Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

<

>=

ω

ii

L 0 (3.65)

вшегося течения записывается в виде и для установи

+><−

Ω

><−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

><

iij

jj

i

ijii

j

u

xx

u

x

U

ωω

∂

ωωω

∂

2

1

2

1

jijijiji

Ss >

<

+

><+

ω

+

><

Ω

+

jiij

s

ω

−< ⋅ >

ν

∂

ω

∂

ω

⎟

⎠

⎜

⎝

><⋅+

ii

jj

xx

ωω

∂∂

ν

2

⎞

⎛

∂

1

2

∂ ∂

j j

xx

. (3.66)

Первый чле аво .66) описывает генерацию энстрофии

градиентом средней завихренн лен определяет обмен завихрен-

ностью между

Ω

i i

н в пр й части (3

ости. Этот ч

Ω

i

и

i

<

>

ω

i

самом смысле, как и генера-

ция энерги бул ,

i

в том же

и тур ентности

jiji

Suu >

<

−

, и осуществляет обмен энерги-

ей между

UU

ii

и

<

>uu

ii

.

перенос среднеквадратичной завихренности турбу-

лентности флуктуациям

Второй член

− это

и скорости. Этот член аналогичен члену

∂

<⋅⋅>uuu x

ii j j

/

, описывающему перенос в уравнении баланса для

энергии турбулентности.

Третий член определяет порождение среднеквадратичной завихренно-

сти турбулентности, обусловленное растяжением завихренности турбу-

лен

может быть) завихренности турбулентности, вызываемую растяжением

(ил

с анного п растя-

же

тности. Ниже показано, что это доминирующий член в уравнении для

энстрофии.

Четвертый член описывает генерацию (или убыль, когда такой случай

и сжатием) флуктуаций завихренности

средней скоростью деформации

S

ij

.

Пятый член

− это член меш орождения. Очевидно, что

ние флуктуаций завихренности посредством флуктуаций скорости де-

формации порождает

Ω

>

ω

ii

с одинак

Ω

ii

и

<

овой скоростью.

Ш

ссипация

естой и седьмой члены в правой части уравнения (3.66)

− это вязкий

перенос и ди

<

>

ω

ii

соответственно.

91

Турбулентность − вихревое движение жидкости. Уравнение для

энстрофии

12/ <>

ω

ii

кажется почти «нерабочим». Однако если число

Рейнольдса велико, можно получить очень простую аппроксимацию урав-

му что флуктуация скорости деформации

чем средняя скорость деформации, а флуктуации завихренности много

завихренность:

λωω

u

ii

∝><

λ

u

ii

∝ΩΩ (3.68)

нения (3.66), пото намного выше,

выше, чем средняя

,)/

ˆ

(

2

λ

uss

ji

∝>< ,)/

ˆ

(

2

λ

uSS

jiji

∝>

(3.67)

2 2

ji

,)/

ˆ

( .)/

ˆ

(

Как и прежде, символ

∝

означает порядок величины. Принимая во внима-

казать, что первая оценка в

тензорной алгебры к величинам

ние оценки (3.67), можно по (3.68) действитель-

но имеет место.

s

ij

,

r

ij

,

ω

i

Применение

дает

<

>

=

<

⋅>

ω

i i ij

ij

<>−<>=<>ss rr uu x x

ij ij ij ij i j i j

∂∂∂

2

/.

(3.70)

rr2,

(3.69)

а правая част

Рейнольдса (3.70) приближен

Ковариация

ss

jiji

∝><

ь (3.70) порядка

22

/

ˆ

Lu

.

,/

ˆ

22

λ

u

Следовательно, при больших числах

проксимируется выражением

но ап-

>

≅

<

>ss rr

ij ij ij ij

.

<

(3.71)

Подстановка (3.7 дает

.2 >

1) в (3.69)

<

≅

>

<

jijiii

ss

ω

(3.72)

Следовательно,

λ

ω

/

ˆ

u

i

∝

, что совпадает с оценкой для s

ij

. Таким обра-

зом

о

вихревое движение сплошной среды с высоким уровнем флуктуаций завих-

ны с вязкой диссипацией энер-

и

, первая из оценок (3.68) действительно имеет место при высоких чис-

лах Рейнольдса. Можно сделать вывод о том, что

турбулентность – эт

ренности.

Флуктуации скорости деформации связа

гии турбулентности. Скорость диссипаци

ε

определяется выражением

92

,2 >

<

≡

jiji

ss

ν

ε

(3.73)

поэтому (3.72) можно переписать в виде

ε

ν

ω

≅

<

>

ii

. (3.74)

Это соотношение показывает, что диссипация энергии турбулентности

может быть выражена через флуктуации завихренности. Это полезный ре-

зультат, но надо иметь в виду, что причинное соотношение существует

только между флуктуациями скорости деформации и скоростью диссипа-

ции. Действительно, (3.72) просто устанавливает, что в течениях с высоки-

ми числами Рейнольдса симметричная и антисимм час

а

скоростей деформации имеют приблизительно одинаковое среднекв

етричная ти

тензор

адра-

я баланса завихренности. Оценки (3

уравнение баланса завихренности

.66). Смешанные корреляции в (3.66), подобные

и

тичное значение.

Аппроксимаци .67) и (3.68) дают

возможность значительно упростить

<>

ωω

ij

<

>

ω

iij

s

,

(3

отличны от нуля. Можно показать, что для плоского сдвигового слоя

3221

)

ω

uuu

вы оценки

нальн

и

среднюю ть деформации.

Средняя скорость деформации

><−<−⋅

232

(/

ω∂∂

ux (3.76) ><=>

и, следовательно, справедли

, (3.77)

22

/

ˆ

Lus

jij

∝><

ω

. (3.78)

Необходимы также порядки величин

<>

ωω

ij

и

<>

ωω

iij

u

. Диаго-

ые компоненты

22

/

ˆ

λωω

u

ji

∝><

, но агональные компонен-

ты отличны от нуля только в отв ос

Luu

ji

/

ˆ

2

∝><

ω

нед

ет на скор

LuS

ji

/

ˆ

∝

, так что она может лишь слабо

сти, характерная частотавлиять на структуру завихренно которой порядка

λ

/

ˆ

u

. Поэтому ожидать, что эффект

ij

будет пропорционален

отношению временных масш

LLuu /)/

ˆ

()

ˆ

/(

можно

табов

S

λ

=

:

93

)( +⋅⋅=>< ba

jiji

δωω

(3.79)

)/

ˆ

(

22

"+

L

u

ji

λ

.

Коэффициенты

и будут величинами порядка единицы. Учет отно-

бов времени

a

b

ij

λ

/ L

,

шения масшта

используемый здесь, аналогичен

мому д

учету,

необходи ля корреляции

<

>u

ij

ω

. Член

<

>

ω

ij ij

в (3

S

.66) запи-

сывается в виде

)()/

ˆ

(

22

"++⋅⋅=><

jijiiijiji

S

L

bSauS

λ

λωω

. (3.80)

вследст

Так как

вие несжимаемости, а uSb

jiji

/

ˆ

S

ii

= 0

L

∝

, то

.

Член, описывающий перенос среднеквадратичной флуктуации завихренно-

(3.81)

)/(

ˆ

(

23

LuS

jiji

⋅∝><

λωω

сти,

∂ω ∂

<⋅>

ij j

ux

2

/

, может быть представлен в виде

∂

ωω

∂

ωω

x

uu

x

j

iij j ii

< >=< >()

. 3.82)

j

(

Этот член зависит не от средней скорости деформации, а от неоднородно-

среднеквадратичной завихренно

е движение есть эффективный

ренности,

будет хорошо коррелировать с градиентом

сти в распределении сти. Если предполо-

жить, что турбулентно «смеситель» завих-

j

u

<

>

ω

ii

что справедлива оценка

, так

L⋅

. (3.83)

uu

L

u

x

jii

j

∝⋅∝><

2

3

2

ˆˆˆ

λλ

ωω

∂

Результаты, полученные выше, позволяют оценить большинство членов

еют вид

(3.68). Эти оценки им

3

2

ˆˆˆ

L

uu

L

u

x

u

j

ji

λ

λλ∂

∂

ω

⋅∝⋅∝

Ω

><

, (3.84)

94

3

2

3

2

ˆˆˆ

L

uu

L

u

s

jijj

λ

ω

⋅∝⋅∝><Ω

(3.85)

,

3

2

ˆˆ

2

1

L

uu

Lxx

ii

jj

λ

λλ

ν

ωω

∂∂

∂

ν

(3.86)

⋅∝⋅∝

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

><

,

2

3

32

ˆˆˆ

L

u

L

u

L

u

S

jiji

λ

ωω

⋅∝⋅

⋅

∝><

, (3.87)

L

⋅

2

, (3.88)

uu

L

u

x

jii

j

λ

λλ

ωω

∝∝><

∂

3

2

ˆˆˆ

1

LLx

j

λλ

∂

2

u

U

λ

⋅

∂

3

ˆ

, (3.89)

uu

iij

ωω

∝∝><

32

2

ˆˆ

1

ˆˆˆ

3

2

⋅∝∝><

λ

ωω

uuu

s

jiji

, (3.90)

?)/(

2

∝>∂∂<

ji

x

ων

(3.91)

В оценке члена растяжения завихренности по формуле (3.90) отсутствие

зависимости

от

L/

λ

не тому что флукизбежно, по временной масштаб -

туаций завихренности

i

ω

и флуктуаций скорости деформации

ji

s один и

тот же. Член вязкой диссипации в (3.91) остается неоцененным так как

мо

,

жно ожидать, что диссипация завихренности происходит в основном на

масштабах, меньших тэйлоровского микромасштаба

λ

. В оценке члена

молекулярной диффузии (3.86) использовано полученное р тношение

масштабов

./

2/1−

∝ eRL

λ

Оператор

jj

xU ∂

анее о

∂

⋅

/

в (3.89) оценен как

/L

ˆ

u

,

что согласуется с оценками, использованными при анализе уравнения ба-

ланса кинетической энергии турбулентности.

(3.91) расположены в порядк

чины. Если число Рейнольдса велико, все члены с (3.84) по (3.89) малы по

сра

Выражения (3.84) – е возрастания их вели-

внению с членом (3.90), по крайней мере, в отношении

L/

λ

. Поэтому

95

при достаточно высоких числах Рейнольдса уравнение баланса энстрофии

(3.66) может быть аппроксимировано выражением (по Дж. Тэйлору)

j

i

j

i

jiji

xx

s

∂

≅><

ωω

νωω

. (3.92)

Баланс среднеквадратичный флуктуаций завихренности получается со-

гласно (3.92) приближенно не зависящим от структуры среднего течения.

То есть турбулентные флуктуации завихренности не нуждаются, в отличие

от турбулентных флуктуаций скорости, в непрерывно действующем ис-

точнике, пополняющем их энергией,

− сдвиге средней скорости. Конечно,

в пренебрежении источником энергии турбулентные флуктуации завих-

ренности будут также затухать, как и турбулентные флуктуации скорости.

Кроме того, скорость изменения энстрофии, определяемая выражением

(3.89) мала по сравнению со скоростью растяжения турбулентных вихрей,

что ведет, в конечном счете, к концентрации равновесного спектра турбу-

лентности на малых масштабах.

Правая

часть (3.92) квадратична относительно градиента флуктуаций

завихренности, так что она всегда положительна. Следовательно, левая

часть этого уравнения также всегда положительна. Отсюда следует фунда-

ментальный вывод:

в среднем растяжение турбулентных вихрей преобла-

дает над сжатием и благодаря растяжению турбулентных вихрей завих-

ренность и связанная с ней переносятся от крупномасштабных

флуктуаций к мелкомасштабным флуктуациям.

Тем самым у турбуленто-

сти формируется ш не гетический спектр, наблюдаемый при из-

мерениях. Наимень и, подверженные язкому затуханию, непре-

тся энергией от более крупных вихрей. Отметим тесную

связь между балансом кинетической энергии турбулентности (3.21) и ба-

лансом среднеквадратичных флуктуаций завихренности (3.92). В самом

деле, вязкая диссипация завихренности препятствует действующему рас-

тяжению

завихренности >

энергия

ирокий э р

шие вихр в

рывно снабжаю

<

jiji

s

ω

беспредельно увеличивать величину

энстрофии, в то время как вязкая диссипация энергии турбулентности,

числах Рейнольдса среднеквадратичные флуктуации скорости деформации

пропорциональная

><

2

i

ω

, препятствует действующей генерации

jiji

Suu ><− , беспредельно увеличивать величину кинетической энер-

гии турбулентности. Механизм растяжения вихрей увеличивает энстрофию

до такой величины, какая допускается вязкостью жидкости. При больших

96

подд -

ся подверженной быстрой диссипа

-

ких как завихрен личины взаимо-

дей

3.6.1. Уравнения переноса для статистических характеристик

турбулентного поля температуры

ту

е ы в предп

мпературопроводности имеет вид

ерживают такой темп, при котором энергия турбулентости оказывает

ции.

В заключение следует заметить, что в двухмерной турбулентности от-

сутствует механизм растяжения турбулентных вихрей, так что баланс за-

вихренности (3.92) оказывается попросту несправедливым. Другими сло-

вами, концепция спектрального переноса энергии, изложенная выше, не-

применима к случайным двухмерным гидродинамическим полям

течений.

3.6. Динамика турбулентных флуктуаций скалярного

поля

Уравнения динамики турбулентных флуктуаций векторных полей, та

ность, сложны, потому что векторные ве

ствуют со средним полем течения целым рядом способов. Динамика

скалярных полей (температуры, концентрации и др.) описывается сравни-

уравнениями. тельно более простыми

В этом параграфе излагаются основные закономерности турбулентного

температурного поля как пример всех других скалярных

полей.

Уравнения переноса для статистических моментов турбулентного тем-

пера рного поля запишем в приближении Буссинеска, взяв за основу сис-

тему уравнений (3.12).

Уравнени для осредненной (по ансамблю) температур оложе-

нии постоянства коэффициента те

,

2

>⋅<

∂

−

∂∂

Θ∂

=

∂

Θ∂

+

∂

Θ∂

θχ

j

jkkj

j

u

xxxx

U

t

(3.93)

где

− осредненная температура (ра про ограничимся рассмот-

ситуаций, в которых потенциальная и кинетическая температуры

совпадают),

Θ

ди стоты

рением

θ

− турбулентная флуктуация температуры, >

<

−

θ

j

u − век-

тор турбулентного потока тепла.

Уравнение для вектора турбулентного потока тепла

>

<

−

θ

j

u может

быть получено из операторного уравнения для момента второго порядка

θ

<

L >

j

u

в виде

97

−

⎟

>

+

∂

><∂

i

x

t

u

θ

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

<⋅+

∂

⋅<

∂

=

∂

><∂

j

i

j

i

jj

i

j

u

x

u

xx

u

U

χθν

θ

ij

i

ij j

jjji

uu

Up

uu u

xxxx

∂< θ>

∂Θ ∂ θ ∂

−−<>⋅−<θ>⋅−⋅−

∂∂∂<ρ>∂

,)(

2

><⋅⋅−

∂

⋅

∂

⋅+−

θβ

θ

νχ

i

kk

i

g

xx

u

(3.94)

где

><

ρ

− среднее значение плотности.

Уравнение для дисперсии турбулентных флуктуаций температуры лег-

ко операторного уравнения для моме

скалярного поля

выводится из нта второго порядка

θ

<

L >

θ

и имеет вид

−><

∂

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

><∂

⋅

∂

=

∂

><∂

+

∂

><

2

222

θ

χ

θθ

j

jjjj

j

u

xxxx

U

t

∂

.22

jjj

j

xxx

u

∂

⋅

∂

⋅−

∂

Θ∂

><⋅−

θθ

χθ

(3.95)

Уравнения (3.93) – (3.95) незамкнуты, потому что в правых частях помимо

моментов второго и третьего порядков (

>

<

>

<

−

θ

jij

uuu ,

и

>

θ

j

u

) имеются еще корреляции между пульсациями температуры

<

2

и

гра

о

рой части «Лекций…».

В этом параграфе излагаются те закономерности динамики турбулент-

ног ля, которые не требуют обра

форме уравнений.

диентом пульсаций давления, а также диссипативные слагаемые (по-

следние члены в правых частях уравнений).

Вопрос о замкнутой форме пределяющей системы уравнений (3.93) –

(3.95) температурного поля обсуждается во вто

о температурного по щения

к замкнутой

определяющих

98

3.6.2. Микромасштабы турбулентного температурного поля

Рассмотрим уравнение баланса (3.95) в отсутствие стратификации сре-

ды (вектор плавучести

0

≡

i

g

β

) в приближении локально равновесной

ация

≈

турбулентности («генер

диссипации»):

kkj

j

xxx

u

∂

⋅

∂

≅

∂

Θ∂

><−

θθ

χθ

. (3.96)

Полагая, что справедливы оценки

><≡∝∂Θ∂⋅∝><

2

ˆ

(/

ˆ

/,

ˆ

θθθθθ

Lxuu

jj

− характерный мас-

шт

аб турбулентных температурных флуктуаций), находим, что генерация

температурных флуктуаций имеет оценку вида

,

2

P

><

∝−≡

θ

(3.97)

ˆ

2

u

j

><∝

∂

Θ∂

><

θθ

θ

в диссипативную часть спектра протекает со скоростью, дик-

ым временным масштабом крупномасштабн вихрей.

Для соблюдения баланса в уравнении (3.96) правая часть требует вве-

го микромасштаба флуктуаций температурного поля

TLx

j

где

uLT

ˆ

/=

− интегральный временной масштаб турбулентности.

Оценка (3.97) означает, что спектральный перенос температурных

флуктуаций

туемой характерн ых

дения тэйлоровско

θ

λ

θθ

><

⋅≡>

∂

<

2

2)(

k

x

, (3.98)

где

θ

λ

− тэйлоровский микромасштаб температурного поля.

Если мелкомасштабная структур атуры локально изотропна, а поля темпер

то

21

x

>∂∂<=>∂∂<=>∂∂<

222

)/()/()/( xx

θθθ

3

и, следовательно,

.6)(

2

θ

λ

χχ

⋅⋅=

∂

k

x

(3.99)

2

θθ

><

∂

С учетом (3.99) оценка уравнения баланса (3.96) принимает вид

99

.

ˆ

2

θ

λ

θ

χθ

><

∝><

L

u

(3.100)

Принимая во внимание выражение для отношения масштабов (3.29), из

оценки (3.100) находим

(3.101)

где

иент порядка единицы.

жно записать через число Прандтля

,)/(/

2/1

νχλλ

θθ

⋅= c

c

− численный коэффиц

θ

Отношение масштабов (3.101) мо

rP

χ

ν

/≡

:

2/1

/

−

⋅= rPc

θθ

λλ

. (3.102)

Рассмотрим теперь вопрос о микромасштабе диссипативных вихрей

скалярного (температурного) турбулентного поля. Для этой цели нео -

поля. По аналогии с ур квадратичных флук-

туаций завихренности (3.92) можно запис

бхо

димо уравнение, определяющее градиенты турбулентного температурного

авнением баланса для средне

ать уравнение баланса вида

2

)(

ji

xx

s

xx ∂∂

⋅

∂

⋅≅⋅

∂∂

θ

χ

θθ

. (3.103)

рандтля

Рассмотрим две реальные ситуации.

1. Число П

1>rP

(

ν

χ

<

).

иентов пульса

, мен

В этом случае большая часть град ций температуры возника-

ет на масштабах ьших, чем

η

: поле пульсаций температуры подвер-

но воздействию всего спектра пульсаций скже орости деформации

Действительно, оценка

∝s

ji

s

.

22/1

/)/(/

ˆ

ηννελ

∝∝u

ji

позволяет получить

оценку уравнения баланса (3.103) в виде

,

ˆˆ

4

2

22

2

θθ

η

θ

χ

η

ν

η

θ

⋅∝⋅

откуда

ско

следует отношение микромасштабов температурного и динамиче-

го полей:

./

2/1−

≅ rP

ηη

θ

(3.104)

Видно, что при

1

>rP

диссипативный микромасштаб температурного поля

θ

η

меньше колмогоровского микромасштаба

η

.

Для газов

)(71,0

ν

χ

∝

≅rP

и, следовательно, флуктуации температуры

простираются до столь же малых масштабов, как и колмогоровский мик-

100

Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.