Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

231

Pr(Y=500) = Pr(k=2) ⋅(Pr(X=100) ⋅Pr(X=400)⋅2+

+ Pr(X=200) ⋅Pr(X=300) ⋅2) = ... = 0.002

Pr(Y=600) = Pr(k=2) ⋅(Pr(X=200) ⋅Pr(X=400)⋅2+

+ Pr(X=300) ⋅Pr(X=300)) = ... = 0.0025

Pr(Y=700) = Pr(k=2) ⋅(Pr(X=300) ⋅Pr(X=400)⋅2) = 0.01⋅2⋅0.3⋅0.4 = 0.0024

Pr(Y=800) = Pr(k=2) ⋅Pr(X=400) ⋅Pr(X=400) = ... = 0.0016

Проверка показывает, что сумма вероятностей равна единице.

Составляем закон распределения:

Y 0 100 200 300 400 500 600 700 800

P .81 .018 .0361 .0544 .073 .002 .0025 .0024 .0016

M(Y) = ∑ Y⋅Py = 0 + 1.8 +...+ 1.28 = 60

( M(X)= 300 , M(k)=n⋅p = 0.2 , M(X) ⋅M(k) = M(Y) )

M(Y

) = 21800, D(Y) = 21800 - 60

= 18200, σy = 136, К=136/60=2.27

12.12. Перестрахование суммарного распределенного риска

Рассмотрим на этом числовом примере, что происходит при

перестраховании. Предположим, что страховщик оставил себе риск до

300 включительно, а весь риск сверх этого значения передал на

эксцедентное перестрахование. Каковы математические ожидания и

дисперсии рисков страховщика и перестраховщика после заключения

договора?

В зависимости от наличия или отсутствия у перестраховщика

информации о малых ущербах возникают различные варианты. Сначала

рассматриваем ситуацию с точки зрения

страховщика, у которого есть

вся информация.

Пусть

X - ущерб, Y - выплата страховщика, Z - выплата

перестраховщика. Рассмотрим различные варианты.

Пример 2. По договору страховщик полностью освобождается от

оплаты возмещения ущерба

Y>300, такой ущерб полностью оплачивает

перестраховщик.

Y 0 100 200 300 Z 400 500 600 700 800

Py .81 .018 .0361 .0544 Pz .073 .002 .0025 .0024 .0016

Чтобы каждая таблица была «законом распределения»,

необходимо выполнение условия:

∑ P = 1. Это достигается при учете:

P(Y = 0) = P(X = 0) + P(X > 300), т.е. 0.81 + 0.0815 = 0.8915

P(Z = 0) = P(X ≤ 0), т.е. P(Z = 0) = 0.9185.

232

2-1. Здесь обе стороны знают всю картину.

M(Y) = 25.34, M(Y

) = 6520, D(Y) = 5877.9, σ

=76.7 < 136,

K=76,7/25,34=3,03

M(Z) = 34.66, M(Z

) = 15280, D(Z) = 14078.7, σ

=118.7 < 136.

K=118,7/34,7=3,4

Итак, сумма математических ожиданий сохранилась, но у каждой

стороны уменьшились и математические ожидания и дисперсии их

собственных рисков по сравнению с соответствующими

характеристиками общего риска. Выше отмечено, что это приводит к

снижению обеих рисковых надбавок, следовательно, к удешевлению

страхования, в целом, для страхователя.

2-2. Теперь рассмотрим ситуацию со стороны перестраховщика,

который знает только о тех страховых случаях, по которым ему

пришлось выплачивать возмещение. Значения

Z для него сохраняются,

но вероятности будут совсем другими. Полная вероятность того, что

перестраховщик узнает о страховом случае есть

Pr(X>300) = 0.0815 .

Это есть

1 - F(M), которая находится в знаменателе в формуле для М.О.

риска перестраховщика в условиях неполной информации.

Если страховщик рассматривает общий риск

X=Y+Z, то

перестраховщику известен только

Z, поэтому при разбиении X на Y и

Z необходимо «подправить» значения вероятностей. Например,

условная вероятность (

Z=400) (при условии, что X>300), равна

0.073/0.0815 = 0.8957. (В то время, как для страховщика просто

добавляется

Pr(X>300) = 0.0815. То есть, в законе распределения Y

добавится (

Pr(Y=0) = 0.0815) ).

Поэтому каждое значение вероятности

Pz увеличится в

1/0.0815 = 12.27 раз. Соответственно увеличится и его М.О.

M(Z’) = 12.27⋅34.66 = 425.3 >>34.66 ;

M(Z’

) = 12.27⋅15280 = 187439 ;

D(Z’) = 187439 - 425.3

= 6650 ;

z’

= 81.5 < 136. K=84,5/425,3=0,19.

Естественно, перестраховщик назначит совсем другую плату за

свои услуги (рисковая премия существенно возрастет, рисковая

надбавка, наоборот, снизится, причем, и абсолютная, и относительная,

но нетто-премия существенно возрастет), что отразится на цене

страхования в целом. Отметим, что ситуация стала менее

благоприятной, чем до заключения перестраховочного договора –

абсурд! Причина – не вполне корректное условие о полном возмещении

всего ущерба (сравните условную франшизу с безусловной!). Поэтому

такие договора не практикуются.

233

Пример 3. Изменим условие договора о перестраховании. Если

X>300, то страховщик платит Y=300, а перестраховщик платит

Z = X-300.

Так как

Pr(X>300)=0.0815, то для страховщика

Pr(Y=300)=0.0544+0.0815=0.1359. Тогда закон распределения Y

примет вид:

Y 0 100 200 300

Py 0.81 0.018 0.0361 0.1359

Соответственно:

M(Y)=49.79, M(Y

)=13855, D(Y)=11360, σ

=107. K=107/49,79=2,27.

По сравнению с предыдущим договором существенно

увеличилось математическое ожидание (то есть рисковая премия), а

также увеличились дисперсия и среднее квадратическое отклонение (что

отразилось на надбавке: абсолютная возросла, хотя относительная

уменьшилась).

3-1. Перестраховщик знает обо всех убытках. Тогда для него закон

распределения примет вид:

Z 100 200 300 400 500 0

Pz .073 .002 .0025 .0024 .0016 .9185

Следовательно:

M(Z)=10.21, что вполне соответствует значению

M(Y)=49.79.

M(Z

)=1819, D(Z)=1715, σ

=41.7 < 136 . K=41,7/49,79=0,94 << 2,27.

Сумма рисков страховщика и перестраховщика сохранилась, но их

дисперсии и средние квадратические отклонения уменьшились, поэтому

надбавки снизились у обоих (причем, и относительные и абсолютные),

то есть страхование, в целом, подешевело.

3-2. Теперь, с учетом того, что перестраховщик знает лишь об

убытках свыше

300, в компенсации которых он принимает участие,

построим закон распределения

Z. Как и в п.45.2., все вероятности

увеличились в

12.27 раз. Поэтому:

Z’ 100 200 300 400 500 0

Pz’ .8957 .0245 .0308 .0294 .0196 0

Соответственно:

M(Z’)=125.27 (сравнить с 425.3 в предыдущем

примере),

M(Z

)=22313, D(Z’)=6650, σ

z’

=81.5. K=81,5/125,27=0,65. Если

математическое ожидание уменьшилось на те

300 у.е., на которые

снизились выплаты перестраховщика, то увеличение дисперсии и

234

среднего квадратического отклонения (по сравнению с

п.3.1. и п.2.2.)

приведет к повышению надбавки в договоре о перестраховании.

Поэтому страхование в целом может стать дороже, чем в

п.3.1. В то же

время

z’

= 81.5 < 136, что должно снизить цену страхования в целом.

(Факторы действуют в противоположных направлениях.)

Сравнение этих двух договоров о перестраховании показывает

зависимость цены договора от условий, а также влияние полноты

информации на цену страхования в целом.

В данном примере для страхователя цена договора (рисковая

премия плюс надбавка) без перестрахования составит (при условии, что

надбавка равна

10% от среднего квадратического отклонения):

60 + 10% ⋅ 136 = 73.6 .

А при эксцедентном перестраховании в условиях полной

информации (п.3.1.): рисковая премия распределяется между

страховщиком и перестраховщиком, а надбавка берется с весовым

коэффициентом, равным доле стороны в рисковой премии. Тогда полная

цена договора:

(49.79 + 10% ⋅107⋅ 49.79/60 ) + (10.21 + 10% ⋅ 41.7⋅ 10.21/60 ) =

= 49.79⋅ (1 + 107/600) + 10.21⋅ (1 + 41.7/600) = 69.6 < 73.6 .

Таким образом, в целом для страхователя договор стал дешевле на

4 у.е. или на 5% .

Аналогичные расчеты для

п. 3.2. дают результат 70.2, что

несколько больше, чем

69.6, (но меньше, чем 73.6). Это показывает,

почему в практике получило распространение именно эксцедентное

перестрахование. При некоторой условности и упрощенности примера

он достаточно нагляден. В частности, видно, что варианты с

отсутствием у перестраховщика полной информации -

неконкурентоспособны.

235

13. Некоторые концептуальные проблемы оценки устойчивости

13.1. Задача о разорении

В отличие от предыдущих задач, где рассматривалось состояние

страхового портфеля

в конце срока страхования, в данном разделе

анализируется состояние портфеля

в произвольный момент времени.

Компания должна быть в состоянии выполнить свои обязательства в

любой момент, не дожидаясь поступления всех страховых взносов.

Пример 1. Компания должна получить за год суммарный

страховой взнос

600 е.с.с. и рассчитывает, что взносы будут поступать

равномерно в течение года, (так и бывает на практике), поэтому к

определенному дню накопленная сумма взносов будет

пропорциональна

отрезку времени, прошедшему с начала года. Требование о выплате

возмещения может поступить в любой момент и размер требования -

случаен (известно лишь его распределение).

Например, компания надеется получить к

60-му дню года (2

марта) взносы в объеме:

600 × (60/365) = 98,6 = 99 е.с.с. Тогда может

возникнуть следующая ситуация (см. табл.):

День 60 96 202 301 363

Размер выплаты 87 113 212 64 58

Поступившие

взносы

99 158 332 495 597

К концу года все благополучно: суммарный размер выплат (

534)

меньше собранных взносов. Однако, к

96-му дню ситуация

недопустимая: собрано 158, а необходимо выплатить 200. Аналогично и

202-му дню: собрано 332, а выплатить придется 412.

Очевидно, что если у компании в начале года не будет капитала,

то она окажется несостоятельной. (Подобная задача с потоком платежей

в коммерческом банке рассматривалась в курсе «Основы финансовой

математики» /30/.) В данном примере достаточно начального резерва

(изменение цены денег не учитывается).

Активы на момент времени t = исходные активы + взносы на момент

времени

t - выплаты на момент времени t.

Итак, принцип определения исходных активов (начального

капитала, резерва), в том, что на первом этапе, полагая их равными

нулю, строим график изменения активов во времени. Эта ломаная линия

может опуститься

ниже горизонтальной оси (причем неоднократно). На

втором этапе находим глобальный минимум. Теперь необходимо

поднять ломаную линию настолько, чтобы она

вся находилась над

236

горизонтальной осью. То есть

резерв по абсолютной величине должен

быть больше найденного глобального минимума

. (Рис. 13.1).

U(t) U(t)

Рис. 13.1.

Актуария интересует

вероятность разорения и, в частности,

зависимость этой вероятности от резерва (начальных активов) и от

рисковой надбавки. Очевидно, эта зависимость есть

убывающая

функция. В простейшем случае предположим, что требования

оплачиваются

немедленно, процентная ставка равна нулю (цена денег

постоянна), издержки страховщика игнорируются.

Пусть для каждого

t > 0 есть случайная величина N(t) - число

требований

до момента t. Тогда семейство случайных величин (N(t))

t≥0

- пример

случайного процесса.

Пусть

- размер i-й страховой выплаты, Z(t) - общий размер

страховых выплат до момента

t. Тогда (Z(t))

t≥0

- случайный процесс,

описывающий общий размер выплат.

Z(t) = Σ X

, i = 1,...,N(t).

Для единицы времени имеем: N(1) и Z(1), которые соответствуют

N и Z в коллективных моделях.

Поступающие взносы исследуются на уровне портфеля; при этом

предполагается, что взносы поступают

непрерывно и с фиксированной

скоростью

‘c’ Активы обозначим U. Тогда:

U(t) = U + c×t - S(t)

представляет случайный процесс изменения активов.

Пример 2. В течение года произведено 6 выплат (по графику);

День 47 99 199 286 306 358

Размер выплаты 97 104 157 56 23 99

В предыдущие

5 лет число требований k составило: 4, 3, 6, 2, 5.

Среднее значение страховой выплаты составляло

120 е.с.с.

Надбавка равна

25%. Найти совокупный страховой взнос за год.

Построить график процесса изменения активов.

237

Искомый взнос равен:

M(Z) × (1 +Θ)×λ = 120 × 1,25 × (4 + 3 + 6 + 2 + 5)/5 = 600

Тогда на 47-й день поступит взносов: 600× (47/365) = 77 и т.д.

Достроим таблицу:

поступило взносов 77 163 327 470 503 588

общий размер

выплат

97 201 358 414 437 536

Нетто-взнос:

120*1.25*(4+3+6+2+5)/5 = 600.

Потребность в резерве по дням:

97 – 77 = 20; 201 – 163 = 38; 338 – 327 = 31.

Далее сумма взносов больше общего размера выплат, поэтому

обращаться к резерву не приходится. Требуемый резерв равен:

20/77 = 26%, 38/163 = 23.3%, 31/327 = 9.5%.

Необходимость в начальном резерве в 26% от собираемых

(ожидаемых) взносов косвенно объясняет размер относительной

надбавки в

25%. Результат можно объяснить и иначе. Заметим, что если

найти MAX (сумма выплат / сумма взносов)

(

97/77 = 1,259; 201/163 = 1,233; и т.д.)

то становится понятным выбор надбавки

25%.

Следующий подход основан на «разбросе» при оценке резерва.

Так как

M(k) = 4, D(k) = 2, D =1,41, K= D /M = 1,41/4 = 0,35 =

35%

. То при θ = 25% (которой недостаточно) видна потребность в

резерве:

20, 38, 31.

Можно попытаться рассуждать несколько иначе и

проанализировать разброс числа требований.

k = 4; D(k) = 1/(n-1)⋅

∑

– k)

= (0 + 1 + 4 + 4 + 1)/4 = 2.5;

2.5

0.5

= 1.58; СКО/МО = 1.58/4 = 0.4 = 40% .

И здесь относительная надбавка будет исчисляться, исходя из

найденного коэффициента вариации в 40%.

Показано, что использование недостаточно обоснованных

“эвристических” подходов существенно снижает как точность выводов,

так и их надежность. Однако, на практике они иногда используются.

238

13.2. Вероятность разорения

С актуарных позиций

разорение означает падение активов до

нуля. Необходимо минимизировать

вероятность разорения, а если это

не получается, то не допустить выход этой вероятности выше

некоторого критического уровня.

ф(U) = Pr( U(t) < 0, при некотором t, 0 < t < ∞ ) - вероятность

окончательного разорения

при некотором начальном резерве U. (Т.е. в

момент

t резерв стал отрицательным!)

Чтобы задача была корректной, необходимо предположить, что

разорение происходит до некоторого

фиксированного (конечного)

момента

t, (иначе при бесконечном t вероятность разорения равна 1 для

любого

U ).

Логично считать, что при малом

t : ф(U,t) = ф(U). Если на (0,t)

произошли неблагоприятные для страховщика события (выплаты

превысили поступления), то вероятность разорения возросла. На

практике контроль активов осуществляется не непрерывно, а в

дискретные моменты времени (например, раз в квартал). В первом

приближении будем игнорировать эти детали.

13.3.

Нормальная аппроксимация при расчете вероятности

разорения

Данный подход, используемый при большом

N, основан на

технике построения доверительных интервалов для нормально

распределенной СВ

Х. Резерв U должен компенсировать превышение

размера выплат

X над ожидаемой (средней) величиной М на t*СКО.

Здесь

t определяется из таблицы функции Лапласа.

Пример 3. Компания имеет 10000 договоров, по которым с

вероятностью

0.0005 выплачивается полная сумма в 1000000. Кроме

того, возможна выплата частичной компенсации в

250000: с

вероятностью

0,004 для 4000 договоров и с вероятностью 0,002 для

остальных

6000. Найти нетто- премию, обеспечивающую вероятность

выполнения обязательств не менее

95%.

Решение. Пусть 1 е.с.с. = 250000, тогда есть два субпортфеля:

= 4000, p

(п) = 0,0005, p

(ч) = 0,004;

= 6000, p

(п) = 0,0005, p

(ч) = 0,002;

S(п) = 4, S(ч) = 1.

Сначала рассмотрим индивидуальные иски. Для первой группы:

= 1×0,004 + 4×0,0005 + 0×0,9955 = 0,006;

= 1

×0,004 + 4

×0,0005 – M1

×2 = 0,012.

239

И соответственно, для

второй группы:

= 1×0,002 + 4×0,0005 = 0,004;

= 1

×0,002 + 4

×2×0,0005 – M

= 0,010.

Тогда для суммарного иска (во всем портфеле) среднее и

дисперсия, равны:

M = N

× M

+ N

× M

= 4000 × 0,006 + 6000 × 0,004 = 48

D = N

× D

+ N

× D

= 4000 × 0,012 + 6000 × 0,010 = 108

Ширина доверительного интервала равна:

17,11081,645Dtd =⋅=⋅=

;

т.е. необходимо собрать со всех

10000 страхователей в виде рисковой

надбавки сумму

17,1 × 250000 = 4,275 млн., что обеспечит требуемую

надежность. Очевидно, назначать одинаковые премии в двух группах

нельзя. Однако представляется справедливым, чтобы относительная

надбавка была одинаковой. Поэтому сначала найдем эту относительную

надбавку:

d/M = 17,1/48 = 35,6%.

Отсюда для договоров первой группы рисковая премия равна:

250000 × 0,006 = 1500,

тогда нетто-премия равна:

1500 × 1,356 = 2034;

а для второй, соответственно:

250000 × 0,004 = 1000 и 1000 × 1,356 = 1356.

Пример 4. Однако возможен и другой подход. Надбавка (в п.41)

делится пропорционально не математическому ожиданию (

М), а

дисперсии (

D).

Решение. Тогда коэффициент пропорциональности равен:

d/D = 17,1/108 = 15,8% = k.

Для первой группы надбавка составит:

k × D

= 0,0019,

поэтому нетто-премия равна:

0,006 + 0,0019 = 0,0079 е.с.с. (1975 вместо 2034),

а ее

относительная надбавка равна:

k × D

= 0,0019/0,006 = 32%;

а для второй соответственно:

k × D

= 0,0016,

нетто-премия:

0,004 + 0,0016 = 0,0056 е.с.с. (1396 вместо 1356),

а ее

относительная надбавка:

k × D

= 0,0016/0,004 = 40%.

Пример 5. Возможен и третий подход, когда надбавка

пропорциональна средним квадратическим отклонениям.

240

Решение. Проиллюстрируем это:

0,016517,1/1040600)17,1/(4400,01)60000,1117,1/(4000

)0,01060000,01217,1/(4000DNDd/(NК

2211

==+=⋅+⋅=

=⋅+⋅=⋅+⋅=

Тогда для

первой группы надбавка равна:

0,00180,110,0165Dk

=⋅=⋅

а нетто-премия равна:

0,006 + 0,0018 = 0,0078 е.с.с. (1951)

при этом ее

относительная надбавка: 0,0018/0,006 = 30%.

Для

второй группы соответственно:

0,00180,110,0165Dk =⋅=⋅

нетто-премия: 0,004 + 0,00165 = 0,00565 е.с.с. (1415)

и при этом ее

относительная надбавка 0,00165/0,004 = 41%.

Эффект объясняется так называемым

коэффициентом рассеяния

D/M – 1 = 108/48 – 1 = 1,25 для всего портфеля, в то время, как для

первой группы он равен:

– 1 = 48/24 –1 =( 0,012/0,006 – 1 )= 1,

а для второй:

– 1 =60/24 – 1 =( 0,010/0,004 – 1 )= 1,5.

Можно объяснить это и с помощью коэффициента вариации

/M. Для первой группы он равен 0,11/0,006 = 18,26, для второй -

0,10/0,004 = 25, а усредненный по всему портфелю с весами есть:

× N

× M

/M + c

×N

× M

/M = 18,26 × 24/48 + 25 × 24/48 = 21,63

В данном портфеле дисперсия величины индивидуального иска

для второй группы меньше (

0,010 < 0,012), но для нее флуктуации

(колебания, отклонения) индивидуальных исков выше средних для всего

портфеля (на это указывают оба коэффициента). Поэтому в основу

расчета надбавки могут быть положены как дисперсия, так и СКО.

13.4. Влияние капитала на вероятность разорения

Пример 6. Есть два договора страхования домов от пожара:

= 1, p

= 0,3, S

= 2, p

= 0,2.

При пожаре убытки распределены равномерно от

0 до S. Найти

зависимость вероятности разорения

R от капитала U /14/.

Предполагается независимость случайных событий. Т.е. мы

абстрагируемся от варианта, что дома расположены рядом, и пожар

может перекинуться с одного дома на другой. Но в реальных условиях

такую возможность следует учитывать.