Кубота Н. Твердые ракетные топлива и взрывчатые вещества

Подождите немного. Документ загружается.

511

Приложение В

Масса и теплопередача в волне горения

На рис. В.1 представлено описание стационарного течения в волне горения,

показывающее массопередачу, передачу количества движения и энергии, включая

и химические вещества в одномерном пространстве ∆х между х

и х

. Вязкие силы

и кинетическая энергия потока, как предполагается, не учитывается в волне горе-

ния. Скорость тепловыделения в пространстве характеризуется ωQ, где ω – ско-

рость реакции и Q – тепловыделение в химической реакции на единицу массы.

ρu →

→

u Δ+

ρu·u →

→

()

xuu

uu Δ⋅++⋅

ρρ

p →

→ x

p Δ+

ρucT →

→

()

xucT

ucT Δ+

ρρ

− →

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−

λλ

ωQ

ρuY

→

()

xuY

Δ+

ρρ

− →

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−

ρρ

← ∆x →

Рис. В.1. Сохранение массы, количества движения, энергии и химических

веществ в волне горения

512

В.1 Уравнения сохранения в стационарном состоянии в

одномерном поле течения

В.1.1 Уравнение сохранения массы

Масса, входящая и проходящая через площадь поперечного сечения ∆А за

единицу времени в положении х

, описывается

uΔ

и масса, вытекающая через площадь поперечного сечения ∆А в единицу времени в

положении х

, составляет

()(){}

Axudxdu ΔΔ+

Уравнение сохранения массы записывается

()

0=u

(В.1)

В.1.2 Уравнение сохранения количества движения

Количество движения, проходящее через ∆А в единицу времени в положе-

нии х

, составляет

uuΔ

и вытекающее через ∆А в единицу времени в положении х

составляет

(

)

xAuudxdAuu ΔΔΔ ρρ /+

Давление, действующее на ∆А в положении х

и х

, задается

р∆А

()

xAdxdpAp ΔΔ+Δ /,

соответственно. Количество движения в пространстве между х

и х

задается

(

)

(

)

xAdxdpApxAuudxdAuApAu Δ

+Δ=Δ+Δ //

Уравнение сохранения количества движения может быть представлено

()

(В.2)

В.1.3 Уравнение сохранения энергии

Количество тепла, входящее через площадь сечения ∆А в единицу времени в

положении х

, составляет

и количество тепла, передаваемое через ∆А в единицу времени в положении х

составит

(

)

xAucTdxdAucT ΔΔ+Δ

513

Тепло, передаваемое через ∆А в единицу времени в положении х

, составляет

()

AdxdT Δ− /

и тепло, передаваемое через ∆А в единицу времени в положении х

, составит

() ()

xAdxdTdxdAdxdT

−+Δ− ///

Тепло, выделяющееся при химической реакции в объеме ∆А∆х в единицу

времени, составляет

Q ΔΔ

Энергия, которая сохраняется в объеме ∆А∆х, определяется по формуле

()

(

)

{

}

xAucTdxdAucTxAQAdxdTAucT ΔΔ

+Δ−+Δ

()

(

)

(

){}

xAdxdTdxdAdxdTdxdAdxdT ΔΔ

−

+Δ−+ /////

Уравнение сохранения энергии может быть представлено

()

0=+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

QcT

ωρλ (В.3)

теплопередача

за счет тепло-

проводности

конвективная

теплопередача

тепло, получаемое за счет

химической реакции

В.1.4 Уравнения сохранения химических элементов

Химические вещества i, протекающие через сечение ∆А в единицу времени

в положении х

, могут быть описаны количественно как

AuY

и химические вещества i, протекающие через сечение ∆А в единицу времени в се-

чении х

, описываются

()

xAuYdxdAuY

ΔΔ+Δ

Химические вещества i, протекающие через сечение ∆А в единицу времени

в положении х

за счет диффузии, составляют

()

AdxdYD

Δ− /

и химические вещества i, протекающие через сечение ∆А в единицу времени в по-

ложении х

за счет диффузии, составят

()()

xAdxdYDdxdAdxdYD

iiii

−

Δ− ///

Скорость потери массы химических веществ i из-за химической реакции в

пространстве ∆А∆х задается

ΔΔ

514

Химические вещества i, сохраняющиеся в объеме ∆А∆х, составляют

()

−

Δ−+Δ xAAdxdYDAuY

iiii

(

)

(

)

(

)

xAdxdYDdxdAdxdYDxAuYdxdAuY

iiiiii

−

ΔΔ+= ////

Уравнение сохранения химических веществ может быть записано

()

0=+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ωρρ (В.4)

массопередача

диффузией

массопередача

конвекцией

скорость получения массы

за счет химической реакции

В.2 Обобщенные уравнения стационарного состояния в поле

течения

Уравнения сохранения, описанные в разделе В.1, включают уравнения со-

хранения массы, количества движения, энергии и химических веществ в стацио-

нарном состоянии при одномерном поле течения. Аналогично могут быть полу-

чены уравнения сохранения в стационарном состоянии в двух- и трехмерных по-

лях течения. Результаты могут быть суммированы в векторной форме:

сохранение массы

(

)

⋅

∇

(В.5)

сохранение количества движения:

−

∇

⋅

(В.6)

сохранение энергии:

(

)

∑

−=

∇

−

⋅

∇

QTcT

ωλρν (В.7)

сохранение химических веществ:

(

)

iii

YDY ωρρν =

∇

−

⋅

∇

, (В.8)

где v – вектор усредненной по массе скорости.

515

Приложение С

Распространение ударной волны в двухмерном

поле течения

Основные характеристики одномерной ударной волны описаны в главе 1

этой книги. Однако ударные волны во сверхзвуковом потоке распространяются не

только одномерно, но и двух- и трехмерно в пространстве. Например, ударные

волны, образующиеся в воздухозаборнике прямоточной ракеты, являются двух- и

трехмерными по форме. Волны расширения (растяжения) также образуются в

сверхзвуковом потоке. Давление по

потоку волны расширения уменьшается, и

скорость потока увеличивается. С ссылкой на главу 1 здесь даны краткие описа-

ния характеристик двухмерной ударной волны и волны расширения [1-5].

C.1 Наклонная ударная волна

Образование ударной волны зависит от объектов, которые влияют на поле

течения. Условия хранения массы, количества движения и энергии должны удов-

летворяться в любом положении. Это следует из образования ударной волны в

определенном положении в поле течения, чтобы отвечать уравнениям сохранения.

В случае помещения тупого тела в сверхзвуковой поток давление увеличивается

впереди

этого тела. Повышенное давление создает обособленную ударную волну,

чтобы удовлетворить условия уравнений сохранения в поле течения, выровнять

сохраняемые свойства между притоком и оттоком впереди рассматриваемого те-

ла. Скорость затем становится дозвуковой позади обособленной ударной волны.

Однако ударная волна, отделенная от тупого тела, является менее значимой, и

обособленная ударная волна становится

наклонной ударной волной. Поэтому

ударная волна является искривленной по форме и называется головной ударной

волной, как показано на рис. С.1.

На рис. С.2 (а) показана присоединенная ударная волна на вершине клина.

Эта волна является слабой ударной волной, образованной, когда связанный с ней

перепад давления небольшой. С другой стороны, как показано на

рис. С.2 (b), об-

разуется обособленная (отделенная) ударная волна, когда перепад давления ста-

новится большим. Если двухмерный конус помещается в сверхзвуковой поток, то

образуется ударная волна, которая распространяется от вершины конуса.

516

Рис. С.1. Головная ударная волна, образующаяся впереди тупого тела

Рис. С.2. Присоединенная ударная волна (а) и отсоединенная (отделенная)

ударная волна (b)

517

Рис. С.3. Наклонная ударная волна, образованная двухмерным клином

В отличие от нормальной ударной волны линия тока не перпендикулярна

ударной волне и поэтому называется наклонной ударной волной. Как показано на

рисунке С.3, ударная волна отклоняется на угол β и линия тока наклоняется на

угол θ. Скорость вдоль линии тока изменяется от

до w

благодаря наклонной

ударной волне. Компонент скорости, перпендикулярный ударной волне, изменя-

ется от u

до u

, а компонент скорости, параллельный ударной волне, изменяется с

до v

. Треугольник скоростей, показанный на рис. С.3, выражается

vuw += (С.1)

Хотя компонент скорости, параллельный ударной волне, v

= v

остается не-

изменным, однако компонент скорости, нормальный к ударной волне, u

→ u

из-

меняется за счет ударной волны.

Изменение нормального компонента скорости, благодаря наклонной удар-

ной волне, эквивалентно изменению скорости при действии нормальной ударной

волны. Поэтому u

, показанная на рис. С.3, эквивалентна u

, показанной на

рис. 3.1, и зависимость Ренкина-Гюгоньо между давлением и плотностью для на-

клонной ударной волны становится эквивалентной зависимости для нормальной

ударной волны, определяемой уравнениями (С.2) и (С.3):

()( ){}

121212

//1// ρρζζρρ −−=рр (С.2)

(){}()

ζζρρ

121212

//1// рррр , (С.3)

где

()()

1/1 −+= γγζ

Угол между линией тока при притоке и наклонной ударной волной β, кото-

рый выражается

()

/tg vu

−

(С.4)

518

Так как число Маха при притоке к ударной волне задается как М

= w

число Маха при оттоке от ударной волны задается как M

= w

, то число Маха

нормальной скорости, перпендикулярной к наклонной ударной волне

, соста-

вит

1111

sin/ MMau ==

(С.5)

Таким образом, уравнения наклонной ударной волны получаются заменой

на

в уравнениях для нормальной ударной волны. Уравнения (3.19)-(3.23)

записываются в следующем виде:

ζγ

−

= M

(С.6)

()

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−

(С.7)

2/1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(С.8)

()

(

)

(

)

()

1112

+−−

γγ

(С.9)

()

+−

(С.10)

Изменение энтропии благодаря наклонной ударной волне задается

()

(

)

121212

/ln/ln ppRTTcss

−=− (1.45)

Так как р

/р

≥ 1 в уравнении (С.8), то число Маха, нормальное к наклонной

ударной волне, составляет

≥M , (С.11)

и поэтому получаем зависимость

()

2//1sin

πβ

≤≤

−

M (С.12)

Угол наклона вдоль линии тока в режиме противотока определяется

()

/1sin M

−

(С.13)

и называется углом Маха, как определено в главе 2. Показано, что угол наклонной

ударной волны β больше, чем угол Маха α.

Угол η между углом ударной волны β и углом линии тока позади ударной

волны θ задается как

519

−= (С.14)

представлен как

/tg

u= (С.15)

Сочетая уравнения (С.1), (С.2) и (С.8) с зависимостями v

= v

и u

= ρ

/ρ

получаем

()

{

}

ζγβη

/11/2tg/tg

++= M (С.16)

Показано, что два β и два θ соответствуют одному М

. Если β небольшой,

отношение статических давлений р

/р

небольшое и ударная волна слабая. С дру-

гой стороны, если β большой, то образуется сильная ударная волна, для которой

отношение р

/р

достаточно большое. Число Маха позади наклонной ударной

волны становится сверхзвуковым для слабых ударных волн и дозвуковым для

сильных ударных волн.

Основываясь на уравнении (С.15), число Маха

М получается как

()

(){}

2/1

1cos/sinsin2/1 ++= ζθβγ MM (С.17)

Когда θ невелик, то уравнение (С.17) принимает вид

()

(){}

2/1

1tg2/1 ++=

θθγ

(С.18)

С.2 Волна расширения

Рассмотрим сверхзвуковой поток вдоль поверхности стенки с отрицатель-

ным углом (–θ). Поток управляется теми же самыми уравнениями сохранения, по-

скольку наклонная ударная волна образовывалась вдоль поверхности стенки с по-

ложительным углом (+θ). Ключевым различием является то, что наклонная удар-

ная волна образуется, когда угол имеет положительное значение, в то время как

волна расширения образуется при отрицательном угле. Волна расширения обра-

зуется веерообразной формы с углом в центре, как показано на рис. С.4.

Рис. С.4. Волна расширения, образованная в сверхзвуковом потоке вдоль

поверхности стенки с отрицательным углом

520

Волна расширения состоит из множества волн Маха. Первая волна Маха с

углом α

образуется на переднем конце волны разрежения и последняя волна Ма-

ха с углом α

образуется на хвостовом конце волны разрежения, причем эти углы

описываются как

()

(

)

/1sin/1sin MиM

−

== αα , соответственно.

В волне расширения скорость потока увеличивается, а давление, плотность

и температура уменьшаются вдоль линии тока благодаря вееру расширения. Так

как α

> α

, то из этого следует, что М

< M

. Поток через волну расширения не-

прерывный и сопровождается изоэнтропийным изменением, известным как волна

расширения Прандтля-Мейера. Зависимость между углом отклонения и числом

Маха описывается уравнением расширения Прандтля-Мейера [1-5].

С.3 Ромбовидная ударная волна

Если сверхзвуковой поток появляется из сопла ракетного двигателя, то

вдоль потока газов из сопла образуется несколько наклонных ударных волн и

волн расширения. Эти волны образуются и повторяются несколько раз и образу-

ют хорошие ромбовидные фрагменты, как показано на рис. С.5. Если на выходе

из сопла образуется недорасширенный поток, то есть поток

, имеющий давление р

выше, чем окружающее давление р

, то создается волна расширения для умень-

шения давления, которая отражается на границе раздела между потоком и окру-

жающим воздухом, и при этом образуется ударная волна. Этот процесс повторя-

ется несколько раз, чтобы образовать ромбовидный порядок, как показано на рис.

С.6 (а).

Рис. С.5. Ряд ромбовидных ударных волн, образующихся при истечении

потока из сопла ракетного двигателя

С другой стороны, перерасширенный поток образуется на выходе из сопла,

когда давление р

ниже, чем окружающее атмосферное давление р

, и ударная

волна образуется для увеличения давления. Она отражается на границе раздела

между потоком и окружающим воздухом и образуется волна расширения. Как и в

случае недорасширенного потока, этот процесс повторяется несколько раз, обра-

зуя ромбовидный ряд, как показано на рис. С.6 (b).