Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А. Лекции по физике. Часть I. Механика, молекулярная физика и термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

следовательно,

n 1

∆

или

n 1

∆⋅

∆

(дуга АВ близка к хорде АВ).

Умножив обе части равенства на ν, получим:

limlim ==

∆

→∆→∆

, (1.2)

где R –

радиус кривизны траектории в данной точке.

Если точки A и B бесконечно близки друг к другу, тогда AED

→

90°,

так что

⊥ и va

⊥ .

В общем случае

∫

∆

⋅=

→→

dtav

. (1.3)

В зависимости от значений

a и

a , можно выделить следующие

типы движения:

a =0,

a =0 – равномерное движение;

0≠= consta

– равнопеременное прямолинейное дви-

жение; при этом tavv ⋅±=

→→→

(1.3), тогда

)()(

dtt

dttvts

⋅

±=

∫

. (1.4)

Следует помнить о различии в общем случае изменения пути и коор-

динат(ы): не всегда

)()( xtxts

−

a =0, 0

≠== const

– равномерное вращение по окружно-

сти, так как R=const.

В общем случае

(

)

tfa

()

tfa

= .

При описании вращательного движения пользуются

осевыми или

аксиальными

(axse – лат., axis – англ.) векторами (псевдовектора-

ми)

. Направление их связано с поступательным движением винта,

закручиваемого слева направо вращением тела по окружности (

правого

винта

). Эти скользящие вектора не имеют строго определенной

точки приложения, в отличие от полярных векторов Fpav

,,, , и

могут быть отложены из любой точки на оси вращения (рис. 1.3):

d (характеризующий угол поворота),

(угловые скорость и

ускорение

Можно провести

сопоставление угловых (при вращательном -

) и линейных (при поступательном движении –

avs ,,

) величин.

Так,

∆

→∆ 0

lim (рад/с), а

= (рад/с

) – при равноуско-

ренном вращении вектора

сонаправлен с вектором

, а при равно-

замедленном – противонаправлен

С учетом равенства

⋅

∆=∆

имеют:

⋅=

∆

⋅=

∆

→∆→∆

tt 00

limlim или векторно













→→→

rv .

dϕ

Рис. 1.3

Согласно формулам (1.1) и (1.2), получают:

⋅==== r

)(

и r

⋅==

При вращении тела относительно неподвижного начала (точки, оси) все

его точки движутся с равными угловыми скоростями

const

===

, но с различными линейными.

При равномерном вращении его характеризуют периодом T и час-

тотой n вращения.

Период – время поворота на угол 2

, а час-

тота

– число полных оборотов в единицу времени:

Аналогично (см. формулы (1.3) и (1.4), сопоставляя

-v,

-a

)

можно получить для равнопеременного вращения по окружности зависи-

мости

⋅

±=±=

ωϕεωω

ЛЕКЦИЯ 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1. Законы Ньютона, их физическое содержание и взаимосвязь.

Силы в природе.

2. Закон сохранения импульса.

3. Центр масс.

4. Движение тела переменной массы. Уравнения К.Э. Циолковского

и И.В. Мещерского

2.1. Законы Ньютона, их физическое содержание и

взаимосвязь. Силы в природе

Динамика является основой механики. Уравнения движения (кине-

матика) и условия равновесия тел (статика) могут быть получены из зако-

нов динамики

И. Ньютона (1643 – 1727гг.), опубликованных им в 1687г. в

труде

«Математические начала натуральной философии».

Законы Ньютона – это обобщение большого количества эмпири-

ческих (опытных) данных. Они являются базой классической динами-

ки

и обычно рассматриваются совместно.

Первый закон Ньютона: "Всякое тело продолжает удерживаться в

своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, по-

ка и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это

состояние".

I закон Ньютона: если внешние силы отсутствуют или их действие

на материальную точку скомпенсировано, то эта точка сохраняет состоя-

ние покоя равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока

внешнее воздействие не выведет ее из этого состояния.

Свойство тел сохранять скорость называется

инерцией. I закон

Ньютона называется

законом инерции. Он утверждает, что для поддержа-

ния равномерного движения не требуется внешних воздействий.

Механическое движение относительно в том смысле, что харак-

теристики

движения тела зависят от выбора СО. Системы, в которых

выполняется закон инерции, называются

инерциальными системами от-

счета

(ИСО). I закон Ньютона утверждает их существование.

С высокой точностью инерциальной является гелиоцентриче-

ская (солнечная) СО.

Оси могут быть проведены к удаленным звездам.

Очевидно, «земные» задачи механики – такие, как полет мяча, столкнове-

ние бильярдных шаров, весьма неудобно решать в гелиоцентрической

ИСО. Немногим проще описание в СО, связанной с Землей – геоцентриче-

ской. Однако чаще мы вынуждены использовать СО, связанную с поверх-

ностью Земли. Систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, назы-

вают земной или лабораторной. Неинерциальные эффекты, связанные с

суточным вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца, малы, так

что ими обычно пренебрегают.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях разные тела

по-разному изменяют характер своего движения, то есть приобретают раз-

личные ускорения. Таким образом, ускорение зависит не только от воздей-

ствия, но и от свойств тела (массы).

Масса (m) – одна из основных характеристик материи, характеризу-

ет инертные свойства тел (

ин

– инертная масса) и способность тел участ-

вовать в тяготении (

гр

– гравитационная масса). Их эквивалентность

доказана в

общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна в четырех-

мерном пространстве (пространство-время). Различие появляется при пе-

реходе к обычному трехмерному пространству (см. лекция 5, п.3.):

10~

−

гр

ингр

Для характеристики взаимодействия тел вводят понятие силы.

Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздей-

ствия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело

либо изменяет свою скорость (динамическое проявление силы), либо де-

формируется (статическое проявление силы).

Единица измерения силы

[]

мкг













⋅

(ньютон).

Поле – особая форма материи, связывающая частицы вещества или

тела в единые системы и передающая с конечной скоростью воздействие

тел друг на друга (так называемая

«гипотеза близкодействия»).

Второй закон Ньютона: "Изменение количества движения пропор-

ционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той

прямой, по которой эта сила действует".

II закон Ньютона

определяет характер изменения движения тела под

действием внешней силы. Он утверждает, что если

∑

≠

→

F 0

, то

→

где

∑

→→

– равнодействующая всех сил.

В системе СИ:

amF

= .

II закон Ньютона – основной закон динамики поступательного дви-

жения. Его можно представить в виде:

()

vmd

=== , так как

в ньютоновской (классической) механике

т<<c (с – скорость света в ва-

кууме), т.е.

constm =

. Величина vmp

называется импульсом (количе-

ством движения) тела.

Третий закон Ньютона: ”Действию всегда есть равное и противопо-

ложное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга ме-

жду собой равны и направлены в противоположные стороны” :

2112

= .

III закон Ньютона позволяет перейти от динамики одного тела к

динамике системы тел. Многообразие взаимодействий в системе можно

свести к попарным взаимодействиям.

F=mg

тя ж

тяги

тр

Рис. 2.1

В ряде случаев III закон Ньютона не применим, т.к. предполагает

«мгновенность» взаимодействия, т.е. не учитывает конечность скорости

распространения воздействия одного тела на другое.

В механике рассматривают различные силы – трения, упругости, тяго-

тения (тяжести). Силы, о которых идет речь в III законе Ньютона, – это все-

гда силы одной природы.

Если на тело действуют несколько сил, то каждая из них сообщает

телу ускорение. В этом заключается

принцип независимости действия

сил

, поэтому во многих задачах (рис. 2.1) движение может быть разделено

покоординатно (

II закон Ньютона записывается в проекциях):

OY:

−

mgN

где g – ускорение свободного падения (g≈9,81 м/с

);

ОХ:

maFF

тртяги

−

На практике вводится род особых сил – реакция связи (силы натяже-

ния, реакция опоры (N) и т.д.). В этом заключается

принцип освобождае-

мости тел

. Свободными называются тела, перемещению которых ничего

не препятствует. В ряде случаев тело можно «освободить», заменив дейст-

вия ограничивающих его движение тел спецсимволами – реакциями связи.

Силы трения – силы, препятствующие движению соприкасающихся

тел относительно друг друга, которые могут проявляться

как в состоянии

покоя (равновесия тела)

тр.покоя

), так и в состоянии движения

тр.скольжения

, F

тр. качения

, F

тр. верчения

). Сила трения изменяется от нуля до не-

которого максимального значения

, которое обычно считают равным си-

ле трения скольжения. В результате действия сил трения механическая

энергия преобразуется во внутреннюю энергию (теплоту).

Силы трения

обусловлены шероховатостью и деформацией по-

верхности и силами межмолекулярного взаимодействия

. Сила трения

скольжения, согласно

закону Кулона–Амонтона, равна:

)(

SpNF

тр

, где S – площадь соприкосновения;

−

– дополни-

тельное давление, обусловленное силами межмолекулярного взаимодейст-

вия, резко убывает с увеличением расстояния (об этом см. подробнее в

разделе «Молекулярная физика и термодинамика»);

– коэффициент тре-

ния скольжения; N – сила реакции опоры, поэтому

тр

≈

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение. Вязкое

трение

делится на гидродинамическое (толстый слой смазки) и гранич-

ное

(тонкий слой смазки, менее 1 мкм).

Коэффициент трения скольжения

(безразмерная вели-

чина), где

– угол наклона, при котором одно тело съезжает по другому.

Сила трения качения возникает из-за деформации материала перед

катящимся телом и из-за разрыва временно образующихся молекулярных

связей в месте контакта. Сила трения качения по закону Кулона:

ктр

= (

имеет размерность).

, но при больших скоро-

стях качения, сравнимых со скоростью распространения деформации в сре-

де (скорость звука в веществе),

сила трения качения резко возрастает.

2.2. Закон сохранения импульса

Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называется

механической системой. Силы взаимодействия между телами системы

называются внутренними. А силы, действующие на тела системы со

стороны внешних тел, называются

внешними. Замкнутой называется

система тел, на которую не действуют внешние силы.

Пусть равнодействующая внешних сил, действующих на i-е тело,

равна

→

, а внутренних сил –

→

. Тогда для каждого из тел системы может

быть записан II закон Ньютона:

→

. (2.1)

Просуммировав по всем телам системы, получают:

→

→→

== F

, (где

→

p – импульс системы;

→

– совокупная внешняя

сила), так как

∑

→

согласно III закону Ньютона.

Для замкнутой системы

constpF =⇒=

→

. В этом содержание

закона сохранения импульса – фундаментального закона природы. Он

является следствием однородности пространства, которое заключается

в том, что при параллельном переносе физической системы на любое рас-

стояние ее физические свойства и законы движения не меняются.

2.3. Центр масс

В классической механике

из-за независимости массы от скорости,

импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс

(центра инерции).

Центром масс системы называется воображаемая точка С, положе-

ние которой характеризует распределение массы в системе. Её радиус-

вектор определяется:

∑

→

, что эквивалентно

∑

(для твердого тела – непрерывное распределение

массы – необходимо брать интеграл по объему

dmr

∫

→

Рис. 2.2

Центр масс сложного тела не обязательно лежит внутри тела

(системы тел), но он всегда находится внутри многогранника, полу-

чаемого при соединении крайних точек тела (системы).

Если тело состоит, например, из двух частей (рис. 2.2), то центр масс

лежит на линии, соединяющей центры масс его частей, т.е. можно найти

центр масс 1-й и 2-й частей, а затем определить положение центра масс сис-

темы на этой линии как для двух материальных точек, находящихся в точках

и С

и обладающих всей массой этих частей m

и m

соответственно.

Пример расчета для системы материальных точек.

Пусть даны

три материальные точки массы m, жестко скрепленные между собой неве-

сомыми стержнями длины d (рис. 2.3). Определить координаты центра

(масс) инерции системы.

d/2

30°

d/2

Рис. 2.3

Расположим оси, как показано на рис. 2.3, тогда

2/0 d

mdmdm

⋅

+⋅+⋅

mdmm

30cos00

⋅+⋅+⋅

Если однородное тело обладает центром, осью или плоскостью

симметрии, то центр масс находится соответственно в центре симмет-

рии, на оси или в плоскости симметрии.

Скорость центра масс равна:

→

===

∑

. Тогда, запи-

сывая II закон Ньютона для системы тел аналогично формуле (2.1), полу-

чаем, что изменение импульса системы равно:

dtFpd

→→

. Таким образом,

центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямо-

линейно и равномерно

. Если центр масс покоится, то система либо пол-

ностью покоится, либо участвует во вращательном движении относи-

тельно оси, проходящей через ее центр масс.

2.4. Движение тела переменной массы.

Уравнения К.Э. Циолковского и И.В. Мещерского

В некоторых случаях движение тел сопровождается изменением их

массы. Рассмотрим движение системы ракеты и газа (рис. 2.4). Если в мо-

мент времени

t масса ракеты m, а скорость v

, то спустя время dt (m–dm) –

масса уменьшается, а скорость увеличивается (

+ vd

Рис. 2.4

Изменение импульса ракеты (пренебрегаем малым

vdmd

(

)

= uvdmpdpd

ракеты

[]

−

= vmuvdmvdvdmm

)())((

Fudmvmd

, (2.2)

где

→

– внешняя сила.

Тогда окончание уравнения (2.2) можно переписать в виде:

FFQuF

−=−=−=

, (2.3)

где Q

– расход топлива,

– реактивная сила.

Уравнение (2.3), полученное в 1897г., называется уравнением

И.В. Мещерского (1859–1935).

Если на ракету внешние силы не действуют, то из уравнения (2.3) следует

max

udv

mqx

−=⇒=

∫

+−=−= constmu

uv ln

max

Константа интегрирования С

определяется из начальных условий

(при t=0 н.у.):

,0)0()( mmvtv ===

, следовательно, С

=ulnm

, тогда

топливасгоревшего

lnln

max

−

. (2.4)

Релятивистская форма в пределе, переходящая в уравнение (2.4),

имеет вид:













−

, (2.5)

где

/с, здесь с – скорость света в вакууме.

Уравнения (2.4) и (2.5) называются уравнениями К.Э. Циолков-

ского (1857–1935).

Формулы (2.4) и (2.5) получены при условии отсутствия действия на

ракету внешних сил (тяготения), но даже при этом условии анализ уравне-

ний (2.3) и (2.4) показывает, что для ракет на химическом топливе (при

скорости струи газа u~10 км/с)

для достижения космических скоростей

(см. лекции далее) отношение масс m

/m должно быть очень велико. На-

пример, для достижения скорости

ν≈

0,5с требуется m

>2⋅10

3332

кг при по-