Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А. Лекции по физике. Часть I. Механика, молекулярная физика и термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

лезной массе m=20 тонн (т). Для сравнения: масса Метагалактики (дос-

тупной обнаружению современными методами радиоастрономии части

Вселенной) по приблизительным оценкам М

≈

кг.

ЛЕКЦИЯ 3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

1. Работа силы, мощность.

2. Механическая (кинетическая и потенциальная) энергия.

Закон сохранения механической энергии. Графическое

представление энергии. Коэффициент полезного действия (КПД).

3. Теория удара.

3.1. Работа силы, мощность

В качестве единой количественной меры различных форм движения

материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится ска-

лярная величина –

энергия.

В механике рассматривают механическую энергию (энергию ме-

ханического движения и механических взаимодействий). Для количе-

ственного описания обмена энергии между телами используют понятие

работа силы. Элементарной работой

A силы F

на малом перемещении

точки О приложения силы называется скалярное произведение:

αδ

cos

(*)

FdsdtvFrdFA ===

→→→→

, (3.1)

где

– радиус-вектор точки О;

– ее скорость;

dt – малый промежуток времени, в течение которого сила

совер-

шает работу

– угол между направлением действия силы F

и направлением пе-

ремещения

(или v

Если угол

–острый, то

A>0 и сила ускоряющая, если угол

–

тупой, то

A<0 и сила тормозящая (трения, например). Переход (*) в

уравнение (3.1) справедлив в силу равенства

dsrddtt

⇒→

∆

0 . Из

уравнения (3.1) следует, что

сила не совершает работу, если точка при-

ложения силы

неподвижна (

0=rd

) и если сила направлена перпенди-

кулярно (по нормали) к траектории (

⊥

Таким образом, работа силы на участке траекторий от точки 1 до

точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных,

бесконечно малых участках:

∫∫

→→

cos)( dssFdrFA

43421

. (3.2)

Геометрически работа – это площадь под кривой (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Если

constF =

, то

∫

cos

FsdsFA

. Сила называется по-

тенциальной (консервативной), если ее работа зависит только от на-

чального и конечного положений тела и не зависит от формы ее тра-

ектории

. Для таких сил интеграл по замкнутому контуру L равен

0==

∫

→→

drFA . Для диссипативных сил работа зависит от формы тра-

ектории

при перемещении тела (сила трения).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят поня-

тие мощности

N =

. За время dt сила F

совершает работу( rdF

) и

мощность силы в данный момент (мгновенная мощность) равна

→→

== vF

rdF

. Единицы измерения: [A]=Дж; [N]=Ватт – Вт.

3.2. Механическая (кинетическая и потенциальная)

энергия. Закон сохранения механической энергии.

Графическое представление энергии. Коэффициент

полезного действия (КПД)

Кинетическая энергия

(КЭ) системы – это энергия механического

движения

этой системы. Сила F

, действующая на покоящееся тело и вы-

зывающая его движение, совершает работу; энергия движущегося тела

возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA си-

лы на пути, который тело проходит от нулевой скорости до скорости v

идет на увеличение КЭ тела Т:

∫

==⇒==⋅===

→→→

mvdvTmvdvdvvmdr

vdm

rdFdTdA

. (3.3)

Кинетическая энергия Т является функцией состояния движе-

ния тела.

Поскольку скорость v

зависит от выбора СО, КЭ тела в раз-

личных

инерциальных системах отсчета (ИСО) имеет разные значения,

определяемые согласно теореме Кёнига: КЭ системы материальных то-

чек равна сумме КЭ всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее

центре масс и движущейся вместе с ним, и КЭ той же системы в ее относи-

тельном движении по отношению к поступательно движущейся системе

координат с началом в центре масс.

Потенциальная энергия (ПЭ) – это механическая энергия систе-

мы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил

взаимодействия между ними.

Телу присуща потенциальная энергия U, если оно находится в

поле потенциальных (консервативных) сил.

Работа консервативных сил

на элементарном перемещении равна приращению энергии U, взятому со

знаком «–», так как работа совершается за счет убыли потенциальной

энергии (зная U=f(r), можно определить модуль и направление силы F):

rdFdUdA

−

, (3.4)

тогда

∫

+−=

→→

constrdFU

, т.е. энергия U определяется с точностью до не-

которой произвольной постоянной, но это не влияет на физические

законы

, так как в них, обычно, входят или разность энергий, или их про-

изводные по координатам. Нулевой уровень ПЭ выбирается произвольно

из соображений удобства, поэтому может быть как больше, так и меньше

нуля. Согласно уравнению (3.4) для консервативных сил можно записать:

→→→

∇−=−=⇒

∂

−=

∂

−=

∂

−= UgradUF

zyx

;;; , (3.5)

где

→→→→

∂

= k

gradU

– градиент скаляра U, обозначается

→

∇U

(набла) и называется оператором Гамильтона или набла-оператором;

kji

,, – единичные векторы координатных осей (орты).

Конкретный вид функции U=f(r) зависит от характера силового

поля

. Так, тело, находящееся на высоте h<<R

Земли

от поверхности земли в

поле сил тяготения

, обладает потенциальной энергией:

)(

mghh

RRh

GmM

Fdr

Земли

ЗемлиЗемли

Земли

консерв

тяготен

GAU

=≈=













−

−=

===−=∆

∫∫

(3.6)

где

консерв

тягот

- работа консервативных сил тяготения.

Энергия же сил тяготения отрицательна:

const

GrU +−=)(

. (3.6')

Подобно выражению (3.6) находится работа

переменной силы тяже-

сти при удалении ракеты на расстояние

h от центра Земли, сравнимое по ве-

личине с

Земли

, с учетом того, что сила и перемещение противонаправлены.

Аналогично, при упругих деформациях, деформирующая сила по

III закону Ньютона равна по величине упругой силе

kx. Элементарная ра-

бота:

dA=kxdx, а полная работа

⇒==

∫

kxdxA

ПЭ упруго–

деформированного тела

U =

. (3.7)

Потенциальная энергия системы является функцией ее состоя-

ния

. Она зависит только от взаимного расположения тел (конфигура-

ции) системы

и от ее положения по отношению к внешним телам.

Полная энергия тела складывается из его кинетической и потенци-

альной энергий:

E=T+U.

Рассмотрим систему материальных точек массами

,…,m

, движу-

щихся со скоростями

,...,

. Обозначим равнодействующие внутренних

консервативных сил

,...,

, а внешних консервативных сил –

→→

,...,

;

внешние неконсервативные силы обозначим

→→

ff ,...,

При

v<<c массы тел не меняются и уравнения II закона Ньютона

имеют следующий вид:











++=

→

................................

nnn

fFF

(3.8)

Двигаясь под действием сил, материальные точки за время dt пере-

мещаются на расстояние

→→

drdr ,...,

. Умножим уравнения (3.8) на соответ-

ствующие перемещения (для i-го случая):

→→→

→

→→

→

=+−

iiiiii

drfdrFFdr

m )(

. (3.9)

Сложим уравнения (3.9) с учетом

→→

vdtdr /

и (3.3), (3.4):

∑∑∑

→→→

→

=+−

iii

drfdrFFdvvm )(

или

неконс

dAdUdT

. (3.10)

Переход системы из состояния 1 в состояние 2.

(3.10) – закон изме-

нения механической энергии.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то

E=T+U=const. (3.11)

Формула (3.11) – закон сохранения механической энергии: в системе

тел, на которые действуют только консервативные силы, полная меха-

ническая энергия сохраняется, то есть не изменяется со временем (нет ее

диссипации, т.е. рассеяния).

При этом может возникнуть вопрос: "А как же быть с внешними

консервативными силами?" Ответ: "Если внешние консервативные силы

нескомпенсированы, то в систему включают тела, воздействующие этими

силами, т.е. такие силы можно сделать «внутренними»".

Закон сохранения энергии является следствием фундаментального

свойства времени –

однородности. Однородность времени заключается в

том, что

физические законы инвариантны относительно выбора нача-

ла отсчета времени

Во многих случаях потенциальная энергия является функцией толь-

ко одной координаты

U=U(x). График зависимости U от какого-то одного

аргумента называется потенциальной кривой.

Рис. 3.2

Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер

движения тела.

Особый случай представляют консервативные и замк-

нутые системы

, в которых

E=U+T=const.

Например, на рис. 3.2 приведено графическое представление

потенциальной энергии тела в поле сил тяготения, с учетом уравнения

(3.6) тангенс угла наклона зависит от массы тела:

=mg.

Для ПЭ (рис. 3.3) сжатой пружины функция

U(x) имеет вид парабо-

лы В точках

± x

– ПЭ достигает максимума (КЭ Т=0). Система не может

выйти за пределы

± x

; говорят, что она находится в потенциальной яме.

В общем случае функция U(x) может иметь сложный график (см., на-

пример, рис. 3.4).

-x

Рис. 3.3

Частица, обладая энергией

E, как показано на рисунке, может нахо-

диться только в областях II и IV. Перейти из области II в область IV части-

ца не может: область III является

потенциальным барьером, для преодо-

ления которого частице надо сообщить дополнительную энергию (

-E). В

точке минимума производная

dU/dx=0, т. е. в этой точке находится по-

ложение равновесия

Коэффициентом полезного действия (КПД) называется отношение

полезной

(для какой-то практической цели) совершенной работы (энер-

гии) ко всей работе

, совершенной системой (к поступившей в систему

энергии):

соверш

полезн

соверш

полезн

. (3.12)

IIIII

Рис. 3. 4

3.3. Теория удара

Удар абсолютно упругих и неупругих тел

является ярким приме-

ром

выполнения законов сохранения импульса и энергии. Под ударом

(столкновением) в физике понимают

взаимодействие тел при их сближе-

нии

, которое длится очень короткое время, и условии, что на достаточно

большом расстоянии тела можно рассматривать как свободные.

В механике рассматривают удары, предполагающие контакт между

телами (удары бильярдных шаров, метеорита о землю, попадание пули в

тележку с песком).

Ударные F

удар

dp/dt=

∆

t (или мгновенные (

∆

∼

мкс))

силы взаимодействия между соударяющимися телами столь велики, что

внешними силами можно пренебречь и считать для таких систем законы

сохранения импульса и энергии выполненными. Тела во время удара ис-

пытывают деформации (упругие или неупругие). КЭ тел во время удара

преобразуется в ПЭ упругого соударения, а затем частично или полностью

вновь переходит в КЭ. Плоскость контакта называется

плоскостью удара,

а прямую, ей перпендикулярную и пересекающую ее в точке соприкосно-

вения, называют

линией удара. Если линия удара параллельна скоро-

стям

сталкивающихся тел, удар называется прямым; если эта линия

проходит через центры сталкивающихся тел, удар называют централь-

ным. Скорость тел не достигает своего прежнего значения после удара.

Отношение нормальных составляющих скорости после и до удара

называют

коэффициентом восстановления (скорости):

. Если

=0 – абсолютно неупругий удар (АНУ),

=1 – абсолютно упругий удар

(АУУ). Для шаров из слоновой кости коэффициент

=0,89, из стали –

=0,56, а для свинцовых –

=0,01 т.е. для реальных тел 0<

<1.

Рассмотрим применение законов сохранения для прямого централь-

ного удара двух шаров.

Рис. 3.5

Абсолютно упругий удар (АУУ). Пусть

– скорости тел до, а

'v и

'v – после удара (рис. 3.5). В случае, если скорость

направлена

навстречу

, в формулах ниже учитывают, что проекция скорости

бу-

дет равна

v и все рассуждения остаются верными.

Для АУУ выполняются законы сохранения импульса

(так как

импульс – векторная величина, то записан в проекции на ось Ох) и

энергии

22112211

vmvmvmvm

′

+ . (3.13)

(

)

(

)

vmvmvmvm

+=+

, (3.14)

откуда

() ()

2211

222111

)'()'(

)()(

vvvv

vvmvvm

′

+⇒







−=−

−

′

−

(3.15)

Выражая одну из скоростей ((3.13), (3.15))

112211

vmvmvm

v −+=

′

−+

′

2112

'' vvvv

−

и приравни-

вая их

211

vvv −+=−

′

, группируем













−+=













′

121

откуда получаем

)(2

21122

mmvvm

−+













−+

′

)(2

12211

mmvvm

−

′

(3.16)

При анализе упругих столкновений удобно один из шаров представ-

лять покоящимся (относительно шара

скорость

→→

→

−=

vvv ).

Рассмотрим

частный случай: АУУ – прямой центральный (лобо-

вой) удар при

=0. Тогда из формулы (3.16)

)(

211

mmv

−

′

получают:

а)

, тогда

vvv

′

(как бы «передача скорости»);

б)

, тогда 0

′

vv (оба мяча движутся в направлении ско-

рости первого мяча до удара);

в) m

, тогда 0

′

vv (первый мяч отскочит от второго);

г) m

<<m

, тогда 0

≈

′

≈

′

vvv (мячик отскочит от стены, см. рис.

3.6,

мячастеныстены

ppmvmp 2

111

⇒=− )

Рис. 3.6

Рассмотрим

частный случай: АУУ – непрямой нецентральный

удар

при

=0 и m

<<m

(мяч ударяется о стенку, см. рис. 3.7). Для опре-

деления импульса, переданного стене, воспользуемся результатами пункта

г) решения предыдущего примера с учетом проекций импульса на ось Ох.

В данном случае:

cos22

11)()(

vmрр

OxмячаOxстены

= .

Равенство углов падения и отражения в рассматриваемом случае

следует

из закона сохранения механической энергии при АУУ.

Рис. 3.7

В случае нецентрального удара частицы разлетаются под углом,

причем угол, на который изменяется направление скорости налетающей

частицы, называется углом рассеяния.

При m

угол рассеяния – прямой, при m

угол рассеяния лю-

бой (даже рассеяние назад), при m

тяжелая частица не может откло-

ниться на угол, превышающий

arcsin

Рассмотрим

частный случай: АУУ – прямой нецентральный удар

при

=0 и m

=m (шары в бильярде, см. рис. 3.7).

Из формул (3.13) и (3.14) имеем:

coscos

211

vvv

′

(

)

(

)

′

= vvv

(*), из треугольника скоростей (рис. 3.8) по теореме коси-

нусов:

(

)

(

)

[

]

)(180cos2

(*)

βα

+−

′′

′

4434421

vvvvv

откуда с учетом (*) ⇒

′′

2 vv

cos[180°-(

)]=0, ⇒ cos[180°-(

)]=0 и

=90°, т.е. при прямом нецентральном ударе бильярдные шары разле-

тятся

под прямым углом.