Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

.

)/

ˆ

(

3

lu∝

ε

Расстояние

отсчитывается от фактического начала, которое предполо-

жительно расположено в непосредственной окрестности решетки, генери-

рующей турбулентность.

x

1

Интегральный масштаб турбулентности

не может служить мерой

неоднородности турбулентности за решеткой и не представляет собой ха-

рактерного масштаба поля такой турбулентности. В качестве характерного

масштаба длины в направлении вниз по потоку может быть только сама

производная

L

∂

/ x

1

. Точнее говоря, если , то .

Так что

, и само расстояние может служить соответст-

вующим линейным масштабом в оценке затухания с расстоянием от ре-

шетки величины

α

1

2

ˆ

xu ∝

1

2

1

2

/

ˆ

/

ˆ

xuxu

α∂∂

∝

1

11

/

−

∝ xx

∂∂

x

1

(/ )12

<

>uu

ii

и

<

+

<

>>up uu

ii1

12(/ / )

ρ

.

В турбулентном потоке за решеткой пульсации скорости малы:

. По этой причине члены турбулентного переноса в (3.40) должны

быть малы по сравнению с членом адвективного переноса, а ими можно

пренебречь. Уравнение (3.40) сводится к простому балансу между адвек-

цией и диссипацией:



uU<<

1

U

x

u

i1

1

2

1

2

∂

ε

⋅<>

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟=−

. (3.42)

Из оценок (3.41) вытекает, что

)/

ˆ

(/

1

luxU

∝

. (3.43)

Связь (3.43) означает, что масштаб времени течения (в данном случае это

«возраст»,

1

, среднего течения, равный текущему времени по часам

наблюдателя, движущегося вместе со средним течением) того же порядка

величины, что и масштаб времени турбулентности.

xU

1

/

Основной вопрос, на который интересно найти ответ в рассматривае-

мой задаче,

− это, каковы законы затухания масштабов и с увеличе-

нием расстояния вниз по потоку от решетки?

L



u

Выражение (3.43) дает лишь одну связь между

и как функцию

и

U

1

. Для решения задачи необходима еще одна связь. Для ее нахождения

заметим, что единственными независимыми переменными в задаче явля-

ются следующие характерные масштабы времени. Во-первых, масштаб

времени

передачи энергии от крупных вихрей к вихрям меньше-

го размера. Имеется также масштаб времени вязкого затухания крупных

L



u

x

1

uLT

ˆ

/∝

81

вихрей

. Отношение этих масштабов

ν

/

2

LT ∝

L

TT Re/

∝

ν

. Следова-

тельно, при числе

1/)

ˆ

(Re >>

⋅

≡

ν

Lu

L

крупные вихри весьма мало подвер-

жены прямой вязкой диссипации. И наконец, имеется масштаб текущего

времени

.

xU

11

/

Очевидно, что должна существовать связь между зависимыми и неза-

висимыми переменными, которую можно записать в виде

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⋅

ν

T

Ux

f

Lu

,

/

ˆ

11

. (3.44)

Поскольку отношение

пропорционально

TT /

ν

/)

ˆ

( Lu

⋅

, то (3.44)

переписывается в виде

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

=

⋅

uL

Ux

g

TU

x

g

Lu

ˆ

/

ˆ

11

1

ν

. (3.45)

Ясно, что

есть функция только в том случае, если функ-

ция

постоянная. Это имеет место, поскольку аргумент у функции

согласно (3.43)

− величина постоянная.

)

ˆ

( Lu⋅ )/

ˆ

( Lu

g g

Следовательно, однородная турбулентность за решеткой в аэродинами-

ческой трубе в начальной стадии своего затухания (когда

) имеет

постоянное число Рейнольдса, не зависящее от координаты

. Из (3.43)

тогда следует, что

1Re >>

L

x

1

22

Re

~

3

1

ˆ

x

U

cuu

Li

ν

⋅

⋅⋅=><=

, (3.46)

2/1

1

2/11

)(Re

~

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅=

−

U

x

cl

L

ν

. (3.47)

Численный коэффициент

~

c

определяется из опытных данных.

Таким образом, энергия турбулентности затухает, как , а инте-

гральный масштаб турбулентности растет, как

. Отметим также, что

поскольку

в начальной стадии затухания, постоянным оказы-

вается отношение масштабов

x

1

−

2/1

x

const

L

≈Re

η

/L в соответствии с (1.29). Следовательно,

и колмогоровский микромасштаб длины

η

растет, как .

2/1

x

Конечные стадии затухания турбулентности не могут быть проанализи-

рованы на основе простых оценок размерностей величин задачи, так как

82

асимптотическое поведение наиболее крупных вихрей (размера много

большего

, но обладающих малой энергией) оказывается очень слож-

ным.

L

Обмен энергией в турбулентном течении чистого сдвига. Механизм

обмена энергией между турбулентными пульсациями скорости различных

направлений проще всего выяснить на примере течения чистого сдвига:

UUxUU U x x x

jj1122 3 1 3

00= 0

=

(), , (/ ) ,/ /

∂

.

Отличными от нуля компонентами среднего тензора скоростей дефор-

мации

в данном течении являются компоненты

S

ij

SS

U

x

12 21

1

2

1

2

==

∂

.

Следовательно, член генерации энергии турбулентности равен,

2

1

21

x

U

uuP

E

∂

⋅><−=

.

Уравнение баланса кинетической энергии турбулентности (3.19) при

числе

и принимает более простой вид 1>>

L

eR 0≡

i

g

β

0

1

12

1

220

2

=−< ⋅ > − < >+< >

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟−uu

U

xx

pu u u

i

∂

∂ρ

ε

. (3.48)

Каждый из трех членов в правой части уравнения (3.48) порядка величины



/u

L

3

. Поскольку при мелкомасштабная структура турбулент-

ности приближенно изотропна, можно тензор диссипации

1e >>

L

R

ε

ij

взять в изо-

тропном виде

εε

ij ij

=

2

3

δ

>

. (3.49)

Для рассматриваемого течения чистого сдвига из уравнения (3.18) с учетом

(3.49) для отдельных составляющих

, , полной ин-

тенсивности турбулентности

вытекают следующие уравне-

ния:

<>u

1

2

<>u

2

<u

3

2

)2(

2

Eu

i

≡><

ε

∂

ρ

3

1

2

11

0

2

1

21

1

0

−><−><+= uu

xx

u

pP

E

, (3.50)

83

0

11

2

1

3

0

2

220

2

= < >− < + >−

ρ

∂

∂ρ

ε

p

u

xx

p

uu(), (3.51)

0

11

2

1

3

0

3

32

3

2

=< >− < >−

ρ

∂

ε

p

u

xx

uu . (3.52)

Уравнения (3.50)

− (3.52) в сумме дают уравнение баланса кинетической

энергии (3.48). Согласно уравнению (3.50) только компонента

не-

посредственно получает энергию от среднего течения. Энергия двух дру-

гих компонент

и должна как-то поддерживаться. По-

скольку в большинстве сдвиговых течений

<u

1

2

>

> ><u

2

<u

3

2

1

2

1

2

<u >

примерно в два раза

больше

1

2

<>u

и

1

2

3

2

<u >

, то энергия от компоненты скорости

должна перераспределяться к двум другим компонентам скорости

и

. Следовательно, механизмом перераспределения энергии служит кор-

реляция «давление

− сдвиг скорости». Действительно, в уравнениях (3.51)

и (3.52) только первые члены в правых частях могут служить источниками

энергии; последние члены

− это «стоки» энергии, а турбулентная диффу-

зия не изменяет величины энергии. Следовательно, поскольку для несжи-

маемой жидкости

u

1

u

2

u

3

0≡><

i

x

u

p

∂

в силу уравнения неразрывности (2.27),

постольку

0

2

>><

x

u

p

∂

и

0

3

>><

x

u

p

∂

, в то время как

0

1

<><

x

u

p

∂

.

Таким образом

, посредством корреляции <p

u

x

i

>

∂

энергия пере-

распределяется от пульсационной компоненты скорости

к пульсацион-

ным компонентам скорости

и без изменения полного количества

энергии в единице массы жидкости.

u

1

u

2

u

3

84

3.4. Баланс энергии турбулентности в стратифициро-

ванном течении

Рассмотрим осредненное течение однородное в направлении осей

и

. При этом все характеристики турбулентности будут функциями

только вертикальной координаты

, причем в силу закона сохранения

массы,

0

1

x

0

2

x

3

∂

Ux U

33 3

0/,0.

=

Далее, наряду с обозначениями

(

) для координат и скоростей, используются обозначения:

xU

ii

,

3,2,1=i

x

,

y,

z

для декартовых координат; U

V

W

,, − для средних скоростей и

− для пульсационных скоростей. Для такого течения уравнение

энергии турбулентности (3.19) принимает вид

uvw,,

ε

ρ

θ

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

∂

−><

Θ

+

∂

><−=

∂

0

2

1 p

uw

z

w

g

z

U

wu

t

E

i

. (3.53)

Уравнение (3.53) записано для больших чисел Рейнольдса, так что не

учитывается молекулярная диффузия энергии турбулентности. Не учиты-

вается также и сила Кориолиса, так что уравнение (3.53) применимо, на-

пример, к течению воздуха в приземном слое атмосферного пограничного

слоя (см. п. 3.6.3).

Сдвиг скорости и сила плавучести по-разному влияют на генерацию

энергии турбулентности.

Сдвиг скорости порождает главным образом ее

продольные пульсации. Вклад этого члена велик вблизи поверхности Зем-

ли, где генерация энергии турбулентности

−

<

>>uw U z

∂

/0

, но

быстро уменьшается с высотой из-за убывания градиента скорости

∂

U/ z

. Сила плавучести, действуя в вертикальном направлении, ока-

зывает влияние преимущественно на вертикальные пульсации скорости и в

зависимости от знака турбулентного потока тепла может приводить к рос-

ту или убыванию кинетической энергии турбулентности.

Поскольку два первых члена в правой части (3.53) описывают два раз-

личных механизма генерации энергии турбулентности, их отношение мо-

жет служить безразмерной характеристикой локальной структуры турбу-

лентности. С учетом этого замечания уравнение (3.53) можно переписать в

виде, явно содержащем указанный безразмерный параметр, называемый

потоковым числом Ричардсона:

85

,)1(

ε

∂

−−><−=

z

U

RiuwD

t

E

f

(3.54)

где

D

z

wu

p

i

≡− < +

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟>

∂

1

2

0

,

ρ

[]

P

G

zUuww

g

Ri

f

−≡⋅><><

Θ

= )/(/

∂∂θ

(3.55)

есть

потоковое число Ричардсона. В выражении (3.55)

PuwU≡−< >⋅ z

∂

/

− генерация энергии турбулентности, а через

G

обозначена средняя работа (на единицу массы жидкости) архимедовой си-

лы при турбулентных перемещениях элементов среды (генерация энергии

турбулентности плавучестью):

,

0

3

p

w

c

qg

wgugG ⋅

Θ

≅><

Θ

≈>

′

<−=

θ

ρ

(3.56)

где

><≡ wcq

pw

θ

ρ

0

− вертикальный турбулентный поток тепла. При

записи (3.56) использовано соотношение (3.13).

Потоковое число Ричардсона (3.55) содержит информацию, как о флук-

туациях термогидродинамических полей, так и о среднем поле скорости.

Вследствие этого оно не вполне удобно с практической точки зрения. Бо-

лее удобной характеристикой служит градиентное число Ричардсона. Для

его определения положим, что справедлива модель

градиентного переноса

для импульса и тепла:

−< >= ⋅uw

U

z

T

ν

∂

, (3.57)

.

z

w

T

∂

χθ

Θ

⋅=>⋅<−

(3.58)

С учетом (3.57) и (3.58) выражение (3.55) запишется в виде

,

)/(

/

2

Ri

zU

zg

Ri

T

f

ν

χ

∂∂

∂

ν

χ

=

Θ

⋅

Θ

⋅=

(3.59)

где

2

)/(

/

zU

zg

Ri

∂∂

∂

Θ

⋅

Θ

=

(3.60)

86

есть

градиентное число Ричардсона. Этот безразмерный параметр более

широко используется в качестве показателя термической устойчивости

атмосферы. Если отношение коэффициентов турбулентного обмена теплом

и импульсом

TT

ν

χ

/

определяется , то тогда будет функцией

и, наоборот,

будет однозначно определяться ; следовательно, оба

выражения для числа Ричардсона будут эквивалентными.

Ri

f

Ri

f

Ri

Число Ричардсона (потоковое или градиентное) характеризует собой

относительную роль термической конвекции в генерации энергии турбу-

лентности по сравнению с ее порождением сдвигом осредненной скорости.

При неустойчивой стратификации среды

∂

Θ

/,zG

<

00

и число

. В этой ситуации работа флуктуирующей силы плавучести при

вертикальных перемещениях жидких частиц совершается за счет потенци-

альной энергии расслоенной по температуре среды, что ведет к росту энер-

гии турбулентности.

0<

f

Ri

При устойчивой стратификации, когда

0,0/

<

>

Θ

Gz

∂

и

. Турбулентность получает энергию от среднего движения 0>

f

Ri

()

P

> 0 , но теряет ее на работу против сил плавучести. Чтобы сумма этих

двух факторов могла компенсировать вязкую диссипацию энергии, необ-

ходимо выполнение условия

()10,

−

>Ri

f

т. е.

Ri

f

<

1

. (3.61)

Условие (3.61) существования незатухающей турбулентности очень

грубое, как, впрочем, и все энергетические критерии устойчивости. Нера-

венство (3.61) фактически представляет собой критерий возникновения

турбулентности в стратифицированной среде. Этот критерий дает сильно

завышенное значение критического числа Ричардсона. Исходя из критерия

(3.61), можно лишь утверждать, что стационарная турбулентность возмож-

на при значении числа

Ri Ri

ffк

<

р

, которое заметно меньше единицы.

Экспериментальные данные свидетельствуют, что турбулентность не мо-

жет существовать, если

. Если положительные значения числа

Ричардсона превосходят этот предел, турбулентность в среде подавляется.

Ri

f

> 025,

87

Масштабы длины и времени плавучести. В случае устойчивой стра-

тификации

)0/( >Θ z

∂

характерный масштаб времени плавучести свя-

зан с частотой гравитационных волн, определяемой выражением:

. zgN

b

∂∂

/)/(

2

Θ⋅Θ≡

В неустойчивой атмосфере гравитационные волны неустойчивы и, раз-

рушаясь, превращаются в турбулентность. Поэтому в случае неустойчивой

стратификации

)0/(

<

Θ

z

∂

можно ввести в рассмотрение характерный

масштаб времени плавучести:

./)/(

2

zgT

b

∂∂

Θ⋅Θ−≡

−

В солнечную погоду имеет типичное значение порядка нескольких ми-

нут. Более сильное неустойчивое условие соответствует меньшим значени-

ям

.

T

b

T

b

В нейтрально стратифицированной атмосфере

)0/(

=

Θ

z

∂

масштаб

времени

, а частота

T

b

→∞ N

b

=

0

. Средний градиент ветра

zU

∂

/

имеет размерность

c .

−1

Если обозначить через

характерный масштаб време-

ни среднего течения, градиентное число Ричардсона можно выразить через

квадрат отношения масштабов времени:

1

)/(

−

≡ zUT

s

∂∂

,0/,)(

2

>Θ⋅= zTNRi

sb

∂∂

.0/,)/(

2

>Θ−= zTTRi

bs

∂∂

Линейный масштаб Обухова-Монина. Вблизи подстилающей земной

поверхности основным из двух членов генерации энергии турбулентности

в уравнении (3.53) является член порождения сдвигом скорости. Однако

влияние сдвига скорости убывает с высотой быстрее, чем влияние силы

плавучести. Поэтому существует уровень высоты, выше которого главным

оказывается слагаемое

(/ )gw

Θ

<

>

θ

.

Оценим, следуя Обухову, эту высоту. Можно принять, что вблизи по-

верхности профиль скорости логарифмический (см. п. 3.6.3), т. е. выполня-

ется равенство

)/(/ zkuzU

⋅

=

∗

∂

, где u

∗

=

τρ

0

/ − скорость тре-

88

ния. Подставляя значения градиента

zU

∂

/

и турбулентного потока

импульса

, выраженные через скорость трения , в (3.55) и по-

лагая затем отношение

равным единице, находим:

><− wu

u

∗

PG /

gw kz

u

Θ

⋅

<

>

⋅

=

∗

θ

0

3

1. (3.62)

Из (3.62) следует выражение для характерного линейного масштаба плаву-

чести, называемого масштабом Обухова

− Монина:

L

u

gw k

=−

⋅

<>⋅

∗

Θ

3

0

θ

, (3.63)

где

<>w

θ

0

− турбулентный поток тепла у подстилающей поверхности.

Знак минус поставлен для того, чтобы величина

имела одинаковый знак

со знаком числа

L

R

i . Следовательно, безразмерная высота

ξ

=

zL/ также

может быть использована как характеристика термической устойчивости

атмосферы. Возвращаясь к уравнению (3.53), суммируем вытекающие из

него частные случаи.

 Когда член плавучести равен нулю или пренебрежимо мал, источ-

ник энергии турбулентности обусловлен только взаимодействием

среднего потока с пульсационным движением. Это соответствует

условиям

нейтральной стратификации (Ri )

=

ξ

0 . Конвекция в

этом случае называется

вынужденной.

 Когда равен нулю или пренебрежимо мал член генерации энергии-

турбулентности сдвигом скорости,

−

<

>

⋅

uw U z

∂

/

, а турбу-

лентный поток тепла

w

и

qRi> 0( )

∞

−

→

ξ

, возникает так на-

зываемая

свободная конвекция.

 Турбулентный режим не может существовать, если сдвиг скорости

потока отсутствует, а поток тепла

q

w

<

0

. Точнее говоря, турбу-

лентность в этих условиях может существовать, если только вихри

приносятся из соседних областей за счет адвекции. Такое адвек-

тивное движение вихрей часто наблюдается у верхней границы

пограничного слоя, когда турбулентные вихри проникают в устой-

чиво стратифицированный слой инверсии.

89

 Возвращение турбулентного режима течения в ламинарный режим

возможно, когда сила плавучести отрицательна и компенсирует

действие сдвига скорости. Соответствующее число Ричардсона на-

зывается критическим:

)25,02,0(

.р

÷

≈

=

fкff

RiRiRi .

 Когда турбулентность полностью подавляется, так что поток ста-

новится ламинарным, все члены в уравнении (3.53) обращаются в

нуль, и оно теряет смысл. Стратифицированный ламинарный по-

ток также, разумеется, может стать неустойчивым и перейти в со-

стояние турбулентного движения при числе

Ri

к р.

,

≈

025. При

числе Ричардсона

Ri Ri

к

<

р.

поток неустойчив к малым возму-

щениям, а при числе Ричардсона

− устойчив и при

возникновении возмущений остается ламинарным.

Ri Ri

к

>

р.

3.5. Динамика завихренности турбулентности

Как и другие гидродинамические поля, мгновенная завихренность тур-

булентности



(,)

ω

i

xt

G

может быть представлена в виде декомпозиции

средней, плавно изменяющейся в пространстве и времени завихренности

, и турбулентных флуктуаций завихренности

Ω

i

xt(,)

G

ω

i

xt(,)

G

относи-

тельно ее среднего значения.

Ограничимся рассмотрением только динамики среднеквадратичных

флуктуаций завихренности. Уравнение для энстрофии

>

<

ii

ω

)2/1(

может быть получено с помощью процедуры, использованной при выводе

уравнения для тензора турбулентных напряжений. В соответствии с ука-

занной процедурой вначале записывается операторное уравнение для тур-

булентной флуктуации завихренности

ω

i

L

i

ω

=

0

. (3.64)

Уравнение (3.64) получается как результат вычитания осредненного урав-

нения (1.25) из того же уравнения (1.25), в котором мгновенные перемен-

ные заменены декомпозициями Рейнольдса (1.3).

Уравнение баланса среднеквадратичных флуктуаций завихренности

выводится из операторного уравнения для момента второго порядка поля

завихренности

90

Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.