Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А. Лекции по физике. Часть I. Механика, молекулярная физика и термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

Солнца

maF ===

⇒

Солнца

K == . (5.2)

По современным данным G – гравитационная постоянная,

106745,6

кг

мН

⋅

⋅=

−

Обосновать математически и физически II и III законы Кеплера

можно. Если рассматривать материальную точку массы m (рис. 5.2), дви-

жущуюся по эллипсу со скоростью

, то ее радиус-вектор

за время dt

описывает площадь dS (бесконечно малый треугольник FKP), причем













=⋅=⋅=

→→

drrdrrKNPFdS

sin

или

dtvrdS













→→→

Рис. 5.2

Секториальной скоростью называется

величина

vrmL

→













→→

→

→→

→

























. (5.3)

Если сила

, действующая на материальную точку – центральная,

т.е. всегда направлена к центру (полюсу) силы (в данном случае – к Солн-

цу как к центру тяготения, см. рис. 5.2), то по определению













→→→

FrM

⇒ 0=

→

constL

→

. (*)

Так как m=const при нерелятивистском (v<<c, с – скорость света в

вакууме) движении, то и секториальная скорость, определяемая по форму-

ле (5.3), также является константой. Это доказывает II закон Кеплера. Пе-

риод обращения Т=площадь/S'=const, тогда r

=const. Это доказывает III

закон Кеплера.

Для описания взаимодействия тел на расстоянии (

концепция близ-

кодействия

: все взаимодействия в природе характеризуются конечной

скоростью передачи) пользуются

понятием силового поля, т.е. считают,

что тело изменяет свойства окружающего его пространства, а другое тело

это «чувствует».

Полю приписывается роль передатчика взаимодейст-

вия, энергии, его считают одной из форм существования материи

(по-

казанная

А.Эйнштейном (1879–1955) в его теории относительности взаи-

мосвязь массы и энергии (E=mc

) позволяет это утверждать).

Попытки создать единую теорию поля, объясняющую все извест-

ные явления с единой точки зрения,

пока не увенчались успехом.

Поле называется силовым, если в каждой точке рассматриваемого

пространства определен вектор

силы любой природы происхождения.

Силовое поле (СП) называется однородным, если в любой его

точке на тело действует одинаковая по модулю и направлению сила (лю-

бое поле в малой окрестности тела (точки) можно считать однородным).

Силовое поле называется центральным, если на тело, помещенное

в поле, действует сила, всегда направленная вдоль луча, соединяющего те-

ло (точку) и центр СП (полюс), а величина силы зависит только от рас-

стояния от тела до центра поля. Примером такого поля может служить гра-

витационное поле, так как сила тяготения, согласно

закону всемирного

тяготения

(И.Ньютон, 1687г., труд «Математические начала натуральной

философии») равна

→

, (5.4)

где (сравните с выводом формулы (5.2)) r – расстояние между центрами

взаимодействующих тел массами m и M.

Сравните формулу (5.4) с выводом формулы (5.2). Данная форма за-

писи свидетельствует о том, что взаимодействие происходит мгновенно,

это в действительности не так, что отмечалось еще А.Эйнштейном. Со-

гласно А.Эйнштейну, даже световой луч (электромагнитная волна (ЭМВ))

имеет массу, т.к. обладает энергией, и, следовательно, должен быть под-

вержен тяготению.

Силовой характеристикой любого силового поля является на-

пряженность

. Для гравитационного поля напряженность определяется по

формуле

→→

→

)4.5(

Gg =

. (5.5)

Зная напряженность поля, мы можем определить силу, действую-

щую со стороны поля на любое другое тело:

mgF ⋅=

. На поверхности

Земли

м/с 81,9

≈=

емли

в среднем. Так как планета Земля имеет

форму слегка сплюснутого у полюсов шара, то эта величина изменяется

(от 9,78 – на экваторе до 9,832 – на полюсах) в зависимости от места опре-

деления на планете (расстояния до центра планеты в этом месте).

Энергетической характеристикой силового поля является ска-

лярная величина

потенциал – потенциальная энергия, которой в данной

точке поля будет обладать тело единичной массы:

. (5.6)

С учетом формул (3.4), (3.6

) можно записать

const

GU +−=

тогда:

const

G +−=

, (5.7)

откуда

→→

−=













∂

−=

gradg

g ,

, (5.8)

где

)(ad

– градиент скаляра ( ),

→→→→

⋅

∂

+⋅

∂

+⋅

∂

= k

grad

) () () (

) (

обозначается

)(

∇

(набла) и называется оператором Гамильтона или набла-

оператором;

kji

,, – единичные векторы координатных осей (орты).

Градиент всегда направлен в сторону максимального возрастания

функции, в данном случае

, поэтому вектор напряженности в каждой

точке перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям

(состоя-

щим из точек равного потенциала).

Силовое поле называется стационарным, если его характеристики

неизменны во времени. Для удобного, наглядного представления силовое

поле

графически изображают с помощью силовых линий – линий, каса-

тельные, в каждой точке которых совпадает по направлению с результирую-

щим вектором напряженности. Расстояние между линиями характеризует

«мощь» поля: там, где линии гуще – поле сильнее, наоборот – слабее. Удоб-

ство этого способа связано с необходимостью рассматривать поля, создавае-

мые несколькими источниками (рассматривать несколько полюсов – центров

поля, например, планет или звезд). При этом результирующая напряжен-

ность в каждой точке находится как векторная сумма напряженностей в

этой точке каждого из полей, как если бы других полей не существовало

(

принцип наложения или суперпозиции полей):

∑

→→

. (5.9)

Аналогично для потенциалов:

∑

ϕϕ

. (5.10)

Если находить векторную сумму

∑

→→

в каждой точке поля, то

бумага будет испещрена векторами, т.е. получаемое изображение не на-

глядно, проведя же заранее расчет по формуле (5.9) можно наглядно пред-

ставить результирующее поле в виде силовых линий.

Рис. 5.3

Гравитационное поле является потенциальным, т.е. его работа на

замкнутом участке пути равна нулю:

0==

∫

→→

drFA

(5.11)

Найдем работу силы тяжести при выполнении самолетом замкнутой

фигуры пилотажа (рис. 5.3). Будем считать, что высота подъема над по-

верхностью Земли мала по сравнению с радиусом Земли, т.е.

сила тяже-

сти

, как центральная сила, в любой точке траектории будет направлена

к центру Земли (вниз), постоянна и равна

(см. (3.2)).

При движении самолета работа совершается лишь на вертикальных

участках траектории (

⊥1

⊥2

, т.д.), на горизонтальных же участках

(

⊥1

⊥2

, т.д.) перемещение перпендикулярно линии действия силы и сила

тяжести работы не совершает (3.1). Таким образом, работа силы тяжести

определяется лишь разностью

∆

h высот в точках Н и О.

При подъеме самолета S из нижней точки О в верхнюю точку Н тра-

ектории направления действия силы и перемещения противоположны (ра-

бота отрицательна: –mg

∆

h), а при последующем спуске совпадают (работа

положительна: +mg

∆

h), т.е. сумма этих работ дает нуль.

Подобно приведенным выше рассуждениям и рассмотрению форму-

лы (3.6) находится работа переменной силы тяжести при удалении ракеты

на расстояние h от центра Земли сравнимое с радиусом Земли, с учетом то-

го, что сила и перемещение противонаправлены. При этом разбивку траек-

тории на точки проводят так, чтобы точки 1 и 2, 2 и 3, т.д. лежали как

можно ближе одна к другой, тогда в этих промежутках движения силу тя-

готения можно считать постоянной (далее см. определение работы соглас-

но формуле (3.6)).

5.2. Космические скорости (первая – четвертая)

Полная энергия тела в поле гравитационных сил определяется по

формуле:

Cmv

GmMmv

UТЕ

constC

+=−=+=

876

. (5.12)

Рис. 5.4

Перейдем от декартовых (x,y,z) к полярным координатам (r, ϕ) в

формуле (5.12) для материальной точки массы m, движущейся со скоро-

стью v в гравитационном поле (рис. 5.4).

Так как

vvv

vv +=⊥

→→

ϕϕ

, то

Cmrrm

E ++=++=

••

222

. (5.13)

С учетом

















































→→→→→→→→→

ϕϕ

vrm

vrmvrmvrmL

43421

00sin,0

и (*), получают:

mrrmE

constmrL

222

++=

••

•

(5.14)

Уравнение (5.14) содержит первые производные по времени, поэто-

му легче разрешимы, чем уравнения, получаемые из II закона Ньютона со

вторыми производными. Интегрируя формулу (5.14) можно найти r(t) и

(t), т.е. определить траекторию и характер движения частицы. Решение

формул (5.14) громоздко (и выходит за рамки этого курса), поэтому обсу-

дим лишь результат решения (рис. 5.5).

E=0

E<0

Рис. 5.5

Траектория частицы представляет собой коническое сечение (эллипс,

парабола, гипербола).

В случае финитного (в определенной области про-

странства)

движения тела, траектория движения – эллипс и преобладают

силы притяжения (Е<0). В случае удаления тела в бесконечность (

инфи-

нитное движение) возможные траектории – парабола (Е=0) и гипербола

(E>0) – преобладают силы отталкивания.

Принимая

в первом приближении орбиту тела за круговую с уче-

том формул (5.4), (5.5), получают для тела массы m:

Земли

mma

== ,

ЗмлиЗемли

Земли

RgR

. (5.15)

Для Земли км/с 8

≈=

Земли

– первая космическая ско-

рость

– скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусст-

венным спутником Земли

При параболическом движении (

Е=0) из формулы (5.12) имеют для

Земли:

км/с 2,11

2 ≈=

Земли

– вторая космическая скорость –

скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало

искусственным

спутником Солнца

. При сообщении телу третьей космической скоро-

сти

оно, тело, без действия дополнительных сил преодолеет притяжение

Земли и Солнца и

покинет пределы Солнечной системы (по гиперболе).

Так как скорость Земли на орбите при движении вокруг Солнца ≈29,8 км/с,

чтобы тело покинуло Солнечную систему, ему нужна скорость

скмcкм

v /1,42/8,292

min

≈⋅≈

, реально же еще большая, т.к. необхо-

димо преодолеть земное притяжение. Причем эта скорость минимальна,

если ориентирована по направлению орбитального движения Земли, и

максимальна – если противонаправлена. Также необходим учет положения

Земли на орбите (дальняя ли точка от Солнца –

перигелий (П, см. рис.

5.1), ближайшая ли –

афелий (А), положение других планет и звезд):

≈16,7÷72,7 км/с. Четвертой космической скоростью называется ско-

рость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно

упало в заданной

точке Солнца

(

≈29,2÷31,8 км/с) или чтобы тело покинуло нашу Галак-

тику (Млечный Путь) и ушло во Вселенную (тогда

≥285 км/с).

5.3. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Вес тела и невесомость

Как известно,

в ИСО выполняются законы Ньютона и форма за-

писи II закона –

amF

= . Найдем теперь форму записи для неинерциальной

системы отсчёта (неИСО), т.е. СО, движущейся относительно любой ИСО

с ускорением. Ограничимся при этом нерелятивистским рассмотрением

(

m=const при v<<c, с – скорость света в вакууме).

Рис. 5.6

Пусть относительно неподвижной СО S с началом отсчета в точке О

тело (масса

m) движется с ускорением a

, а относительно движущейся по-

ступательно с ускорением

СО S

с началом отсчета в точке О

тело по-

коится (рис. 5.6). Тогда в любой момент времени получаем выражение

rrr

+= , дифференцируя которое по времени, получают:

•

→

•

→

•

→

rrr

≡

→→→

vvv

≡

→→→

пер

отн

абс

; (5.16)

•

→

••

→

••

→

rrr

≡

→→→

ааа

≡

→→→

пер

отн

абс

. (5.17)

Величины, характеризующие движение тела относительно непод-

вижной СО, называются

абсолютными ( а

), относительно движущейся

СО –

относительными (

, а

), а характеризующие движение систем друг

относительно друга –

переносными (

, а

Подставляя формулу (5.17) во II закон Ньютона, получаем:

{

→→→→→

+=−=

→

FFаmFаm

аm

. (5.18)

где

– сила, являющаяся результатом взаимодействия тел. Она зависит

только от разностей скоростей и координат, и в нерелятивистской механи-

ке ее форма записи не изменяется (инвариантна) при переходе от одной СО

к другой (это сила в том смысле, в котором мы к ней привыкли). Слагаемое

amF

−= – называется поступательной силой инерции, она возникает

не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения СО

(существует

также разновидность – центробежная сила (инерции при вращательном

движении)

). В общем случае для силы инерции, в отличие от F

по III закону

Ньютона

, не существует равной ей по модулю силы противодействия, при-

ложенной к другому телу

. Она всегда направлена противоположно ускоре-

нию и является внешней силой для любой СО

. Запись силы инерции не инва-

риантна относительно перехода от одной СО к другой

Многие практические задачи решаются проще при рассмотрении сил

инерции, при этом с точки зрения ньютоновской механики эти силы не яв-

ляются силами в привычном смысле этого слова, т.е. они фиктивны. С дру-

гой стороны, их можно представлять как действие на тела каких-то сило-

вых полей и реально использовать это на практике. Часто при рассмотре-

нии задач трудно разделить результирующую силу на силу инерции и

«ньютоновскую» силу.

Пример. Рассмотрим силу инерции, действующую на тело, покоящееся в дви-

жущейся поступательно СО: поезд в метро разгоняется на горизонтальном участке с

ускорением а=5 м/с

. Кота, оказавшегося в поезде, согнали с места, и он остался сидеть,

прислонившись спиной к стенке, с обиженным выражением глядя по направлению

движения (рис.5.7). Какова перегрузка кота, находящегося в поезде?

P=mg

Рис. 5.7

Решение. Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на кота, к силе

тяжести

Р=mg. Кот в неИСО, связанной с поездом, покоится, а в ИСО относительно земли

движется с ускорением

. Противоположно направлению движения (ускорению) на кота

действует сила инерции

amF

−= , вжимающая кота в стенку, ее компенсирует сила реак-

ции опоры стенки

amN

= , действующая на кота. Тогда в проекциях II закон Ньютона:

maN

, OY:

Ответ: Так как

NNF +=

, то

то

Силу инерции, действующую на тело, покоящееся во вращаю-

щейся СО

(рис. 5.8), называют центробежной (направлена противопо-

ложно ускорению). Она направлена противоположно центростреми-

тельной силе, создаваемой натяжением шнура.

Рис. 5.8.

Для шарика II закон Ньютона в проекциях на оси будет иметь вид:

ОХ:

=Тsin

=ma

=-F

OY:

Tcos

-mg=0 ⇒

== ,

где

r – расстояние от оси вращения.

Еще одной разновидностью сил инерции является сила Корио-

лиса (1792–1843).

Она возникает только тогда, когда СО S

(рис. 5.6) вра-

щается, а тело движется относительно этой СО. Если рассмотреть движе-

ние незакрепленного шарика массы

m из центра вращающегося с угло- вой

скоростью

диска, то его траектория – кривая 12 (рис. 5.9).

Рис. 5.9

Если же дать шарику возможность катиться (трением пренебрегаем) из

центра прямолинейно по глубокому желобу, вырезанному вдоль одного из

радиусов диска, то шарик, отклоняясь влево от направления движения вдоль

желоба, будет давить на его стенку с силой

(рис. 5.10), названной корио-

лисовой (уравновешивается силой реакции опоры стенки желоба