Коротков А. Эконометрика. Вводный курс. Решение задач

Подождите немного. Документ загружается.

Решение

а)

β = E (X

ΛX)

−1

Λy) = (X

ΛX)

−1

ΛEy =

= (X

ΛX)

−1

ΛXβ = β,

следовательно, оценка является несмещённой.

б) Поскольку

β также является линейной по y, то по тео реме Гаусса-Маркова,

эта оценка не может быть точнее оценки МНК. Далее, поскольку

β = σ

ΛX)

−1

X (X

ΛX)

−1

6= σ

−1

= D

OLS

то D

β > D

OLS

Задача 3

При изучении зависимости расходов на питание от личного распола гаемого до-

хода на основе совокупных ежегодных данных для США за 2 5- летний срок

(1959-1983) было получено следующее уравнение регрессии (в скобках здесь и

далее указаны стандартные ошибки):

y = 55.3

(2.4)

+ 0.093

(0.003)

а) Дайте интерпретацию полученного уравнения. Можно ли утверждать, что

размер дохода американцев влияет на их расходы на продукты питания

(подробно опишите логику проверки гипотезы и порядок проведения рас-

четов)?

б) Допустим, что кто-то высказал гипотезу о том, что 10% предельного до-

хода тратится на продукты питания. Что вы можете сказать о справедли-

вости этой гипотезы?

Задача 4

На основе данных за 25 лет были построены два уравнения регрессии, описы-

вающие зависимость расходов на жилье по личному располагаемому доходу и

индексу относительных цен:

y = −43.4

(48.4)

+ 0.181

(0.009)

x + 0.137

(0.421)

p, (A)

log y = −1.60

(1.8)

+ 1.18

(0.05)

log x − 0.34

(0.314)

log p. (B)

а) Дайте экономическую интерпретацию обоим уравнениям. Сравните урав-

нения. Какое уравнение кажется вам лучше? Дайте подробное обоснова-

ние.

б) При учете налогов (tax) был получен результат, несколько отличный от

уравнения (A):

y = −41.6

(50.0)

+ 0.1777

(0.020)

x − 0.160

(0.094)

tax − 0.131

(0.432)

p, R

= 0.99. (C)

Сравните уравнения (A) и (C). Одно из них можно рассматривать как

ограниченную версию другого. Какое из них является ограниченной вер-

сией? В чем состоит ограничение? Сумма квадратов разностей в неогра-

ниченной и ограниченной версиях были 382.4 и 383.3, соответственно. По-

ясните, почему в ограниченной версии значение больше. Выполните т ест

для ограничения, тщательно сформулировав вашу нулевую гипотезу. Ка-

ковы окончательные выводы сравнения двух уравнений?

Задача 5

Вы исследуете зависимость между расходами на зарубежные путешествия и

личным располагаемым доходом для Франции на о снов е годовых данных за пе-

риод 1966-1985. Во время 1982 и 1983 французское правительство сильно огра-

ничивало нормы использования иностранной валюты для этих целей, пытаясь

снизить бюджетный дефицит. Объясните, как вы бы использовали фиктивные

переменные для оценки эффективности политики ограничения.

Задача 6

По данным о расходах на табачные изделия y и личном располагаемом доходе

x (оба — в миллионах фунтов стерлингов в постоянных ценах 19 75 г. для Ве-

ликобритании за период 1962-1981) были построены следующие три уравнения

регрессии (переменная t определена как t = 1 для 1962, t = 2 для 1963 и т.д.):

y = 1.257

(0.351)

+ 0.031

(0.007)

x − 57.7

(12.6)

t, R

= 0.99,

y = 5.794

(0.152)

− 0.001

(0.002)

x, R

= 0.02,

y = 2.763

(0.46)

− 4.8

(3.8)

t, R

= 0.08.

Дайте детальную аргументированную интерпретацию различий в полученных

результатах.

Задача 7

По результатам обследования n семей получены данные {(x

, y

) , i = 1, . . . , n},

где x — среднедушевой доход, а y — сбережения в семье. Известно, что ln x

ln y

связаны между собой линейной с тохастической зависимостью ln y

= α

ln x

+ ε

, где ε

— независимые случайные ошибки с нулевыми средними и

дисперсиями Dε

= σ

(ln x

)

, где σ

— неизвестный параметр.

Вывести явный (в терминах исходных данных) вид оценок для α

и α

по

обобщенному методу наименьших квадратов. В результате решения какой оп-

тимизационной задачи получены эти оценки (дать подробные пояснения). Как

оценивается величина σ

Задача 8

Рассматривается стандартная линейная регрессионная модель

= α + βx

+ δw

+ θz

+ ε

(a) Какую регрессию следует осуществить, чтобы учесть (истинную) инфор-

мацию о том, что β = 2δ?

(б) Будет ли дисперсия этой оценки (пункт (a)) больше, меньше или равна

дисперсии оценки в исходной регрессии? Объясните на содержательном

уровне.

Задача 9

Исследователь изучает зависимость расходов населения на товары первой необ-

ходимости от личного располагаемого дохода на основе совокупных ежегодных

данных за 25 лет. Он получает следующее уравнение регрессии (в скобках здесь

и далее стандартные ошибки):

y = 65.1

(2.8)

+ 0.092

(0.003)

а) Дайте полную интерпретацию полученного уравнения. Высказана гипо те-

за, что размер дохода не влияет на расходы на товары первой необходи-

мости. Проверьте гипотезу (подробно опишите логику проверки гипотезы

и порядок проведения расчетов).

б) Можно ли утверждать, что 10% предельного дохода тратится на товары

первой необходимости?

Задача 10

Расчеты по данным, собранным за 25-лет ний период, привели к двум уравнени-

ям регрессии, описывающим зависимость расходов на жилье и коммунальные

услуги от личного располагаемого дохода и индекса относительных цен:

y = −32.4

(38.5)

+ 0.179

(0.009)

x + 0.138

(0.420)

p, (1)

log y = −1.70

(1.9)

+ 1.18

(0.05)

log x − 0.35

(0.315)

log p. (2)

а) Дайте экономическую интерпретацию обоим уравнениям. Сравните урав-

нения. Какое уравнение кажется вам лучше? Дайте подробное обоснова-

ние.

б) При учете налогов (tax) был получен результат, несколько отличный от

уравнения (1):

y = −39.6

(48.0)

+ 0.1777

(0.020)

x − 0.160

(0.094)

tax + 0.131

(0.432)

p, R

= 0.99. (3)

Сравните уравнения (1) и (3). Одно из них можно рассматривать как огра-

ниченную версию другого. Какое из них является ограниченной версией?

В чем состоит ограничение? Сумма квадратов разностей в неограничен-

ной и ограниченной версиях были 382.5 и 385.6, соответственно. Поясни-

те, почему в ограниченной версии значение больше. Выполните тест для

ограничения, тщательно сформулировав вашу нулевую гипотезу. Каковы

окончательные выводы сравнения двух уравнений?

Задача 11

Вы исследуете зависимость между расходами на покупку автомобилей и лич-

ным располагаемым доходом для некоторой страны на основ е годовых данных

за период 1976-1995. В период с 1990 по 1993 в соответствии со специа льным

указом требовалось представление документов, подтверждающих законность

получения средств, используемых для крупных покупок. Объясните, как вы

бы использовали фиктивные переменные для оценки эффективности действия

этого указа.

Задача 12

По данным о расходах на напитки y и личном ра сполагаемом доходе x (оба —

в миллионах фунтов стерлингов в постоянных ценах 1975 г. для Великобрита-

нии за период 1 96 2- 19 81 ) были постро ены следующие три уравнения регрессии

(переменная t определена как t = 1 для 1962, t = 2 для 1963 и т.д.):

y = 1.137

(0.251)

+ 0.031

(0.007)

x − 55.8

(11.5)

t, R

= 0.56,

y = 4.782

(0.143)

− 0.001

(0.002)

x, R

= 0.01,

y = 2.552

(0.45)

− 5.2

(4.1)

t, R

= 0.09.

Дайте детальную аргументированную интерпретацию различий в полученных

результатах.

Задача 13

По результатам обследования n семей получены данные {(x

, y

) , i = 1, . . . , n},

где x

и y

— среднедушевые величины доходов и расходов на продукты пита-

ния в i-о й обследованной семье. Известно, что x

и ln y

связаны между соб ой

линейной стохастической зависимостью ln y

= α + βx

+ ε

, где ε

— остаточ-

ные случайные компоненты статистически независимые, с нулевыми средними

значениями и дисперсиями, пропорциональными x

, т.е. Dε

= σ

, где σ

—

неизвестный параметр.

Вывести явный (в терминах исходных данных) вид оценок для α, β и σ

по

обобщенному методу наименьших квадратов.

Задача 14

Новая компания быстрого питания экспериментирует с ценами гамбургеров.

Цена p

и количество q

проданных гамбургеров представлены в таблице:

week 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.23 1.15 1.10 1.20 1.35 1.25 1.28 0.99 1.22 1.25 1.30 1.05

892 1012 1060 987 680 739 809 1275 946 874 720 1096

Предположите, что верна модель ln q

= β

+ β

ln p

+ ε

а) Интерпретируйте коэффициент β

б) Найдите МНК-оценки коэффициентов модели и оценку стандартного от-

клонения ошибки.

в) Если целью является увеличение выручки от продажи, то что бы вы по-

советовали: увеличить или уменьшить цену гамбургера?

г) Вычислите оценки дисперсии полученных оценок коэффициентов. Найди-

те 95% доверительные интервалы для коэффициентов модели.

Задача 15

Предположим, вы оцениваете следующее уравнение спроса на деньги:

= α · Y

· r

· e

где M

— реальное предложение денег, Y

— реальный ВВП, r

— реальная ставка

процента, α, β, γ — неизвестные параметры, u

— случайные шоки.

а) Как надо преобразовать уравнение, чтобы оценить его с помощью МНК?

б) Допустим, ошибки в оценённой в ами регрессии есть AR(1) процесс. Крат-

ко опишите процедуру Кохрейна-Оркатта получения эффективных оце-

нок.

Задача 16

Уравнение y

= β

+ β

+ ε

оценивается по следующим наблюдениям:

x 4 1 5 8 2

y 6 3 12 15 4

Известна функциональная форма гетероскедастичности: Dε

= σ

Вычислить оценки обобщенного метода наименьших квадратов параметров β

и их стандартные отклонения.

Приложение 2. Пример расчетн ого задания по ана-

лизу врем енн ых рядов

В этом за дании вам предстоит подобрать модель ARIMA(p, d, q) для вашего

личного временного ряда, который нужно получить следующим образом.

1. По вашему полному имени и фамилии идентифицируется один из четырех

вариантов. Определите, являются ли чётными или нечётными количества

букв в вашем имени и фамилии и найдите соответствующий вариант ниже.

• Нечётное число букв в имени и фамилии: Вариант 1 (Forex: Евро/Дол-

лар);

• Чётное число букв в имени, нечётное в фамилии: Вариант 2 (Forex:

Доллар/Рубль);

• Нечётное число букв в имени, чётное в фамилии: Вариант 3 (NASDAQ

Composite);

• Чётное число букв в имени, чётное в фамилии: Вариант 4 (Dow Jones

Composite).

Так, например, Мария Шарапова (имя: нечётное, фамилия: чётное) полу-

чила бы Вариант 3.

2. Скачайте данные, соответствующие вашему варианту в формате .xls или

.txt (файл variants.rar).

3. Возьмите из данных только часть временного ряда длиной в 1 год, кото-

рый начинается и заканчивается с вашим днем рождения. Файл содержит

данные с 30 октября 20 03 по 29 октября 2005. Соответственно, Мария Ша-

рапова взяла бы данные с 19 апреля 2004 по 19 а преля 2005 (если торгов

в день вашего рождения не было, берите ближайшую дату).

После того, как вы получили ваш персональный ряд, приступайте к подбору

модели ARIMA(p, d, q) в любом удобном для вас статистическом пакете. Вам по-

надобится учебник Магнуса-Катышева-Пересецкого: гл. 11 Временные ряды»,

«Методология Бокса-Дженкинса» — стр. 298 в 6-ом издании. Проделайте шаги

I-II: « Идентификации модели» и «Оценивание модели и проверка адекватности

Задание написано Ольгой Горелкиной (gorelkina@yandex.ru).

модели», не забывая переносить все промежуточные и окончательные резуль-

таты в ваш Word-файл.

Некоторые важные замечания:

• Игнорируйте пропуски в данных, равно как и то, что торгов не происходит

по выходным и праздничным дням — другими словами, воспринимайте

ряд как непрерывный.

• Не забывайте помимо регрессий и коррелограмм писать минимальные

комментарии, как то: от вергается ли гипотеза о наличии единичного кор-

ня, почему берётся именно такое количество AR и MA членов и т.д.

Приложение 3. О выборочной ковариации

Выборочная ковариация является смещённой оценкой истинной ковариации!

Утверждение 1 Пусть имеются две независимые выборки (X

, . . . , X

) и (Y

, . . . , Y

)

наблюдений за случайными (не обязательно независимыми) величинами X и

Y. Пусть EX = β, EY = γ, EXY = α. Тогда выборочная ковариация

cov (X, Y) ≡

i=1



− X



− Y



= XY − X · Y (14)

является смещённой (вниз) оценкой истинной ковариации cov (X, Y) = α −βγ:

cov (X, Y) =

n − 1

(α − βγ) .

Доказательство: Воспользуемся второй частью формулы (14):

cov (X, Y) = E



XY − X · Y



= E





− E



X · Y



= E

i=1

− E

i=1

E (X

) −

i=1

α −

i=1

k6=j

= . . .

Заметим, что в сумме

k6=j

ровно n (n − 1) слагаемое (т.е. A

, проверьте).

Поскольку выборки по предположению независимы, то



EXY, k = j

EX · EY, k 6= j,



α, k = j

βγ, k 6= j,

поэтому

. . . =

· nα −

i=1

k6=j

= α −

(nα + n (n − 1) βγ) =

n − 1

(α − βγ) .