Кузнецов О.Л., Никитин А.А., Черемисина Е.Н. Геоинформатика и геоинформационные системы

Подождите немного. Документ загружается.

имеющейся информации о значении измеренных или полученных путем об-

работки признаков в каждой точке наблюдений, или при каждом смещении

выбранного для анализа «окна» (ячейки) из M точек и N профилей, на осно-

ве различных правил и критериев принятия решения, делается вывод о при-

надлежности искомой точки «окна» (ячейки) к тому или иному классу эта-

лонных объектов (этап распознавания).

Известно, что этап обучения на эталонных объектах – один из наибо-

лее уязвимых мест методов распознавания в геологии и геофизике. Много-

образие геолого-геофизической информации, обусловленное изменением

геологического строения в пределах даже одной площади исследования,

влияние различного рода помех часто не позволяют использовать надежно

результаты обучения на эталонных объектах для решения прогнозно-

поисковых задач. При этом геофизическая информация используется далеко

не полностью, поскольку чаще всего ограничиваются набором таких при-

знаков поля в элементарной ячейке (окне), как среднее, знак аномалии, дис-

персия, интервал корреляции, направление изолиний. Целесообразно по-

строить такой алгоритм распознавания, который был бы ориентирован на

размеры конкретного эталонного объекта и форму создаваемых им анома-

лий и позволил бы выделять на изучаемой площади объекты с аналогичны-

ми характерными особенностями комплексных полей.

Параметрами, характеризующими эталонный объект, являются дву-

мерные поверхности, заданные значениями поля в дискретных точках пря-

моугольной сети. Каждая поверхность отражает поведение конкретного

геофизического поля (признака) над эталонным объектом. Признаками (ат-

рибутами) могут быть значения различных геофизических полей, их произ-

водных, наблюдения на различных уровнях одного признака, оцифрованная

геологическая информация и т.д. Соответственно, при наблюдении ком-

плексных полей, зарегистрированных на разных уровнях наблюдений, мы

получаем наборы двумерных поверхностей. Число таких наборов определя-

ется числом уровней наблюдения.

При подобном подходе к распознаванию, в отличие от традиционно-

го, реализуется вся имеющаяся информация о структуре физических полей.

Значения комплексной аномалии, т.е. ее двумерной формы (или трехмерной

при разноуровневых наблюдениях), можно получить классическим путем

обучения на уже исследованных (например, бурением) площадях, либо пу-

тем решения прямых задач, а также создав банк данных элементарных ано-

малий, из которых путем линейных преобразований можно построить ком-

плексную аномалию заданной энергии и формы, в том числе комплексную и

разноуровневую аномалию при наблюдениях на нескольких уровнях.

Этап распознавания заданной комплексной аномалии F (i, j), i = 1,…,

М; j = 1,…, N, размером M

⋅

N точек, где M – число точек наблюдения на

профиле; N – число прфилей, состоит в следующем.

Без ограничения общности рассмотрим окно на анализируемой пло-

щади размером M

⋅

N точек и наклоном θ. Пусть в каждой точке окна ис-

ходные данные представлены наблюдениями по L признакам, т.е. векторами

( )

jif ,

→

, причем

( ) ( ) ( )

jinjiajif ,,,

→→→

, где

( )

jia ,

→

– аномальная составляю-

щая наблюденного поля;

( )

jin ,

→

– помеха, имеющая в каждой точке L-

мерное нормальное распределение с нулевым вектором среднего и ковариа-

ционной матрицей D.

Очевидно, что при совпадении формы комплексной аномалии F

(i, j),

i = 1,…, M, j = 1,…, N (M – число пикетов, N – число профилей) от эталон-

ного объекта с аномальной составляющей

( )

jia ,

→

поля в окне, разность меж-

ду наблюденным полем F

и эталонным F

есть не что иное, как помеха

→

≈

пом

= F

– F

Таким образом, решение задачи распознавания комплексной анома-

лии сводится к проверке нулевой статистической гипотезы Н

о том, что

значения разности F

пом

в строках и столбцах окна распределены с одним и

тем же нулевым вектором среднего, т.е.

0......

121

=======

→

→→→→

MNNN

mmmmm

т.е.

→

(j = 1,…,N) – оценка вектора среднего разности по строкам в окне;

N+I

(I=1, ,M) – оценка вектора среднего разности по столбцам в окне.

Для проверки гипотезы Н

при отсутствии информации о ковариаци-

онной матрице признаков D можно воспользоваться критерием Хоттелинга

, который базируется на статистике следа матрицы (используется след

блочной матрицы):

= Sp (DG

-1

), где

i iN iN

DM N

µµ µ µ

→

→→ →

= =

′

= +

∑∑

; (10.15)

( ) ( ) ( )

11 11

[, ][, ]' [, ][(,) ]

NM NM

ljlj l

Ni l Ni

ji ji

G f ij f ij f ij f ij

µµ µ µ

→→→→ →→→→

= = = =

′

= − −+ − −

∑∑ ∑∑

; (10.16)

( ) ( )

jifM

,/1

∑

→→

(10.17)

– оценки векторов среднего разности

→→

−

по строкам в окне для каждого

признака l, l =1,… L;

( ) ( )

jifN

liN

,/1

∑

→

(10.18)

– оценки векторов среднего разности

→→

−

по столбцам в окне для каждо-

го признака l.

Распределение обеих статистик D и G достаточно сложно, и в алго-

ритме используется аппроксимация статистики Т

распределением Фишера

∼

, т.е.:

()

( 1) (2 )

MN N M L

F Sp DG

M N L MN M N

−

− − −+

+− − −

. (10.19)

При гипотезе Н

эта статистика

∼

приближенно распределена по

закону Фишера со степенями свободы:

= [(M + N – 1) L (2MN – M – N – L)]/[2MN – (M + N – 1) L – 2],

= 2MN – N – L + 1,

здесь L – число признаков, т.е. число геополей (или число уровней).

Окончательно статистика критерия

∼

имеет вид:

∼

21 21

()

( 1) (2 ) ( 1) (2 )

(' )

j Ni

MN N M L MN N M L

Sp DG

M N L MN M N M N L MN M N

µµ µ µ

−

→

→→ →

−−

= =

− − −+ − − −+

+− − − +− − −

∑∑

(10.20)

Гипотеза Н

считается справедливой, если

∼

< F

, где F

– пороговое

значение распределения Фишера со степенями свободы g

и g

на уровне

значимости

Справедливость гипотезы Н

свидетельствует о том, что центральная

точка в окне является центром искомого объекта. Перемещением окна по

исследуемой площади при различных значениях его наклона выделяются

все точки, в которых аномальная составляющая исследуемых полей в окне

совпадает с комплексной эталонной аномалией при различных параметрах

ее простирания.

Перед проведением обработки по предложенному алгоритму целесо-

образно осуществить фильтрацию исходной информации для того, чтобы

исключить фоновую составляющую поля и разложить поле на составляю-

щие.

При обработке данных, зарегистрированных на разных уровнях на-

блюдения, т.е. когда L – число уровней, следует иметь в виду, что аномалии

от объектов на разных уровнях отличаются друг от друга (различная глуби-

на залегания объектов, различная степень затухания и т.д.).

Отметим достоинства и недостатки рассмотренного выше алгоритма:

a) предлагаемый алгоритм распознавания позволяет полнее ис-

пользовать геофизическую информацию и не исключает включения в обра-

ботку оцифрованной информации другой природы;

b) использование банка данных аномалий разных методов резко

сокращает этап обучения, что делает алгоритм распознавания весьма мо-

бильным;

c) применение алгоритма распознавания требует задания лишь

формы аномалий разных методов над эталонным объектом, а оценка пара-

метров помехи и ее влияние на этапе распознавания исключается автомати-

чески;

d) изменение наклона окна реализует выделение комплексных

аномалий различного простирания.

В качестве недостатков отметим, что алгоритм построен в предполо-

жениях аддитивности аномалии и помехи и нормального распределения по-

мехи, что не всегда справедливо. Однако, последнее допущение в много-

мерном анализе оказывает слабое влияние на конечный результат в силу

центральной предельной теоремы теории вероятности, согласно которой

сумма произвольно распределенных случайных величин распределена нор-

мально при наличии уже девяти пизнаков (атрибутов). Рассмотренный алго-

ритм распознавания многомерной, комплексной аномалии реализован А.В.

Петровым в системах КОСКАД-3D и ГИС-ИНТЕГРО.

10.5. Классификация (районирование) комплексных геополей

на однородные области

При решении задач классификации разнородных данных комплекса

на однородные области (задачи структурно-тектонического районирования,

геокартирования) наиболее распространенными являются методы главных

компонент и К-средних (системы КОМПАК, ПАНГЕЯ, ГИС-ПАРК и др.).

Однако в методе главных компонент отсутствует анализ изменения корре-

ляционных связей между признаками по площади исследований, а метод К-

средних вообще не учитывает корреляционные связи между признаками

(геополями).

Ниже приводится модифицированный алгоритм К-средних, предло-

женный А.В. Петровым и реализованный в системах КОСКАД-3D и ГИС-

ИНТЕГРО. Основная суть модификации состоит в том, что вначале осуще-

ствляется, как и в обычном варианте метода К-средних, классификация на

заданное число К-классов без учета корреляционных связей между призна-

ками. Далее для выделенных К-классов оцениваются корреляционные связи

между признаками и производится реклассификация, после которой реали-

зуется повторная классификация, но с уже известной корреляционной мат-

рицей признаков.

Модифицированный метод К-средних сводится к следующим четы-

рем процедурам обработки:

1) первая процедура включает проверку статистической гипоте-

зы о том, что наблюденные данные представляют выборку из генеральной

совокупности нескольких, а не одного, унимодальных L-мерных нормаль-

ных распределений, где L – число признаков (геополей). Невыполнение этой

гипотезы свидетельствует о том, что вся совокупность исходных данных

принадлежит лишь к одному классу и таким образом дальнейшая обработка

не имеет смысла;

2) вторая процедура реализует классификацию по методу К-

средних в стандартном варианте и является как бы этапом обучения, при ко-

тором производится оценка корреляционной матрицы D для выделенных K-

классов;

3) третья процедура, после реклассификации выделенных К-

классов, реализует повторную классификацию площади исследований, но с

уже известной корреляционной матрицей D;

4) наконец, четвертая процедура обеспечивает оценку качества

классификации путем нахождения общего, межклассового и внутриклассо-

вого разбросов (дисперсий) и определения числа образованных кластеров,

т.е. однородных в пространстве комплекса признаков областей.

Первые три процедуры базируются на проверке двух многомерных

статистических гипотез и построении соответствующих критериальных ста-

тистик. Первая из этих статистик позволяет проверить справедливость гипо-

тезы о равенстве векторов средних К-выборок из генеральной совокупности,

представленной смесью К-унимодальных L-мерных нормальных распреде-

лений с различными векторами математического ожидания и одинаковой

корреляционной матрицей D.

Использование вторичного многомерного статистического критерия

позволяет провести попарное сравнение векторов средних любых выборок

из той же генеральной совокупности.

На основе первой критериальной статистики построен алгоритм рас-

познавания комплексной аномалии (раздел 10.3), в котором также проверя-

ется гипотеза о равенстве векторов средних в нескольких выборках (по

строкам и по столбцам скользящего окна) между собой. Исходя из этого,

вновь можно использовать статистику следа матрицы D и аппроксимацию

статистики распределением Фишера при реализации первой процедуры мо-

дифицированного метода К-средних, т.е. решить вопрос о принадлежности

всей совокупности комплексных данных лишь к одному классу или к раз-

ным классам.

Конкретное выражение для критериальной статистики получим в

предположении, что вся совокупность наблюденных данных комплекса со-

стоит из J = N – L – 2 классов; L – число признаков (геополей), N – число

точек наблюдений.

Двухточечные классы можно получить, объединив в один класс L + 2

точки, ближайшие в смысле евклидова расстояния. Тогда критериальная

статистика для проверки гипотезы о равенстве векторов средних этих клас-

сов по аналогии с выражением (10.20) определяется выражением:

( ) (

)













→













→→

−−

+−−

−

∑

−

JNLJ

LJN

(10.21)

где Y



= (1/N)

∑

– оценка вектора среднего в j-той группе; Y.. = (1/J)

→

•

∑

– оценка общего вектора для J-групп.

(1/ )( )

ji ji j j

D N Y Y NY Y

→→ → →

••

′′

= −

∑

– матрицы ковариации в отдельных клас-

сах; N

– количество точек в j-том классе;

∑

−−=

DNJND

)1()]/(1[

(10.22)

– оценка общей матрицы ковариацией.

Статистика F имеет распределение Фишера со степенями свободы

]2)1(/[)]()[(

−−−=−−= LJNLJNLJNg

+−−= LJNg

Гипотеза Н

о равенстве всех J векторов средних значений принима-

ется, если F < F

– заданный порог принятия решения). Справедливость

гипотезы Н

свидетельствует о принадлежности всей совокупности наблю-

дений к одному классу. Если гипотеза Н

не верна, то обработка продолжа-

ется.

Далее, используя вторую критериальную статистику с целью провер-

ки гипотезы о равенстве векторов среднего в двух группах, можно объеди-

нить два класса в случае справедливости этой гипотезы. Такое объединение

приводит к сокращению первоначального числа классов на единицу. Для

этого объединения сравнивают векторы среднего в двух группах на основе

статистики следа матрицы, аппроксимируемой распределением Фишера:

∼

( 1)

( )( )

N J L NN

Y YDY Y

LN J N N

→→ →

−

−−+

′

−−

−+

, (10.23)

где N

, N

– числа наблюдений в двух сравниваемых группах; Y

, Y

. – оцен-

ки векторов средних в этих группах; D – оценка общей ковариационной

матрицы для всех групп.

Статистика

∼

имеет распределение Фишера со степенями свободы

= L и g

= N – J – L + 1.

Если гипотеза о равенстве векторов среднего справедлива, то классы

t и k объединяются. После объединения корректируется общая матрица D и

вектор среднего для вновь образованного класса. Общее число классов

уменьшается на единицу. В противном случае рассчитывается величина

∼

для следующей комбинации существующих классов.

Вторая процедура алгоритма классификации завершается, когда для

определенного уровня значимости α между всевозможными комбинациями

пар классов имеется существенное различие в смысле статистики F-

критерия (10.23).

Третья процедура алгоритма реализует реклассификацию исходной

совокупности комплексных наблюдений. Здесь так же, как и при второй

процедуре, осуществляется попарное объединение начальных классов на

основе статистики (10.23). Отличие состоит в том, что при расчете критери-

альной статистики F используется оценка общей ковариационной матрицы

D, полученной при второй процедуре; соответственно, корректировка кова-

риационной матрицы после каждого объединения классов не производится.

Для оценки качества результатов классификации исходных данных,

алгоритм предусматривает расчет ряда параметров. Оценка качества осуще-

ствляется путем расчета общего, межклассового и внутриклассового разбро-

са и определения числа образованных кластеров (однородных областей).

Общий разброс:

..),(

→→

∑

= YYsV

, (10.24)

где вектор

→

– вектор общего среднего по всей площади исследова-

ний; N – количество точек во всех классах.

Межклассовый разброс

( , ..)

B NsY Y

→→

•

∑

, (10.25)

где

→

•

– вектор среднего для j-го класса; N

– количество точек в j –том

классе.

Внутриклассовый разброс

∑

(10.26)

где

..),(

→→

= YYsw

Под

..),(

→→

YYs

подразумевается среднестатистическое расстояние ме-

жду соответствующими центрами различных совокупностей

→

, кото-

рое выражается расстоянием Махаланобиса

)()'(

→→

−

→→

−−=

jiji

YYDYYr

. (10.27)

Количество образованных кластеров определяется числом классов,

для которых справедливо соотношение w/N < V/N , т.е. таких классов. в ко-

торых средний квадрат внутриклассового разброса меньше среднего рас-

стояния до общего центра в исходной совокупности.

Из рассмотрения статистики вида Т =1 – W/V следует, что чем боль-

ше величина Т, тем большая доля общего разброса точек объясняется меж-

классовым разбросом, и можно считать, что качество классификации лучше.

Естественно принять, что чем больше среди выделенных классов кластеров,

тем успешнее проведено разбиение.