Кузнецов О.Л., Никитин А.А., Черемисина Е.Н. Геоинформатика и геоинформационные системы

Подождите немного. Документ загружается.

Решение об аномальности величины ρ

, соответствующей многомер-

ному и многоуровневому анализу отношения аномалия/помеха, следует

принимать на основе известной статистики (критерия) Фишера. При ρ

пор

, где ρ

пор

определяется по таблицам распределения статистики Фишера

для заданных степеней свободы и вероятности ошибки I рода, фиксируется

эффект телескопирования, локализующий перспективный аномалиеобра-

зующий объект. В том случае, когда имеются наблюденные значения по

разным методам и по разным уровням одновременно, обратная корреляци-

онная матрица D

-1

превращается в блочную матрицу (матрицу матриц), а

вектор

→

в матрицу, число строк которой определяется числом уровней.

Например, для двух уровней и трех полей, наблюдаемых по каждому уров-

ню, конструкция (10.1) приобретает вид:

( )

















































322212312111

/10

0/1

XXXXXX

,(10.1)

где первый индекс в обозначениях X и D фиксирует номер метода, а второй

индекс – номер уровня. Наконец, если наблюденные значения представляют

собой данные, измеренные по некоторой площади по комплексу геополей,

зарегистрированных при этом на разных уровнях, то конструкция (10.1′)

превращается в перемножение блочной матрицы Х, где каждое значение X

– матрица, число блоков которой определяется числом уровней, на двойную

блочную матрицу D

-1

,т.е. матрицу матриц, где число блоков первого поряд-

ка определяется числом методов, а число блоков второго порядка определя-

ется числом уровней.

10.3.2. Многомерный аналог способа обратных вероятностей

Конструкция оценки эффекта телескопирования (10.1) положена в

основу при обобщении способов обратных вероятностей и самонастраи-

вающейся (адаптивной) фильтрации для комплекса одновременно наблю-

даемых физических полей (или нескольких уровней наблюдения одного и

того же поля). Известно, что надежность обнаружения комплексной анома-

лии γ определяется суммой значений энергетических отношений анома-

лия/помеха, рассчитанных для каждого l-го поля (или l-го уровня), т.е. ρ =

Σρ

, l = 1, … , L, L – число полей (или число уровней наблюдения): ρ=∑ ρ

( )

∫

∞−

−

=Φ=

ργ

dxe

(10.2)

Математическая модель способа обратных вероятностей для обнару-

жения комплексной аномалии состоит в следующем. В каждой l-й точке на-

блюденные значения представлены L-мерным вектором Y

= (y

,…, y

компоненты которого y

,…, y

– это значения по отдельным полям (или

уровням).

Наблюденные значения в i-той точке Y

представляют собой либо

сумму векторной (комплексной) аномалии A

= (a

,…,a

) и помехи N

,…,n

), т.е. Y

= A

+ N

, либо только помеху. Т.е. Y

=N. Здесь a

,…, a

–

заданные по форме аномалии каждого поля (уровня). На векторную помеху

,…,n

накладывается условие о ее L-мерном нормальном распределении

с нулевым средним и ковариационной матрицей D. Предполагается также

некоррелированный характер помех для каждого поля в отдельности, хотя

это предположение несущественно, поскольку вместо оценки дисперсии по-

требуется определение корреляционной матрицы помехи каждого поля

(уровня).

На основе описанной математической модели задача обнаружения L-

мерной (комплексной) аномалии формулируется так: для интервала из m то-

чек (величина m оценивается для наиболее протяженной аномалии) и L по-

лей или уровней (Y

,…, Y

) определить, являются ли эти наблюдения сум-

мой известных по формуле аномалий и L-мерной помехи (ненулевая стати-

стическая гипотеза H

): Y

i=1,…, m

= A

i=1,…, m

+ N

i=1,…, m

или же эти наблюдения

представлены лишь помехой по каждому полю (уровню) в отдельности

i=1,…, m

= N

i=1,…, m

(нулевая статистическая гипотеза Н

Как и для одномерного варианта способа обратных вероятностей,

форму аномалии по каждому полю получают либо из решения прямых за-

дач, либо по визуально наблюденным аномалиям, а величину дисперсии

помехи оценивают на заведомо безаномальном участке. Тогда, по аналогии

с одномерным вариантом способа обратных вероятностей, функция правдо-

подобия для ненулевой гипотезы Н

примет вид:

( )

( )( ) ( )

[ ]

},{

'21exp21

iiii

ΑΥDΑΥ/Dπ/ΠΥ/ΗΡ −−−=

−

(10.3)

а для нулевой гипотезы:

( )

1/ 2 exp 1 2 '

{}

Ρ Υ/Η Π π D / Υ D Υ

−



= −



(10.4)

Отношение правдоподобия

, с учетом выражений (10.3), (10.4) и

предположения о некоррелированности помехи для разных полей:

( ) ( ) ( )

.'2/1'exp///













−Υ=ΗΥΡΗΥΡ=Λ

∑ ∑

−−

i i

iiii

ADAAD

(10.5)

При

> 1 выполняется гипотеза Н

, при

< 1 – гипотеза Н

. Переход

от отношения правдоподобия к апостериорной вероятности наличия анома-

лии Р (Н

/Y) осуществляется по формуле Байеса (формула обратных веро-

ятностей), которая в данном случае выглядит как:

Р (Н1/Yi) = Λ / (Λ+1). (10.6)

При Р (Н

) > 0,5 принимается решение о наличие комплексной

аномалии А

при P(Н

) < 0,5 – об ее отсутствии.

Надежность обнаружения γ комплексной аномалии вычисляется с

помощью интеграла вероятности (10.2), для которого верхним пределом

служит обобщенное энергетическое отношение аномалия/помеха

= А’D

A, т.е.













ΑΑΦ=

→

−

→

2/'D

(10.7)

В качестве примера расчета квадратичной формы

→

−

→

ΑΑ

приведем

случай для двух полей. Пусть для одного из них аномалия фиксируется зна-

чениями а

= 1; а

= 3; а

= 1, а дисперсия помехи D

= 3, для другого –

аномалия а

= 0,2; а

= 0,5; а

= 0,2, а для дисперсии помехи D

= 0,05. То-

гда величина

→

−

→

ΑΑ

определяется следующим образом:

( )

23,10

2,0

5,0

2,0

200

33,0

033,0

2,0;5,0;2,0;1,3,1 =

























Согласно выражению (10.7) значение надежности обнаружения ком-

плексной аномалии γ равно 95 %, тогда как по первому полю γ =81 % (

3,63), а по второму γ =87 % (

= 6,6). Совершенно аналогично величине

→

−

→

ΑΑ

рассчитывается выражение

→

−

→

ΑΥ

в формуле (10.5), в которой

компонентами вектора

→

являются наблюденные значения по m точкам ка-

ждого поля (уровня). В том случае, когда имеются наблюдения по разным

методам и по разным уровням одновременно, корреляционная матрица D

становится блочной, а векторы А

и Y

превращаются в матрицы [см. форму-

лу (10.1’)].

10.3.3. Многомерный аналог способа самонастраивающейся фильтрации

Математическая модель многомерного аналога способа самонастраи-

вающейся фильтрации состоит в том, что, как и для одномерного варианта,

рассматривается окно размером в m пикетов и N профилей. При различных

положениях окна, т.е. при различных наклонах окна по отношению к про-

стиранию профилей, проверяется нулевая гипотеза Н

о средних значениях

в столбцах окна (гипотеза об отсутствии комплексной аномалии). При этом

наблюденные значения в окне представляют собой не одиночные значения

одного поля, а векторы наблюдений размерности L, где L – число одновре-

менно обрабатываемых полей или уровней.

При отсутствии комплексной аномалии модель поля в каждой точке

наблюдения определяется многомерной нормально распределенной поме-

хой с нулевым вектором среднего и ковариационной матрицей D, а при на-

личии аномалии – модель поля есть сумма комплексной аномалии и той же

многомерной помехи.

Для данной модели возможно построение критериальной статистики

так называемого следа матрицы Т

, которая позволяет решить вопрос о том,

равны ли векторы средних во всех столбцах окна нулевому вектору (гипоте-

за Н

) или же некоторые из них отличны от нулевого вектора (гипотеза Н

Для проверки гипотезы Н

статистика следа матрицы Т

имеет вид:

= Sp (RG

-1

), (10.8)

где R и G

-1

– случайные матрицы, имеющие распределение Уишарта.

Для многомерного аналога самонастраивающейся фильтрации оцен-

кой матрицы R размерности (m N L) (m N L) является выражение:

R =

N (Yi, Y’i), (10.9)

Где Y

– оценка вектора среднего в i-том столбце окна, т.е.

( )

Υ= Υ

∑

;

( )

∑

ΥΥ

и т.д. Такие оценки вычисляются по каж-

дому полю. Например, когда имеются только два поля, матрица R выража-

ется так:

















































•••

••

→

→→

→

yyy

22221

11211

2212

2111

...

.,..

.2.1

Матрица G размерности (m N L) (m N L) определяется формулой:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

1111 22 2 2

11 1 1

'' '

Nm N N

ik i ik i k k k k

mk m mk m

G yYyY yYyY y Yy Y

yYyY

•• • • • •

= =

••

= − − = − −+ − − +

⋅⋅⋅+ − −

∑∑ ∑ ∑

∑

(10.10)

Ковариационная матрицаD связана с G соотношением:

D = G / (mN – m), (10.11)

где m – число столбцов в окне (число пикетов); N – число строк в окне (чис-

ло профилей).

Статистика следа матрицы Т

аппроксимируется статистикой Фишера F и

обе эти статистики связаны между собой соотношением

T2 = F = [(mN – m – L + 1) / (m-1) L] Sp (RG-1). (10.12)

Подставляя выражения (10.9) и (10.10) для R и G в (10.12), получим

критериальную статистику многомерного аналога самонастраивающейся

фильтрации.

F = [(mN – m – L + 1) / (m-1) L (mN – m)] Sp (Y

-1

Y’

) =

{(mN – m – L + 1) / [(m-1) L (mN – m)]} Σ Y

-1

Y’

(10.13)

В случае выполнения нулевой гипотезы Н

, гипотезы об отсутствии

комплексной аномалии, статистика (10.13) распределена приближенно по

закону Фишера со степенями свободы:

= [(m-1) L (mN – m – L)] / [mN – (m-1) L – 2],

= mN – m – L + 1. (10.14)

Гипотеза о равенстве векторов средних в столбцах окна нулю отвер-

гается, если F >F

, где

– заданный уровень значимости. При этом

принимается решение о наличии комплексной аномалии в окне, т.е. решение

о выполнении гипотезы Н

Эффективность многомерного аналога самонастраивающейся фильт-

рации проиллюстрирована на примере обработки двух модельных полей. На

рис. 10.10 и 10.11 приведены два модельных поля, содержащие по пять ли-

нейных аномалий. Эти аномалии искажены сильными помехами, которые не

позволяют провести визуальное выделение полезных составляющих – ли-

нейных аномалий. На рис. 10.12 показаны результаты обработки лишь одно-

го поля, приведенного на рис. 10.10, способом самонастраивающейся

фильтрации при следующих параметрах обработки: m = 5, N = 7, L = 1. По-

рог принятия решения по статистике Фишера с вероятностью ошибки

= 5

% составляют 2,53, т.е. значения выделенных эффектов (см. рис. 10.12) ока-

зываются ниже пороговой величины. На рис. 10.13 приведен пример обра-

ботки двух полей многомерным аналогом самонастраивающейся фильтра-

ции при параметрах обработки m = 5, N = 7, L = 2. Порог принятия решения

в соответствии с распределением Фишера при

= 5 % равен 2,22 (g

= 9, g

= 29,

= 5 %). При этом выделяются все слабые аномальные эффекты, зна-

чения которых превышают пороговую величину.

Рис.10.10. Карта изолиний модельного поля 1, представленного суммой пя-

ти линейных аномалий (пунктирные линии) и некоррелированной помехи.

ПК

6 11 16 21 26 31 36 41 46

Рис. 10.11. Карта изолиний модельного поля II, представленного суммой пя-

ти линейных аномалий (пунктирные линии) и некорелированной помехи.

ПК

Пр

6 11 16 21 26 31 36 41 46

Рис. 10.12. Значения статистики Фишшера при обработке данных модельно-

го поля I способом одномерного варианта самонастаивающейся фильтрации.

ПК

6 11 16 26 31 36 41 46

Рис.10.13. Значения статистики Фишера при обработке данных модельных

полей I и II многомерным аналогом способа самонастраивающейся фильт-

рации.

Алгоритмы многомерных аналогов способов обратных вероятностей

и самонастраивающейся фильтрации реализованы А.В. Петровым. Состав-

ленные им программы включены в автоматизированную систему КОСКАД-

3D [28].

Очевидно, что одновременная обработка данных по комплексу гео-

полей, зарегистрированных при этом на разных уровнях при площадных из-

мерениях, потребует существенного усложнения алгоритмов. Так, матрица

R, равная произведению двух матриц в рассмотренном выше варианте обра-

ботки, будет определяться произведением уже двух блочных матриц, коли-

чество блоков которых равно числу уровней наблюдений. Соответственно

ковариационные матрицы G и D, представленные для рассмотренного выше

варианта обработки простыми блочными матрицами, для которых число

блоков равно числу полей L, будут матрицами матриц (двойные блочные

матрицы), где число одного уровня блоков равно числу полей L, а число

второго уровня блоков определяется числом уровней наблюдений. Соответ-

ственно, требуется пересчет степеней свободы в формулах (10.12)-(10.14) –

для статистики Фишера.

10.4. Распознавание геообъектов по комплексу

геофизических аномалий

С целью обнаружения площадей, перспективных на поиски и развед-

ку месторождений полезных ископаемых, широко используются различные

алгоритмы распознавания образов с предварительным обучением на эталон-

ных объектах.

Постановка и решение задачи для большинства методов распознава-

ния в геологии и геофизике состоит в следующем. Сначала проводится обу-

чение на эталонных объектах разных классов для оценки информативности

отдельных признаков и их различных сочетаний (этап обучения). Затем по