит от

давления, а жидкостей – слабо).

Исключение составляют жидкие пленки

поверхностные слои жидкости, где большую роль играет поверхност-

ное натяжение

. Механические свойства газов и жидкостей таковы, что

приложение сколь угодно малой касательной силы приводит к значитель-

ным смещениям их частиц друг относительно друга – в связи с этим

гово-

рят о текучести

жидкостей и газов.

Рис. 8.2

Если в покоящуюся жидкость (газ) поместить тело, то

независимо

от того, как тело ориентировано

, части жидкости, находящиеся по раз-

ные стороны от него,

будут действовать на каждый его элемент с оди-

наковыми силами (рис. 8.2).

Эти силы будут направлены

по нормали к элементу поверхности,

так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движе-

ние. Отношение нормальной силы, действующей на единицу площади, на-

зывается

давлением жидкости (газа): p=F/S (единица измерения Паскаль:

1Па=1Н/м

P=mg

∆p

Рис. 8.3

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления

внутри покоящейся жидкости. При равновесии жидкости давление по го-

ризонтали всегда одинаково, иначе равновесие отсутствовало бы. На осно-

вании вышесказанного можно сформулировать

закон Б. Паскаля (1623–

1662)

: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем

направлениям (горизонтальным плоскостям) и одинаково передается по

всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

Поэтому свободная по-

верхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок со-

суда.

Если жидкость несжимаема, то ее плотность

не зависит от давле-

ния, тогда при поперечном сечении столба жидкости

S и его высоте h (глу-

бине погружения):

ghSgShSPppp

=−=∆ //

, (8.1)

где P – вес столба; p – давление на нижнее основание мысленно выде-

ленного в жидкости цилиндра;

– давление на верхнее основание мыс-

ленно выделенного в жидкости цилиндра (атмосферное на поверхности,

где

h=0).

Давление

∆

р называется гидростатическим, оно линейно растет с

глубиной (рис. 8.3).

Некоторые твердые тела могут находиться в равновесии в жидкости,

т.е. существует противоположно направленная весу тела выталкивающая

сила, обусловленная гидростатическим давлением жидкости (рис. 8.4).

Эта сила названа архимедовой (

Архимед (ок. 286–212 гг. до н.э.)).

Согласно закону Архимеда

VgF

⋅⋅=

→

, (8.2)

P=mg

Q=m g

Рис. 8.4

равна весу вытесненной телом жидкости

и приложена в центре масс А

вытесненного объема жидкости, называемого центром плавучести тела (вы-

тесняемый объем

V=Q/

g называется водоизмещением судна). Для равнове-

сия необходимо, чтобы суммарный вес тела

≤

Q, а центр плавучести А ле-

жал на одной вертикали с центром масс

С тела. Равновесие будет устойчи-

вым для полностью погруженного в жидкость тела, если точка

С лежит ни-

же точки

А, а если тело погружено частично (судно), то равновесие будет

устойчивым, если точка

С лежит выше точки А. При качке точка А будет

изменять свое положение на

(

будет приложена уже в А

), тогда возни-

кающая

пара моментов сил

и Q

будет возвращать судно в исходное по-

ложение, если линия действия силы

пересекает ось симметрии судна в

точке

М (метацентр), находящейся выше точки С, и способствовать усиле-

нию крена (и перевороту судна), если метацентр

М будет ниже точки С.

8.2. Уравнение неразрывности, уравнение Д. Бернулли

и его следствия

Рассмотрим стационарный поток жидкости в трубе. Массы жидко-

сти, проходящие через любое из поперечных сечений трубки тока в едини-

цу времени, равны (см. рис. 8.5):

dmdm

сек

...

сек1

. (8.3)

Рис. 8.5

Уравнение (8.3) называется

уравнением неразрывности. Так как

жидкость плохо сжимаема и ее плотность

практически не зависит от

давления, то будут равны и секундные объемные расходы:

const

vdV

Найдем закон изменения механической энергии применительно к уста-

новившемуся течению идеальной жидкости. Выделим в трубе произвольной

конфигурации струйку тока (рис. 8.5). Рассмотрим изменения, происходящие

за время

dt. На жидкость действуют только силы давления и тяжести, причем

работа сил давления, приложенных к боковой поверхности струйки, равна

нулю (направление силы и перемещения перпендикулярны).

По закону изменения механической энергии (3.10):

dTd

где

dtdSvppdtvdSpdtvdSpA

1121222111

)(

−

−=

с учетом

2211

dSvdSvdV

, (8.4)

)(

dT −=

)(

hhgdmdU

−

⋅

dtdSvdVdm

⋅

⋅=

(8.5)

Проводя преобразования, получают

)()(

)(

221

hhgvv

pp −+−=−

или

phg

+⋅⋅+

⋅

=+⋅⋅+

⋅

т.е.

constBphg

==+⋅⋅+

⋅

(8.6)

Уравнение (8.6) называется уравнением (1738г.) Д. Бернулли

(1700–1782)

, где слагаемые называют: p – статическое,

gh – гидроста-

тическое

v⋅

– динамическое давление (скоростной напор). Сумму

p +

⋅

называют полным давлением.

Из уравнения (8.3) следует, что на участках горизонтально располо-

женной трубки тока (горизонтальной трубы) с меньшей площадью попе-

речного сечения скорость потока будет больше, и наоборот, а из уравнения

(8.6) с учетом этого следует, что статическое давление больше в широких

местах, где скорость меньше, и наоборот.

а)

б)

в)

Рис. 8.6

Например, (рис. 8.6,а) жидкость поднимется выше в манометриче-

ском колене (манометре), соединенном с узким местом трубы, по которой

идет стационарный поток газа (трубка, содержащая короткий участок

меньшего сечения, называется трубкой Вентури); уровень жидкости в ма-

нометре (рис. 8.6,б), соединенном с узким местом трубки Вентури, меньше.

Из рис. 8.6, а и 8.6,в ясно, что вода может увлекаться потоком газа, а газ –

откачиваться из сосуда за счет увлечения потоком воды до p=100 мм.рт.ст.

(1 мм.рт.ст.=133,32 Па).

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости через ма-

лое отверстие в стенке или дне широкого сосуда (рис. 8.7). Частицы жид-

кости подходят к отверстию, имея скорости в поперечном направлении.

Из-за инерции это приводит к сжатию вытекающей струи. Во избежание

этого предположим, что истечение происходит через трубку с закруглен-

ными краями, благодаря чему линии тока перед истечением меняют на-

правление на параллельное оси трубки и сжатия струи практически не воз-

никает (остается лишь поверхностное натяжение). В точке А (рис. 8.7) ско-

рость пренебрежимо мала (≈0), а в точке В высота ≈0, тогда уравнение (8.6)

можно переписать в виде

phgp

⋅

+=⋅⋅+

откуда

ghv 2=

. (8.7)

Формула (8.7) – формула Э. Торричелли (1608–1647).

Рис. 8.7.

8.3. Вязкость (внутреннее трение). Характеристики

и критерии определения режимов течения. Ламинарный

и турбулентный режимы течения жидкостей

Возникновение внутреннего трения (вязкости)

связано с передачей

друг другу импульса частицами слоев среды, движущимися с различной

скоростью и взаимодействием между самими частицами среды. Таким обра-

зом, один слой ускоряет второй, а второй, напротив, – тормозит первый с

силой, определяемой

законом И. Ньютона для внутреннего трения:

∆

или

ητ

, (8.8)

где

∆ν

) – разность скоростей соприкасающихся слоев (изменение

скорости в направлении внешней нормали n

);

∆ν

∆

x(d

/dn) градиент (быстрота изменения) скорости в направле-

нии Ох (скорость сдвига), перпендикулярном вектору скорости

;

S – площадь соприкосновения (чем больше площадь соприкоснове-

ния, тем больше сила);

– касательное напряжение (создаваемое касательной силой трения F);

– коэффициент пропорциональности – динамическая вязкость

или просто вязкость

[Па⋅с] (

=1/

называется текучестью).

Величина

называется кинематической вязкостью, где

–

плотность жидкости.

Единицы измерения динамической вязкости в системе СИ – Па

⋅

с,

кинематической – м

/с. Иногда встречаются значения, указанные в «ста-

рой» системе единиц СГС: для динамической вязкости – Пуаз (П, P), для

кинематической – Стокс (Ст, St), 1Ст=10

-4

/с.

Зная картину течения для одной системы тел, можно предсказать те-

чение для геометрически подобной системы.

При сравнении двух течений рассматривают следующие параметры:

, l,

, g,

зв

(или F), где

, r – скорость и радиус-вектор в

подобно расположенных точках потоков;

– характерная скорость пото-

ка (значение или функция скорости, с помощью которой удобно описы-

вать поведение потока, например, натекание из бесконечности); l – харак-

терный линейный размер охватывающего пространства (например, d –

диаметр трубы); g – ускорение свободного падения;

– скорость звука в

текущей среде. Все эти параметры объединяет шесть независимых безраз-

мерных комбинаций:

→

ξη

lvvl

⋅⋅

– число О. Рейнольдса (1842–1912); (8.9)

– число У. Фруда (1810–1879); (8.10)

зв

– число Э. Маха (1838–1916); (8.11)

– число В. Струхаля (1850–1923). (8.12)

Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных величин яв-

ляется функцией остальных:

=ƒ(

/l, Re, F, M, S). Течения называют ме-

ханически или гидродинамически подобными, если совпадают 5 из этих 6

комбинаций (6-я совпадет обязательно) –

общий закон подобия течений.

Аналогичные (8.9)–(8.12) числа вводятся и для описания процессов

тепломассообмена (критерии В. Нуссельта (1882–1957) – Nu, Л. Прандтля

(1875–1953) – Pr, др.).

Число Рейнольдса (8.9) есть отношение кинетической энергии жид-

кости к потере этой энергии, обусловленной работой сил вязкости на ха-

рактерной длине:

~ lv

W ⋅⋅

}

)8.8(

lvl

FlA ⋅⋅=⋅

⋅

т.е.

ξη

lvvl

⋅⋅

что определяет относительную роль инерции и вязкости при течении. При

больших значениях Re основную роль играет инерция, при малых значени-

ях – вязкость.

Аналогичную роль играет число Фруда (8.10): определяет отношение

кинетической энергии жидкости к работе силы тяжести на пути, равном

характерной длине. Чем оно больше, тем больше роль инерции по сравне-

нию с тяжестью, и наоборот.

Течения подобны, если они имеют одинаковые числа Re и F. Прак-

тически заключение делают по сравнению величин чисел: что играет ос-

новную роль при течении – вязкость или тяжесть. При малых значениях Re

основную роль играет вязкость, и наоборот.

а) V =2V

max ср

б) V =1,23V

max ср

Рис. 8.8

Ламинарным (слоистым) называют течение, когда частицы жид-

кости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси тру-

бы (

параллельные слои не перемешиваются, все характеристики тече-

ния

практически неизменны). Это течение характеризуется малым числом

Re<1000, наблюдается при малых скоростях течения. При 1000≤Re≤2000

наблюдается неустойчивость – переход от ламинарного к

турбулентному

(вихревому) течению

, характеристики которого быстро и нерегулярно

изменяются во времени (флуктуируют), параллельные слои перемешива-

ются. При дальнейшем росте Re течение турбулентно. При описании тече-

ния жидкости в трубе используют приближение пограничного слоя: слой

жидкости, примыкающий к стенке трубы, остается неподвижным, скоро-

сти последующих слоев возрастают и достигают максимума у оси трубы.

Причина этого – прилипание частиц жидкости за счет вязкости.

Толщина пограничного слоя

не остается постоянной и зависит от свойств

жидкости, формы обтекаемого тела, места на этом теле (передняя (лобовая,

здесь

меньше) или задняя часть обтекаемого тела (здесь больше)). На

рис. 8.8 изображены профили усредненной скорости слоя при течении

жидкости в трубе: а) ламинарном; б) турбулентном.

8.4. Стационарное течение жидкости в прямой трубе.

Формула Ж. Пуазейля. Вискозиметр Оствальда-Пинкевича.

Определение коэффициента вязкости методом Стокса

Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной ци-

линдрической трубы радиуса R. Линии тока параллельны оси трубы. Из

условия несжимаемости следует, что скорость течения

v одинакова вдоль

всей трубы, но изменяется с расстоянием радиуса

r от оси трубы (рис. 8.8),

т.е.

=ƒ(r). Примем ось трубы за ось Ох, направленную в сторону течения.

p(x)

p(x+dx)

Рис. 8.9

Рассмотрим малую часть трубы длиной dx (рис. 8.9). На боковую по-

верхность выделенного элемента жидкости действует касательная сила

вязкости

48476

dxr

dF ⋅⋅⋅=

πη

)8.8(

, кроме того, на основание цилиндра

действует сила разности давлений

rdxxpxpr

))()(( ⋅−=+−⋅=

ππ

При стационарном течении сумма этих двух сил равна нулю, т.е.

100

Тогда из

rdr

⋅

−

−=

(р

– давление на входе трубы, р

– на

выходе, l – длина трубы) следует, что

}

const

v +

⋅

−

−=

Константа интегрирования С находится из условия, что при r=R (у

стенки трубы) скорость v=0.

Тогда

)(

v −

⋅

−

, (8.13)

Откуда скорость

v максимальна у оси трубы (r=0, см. рис. 8.8), а при

удалении от оси трубы меняется по параболическому закону.

Масса жидкости, ежесекундно протекающая в трубе через кольце-

вую площадку с внутренним радиусом

r, а внешним r+dr, равна

dQ=2

⋅rdr⋅

⋅

. Заменяя скорость v (8.13) и интегрируя, находят (ежесе-

кундный)

расход жидкости в трубке:

)( R

rdrrR

⋅

−

⋅⋅=−

⋅

−

⋅⋅=

∫

ρπ

(8.14)

Формула (8.14) –

формула (1840г.) Ж. Пуазейля (1799–1869), хотя

Ж. Пуазейль ее не выводил, а лишь исследовал течение жидкости в капил-

лярах экспериментально. Представляя формулу (8.14) с учетом формулы

(8.13) и рис. 8.8 (вводя среднюю скорость потока) в виде

π⋅ρ⋅

⋅ν

ср

/2,

можно опытным путем определить вязкость жидкости. Формула (8.14)

справедлива только для ламинарных течений. Для ньютоновских (струк-

турированных) жидкостей (подчиняющихся закону (8.8))

Q∼p (линейная

зависимость). Для неньютоновских жидкостей (кровь, лимфа) зависимость

Q=ƒ(p) нелинейна, что объясняется непостоянством коэффициента

Формулу Пуазейля используют при определении (зависимости) вязкости

жидкости (от температуры) путем сравнения с некоторой эталонной (индекс «0»),

для которой известны значения вязкости

(ξ

) при ряде температур.

Рис. 8.10