Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р., Прошин Ю.Н. Теоретическая механика (практический курс). Задачник для физиков

Подождите немного. Документ загружается.

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 21

1.12. Движение материальной точки в плоскости задано в полярных ко-

ординатах: ρ = ρ(t) и ϕ = ϕ(t). Показать, что в случае постоянства

секторной скорости

σ= ρϕ

вектор ускорения точки коллинеарен

(параллелен) ее радиус-вектору, а его величина

w определяется фор-

мулой Бине:

41 1d

⎛⎞

==− +

⎜⎟

ρϕ

⎝⎠

1.13.

Пользуясь формулой Бине, определить силу F, действующую на

точку, и изобразить примерный вид траектории, если уравнение

траектории материальной точки массы

m в полярной СК имеет вид:

а) ρ = p/(1 + εcos(γφ)),

const

σ= ρϕ=

, p, ε, γ − постоянные;

б) ρ = p/(φ – φ

const

σ= ρϕ=

p, φ

− постоянные.

()

а F

б Fm

−

⎡⎤

⎛⎞

σγ

=− − −γ

⎢⎥

⎜⎟

ρρ

⎝⎠

⎢⎥

=− σρ

⎣⎦

1.14. Материальная точка движется по окружности радиуса R, так что ус-

корение точки образует с ее скоростью постоянный угол α (α ≠ π/2).

За какое время скорость точки увеличится в

n раз, если в начальный

момент

t = 0 она равнялась v

? Найти закон движения точки.

tg 1 ctg

1,() tgln1

Rvt

vn R

⎡⎤

αα

⎛⎞ ⎛ ⎞

=−ϕ=ϕ−α−

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎢⎥

⎝⎠ ⎝ ⎠

⎣⎦

1.15. Материальная точка движется по некоторой траектории в плоскости

xOy. Известна зависимость модуля скорости v и радиуса кривизны R

в зависимости от величины пройденного пути

s. Найти закон дви-

жения материальной точки

x(t), y(t) для следующих случаев:

а) v(s) = as, R(s) = b/s.

б) v(s) = acos(bs), R(s) = b/s.

в) v(s) = a/s, R(s) = bs.

г) v(s) = a/cos

(bs), R(s) = bs.

(

a, b – некоторые положительные размерные постоянные).

Кинематика материальной точки 22

Задачи повышенной трудности

1.16. Материальная точка движется в плоскости xOy таким образом, что

сохраняется отношение:

= −v

. Известна зависимость радиу-

са кривизны

R траектории от пройденного пути s. Найти закон дви-

жения материальной точки

x(t), y(t) для следующих случаев:

а) R(s) = a/s; б) R(s) = 1 + (s/a)

;

в) R(s) = a/s

; г) R(s) = bs.

1.17.

Материальная точка движется в плоскости таким образом, что зави-

симость секторной скорости от расстояния ρ известна, т.е.

σ(ρ) = σ

Φ(ρ) (Φ(ρ) − заданная функция). Известно также, что от-

ношение

= tgα = const. Найти закон движения материальной

точки ρ(

t), ϕ(t) для различных функций Φ(ρ), если известно, что при

t = 0 ρ(0) = ρ

, ϕ(0) = 0.

а) Φ(ρ) = 1; б) Φ(ρ) = (ρ/a)

;

в) Φ(ρ) = (a/ρ)

; г) Φ(ρ) = [1 + (ρ/a)

]

-1/2

1.18.

Материальная точка движется в плоскости с постоянной секторной

скоростью σ

. Известна зависимость величины модуля скорости

точки от расстояния ρ, т.е.

v(ρ) = v

F(ρ). Найти закон движения r(t)

(

r(0) = 0, v(0) = v

) для следующих функций F(ρ):

а) F(ρ) = 1; б) F(ρ) = α/ρ;

в) F(ρ) = β/ρ

; г) F(ρ) = α/ρ + β/ρ

1.19.

Материальная точка движется в пространстве таким образом, что

= const, v

= v

f(θ), v

= v

ϕ. Известно, что при t = 0 r = r

, θ = π/2,

ϕ = π. Найти закон движения материальной точки

r(t) для следую-

щих функций

f(θ):

а) f(θ) = 1; б) f(θ) = sin(θ);

в) f(θ) = θ; г) f(θ) = tg(θ).

1.20.

Точка движется в плоскости таким образом, что ее секторная ско-

рость σ

= kρ

, а угол между векторами ускорения и радиус-векто-

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 23

ром точки постоянен и равен β. Найти закон движения и уравнение

траектории точки, если ρ(0) = 0, ϕ(0) = 0,

v(0) = v

а) α = 1, β=45

; б) α = 1, β=30

;

в) α = 2, β=60

; г) α = 2, β = 90

1.21.

Материальная точка движется в плоскости xОy. Известна зависи-

мость радиуса кривизны от величины пройденного пути

R(s). Найти

траекторию точки, выбрав в качестве независимого параметра ве-

личину пройденного пути

Динамика материальной точки 24

Динамика материальной точки

Раздел 2. Динамика материальной точки

Минимальные теоретические сведения по динамике точ

ки

Динамика − это раздел механики, в котором решается следующая за-

дача:

по заданным силам, действующим на материальную точку (или сис-

тему материальных точек) и заданным начальным условиям, найти ее

(их) закон движения (т.е. зависимость координат точки или системы точек

от времени). Эту задачу можно решать по-разному (см. разделы 3, 5, 6, 9,

10). В этом разделе мы будем рассматривать движение одной

свободной

материальной точки, т.е. полное число степеней свободы равно трем. Зада-

ча сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений вида:

= F

(r, v, t) (i = 1,2,3). (2.1)

В самом общем случае эта система записана для некоторой ортого-

нальной криволинейной системы координат, когда радиус-вектор точки

задается в виде функции

r(q

) и для произвольной функциональной

зависимости компонент вектора силы

F от расстояния, скорости и време-

ни. Так как единого аналитического метода, сводящего систему дифферен-

циальных уравнений второго порядка к квадратурам (к интегралам от из-

вестных функций),

в общем случае не существует, то обычно выделяют

такие случаи, когда такое сведение возможно и решение в этих случаях

может быть выражено в форме замкнутых интегралов от известных функ-

ций силы. Полезно напомнить простейшие случаи, когда решение получа-

ется "автоматически" в квадратурах.

а) Сила является только функцией времени. В этом случае ответ полу-

чается после двукратного интегрирования заданной функции

F(t) по вре-

менной переменной.

б) Часто в ДСК компонента силы зависит лишь от той же самой ком-

поненты скорости

. Тогда структура уравнений (2.1) имеет вид

()

Fx=

&& &

, m

()yFy

&& &

, m

()zFz

&& &

(2.2)

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 25

Эта система уравнений разделяется и сводится к квадратурам с помощью

замены переменной

p и преобразованием второй производной по вре-

мени от каждой координаты по правилу

()

dx d dp

dt dx

. (2.3)

Это преобразование позволяет понизить порядок дифференциального

уравнения и получить решение в параметрической форме для каждой ко-

ординаты в виде

x(v) = m

()

∫

, t(v) = m

()

∫

. (2.4)

в) Компонента силы в декартовой СК зависит только от одной соот-

ветствующей координаты. К этому пункту относится также случай одно-

мерного движения. При этом сила F(x) является потенциальной, можно

определить потенциал

() ()Ux Fxdx=−

∫

и, используя закон сохранения

полной энергии E, свести задачу к интегрированию дифференциального

уравнения первого порядка с разделяющимися переменными вида

() ( )

mdx mv

Ux E Ux

⎛⎞

+==+

⎜⎟

⎝⎠

. (2.5)

Здесь x

и v

(начальные значения для координаты и скорости соответст-

венно) полностью определяют значение постоянной E. Решение последне-

го уравнения в квадратурах обычно записывается в виде

[]

(),

()

dx m dx

EUx t

dt m

′

=± − =

′

−

∫

. (2.6)

Точки остановки x(E), в которых скорость обращается в нуль, определяют-

ся из уравнения E

= U(x). Отметим, что в формуле (2.6) учет знака скоро-

сти важен при инфинитном движении материальной точки. Для финитно-

го движения в силу периодической смены знака скорости, его учет проис-

ходит "автоматически". В последнем случае материальная точка движется

периодическим образом между двумя соответствующими точками оста-

новки x

1,2

(E), а формула для периода финитного движения T имеет вид

Динамика материальной точки 26

()

() 2

()

TTE m

−

∫

. (2.7)

Методические указания к решению за

дач по динамике материальной

точки

Отыскание закона движения (траектории) материальной точки в рамках

ньютоновского формализма обычно сводится к следующим пунктам:

1. Определение природы и симметрии сил, действующих на материаль-

ную точку.

2. Выбор системы координат, в которых переменные дифференциального

уравнения могут быть разделены или записаны наиболее простым спо-

собом для их решения известными аналитическими методами.

3. Выбор и правильная запись начальных условий.

4. Запись ди

фференциальных уравнений типа (2.1) или (2.5) и их решение.

5. Анализ полученного результата и возможное обобщение полученного

решения.

Примеры решения задач по динамике

Задача 1. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от v

до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления про-

порциональной некоторой степени скорости v

(θ > 1).

Решение. Считая, что пуля летит строго в горизонтальном направлении, а

влияние силы тяжести является малым по сравнению с силой сопротивле-

ния, уравнение Ньютона запишется в виде

−γ .

Отсюда находим выражение для времени движения пули в доске

()

tpdp vvv

−

−θ −θ

⎛⎞

⎡

⎤

=− = −

⎜⎟

⎣

⎦

γγ−θ

⎝⎠

∫

. (2.8)

Последнее выражение (2.8) нельзя считать решением, так как коэффициент

пропорциональности

γ неизвестен. Для его нахождения необходимо свя-

зать этот коэффициент с толщиной доски h. Для этого представим исход-

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 27

ное уравнение Ньютона в виде (см. (2.3))

mv v

−γ . (2.9)

Интегрируя уравнение (2.9) при заданных начальных условиях, получаем

()

hpdp vvv

−

−θ −θ

⎛⎞

⎡

⎤

=− = −

⎜⎟

⎣

⎦

γγ−θ

⎝⎠

∫

. (2.10)

Найдем из последнего уравнения (2.10) коэффициент

γ и, подставляя это

выражение в уравнение (2.8), получим окончательный ответ

()

−

⎡

⎤

−

−θ

⎛⎞

⎢

⎥

⎜⎟

−θ

⎝⎠

−

⎢

⎥

⎣

⎦

. (2.11)

Замечание. Полезно проанализировать решение (2.11) при θ → 1, 2. Ре-

комендуется также нарисовать примерный график функции

t(v/v

) при различных значениях параметра θ.

Задача 2. Найти закон движения для трехмерного гармонического осцил-

лятора, если помимо упругой силы на осциллятор действует постоянная

сила и сила трения, пропорциональная скорости. Предполагается, что в

начальный момент времени осциллятор находился в точке равновесия

r = 0

и имел начальную скорость

Решение. Уравнение движения для этого случая записывается в виде

γ+κ=

vrF

. (2.12)

Здесь

v = dr/dt, F

тр

= –γv − сила трения, F

– постоянная сила, F

упр

= −κr −

сила упругости, γ и κ − соответствующие размерные коэффициенты.

Обычно анализируются случаи, когда

= 0. Мы рассмотрим решение

уравнения (2.12) для случая

≠ 0. В уравнении (2.12) разделим все члены

уравнения на массу m частицы. Тогда уравнение для выделенной координа-

ты, например, x (для других координат y, z уравнения выглядят аналогич-

но) можно записать в виде:

dx dx F

dt m

+β +ω = , (2.13)

Динамика материальной точки 28

где β = γ/2m, а

/ mω=κ

– собственная частота колебаний.

Вначале выясним, к чему приводит действие постоянной силы. Будем

искать решение в виде: x = u + x

. Здесь первый член u – решение однород-

ного уравнения, соответствующего уравнению (2.13) с равной нулю пра-

вой частью; x

– частное решение уравнения (2.13) в виде постоянной, фи-

зически соответствующее сдвигу исходного положения равновесия зату-

хающего осциллятора. Подстановка x = u + x

приводит к уравнению

20,

du du F

dt m

+β +ω = =

. (2.14)

Получилось линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по-

стоянными коэффициентами относительно новой переменной u. Его реше-

ние имеет вид

112 2

() exp( ) exp( ), () ()

ut C t C t xt ut x=λ+λ =+

, (2.15)

где

(

)

1/ 2

1,2 0

iλ=−β±ω−β . При

>β возникают затухающие колебания

с частотой

(

)

1/ 2

ω= ω −β , а решение u(t) (2.15) можно также записать в

виде

( ) exp( )cos( )

ta t t x=−βω+φ+

. Необходимо также выразить констан-

ты С

и С

(или a и φ

) через начальные условия x

и v

Задача 3. Определить траекторию заряженной частицы массой m, и заря-

дом e, двигающуюся в нестационарном электрическом и магнитном поле.

Известно, что в начальный момент времени частица находилась в начале

координат, имея нулевую скорость.

Решение. Реализуем пункты, обозначенные выше.

1. Частица взаимодействует с нестационарным полем посредством си-

лы Лоренца, которая имеет вид

= eE(t) +

[

v H(t)], (2.16)

где e – заряд частицы, c – скорость света.

2. Не нарушая общности задачи, мы можем выбрать декартовую СК,

направить вектор магнитного поля

H(t) по оси Oz, а компоненты вектора

электрического поля

E(t) разложить на продольную и поперечную состав-

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 29

ляющие по отношению к вектору H(t).

3. В "формульном" виде начальные условия записываются так: при

t = 0

r = 0, v = 0.

4. Уравнения Ньютона для данной задачи имеют вид:

w = F

, (2.17)

или в компонентах выбранной декартовой СК

= eE

(t) −

(t) y

(2.18а)

= eE

(t) +

(t)

(2.18б)

= eE

(t) (2.18в)

Выбор этой задачи обусловлен следующими причинами:

а) Эта проблема включает в себя стандартную задачу о движении заряжен-

ной частицы в стационарных электрическом и магнитном полях (векторы

E и H не меняются со временем).

б) На примере решения этой задачи можно показать в каких случаях сис-

темы уравнений второго порядка могут быть решены переходом к ком-

плексной переменной.

в) Можно заметить, что магнитная часть силы Лоренца при соответствую-

щем переобозначении переменных совпадает с силой инерции Кориолиса:

= 2m[v ω(t)]. Следовательно, по аналогии с движением частицы в пере-

менном электромагнитном поле может быть решена задача о движении ма-

териальной точки при действии силы

w = F(t) + 2m[v ω(t)]. (2.19)

Математическое решение задачи. Вводя обозначения H

(t) = H

h(t),

x,y

(t) = E

x,y

(t), κ = eE

/m, ω

= eH

/mc, представим систему в виде

= κe

(t) − ω

h(t) y

, (2.20а)

= κe

(t) + ω

h(t)

, (2.20б)

= κe

(t). (2.20в)

Последнее уравнение системы (2.20в) интегрируется независимо от первых

Динамика материальной точки 30

двух уравнений. Первые два уравнения (2.20а) и (2.20б) могут быть проин-

тегрированы переходом к комплексной переменной u =

+ iy

. Умножая

второе уравнение на комплексную переменную i ≡

−

и, складывая его с

первым, получим дифференциальное уравнение первого порядка относи-

тельно комплексной переменной u

(t) вида

− iω

h(t)u = κe(t), (2.21)

где

e(t) = e

(t) + ie

(t). Уравнение относится к стандартному линейному

дифференциальному уравнению первого порядка с переменными коэффи-

циентами и может быть проинтегрировано. С учетом начальных условий

его решение в квадратурах записывается в виде

u(t) = κ

( ')exp[i ( ) ] '

et h d dt

ττ

∫∫

. (2.22)

Переходя к исходным переменным, получим решения для компонент ско-

рости

= κ

∫

(t')сos(ω

Φ(t,t')) − e

(t')sin(ω

Φ(t,t'))], (2.23а)

= κ

∫

(t')sin(ω

Φ(t,t'))] + e

(t')cos(ω

Φ(t,t'))], (2.23б)

= κ

∫

(t'). (2.23в)

Здесь Φ(

t,t') =

()

∫

Чтобы получить зависимость

r(t) достаточно проинтегрировать сис-

тему (2.23) еще раз с учетом начальных условий. Мы не будем приводить

окончательное решение ввиду его громоздкости. Уместно подчеркнуть

еще раз, что интегралы, взятые от решений системы (2.23), полностью ре-

шают задачу о движении заряженной частицы в произвольном нестацио-

нарном электромагнитном поле.