Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р., Прошин Ю.Н. Теоретическая механика (практический курс). Задачник для физиков
Подождите немного. Документ загружается.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 211
Уравнение Гамильтона-Якоби
До этого мы имели дело с уравнениями движения в форме систем
дифференциальных уравнений с обычными производными по времени
от
искомых величин. Интегрирование этих уравнений (уравнений Ньютона,
уравнений Лагранжа I и II рода, уравнений Гамильтона) вкупе с использо-
ванием начальных условий сразу приводило к законам движения механи-
ческой системы.
Уравнение Гамильтона-Якоби представляет собой одно
дифференци-
альное уравнение в частных производных
на производящую функцию S.
После решения этого уравнения и нахождения S –
полного интеграла
уравнения Гамильтона-Якоби, законы движения механической системы
q
j
= q
j
(t) находятся из решения системы алгебраических уравнений. По фи-
зическому смыслу функция S является действием.
Уравнение Гамильтона-Якоби выглядит следующим образом
1
1
( ,..., , ,..., , ) 0
n
n
SS S
Hq q t
qq t
∂
∂∂
+
=
∂∂ ∂
, (10.11)
а его полный интеграл
S = f(q
1
,…, q
n
, α
1
,…, α
n
, t) + α
n+1
(10.12)
зависит от n обобщенных координат, времени и (n + 1) константы. Одна из
констант, α
n+1
, – аддитивна, поэтому несущественна, и можно записать, что
S = f(q
1
,…, q
n
, α
1
,…, α
n
, t) = S(q
1
,…, q
n
, α
1
,…, α
n
, t) (10.13)
Основные свойства уравнения Гамильтона-Якоби
(а) Консервативность системы
Если гамильтониан не зависит явным образом от времени, т.е.
H(q
1
,…,q
n
, p
1
,…,p
n
) = E
=
const – интеграл движения, тогда полный инте-
грал уравнения Гамильтона-Якоби S записывается как
S = S
0
(q
1
,…, q
n
, α
1
,…, α
n
) − Et, (10.14)
где E – обобщенная энергия системы, S
0
(q
1
,…, q
n
, α
1
,…, α
n
) – независящее
от времени укороченное действие системы. Заметим, что после этой под-
Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 212
становки одна из констант α
j
равна E! Упрощенное уравнение на укоро-
ченное (сокращенное) действие S
0
имеет следующий вид
00
1
1
( ,..., , ,..., )
n
n
SS
H
qq E
qq
∂
∂
=
∂∂
. (10.15)
(б) Цикличность координат
Если гамильтониан не зависит явным образом от какой-либо коорди-
наты q
k
, т.е. H(q
1
,…, q
k−1
, q
k+1
,..., q
n
, p
1
,…, p
n
, t), и, следовательно, соответ-
ствующий обобщенный импульс p
k
– интеграл движения, тогда полный
интеграл S записывается как
S = S
~
k
(q
1
,…, q
k−1
, q
k+1
,..., q
n
, α
1
,..., α
k−1
, α
k+1
,…,α
n
, t) + α
k
q
k
, (10.16)
где константа α
k
имеет смысл сохраняющегося обобщенного импульса p
k
,
сопряженного циклической координате q
k
. Упрощенное уравнение на со-
кращенное действие S
~
k
имеет следующий вид
111
11 1
( ,..., , ..., , ,..., , , ,..., ) 0
kk kkk
kk n k
kkn
SS SSS
Hq q q q
qq q q t
−+
−+
∂∂ ∂∂∂
α
+=
∂∂ ∂ ∂ ∂
%% %%%
. (10.17)
Если циклических координат несколько (k принимает несколько значений),
то они появляются в полном интеграле S в виде линейной комбинации
S = S
~
(q
~
,α
~
, t) +
∑
k
α
k
q
k
. (10.18)
Здесь и ниже знак "~" над координатами и константами означает "все,
кроме k-тых". Все соответствующие производные в уравнении на сокра-
щенное действие S
~
заменяются на константы, как в (10.16).
(в) Разделение переменных
Это самый общий метод, как частное он включает в себя и (а), и (б).
Пусть в уравнение Гамильтона-Якоби (10.11)
11
11
( ,..., , ,..., , , ) ( ,..., , ,..., , ) 0
nn
nn
SSS SS S
qq tHqq t
qqt qq t
∂∂∂ ∂∂ ∂
Φ=+=
∂∂∂ ∂∂ ∂
(10.19)
какая-либо переменная и соответствующая частная производная (напри-
мер, q
m
и ∂S/∂q
m
) входят в виде подфункции (комбинации)
1
φ(q
m
,∂S/∂q
m
), не
1
См. также разобранную задачу 5 из раздела 9 (скобки Пуассона).
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 213
содержащей других переменных q
~
(и времени) и производных по ним (ус-
ловно запишем эти производные как ∂S/∂q
~
). Т.е.
,,,; , 0
m
m
SS S
tq
tq
⎛⎞
⎛⎞
∂∂ ∂
Φ
=Φ φ =
⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
⎝⎠
q
q
%
%
. (10.20)
Тогда эта функция
,
m
m
S
q
q
⎛⎞
∂
φ
⎜⎟
∂
⎝⎠
является интегралом движения, а полный
интеграл S запишется в виде суммы
S(q, t) = S
~
m
(q
~
, t) + S
m
(q
m
). (10.21)
В этом случае уравнение (10.19) распадется на два
,const
,,,; 0,
m
mm
m
mm
m
dS
qC
dq
SS
tC
t
⎧
⎛⎞
φ==
⎪
⎜⎟
⎝⎠⎪
⎨
⎛⎞
∂∂
⎪
Φ=
⎜⎟
⎪
∂∂
⎝⎠
⎩
q
q
%%
%
%
(10.22)
первое из которых является простым дифференциальным уравнением пер-
вого порядка относительно S
m
(q
m
), а независящая от q
m
часть определяется
вторым упрощенным уравнением в частных производных на сокращенное
действие S
~
m
, порядок которого на единицу меньше по сравнению с исход-
ным уравнением Гамильтона-Якоби (10.20).
Как и в предыдущем пункте (б), процедура (10.21)–(10.22), может
быть проведена несколько раз.
Замечание: Естественно, что все эти свойства (а), (б), (в) могут быть при-
менимы одновременно, но общее число независимых кон-
стант (E, α
k
, C
m
), найденных с помощью этих свойств, не
должно превышать числа степеней свободы системы n.
Закон движения в формализ
ме Гамильтона-Якоби
После решения уравнения Гамильтона-Якоби, его полный интеграл
S(q
1
,…, q
n
, α
1
,…, α
n
, t) записывается в виде (10.13), где в качестве констант
α
1
,…, α
n
выступают как константы (E, α
k
, C
m
), найденные с помощью
свойств (а), (б), (в), так и неаддитивные константы, появившиеся при непо-
Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 214
средственном интегрировании упрощенного дифференциального уравне-
ния на сокращенное действие S
0
или S
~
.
По физическому смыслу функция S является производящей функцией
канонического преобразования, связывающего текущие координаты q
j
и
импульсы p
j
в момент времени t с их начальными значениями в момент
времени t
0
(которые, в формализме уравнений Гамильтона-Якоби, как пра-
вило, и являются константами β
j
и α
j
, соответственно). Для нахождения за-
конов движения q
j
= q
j
(t) и p
j
= p
j
(t) воспользуемся свойствами полной
функции действия S как производящей функции, а именно:
∂S
∂α
j
= β
j
,
∂S
∂q
j
= p
j
( j = 1,…,n). (10.23)
Здесь β
j
– константы. Первый набор соотношений ("производная по кон-
станте дает константу") дает алгебраические уравнения, решение которых
q
j
= q
j
(t, α
1
,…, α
n
, β
1
,…, β
n
) (10.24)
и есть искомый закон движения q
j
= q
j
(t). Общее число констант α
j
, β
j
как
раз достаточно, чтобы удовлетворить начальным условиям.
Алгоритм решения задач в формализм
е Гамильтона-Якоби
1.
Находится гамильтониан механической системы H(q
1
,…,q
n
, p
1
,…,p
n
, t).
2.
Записывается уравнение Гамильтона-Якоби (10.11) на функцию
действия S. Здесь в функции Гамильтона все обобщенные импульсы за-
менены частными производными по соответствующим обобщенным
координатам: p
j
=
∂S
∂q
j
.
3.
Упрощение уравнения Гамильтона-Якоби в соответствие со всеми
возможными интегралами движения (свойства (а)–(в)).
4.
Решение получающегося упрощенного уравнения Гамильтона-Якоби на
сокращенную функции действия (S
0
или S
~
). Нахождение полного интегра-
ла уравнения Гамильтона-Якоби S.
5.
"Производная по константе дает константу" – использование (10.23)
и начальных условий для нахождения законов движения.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 215
Примеры решения задач
Задача 3. Записать уравнение Гамильтона-Якоби для простейших механи-
ческих систем:
a) свободной частицы; б) гармонического осциллятора;
в) частицы в центральном поле.
Решение. Функции Гамильтона этих систем найдены в задаче 1 раздела 9.
а) Функция Гамильтона свободной частицы (число степеней свободы
n = 3)
222
(, ,, , , )
2
x
yz
xyz
p
pp
Hxyzp p p
m
++
= .
Исходное уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S –
2
22
1
0
2
SSSS
mx y z t
⎡⎤
⎛⎞
∂∂∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
++ +=
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
.
Пользуемся цикличностью координат y, z и времени t, получаем связь
S = S
~
(x) + α
2
y + α
3
z − Et
и упрощенное уравнение для сокращенного действия S
~
(x)
2
22
23
1
22
dS
E
mdx m
⎛⎞
α+α
+
=
⎜⎟
⎝⎠
%
.
б) Функция Гамильтона гармонического осциллятора (n = 1)
H(x,p) = p
2
/2m + mω
2
0
x
2
/2.
Исходное уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S –
2
2
2
0
1
0
22
Sm S
x
mx t
∂ω∂
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
.
Пользуемся консервативностью системы (цикличностью времени t) и пе-
реходим к укороченному действию S
0
S = S
0
(x) − Et.
Для S
0
получаем упрощенное уравнение
Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 216
2
222
0
0
2
dS
mE m x
dx
⎛⎞
=−ω
⎜⎟
⎝⎠
.
в) Функция Гамильтона частицы в центральном поле (n = 2)
22
2
()
2
2
pp
HU
m
m
ρϕ
=+ +ρ
ρ
.
Исходное уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S –
22
2
11
() 0
2
2
SSS
U
mt
m
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂∂
++ρ+=
⎜⎟ ⎜⎟
∂ρ ∂ϕ ∂
ρ
⎝⎠ ⎝⎠
.
Пользуемся цикличностью ϕ и t, выражаем полный интеграл S через со-
кращенное действие S
~
S = S
~
(ρ) + α
ϕ
ϕ − Et.
Упрощенное уравнение для S
~
(ρ) выглядит следующим образом
2
2
2
22()
dS
mE mU
d
ϕ
α
⎛⎞
=− ρ−
⎜⎟
ρ
ρ
⎝⎠
%
.
Задача 4. Найти закон движения тела массы m брошенного с начальной
скорость v
0
под углом ϕ к горизонту в поле силы тяжести.
Замечание: Перед решением этой известной школьной задачи с помощью
уравнения Гамильтона-Якоби вспомните ее решение "обыч-
ным" способом с помощью второго закона Ньютона.
Решение. Введем декартовую систему координат. Для описания движения
тела достаточно 2 координаты x и y. Ось y направим вертикально вверх,
ось x – горизонта
льно. Начальные условия: x
0
= 0, y
0
= 0, v
x0
= v
0
cosϕ,
v
y0
= v
0
sinϕ. Далее действуем по алгоритму.
1.
Гамильтониан. Задача имеет две степени свободы: q
1
= x, q
2
= y. Кине-
тическая энергия – T = (m/2)(x
•
2
+ y
•
2
) = T
(2)
– квадратична по скоростям,
потенциальная – U = mgy – имеет обычный вид. Следовательно, функ-
ция Лагранжа
L(q
1
,q
2
,q
•
1
,q
•
2
,t) = L(x,y,x
•
,y
•
) = T − U = (m/2)( x
•
2
+ y
•
2
) − mgy.
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 217
Обобщенные импульсы (в данном случае они совпадают с обычными!)
;
xy
LL
p
mx p my
xy
∂∂
== ==
∂∂
&&
&&
.
Начальные условия в гамильтоновом формализме при t = t
0
= 0
x = x
0
= 0, y = y
0
= 0; p
x
= p
x0
= mv
0
cosϕ, p
y
= p
y0
= mv
0
sinϕ. (10.25)
Запишем функцию Гамильтона
H(x,
y, p
x
, p
y
, t) = p
x
x
•
+ p
y
y
•
− L = Т
(2)
+ U = p
2
x
/2m + p
2
y
/2m + mgy
2.
Уравнение Гамильтона-Якоби для полной функции действия S(x,y,t)
2
2
11
0
22
SS S
mgy
mx my t
⎛⎞
∂∂ ∂
⎛⎞
+++=
⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
⎝⎠
.
3.
Упрощение (интегралы движения). Функция Гамильтона не зависит
от времени t и от x. Следовательно, сохраняются обобщенная энергия H
(свойство а) и импульс p
x
(свойство б). Для их определения воспользуемся
начальными условиями (10.25)
H = p
2
x
/2m + p
2
y
/2m + mgy = p
2
x0
/2m + p
2
y0
/2m = mv
2
0
/2
=
E, (10.26)
p
x
= p
x0
= mv
0
cosϕ = α
x
. 10.27)
Полное действие S(x,y,t) в соответствии со свойствами (10.14) и (10.16)
имеет вид
S = S
~
(y, α
x
, E) + α
x
x−Et, (10.28)
а упрощенное уравнение для сокращенного действия S
~
(q
2
) –
2
2
1
22
x
S
mgy E
mmy
⎛⎞
α∂
++=
⎜⎟
∂
⎝⎠
%
. (10.29)
4.
Решение уравнения Гамильтона-Якоби. Поскольку S
~
функция только од-
ной переменной y, то, заменив частную производную в (10.29) обычной
производной dS
~
/dy и разрешив относительно нее уравнение (10.29), имеем
22
22
x
dS
mE m gy
dy
=−−α
%
.
Находим решение, в котором опускаем аддитивную константу
Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 218
(
)
3/2
22
2
22
3
x
mE m gy
S
mg
−−α
=−
%
. (10.30)
Подставляя (10.30) в (10.28), получаем полный интеграл
уравнения Га-
мильтона-Якоби – функцию, зависящую от 2 координат (x и y), 2 констант
(α
x
и E) и времени t
(
)
3/2
22
2
22
(, , , ,)
3
x
xx
mE m gy
Sxy Et x Et
mg
−−α
α=− +α−. (10.31)
5.
Закон движения – "производная по константе дает константу". Под-
ставляем найденный полный интеграл (10.31) в первые из соотношений
(10.23) и получаем
(
)
1/2
22
1
2
1
22
xx
x
mE m gy
SS
x
mg
α−−α
∂∂
== +=β
∂α ∂α
, (10.32а)
(
)
1/2
22
2
2
22
x
mE m gy
SS
t
Emg
−−α
∂∂
=
=− − =β
∂α ∂
. (10.32б)
Константы α
x
= α
1
и E = α
2
определены выше в (10.26), (10.27). Исполь-
зуем начальные условия для нахождения β
1
и β
2
, для этого подставим в
(10.32) t = t
0
= 0 и применим (10.25) – (10.27)
(
)
()
1/2
2
22
00
1
2
1/ 2
2
0
2
2
cos sin sin 2
2
2
sin
xx
x
mE
vv
gg
mg
mE
v
mg g
α−α
ϕ
ϕϕ
β= = =
−α
ϕ
β=− =−
. (10.33)
Теперь все константы определены, решаем систему алгебраических
уравнений (10.32) относительно неизвестных x и y
22
21
22
22
2
2
x
ggygxg
m
ggygtg
α
β
−+=β
β− + = β
. (10.34)
Из второго уравнения определяем значение
22
2
2ggyβ−
, которое под-
ставляем в первое уравнение, и находим
Теоретическая физика. Механика (практический курс) 219
x = β
2
− (α
x
/m)(β
1
− t) = α
x
t/m = v
0
tcosϕ. (10.35)
Из второго уравнения (10.34) находим y
g
2
β
2
2
− 2gy = g
2
β
2
2
− 2g
2
β
2
t + g
2
t
2
,
y = gβ
2
t − gt
2
/2 = v
0
tsinϕ − gt
2
/2. (10.36)
Естественно, что полученный закон движения совпал со "школьными
ответом": равномерное движение по горизонтали со скоростью
v
x
= v
0
cosϕ и равнозамедленное движение по вертикали с начальной
скоростью v
y
= v
0
sinϕ и ускорением свободного падения g. Исключив из
(10.35), (10.36) время t, можно получить известное выражение для тра-
ектории – параболу.
Задачи
Обязательные задачи
10.15.
Найти действие одномерного гармонического осциллятора, прохо-
дящего через точки х
1
= х(t
1
) и х
2
= х(t
2
).
10.16.
Записать уравнение Гамильтона-Якоби для механических систем,
описываемых функциями Лагранжа (задачи 9.4а-д). Упростить его,
использовать при этом все возможные интегралы движения.
10.17.
Записать уравнение Гамильтона-Якоби для систем, описываемых
данными функциями Гамильтона (задача 9.5а-ж). Упростить его,
использовать при этом все возможные интегралы движения.
10.18.
Записать уравнения Гамильтона-Якоби для систем, описываемых в
задачах а) 9.9; б) 9.10; в) 9.11; г) 9.12. Упростить их, использовав
при этом все возможные интегралы движения.
10.19.
Составить уравнение Гамильтона-Якоби для линейного гармониче-
ского осциллятора. Найти его полный интеграл и закон движения.
10.20.
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби материаль-
ной точки массой m, двигающейся в однородном поле тяжести.
32
22
12 12
2
1
2( )
3
SEt x y mEmgz
mg
⎡⎤
⎡
⎤
=− +α +α − − −α −α
⎢⎥
⎣
⎦
⎣⎦
Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби 220
10.21. Составить уравнения Гамильтона-Якоби для механических систем,
описанных в задачах:
а) Задача 4, решенная в разделе 5 (Уравнения Лагранжа); б) 5.9;
в) 5.11; г) 5.12; д) 5.14; е) 5.15; ж) 5.16; з) 5.19; и) 5.23.
Упростить их, использовав все возможные интегралы движения.
Задачи средней тр
удности
10.22.
Вычислить действие для частицы с массой m и зарядом е, двигаю-
щейся в однородном магнитном поле напряженности Н (ω = eH/mc).
22
21 21
21 21 1221
21
()
ctg ( ) ( ) ( )
222
mz z t t
Sxxyyxyxy
tt
⎡⎤
⎧⎫
−ωω−
⎡⎤
=+ −+−+ω−
⎨⎬
⎢⎥
⎣⎦
−
⎩⎭
⎣⎦
10.23. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для электро-
на, двигающегося в постоянном однородном магнитном поле.
12
22
12 21
2(),
x
e
SEt x z mE Hy dy Hy
c
⎡⎤
⎡⎤
=− +α +α + −α − α − =
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
∫
Ae
10.24. Материальная точка массы m движется в поле центральной силы с
потенциалом U(ρ) = −α/ρ, где ρ = (x
2
+ y
2
)
1/2
, α > 0. С использовани-
ем уравнения Гамильтона-Якоби найти траекторию движения точ-
ки.
10.25.
Составить уравнения Гамильтона-Якоби для механических систем,
описанных в задачах: а) 5.25; б) 5.27; в) 5.30; г) 5.33 д) 9.16.
Задачи повышенной трудности
10.26.
Какому условию должен удовлетворять потенциал для того, чтобы
уравнение Гамильтона-Якоби, описывающее движение частицы с
массой m, допускало полное разделение переменных:
а) в декартовых координатах, б) в цилиндрических координатах,
в) в сферических координатах.
10.27.
Найти (в квадратурах) с помощью уравнения Гамильтона-Якоби за-
кон движения системы, гамильтониан которой
22
11
22
22
p
q
H
p
q
+
=
+
.