Коротков А. Эконометрика. Вводный курс. Решение задач
Подождите немного. Документ загружается.
Задача 11. Модели: сравнить
Оценивание четырёх регрессионных моделей на основании сорока наблюдений
дало следующие результаты (в скобках указаны стандартные отклонения):
(1) W = 20
(5.0)
+ 0.8
(0.09)
AGE + 3.7
(1.31)
EDU, R
2
= 0.40
(2) ln W = 3.2
(3.0)
+ 0.10
(0.009)
ln AGE + 0.19
(0.03)
ln EDU, R
2
= 0.71
(3) W = 20
(0.3)
+ 0.6
(0.09)
AGE + 0.4
(0.12)
EXP ER, R
2
= 0.59
(4) W = 2.05
(0.4)
+ 0.5
(0.19)
AGE + 0.6
(0.35)
EDU + 0.2
(0.13)
EXP ER, R
2
= 0.63
Здесь W — зарплата работ ника, AGE — его возраст (в годах), EDU — уро-
вень образования (число лет, проведённых в учебных заведениях), EXP ER —
стаж работы.
(а) Сравнить эти четыре регрессии с точки зрения их качества и прогности-
ческой силы.
(б) Дать интерпретацию коэффициентов при переменных AGE и ln AGE в
уравнениях (1) и (2), соо тв етст венно .
Задача 12. Стандартная гипотеза
Для проверки гипотезы о том, что средняя оценка студента GP A зависит от
размера стипендии W в университете, в котором он обучается, на основе данных
по выборке новосибирских университетов была получена регрессия (в скобках
указана стандартная ошибка)
GP A = 48.77 + 1.98
(0.7949)
W, R
2
= 0.756432,
Известны также средние значения и разброс:
GP A = 77.5, W = 14.5,
X
GP A − GP A
2
= 275,
X
W − W
2
= 53.
Тестируйте гипотезу на 5%-ном уровне значимости.
10
Задача 13. Модель: обратить
У первого студента имеется на бо р наблюдений (x
t
, y
t
). Предполагая модель y
t
=
α+βx
t
+ε
t
, он вычислил МНК-оценку
b
β = 0.5 и оценку её дисперсии s
2
b
β
= 0.025.
Второй студент предполагает на этих же данных оценить параметры модели
x
t
= δ + γy
t
+ η
t
. Может ли он вычислить оценки bγ и s
2
bγ
, если у него нет до ступа
к исходным данным, но он знает оценки, полученные первым студентом? (Если
да — привести ответ, если нет — пояснить). Может ли быть так, что оценка
b
β
значимо отличается от нуля, а оценка bγ при этом — незначима?
Задача 14. Модели: нащупать связь
Оценки четырёх парных регрессий методом наименьших квадратов имеют сле-
дующий вид
6
:
C
t
= const + 0.92Y
t
+ e
t1
,
C
t
= const + 0.84C
t−1
+ e
t2
,
C
t−1
= const + 0.78Y
t
+ e
t3
,
Y
t
= const + 0.55C
t−1
+ e
t4
.
Найдите оценки метода наименьших квадратов коэффициентов β
2
и β
3
в урав-
нении
C
t
= β
1
+ β
2
Y
t
+ β
3
C
t−1
+ u
t
.
Задача 15. Данные: агрегировать
Исходные данные (n наблюдений) получены по модели (1):
Y = Xβ + u, u ∼ N
0, σ
2
I
. (1)
Далее, данные были сгруппированы в p групп с числом наблюдений n
g
в группе
g, так что n
1
+ . . . + n
p
= n. Взяв средние по группам, получаем уравнение (2)
Y
g
= X
g
β + u
g
. (2)
а) Исходные данные были утеряны и исследователю остались известны толь-
ко средние по группам и количество наблюдений в каждой группе. Пред-
ложите исследователю эффективный способ оценивания коэффициентов
β.
6
Константы, конечно, не обязательно равны :-)
11
б) Какие оценки:
b
β, полученные по модели (1) (если бы исходные данные не
были утрачены), или
e
β, полученные исследователем в модели (2), облада-
ют меньшей дисперсией?
Задача 16. Оценки: взвесить
Два исследователя, работающие независимо друг от друга в НГУ и МГУ, изу-
чают регрессионную модель
y
t
= α + βx
t
+ ε
t
, t = 1, . . . , n ,
для которой выполнены все условия классической модели. Ниже приведены
результаты, полученные ими на основе независимых выборок:
Выборка I (НГУ) Выб орка II (МГУ)
n = 20 n = 20
P
x
t
= 100
P
x
t
= 200
P
x
2
t
= 600
P
x
2
t
= 2400
P
y
t
= 500
P
y
t
= 500
b
β
I
= 2
b
β
II
= 2.5
Узнав о работе друг друга, они решают вывести единую оценку параметра
β. Первый исследователь предлагает взять
e
β =
1
2
b
β
I
+
b
β
II
.
Второй исследователь считает, что весовые коэффициенты оценок выбраны не
эффективно и можно по строит ь оценку с меньшей дисперсией. Научный руко-
водитель утверждает, что знает способ ещё улучшить общую оценку.
а) Какую оценку предлагает использовать второй исследователь?
б) Какую оценку предлагает использовать научный руководитель?
Задача 17. Оценки МНК: модицифировать
Имеется стандартная линейная модель y
t
= α + βx
t
+ ε
t
. Пусть λ
t
6= 0, t =
1, . . . , n. Рассмотрим оценку
e
β =
P
λ
t
(x
t
− ¯x) (y
t
− ¯y)
P
λ
t
(x
t
− ¯x)
2
.
12
а) Является ли оценка несмещённой?
б) Что вы можете сказать о т очност и этой оценки, по сравнению с оценкой
МНК?
Задача 18. Фиктивность
Вы в скором в ремени планируете занять должность политического аналитика
на некой телевизионной станции. Все телевизионные компании уделяют боль-
шое внимание освещению выборов в Конгресс США, а ваших текущих зна-
ний по этому вопросу, к сожалению, недостаточно, чтобы получить эту работу.
Чего не скажешь о вашей эконометрической сноровке :-) Поэто му вы решили
изучить несколько эконометрических моделей, чтобы подкрепить своё мнение
относительно выборов в Конгресс 1996 года.
Вам понадобятся три модели. Каждая из них пытается объяснить различия
в проценте голосов, отданных республиканцам, среди всех 50-ти штатов. Т.е.
все три модели включают 50 наблюдений, каждое из которых соответствует
одному штату. У вас также есть четыре типа объясняющих переменных:
1. уровень безработицы для каждого штата;
2. региональные фиктивные переменные, показывающие, что штат находит-
ся на северо-востоке, юге, среднем западе или западе;
3. фиктивная переменная, показывающая, что Альберт Гор (вице-президент
и демократ) появлялся в этом штате, агитируя за кандидатов в Конгресс;
4. перекрёстные произведения региональных фиктивных переменных и фик-
тивной переменной Гора.
Три ваших модели отличаются только набором объясняющих переменных:
• Модель I содержит переменные 1) и 2);
• Модель II содержит переменные 1), 2) и 3);
• Модель III содержит переменные 1) и 4).
а) Запишите уравнение регрессии для каждой из моделей. Это можно сде-
лать разными способами, используйте формулировку, которая вам больше
нравится (или меньше не нравится :-).
13
б) Укажите, как бы вы тестировали с помощью этих моделей следующие
гипотезы (если вы хотите предложить F -тест, укажите регрессию с огра-
ничениями и без ограничений):
1. появление Гора не оказывает в лияния на процент голосов, отданных
республиканцам;
2. вся страна голосует одинаково, без различий по региональному при-
знаку;
3. северо-восток и средний запад «пояс холода» голосуют одинаково;
4. «пояс холода» голосует одинаково, «солнечный пояс» (юг и запад)
голосует одинаково, но между этими поясами может быть разница;
5. появление Гора приводит к одному и тому же эффекту для всех ре-
гионов.
Задача 19. Бинарный выбор: выбрать
Модель бинарного выбора описывается стандартным образом:
y
t
=
1, если y
∗
t
> 0
0, если y
∗
t
6 0
,
где y
∗
t
= x
0
t
β + ε
t
, а ошибки ε
t
имеют распределение Лапласа.
7
а) Найдите логарифмическую функцию правдоподобия для оценивания век-
тора β.
б) Предположим, что вы оценили вектор β, используя Probit-модель, и эти
оценки оказались примерно пропорциональны оценкам, полученным с по-
мощью исходной модели. Чему приблизительно должен быть равен коэф-
фициент пропорциональности?
7
Напомним, что для р аспр еде лен ия Лапласа
f (x) =
1
2
e
−|x|
, F (x) =
x
Z
−∞
f (ξ) dξ =
1
2
e
x
, x < 0
1 −
1
2
e
−x
, x > 0
.
14
Задача 20. Probit : додумать
Почему в модели Probit рассматривается функция распределения стандартного
нормального распределения N (0, 1), а не нормального распределения N (0, σ
2
)
с неизвестной дисперсией, которая также оценивалась бы по данным, что, воз-
можно, позволило бы сделать модель более гибкой?
Задача 21. ММП: справдоподобить
Найдите функцию правдоподобия для оценки параметров (β, σ
2
) в модели
y
∗
t
= x
0
t
β + ε
t
,
где y
∗
t
— ненаблюдаемая величина, а y
t
= max {y
∗
t
, c}, где c 6= 0, ε ∼ N (0, σ
2
I).
15
Анализ временных рядов
Задача 1. ACF и экспонента
Процесс {y
t
} задан равенством y
t
= 1.7y
t−1
− 0.72y
t−2
+ ε
t
, где {ε
t
} — белый
шум с единичной дисперсией. Покажите, что если процесс {y
t
} стационарный,
то его автокорреляционная функция ACF (k) убывает экспоненциально быстро,
т.е. |ACF (k)| ≈ ρ
k
при больш´их k, где 0 < ρ < 1.
Задача 2. Начальные условия
Пусть в условиях предыдущей задачи y
1
, y
2
— некоторые начальные значения
процесса {y
t
}. Каким условиям должны удовлетворять случайные величины y
1
,
y
2
, чтобы процесс {y
t
} был (слабо) стационарным?
Задача 3. Бернулли и стационарность
Дан процесс y
t
= ε
t
−θε
t−1
, |θ| < 1, где {ε
t
} — белый гауссовский шум с диспер-
сией σ
2
. Определим процесс {x
t
}:
x
t
=
1, если y
t
> 0,
0, если y
t
< 0.
Покажите, что процесс {x
t
} является стационарным.
Задача 4. Импульсы
Вычислите ∂y
t
/∂ε
t−s
для процесса (1 − 1.1L + 0.3L
2
) y
t
= (1 − 0.8L) ε
t
.
Задача 5. Brief & Exhaustive
8
• Посчитать коэффициент автокорреляции первого порядка для ряда 1, 2,
4, 8, 10.
• Коэффициент автокорреляции первого порядка для обратимого процесса
скользящего среднего равен −2/5. Записать уравнение процесса и график
его автокорреляционной функции.
8
c
названия – Станислав Анатольев
16
• Для процесса
x
t
= 0.5x
t−1
+ 0.25x
t−2
+ ε
t
автокорреляции первого и второго порядка равны, соответственно , 2/3 и
7/12. Найти автокорреляцию 4-го порядка.
• Дисперсия процесса
z
t
= ε
t
+ 0.5ε
t−1
− 0.5ε
t−2
равна 6. Найти дисперсию белого шума.
• Вывести формулу дисперсии белого шума для процесса AR(3), если из-
вестны уравнение процесса и значения автоковариационной функции.
• Можно ли сказать, дисперсия какого процесса больше и во сколько раз:
x
t
= 1.5x
t−1
+ ε
t
,
y
t
= 1.4y
t−1
+ δ
t
?
Задача 6. Порисовать
Изобразить график автокорреляционной функции процесса
z
t
+ 0.1z
t−1
+ 0.5z
t−2
= ε
t
.
Задача 7. Ещё порисовать
Корни характеристического уравнения для процесса AR(2) равны ±5. Изобра-
зить график автокорреляционной функции.
Задача 8. Стационарная модель: спрогнозировать
Рассмотрим прогнозирование на s шагов вперёд в модели
y
n
= δ + φy
n−1
+ ε
n
− θε
n−1
, ε
n
∼ iid
0, σ
2
.
Покажите, что
lim
s−→∞
De
n+s
= σ
2
1 − 2φθ + θ
2
1 − φ
2
,
где e
n+s
= y
n+s
− by
n+s
— ошибка прогноза.
17
Задача 9. ARMA: автопосчитать
Первая частная автокорреляционная функция ряда {y
t
} равна 0.8, вторая рав-
на 0.5, остальные равны нулю. Вычислить оценки первых трех значений авто-
корреляционной функции временного ряда. Какую модель ARMA (p, q) можно
предложить для временного ряда {y
t
}?
Задача 10. Тип стационарности: предъявить
Для ежедневного обменного курса y
t
EUR/JPY на основании 1800 наблюдений
получена следующая регрессия
y
t
= 1.273
(0.357)
+ 0.0003
(9.61E−05)
t + 0.9869
(0.0037)
y
t−1
− 0.0254
(0.0236)
4y
t−1
−
−0.0058
(0.0236)
4y
t−2
− 0.0073
(0.0236)
4y
t−3
− 0.0158
(0.0236)
4y
t−4
(в скобках даны стандартные ошибки). Что вы можете сказать о поведении это-
го ряда (стационарный, не стационарный, trend stationery, difference stationary)?
Задача 11. Нестационарная модель: спрогнозировать
Рассмотрим прогнозирование на s шагов вперёд в модели
∆y
n
− µ = φ (∆y
n−1
− µ) + ε
n
, ε
n
∼ iid
0, σ
2
, µ ≡ E∆y
n
.
Покажите, что ошибка прогноза на n шагов вперёд e
n+s
равна
ε
n+s
+ (1 + φ) ε
n+s−1
+ . . . +
1 + φ + φ
2
. . . + φ
s−1
ε
n+1
.
Задача 12. Посмотреть в бесконечность
Рассмотрим простую регрессионную модель
y
i
= µ + ε
i
, ε
i
∼ N
0, σ
2
.
1. Покажите непосредственно, что оценка метода наименьших квадратов bµ
является состоятельной и асимптотически нормальной.
2. Теперь рассмотрите альтернативную оценку eµ =
P
w
i
y
i
, где w
i
= i /
P
i
i
(обратите внимание, что
P
i
w
i
= 1). Покажите, что eµ является состоя-
тельной оценкой параметра µ и получите её асимптотическую дисперсию
(подсказка:
P
i
2
= n (n + 1) (2n + 1) /6).
18
Решени я