Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р., Прошин Ю.Н. Теоретическая механика (практический курс). Задачник для физиков
Подождите немного. Документ загружается.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 221
(
)
(
)
() ( )
224
11 21 2 2 2 12
224
11 21 2 2 2 12
sin 2 / , sin 2 /
cos 2 / , cos 2 /
qt q t
pt p t
⎡⎤
=α α +β =α β − α α
⎢⎥
⎢⎥
=α α +β =α β − α α
⎣⎦
10.28. Найти (в квадратурах) с помощью уравнения Гамильтона-Якоби за-
кон движения системы с гамильтонианом
()
22 2 2
12 2 1
1
2
H
pp q q
⎡
⎤
=++
⎣
⎦
.
() ()
()( ) ()
22
11
11 21 22 21 2
33
22
22
11
112 21 22 21 2
33
22
sin , sin sin 2
24
cos , cos sin 2
24
qtq t t
ptptt
⎡⎤
⎧
⎫
αα
=α α +β =α + α +β +β⎡⎤
⎢⎥
⎨
⎬
⎣⎦
αα
⎩⎭
⎢⎥
⎢⎥
⎧
⎫
αα
⎢⎥
= α α α +β =α + α +β +β
⎡⎤
⎨
⎬
⎣⎦
⎢⎥
αα
⎩⎭
⎣⎦
10.29. Написать уравнение Гамильтона-Якоби в параболических коорди-
натах и показать, что полное разделение переменных будет иметь
место, если потенциал U =
a(ξ) + b(η)
ξ + η
, (a(ξ) и b(η) – произвольные
функции указанных переменных). Вычислить действие в этом слу-
чае. (Переход к параболическим координатам осуществляется по
формулам z = (ξ − η)/2, ρ =
ξη, ϕ = ϕ, где 0 < ξ,η < ∞).
12
2
2
12
2
2
()
22
4
()
, где ,, произвольные константы
22
4
p
mE ma
SEtp d
p
mE mb
dEp
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⎡ ⎤
⎡⎤
β− ξ
⎢ ⎥
=− + ϕ+ + − ξ+
⎢⎥
ξ
⎢ ⎥
ξ
⎢⎥
⎣⎦
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎡⎤
β− η
⎢ ⎥
++ − η β−
⎢⎥
η
η
⎢ ⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣ ⎦
∫
∫
Приложение. Минимальные сведения по математике 222
Приложение. Минимальные сведения по математике
Приложение. Минимум сведений по мате
матике,
необходимых для решения задач
по теоретической механике
Векторы и ма
тематические действия над ними
Вектор – математический объект, характеризующийся величиной и
направлением.
Если в n-мерном пространстве задана система координат (СК) (т.е.
система n взаимно-перпендикулярных единичных (ортов)
e
j
1
), то задание
вектора в этом пространстве эквивалентно выбору n чисел, отложенных по
осям заданной СК. Математическая запись вектора в трехмерном евклидо-
вом пространстве в базисе ортов
e
j
(j ≡ x, y, z) выглядит так
А(A
x
,A
y
,A
z
) = A
x
e
x
+ A
y
e
y
+ A
z
e
z
, (П.1)
где A
x
, A
y
, A
z
– компоненты вектора A.
Длина
(модуль или величина) вектора определяется выражением:
222
x
yz
A
AAA== + +A . (П.2)
Векторная сумма двух векторов А и В
(
A + B = C), соответствующая геометриче-
ской сумме направленных отрезков определя-
ется
правилом параллелограмма или тре-
угольника
(см. рисунок).
Произведение вектора
А на скаляр s есть вектор, в |s| раз больший, чем ис-
ходный вектор
А. Если s > 0, направление нового вектора совпадает с на-
правлением
А, если s < 0, новый вектор противоположен по направлению
1
В пособии буквы, выделенные жирным шрифтом, обозначают векторы. Если в тексте встреча-
ется одна и та же буква, в одном случае выделенная жирным шрифтом, а в другом – курси-
вом, то в первом случае буква обозначает вектор, а во втором – его длину. Например, "
A" чи-
таем "вектор А"; "
A" – "длина вектора А".
B
С
А
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 223
вектору А.
Вычитание векторов А – В сводится к сложению вектора А и – В
А – В = А + (–В). (П.3)
Выражения в прямоугольных декартовых координатах для суммы и разно-
сти двух векторов, а также для произведения вектора на число легко полу-
чается на основе выражения (П.1).
Скалярное произведение (А В) (в литературе можно встретить также обо-
значения (
A, B), или (А⋅В)) двух векторов А и В с углом γ между ними в
результате дает скаляр, определяемый следующим образом
(
А В) = АВсos(γ). (П.4)
Два вектора взаимно ортогональны (перпендикулярны) друг другу тогда и
только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Свойства скалярного произведения
(А В) = (В А), (А А) = А
2
≥ 0; |(А В)| ≤ АВ;
(А (В + С)) = (А В) + (А С); ((sА) В) = s(А В); cos(γ) = (А В)/(АВ);
Если
С = А – В, то С
2
= А
2
+ В
2
– 2(А В) (теорема косинусов).
Выражение скалярного произведения в прямоугольных декартовых коор-
динатах
e
x
2
= e
y
2
= e
z
2
=1; (П.5a)
(e
x
e
y
) = (e
x
e
z
) = (e
y
e
z
) = 0; (П.5б)
(А В) = А
x
В
x
+ А
y
В
y
+ А
z
В
z
; (П.5в)
А
x
= (А e
x
); А
y
= (А e
y
); А
z
= (А e
z
). (П.5г)
Проекция вектора A на направление s
()/
s
A
s
=
As . (П.6а)
Угол между двумя векторами может быть выражен через их компоненты
(
)
222222
cos( )
xx yy zz
x
yzx yz
AB AB AB
AB
A
AABBB
+
+
γ= =
++ ++
AB
. (П.6б)
Приложение. Минимальные сведения по математике 224
Векторное произведение [А В] (другие возможные обозначения [A×B],
(
А×В), А×В, [А, В]) двух векторов есть вектор, модуль которого равен
|[
А В]| = АВ|sin(γ)|. (П.7а)
Величина этого вектора совпадает с площадью параллелограмма, постро-
енного на векторах
А и В. Его направление перпендикулярно к обоим век-
торам
А и В и совпадает с направлением правого винта при его повороте
от
А к В на угол меньший π. Два вектора параллельны или антипараллель-
ны друг другу тогда и только тогда, когда их векторное произведение рав-
но нулю.
Свойства векторного произведения
[A В] = –[В А]; [А А] = 0; [(sА) В] = s[А В]. (П.7б)
[А (В+С)] = [А В] + [А С]. (П.7в)
Выражение векторного произведения в прямоугольных декартовых коор-
динатах
[e
x
e
x
] = [e
y
e
y
] = [e
z
e
z
] = 0; [e
x
e
y
] = e
z
; [e
y
e
z
] = e
x
; [e
z
e
x
] = e
y
;
[
А В] = (А
y
В
z
– А
z
В
y
)e
x
+ (А
z
В
x
– А
x
В
z
)e
y
+ (А
x
В
y
– А
y
В
x
)e
z
=
=
x
yz
x
yz
x
yz
A
AA
B
BB
eee
. (П.7г)
Смешанное (векторно-скалярное) произведение
(А [В С]) = (В [С А]) = (С [А В]) ≡ (АВС). (П.8а)
Последнее равенство выражает собой сокращенное обозначение сме-
шанного произведения и отражает
свойство циклической перестановки
векторов в смешанном произведении
.
Произведения, содержащие более двух векторов
[А [В С]] = В(А С) – С(А В) (Правило “бац”–”цаб”), (П.8б)
([
А В] [С D]) = (A C)(B D) – (A D)(B C), (П.8в)
([
A B])
2
= A
2
B
2
– (A B)
2
, (П.8г)
[[
A B] [C D]] = (A [C D])B – (B [C D])A = (A [B D])C – (A [B C])D. ( П.8д)
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 225
Решение некоторых векторных уравнений
(Ниже предполагается, что (А [В С]) ≠ 0)
Система Решение
(A X) = p
[A X] = B
[]
22
1p
A
A
=+XA BA (П.9а)
(A X) = p
(B X) = q
(C X) = r
[]
()
[]
[]
()
[]
[]
()
[]
=
pq r
++XBC CA AB
ABC BCA CAB
(П.9б)
Дифференцирование векторов. Приведение матриц к диагональному виду
Опыт показывает, что затруднение вызывает дифференцирование век-
торных функций по скалярному аргументу. Поэтому ниже приводим ос-
новные правила дифференцирования таких функций.
() ()
(
)
(
)
[]
()
;() (const)
dt d t
dddt
tt ata a
dt dt dt dt dt
±=± = =⎡⎤
⎣⎦
vw
v
vw v
[]
() ()
() () () () ;
ddftdt
ft t t ft
dt dt dt
=+
v
vv
()
() ()
() () () () ;
ddtdt
tt t t
dt dt dt
⎛⎞⎛⎞
=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
vw
vw w v
[] []
() () ()
() ; () () () () ;
dddftd dt dt
ft t t t t
dt df dt dt dt dt
⎡
⎤⎡ ⎤
==+
⎢
⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦
vvw
vvwwv
[]
()
[][] []
()
() () () () () () () () ()
ddddt
ttt tt tt tt
dt dt dt dt
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
=++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
uvw
uvw vw wu uv
.
Примечание: При дифференцировании смешанного произведения порядок век-
торов-сомножителей не изменяется
!
Опираясь на эти правила можно получить выражение для первой про-
изводной от двойного векторного произведения.
Правила дифференцирования единичных ортов
(
а) Если эти орты образуют прямоугольную декартовую СК или не меняют
свое направление в пространстве с течением времени, то их производ-
ная по времени равна нулю.
(
б) Если единичные орты могут менять свое направление в пространстве,
Приложение. Минимальные сведения по математике 226
то их дифференцирование осуществляется по следующему правилу.
Пусть
v(t) = v(t)e(t). Тогда
[]
()
()
dt
t
dt
=
e
ωe и
[]
()
() () ()
dt
vt t t
dt
=+
v
e
ωv
&
. (П.10)
Вектор угловой скорости
ω направлен (по правилу правого винта) вдоль
оси поворота вектора скорости
v(t) и имеет длину, равную угловой скоро-
сти поворота вектора
v(t). Если вектор скорости не изменяется по длине, то
вектора скорости и ускорения перпендикулярны друг другу.
Диагонализация матриц и соответственно невырожденных симметриче-
ских квадратичных форм сводится к следующим операциям:
1.
Нахождения собственных значений исходной матрицы соответствую-
щего порядка путем решения характеристического уравнения.
2.
Нахождение ортонормированных собственных векторов матрицы для
каждого вычисленного собственного значения.
3.
Переход от начальных базисных векторов к найденным собственным
векторам исходной матрицы, задающей квадратичную форму, приво-
дит ее к диагональному виду.
Интегрирование элементарных функций
Стандартные методы замены переменной, интегрирование по частям и
табличные интегралы от элементарных функций здесь не приводятся. В
теоретической механике часто встречаются интегралы от дробно-рацио-
нальных выражений и интегралы, содержащие корень от квадратного
трехчлена. Интегралы первого типа после выделения корней полинома,
соответствующего знаменателю сводятся к стандартным интегралам вида
()
()
2
,
p
dx Mx N
xa
A
xBxC
α
+
−
++
∫∫
.
Рационализация подынтегрального выражения в интегралах подобного ти-
па
(
)
2
,
R
xabxcxdx++
∫
осуществляется с помощью одной из следующих
трех подстановок, определяемых в математике как
подстановки Эйлера:
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 227
22
12 1
( 0), ( 0),
()( )().
abxcx xt a a abxcx txc c
cx x x x tx x
++ =± > ++ =± >
−−=−
Основные дифференциальные уравнения
и методы их решения
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
()(); ()
()
y
x
dy dy
f
xgy f xdx
dx g y
ηξ
==
∫∫
. (П.11)
Линейные
дифференциальные уравнения и уравнения сводящиеся к ним
() (); () () , () ()
xx
FF
dy
f
xy gx yx e gxedx Fx f xdx
dx
−
ξξ
⎛⎞
+= =⎜η+ ⎟ =
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
. (П.12)
Отметим, что уравнение Бернулли '() () 0
yfxygxy
α
=
+= подстановкой
1
()ux y
−α
= сводится к линейному уравнению, решение которого находится
в квадратурах
'(1 )() (1 )() 0
ufxugx+−α +−α =. (П.13а)
Отыскание решения системы
линейных дифференциальных уравне-
ний
с постоянными коэффициентами
'
11
...
pp pnn
yay ay=++
(
)
1,...,
p
n
=
, (П.13б)
и тесно связанных с этой системой дифференциальных уравнений n-го
порядка
() ( 1)
1
... ( )
nn
n
yay ayFx
−
+++=, (П.13в)
с
постоянными коэффициентами {a
k
} (k = 1,2,…,n) и правой частью F(x),
выражаемой тригонометрическими, степенными и другими функциями
сводится к следующим основным операциям.
1.
Сведение дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям
с помощью замены переменной
x
ye
λ
= .
2.
Отыскание всех корней получившегося полинома
1
1
... 0
nn
n
aa
−
λ+ λ + + = (П.14)
Приложение. Минимальные сведения по математике 228
для уравнения (П.13б) или нахождения корней характеристического урав-
нения для системы (П.13а). Общее решение для случая
n различных корней
записывается в виде
1
()
k
n
x
k
k
yx Ce
λ
=
=
∑
. (П.15)
Совокупность констант
С
k
, входящих в последнее уравнение находится из
начальных условий.
3.
Если правая часть уравнения не равна нулю и выражается в виде триго-
нометрических или степенных функций, то решение неоднородного
уравнения ищется в виде
этих же функций с неопределенными коэф-
фициентами. Эти неизвестные коэффициенты находятся из тождествен-
ного условия сравнения левого и правого частей уравнения (П.13б).
В заключение этого математического приложения приведем один общий
способ интегрирования нормальной системы
двух уравнений, правые части
которых удовлетворяют условиям Коши-Римана. Пусть дана система
(, ), (, )
dx dy
uxy vxy
dt dt
==, (П.16)
где
x и y − искомые вещественные функции от вещественной переменной t.
Предположим, что правые части этой системы имеют непрерывные част-
ные производные и удовлетворяют условиям Коши-Римана
,
uvu v
x
yy x
∂∂∂ ∂
=
=−
∂∂∂ ∂
. (П.17)
Введем в рассмотрение
комплексную переменную z, положив
,
dz dx dy
zxiy i
dt dt dt
=+ = + .
Тогда, умножая второе из уравнений системы (П.16) на комплексную еди-
ницу и складывая его с первым, получаем
(, ) (, ) ()
dz
uxy ivxy f z
dt
=+ ≡. (П.18)
Из последнего уравнения получаем
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 229
0
()
z
z
dz
tC
fz
=
+
∫
, (П.19)
где
t − вещественная переменная, а С = С
1
+ iC
2
произвольная комплексная
постоянная. Отделяя в последнем уравнении вещественную и мнимую час-
ти, получим выражения для
x и у как функции от переменной t.
Пример. Рассмотрим систему
,
dx dy
mx ny nx my
dt dt
=+ =−+.
Нетрудно убедиться, что условия (П17) выполнены, и система сводится к
одному уравнению
,
dz
bz b m in
dt
=
=−.
Интегрируя это уравнение и отделяя вещественную и мнимую части, по-
лучим окончательно
(
)
(
)
12 21
( ) cos( ) sin( ) , ( ) cos( ) sin( )
mt mt
x
t e C nt C nt y t e C nt C nt=+ =−.
Библиография 230
Библиография
Библиография
1. Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р. Учебные задания по теоретической
механике.
(Под ред. Кочелаева Б.И.) Казань: Лаб. оператив. полиграфии
КГУ, 1988.
2.
Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Нау-
ка, 1974.
3.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965.
4.
Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит,
2001.
5.
Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975.
6.
Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Задачи по теоре-
тической механике для физиков
. М.: Изд. МГУ, 1978.
7.
Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник
задач по аналитической механике
. М.: Наука, 1980.
8.
Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по теоретической механике.
М.: Наука, 1969.
9.
Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Нау-
ка, 1986.
10.
Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко А.М. Сборник
задач по теоретической физике
. М.: Высшая школа, 1984.
11.
Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Аналитическая механика. Дополнительные во-
просы
. Новосибирск: Изд. Новосибирского университета, 1988.
12.
Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. М.: Изд. МГУ,
1988.
13.
Невзглядов В.Г. Теоретическая механика. М.: ГИФМЛ, 1959.
14.
Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах.
(Том I - II). М.: ГИФМЛ, 1961, Том Ш. М.: Наука,
ГРФМЛ, 1973.
15.
Мисюрев М.А. Методика решения задач по теоретической механике.
М.: Высшая школа, 1963.