Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

441

І. ІІ. q

2121

0000

0212121

02111

0211∧

III. q IV. q

02100

2121121

1111

0211∨

1100

211121

02111

0211⊃

V. q

02100

2112121

12111

0211~

Наведене табличне визначення логічних сполучників

Я.Лукасевичем базується на своєрідній трактовці третього

значення «нейтрально» («невизначено», або ½).

Третє занчення «невизначено» розглядається як дві рі-

вноможливі ситуації:

а) «висловлювання «р» може мати значення «істин-

но» (1)» і

б) «висловлювання «р» може мати значення «хибно» (0)».

У такому випадку, коли розглядаємо диз’юнктивне ви-

словлювання

«p v q», де р =1, а q =

треба припустити дві можливості:

І – 1 v 1= 1 і

ІІ – 1 v 0 = 1.

Виходить, що значенням p v q буде «1».

Або ж візьмемо імплікацію

p ⊃ q, де знову р = 1, а q = ½.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

442

Тут матимемо таку ситуацію:

І – 1 ⊃ 1 = 1;

ІІ – 1 ⊃ 0 = 0.

Отже, імплікація при такому наборі значень, де анте-

цедент істинний (1), а консеквент невизначенний (½) ма-

тиме значення «½». Таким способом встановлюється зна-

чення для будь-якої формули в тризначній логіці.

Якщо побудува таблиці істинності в двозначній логіці

здійснюється за формулою 2

ⁿ

, то в тризначній логіці – за

формулою 3

ⁿ

У цій формулі число 3 вказує на кількість істинністних

значень (1, 0,

), а буква «n» на кількість простих вислов-

лювань, що входять до складу вихідного висловлювання.

Звернемося до прикладу і побудуємо таблицю істинності

для висловлювання:

(p ^q) ⊃ r.

Виходячи із формули побудови таблиці істинності в

тризначній логіці, така таблиця матиме 27 рядків:

№ pq r qP Λq (p Λq) ⊃ r

111100 1

21 1 1/2 0 0 1

311000 1

4 1 1/2 1 1/2 1/2 1

5 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

6 1 1/2 0 1/2 1/2 1/2

710111 1

81 0 1/2 1 1 1/2

910011 0

10 1/2 1 1 0 0 1

11 1/2 1 1/2 0 0 1

12 1/2 1 0 0 0 1

13 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1

14 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1

15 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

443

Закінчення табл.

№ pq r qP Λq (p Λq) ⊃ r

16 1/2 0 1 1 1/2 1

17 1/2 0 1/2 1 1/2 1

18 1/2 0 0 1 1/2 1/2

1901100 1

20 0 1 1/2 0 0 1

2101000 1

22 0 1/2 1 1/2 0 1

23 0 1/2 1/2 1/2 0 1

24 0 1/2 0 1/2 0 1

2500110 1

26 0 0 1/2 1 0 1

2700010 1

Окрім табличного способу визначення пропозиційних

сполучників існує ще спосіб визначення даних сполучни-

ків у формі рівностей.

Скористаємося позначенням логічних сполучників,

яке вживає Я. Лукасевич:

N – заперечення;

C – імплікація;

K – кон’юнкція;

A – диз’юнкція.

Тепер логічні сполучники, як пропозиційні функції мо-

жна записати у вигляді таких рівностей:

а) Nx = 1 – x.

б) Kx, y = min (x,y).

в) Ax, y = max (x,y).

г) Cx, y = min (1,1 – x + y).

Прокоментуємо кожну із наведених рівностей:

а) Nx =1-x (тобто Nx = 0 при х = 1, Nx = 1, при х = 0,

Nх =

при х =

);

г) Cx,y = min (1,1 — x + y). Читається ця рівність:

«значення істинності імплікації висловлювань х та у до-

рівнює меншому із чисел «1»; «1 — х + у».

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

444

Розглянемо всі варіанти:

1. С 1,0 = min (1, 1 – 1 + 0) = 1, 0 = 0

2. С 0, 1 = min (1, 1 – 0 + 1) = 1, 2 = 1

3. С 1, 1= min (1, 1 – 1 + 1) = 1, 1 = 1

4. С 0, 0 = min (1, 1 – 0 + 0) = 1, 1 = 1

5. С

, 1= min (1, 1 –

+ 1) = 1, 1

= 1

6. С 1,

= min (1, 1 – 1 +

) = 1,

7. С 0,

= min (1, 1 – 0 +

) = 1,

8. С

, 0 = min (1, 1 –

+ 0) =1,

9. С

½,½

= min (1, 1 –

) = 1, 1 =1.

б) Кх, у = min (х, у) – (тобто значення істинності

кон’юнкції х та у дорівнює у меншому із значень істинно-

сті х та у).

Розгорнемо цю дефініцію:

1. К 1, 0 = min (1, 0) = 0

2. К 0, 1 = min (0, 1) = 0

3. К 0, 0 = min (0, 0) = 0

4. К 1, 1 = min (1, 1) = 1

5. К

, 1 = min (

, 1) =

6. К 1,

= min (1,

) =

7. К

, 0 = min (

, 0) = 0

8. К 0,

= min (0,

) = 0

9. К

= min (

) =

½.

в) Ах,у = max (х, у) – (тобто значення істинності

диз’юнкції х та у дорівнює більшому із значень істиннос-

ті х і у).

Наведемо можливі варіанти.

1. А 1, 0 = max (1, 0) = 1

2. А 0, 1 = max (0, 1) = 1

3. А 1, 1 = max(1, 1) = 1

4. А 0, 0 = max (0, 0) = 0

5. А

, 1 = max (

, 1) = 1

6. А 1,

= max (1,

) = 1

7. А

, 0 = max (

, 0) =

8. А 0,

= max (0,

) =

9. А

= max (

) =

½.

Якщо співставити табличне визначення пропозиційних

зв’язок (яке наводилося вище) із визначенням їх у формі

рівностей, то їх ідентичність буде очевидною.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

445

Як і у двозначній логіці, в якості тавтологій (стверджу-

ваних, доказових, завжди істинних тощо висловлювань)

вважаються ті, які набувають лише значення «і», так і в

трьохзначній логіці Я.Лукасевича законом є формула, яка

при будь-яких наборах значень пропозиційних змінних на-

буває значення «1».

У зв’язку з цим виникає закономірне питання: «Чи

співпадає клас тавтологій двозначної логіки із класом

тавтологій тризначної логіки?»

Виявляється, що не всі тавтології двозначної логіки є

тавтологіями у тризначній.

Візьмемо такі принципові формули, як закон виключе-

ного третього і закон протиріччя: A ∨



A,  (A ∧



A).

При значені

вони перестають бути тавтологіями:

А ∨



А = ½ ∨ ½ = ½ ∨ ½ = ½

 (А ∧А) =  (½ ∧½) = (½ ∧ ½)= ½ = ½.

Не відноситься до числа тавтологій і правило зведення

до абсурду:

(

A ⊃ (В ∧В)) ⊃ А,

оскільки –

( ½ ⊃ (½ ∧ ½)) ⊃ ½ = (½ ⊃ (½ ∧ ½)) ⊃ ½ =

= (½ ⊃ ½) ⊃ ½ = 1 ⊃ ½ = ½.

Як ми вже переконалися, закон виключеного третього і

закон протиріччя не є тавтологіями в тризначній логіці,

але й такими не є їх заперечення.

Переконаємося у цьому, здійснивши заперечення даних

законів.

Візьмемо спочатку заперечення закону виключеного

третього:

 (А∨А)

1.  (1 ∨



1) = (1∨ 0) =  (1) = 0

2.  (0 ∨



0) = (0 ∨ 1) =  (1) = 0

3.  (

∨

½

) = (

∨

)= (

) =

½.

Із наведених фактів випливає, що багатозначна логіка

не є запереченням (відкиданням) двозначної логіки (поді-

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

446

бно до того, як поява фізики Енштейна не була заперечен-

ням, в негативному розумінні, фізики Ньютона), а багато-

значна логіка є узагальненням двозначної. Адже при зна-

ченнях «1» та «0», коли виключати проміжні значення, то

двозначна логіка виступає як граничний (частковий) випа-

док багатозначної.

б) Чотиризначна логіка Я.Лукасевича

У творі «Арістотелівська силогістика з точки зору су-

часної формальної логіки» Я.Лукасевич розробляє чотири-

значну логіку.

Для цього він бере два вихідні значення «1» та «0» і ут-

ворює з них чотири впорядковані пари: (1, 1), (1, 0), (0, 1),

(0, 0). Які розглядаються як елементи нової таблиці істин-

ності. Значення істинності для вихідних (в його логіці) ло-

гічних зв’язок імплікації та заперечення Я.Лукасевич за-

дає відповідними рівностями:

1) C (a, b) (c, d) = (C ab, C bd);

2) N (a, b) = (Na, Nb).

Упорядковані пари відповідно позначимо:

(1, 1) = 1,

(1, 0) = 2,

(0, 1) = 3,

(0, 0) = 0.

Побудуємо таблицю істинності для імплікації із ураху-

ванням введених рівностей:

1111111100

0111011110

1010111101

0010011111

00100111

,,,,,

,,,,C

Перепишемо дану таблицю, застосовуючи введені раніше

скорочення:

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

447

11114

21213

33112

03211

0321C

Дамо табличне визначення заперчення (N):

pNp

1,1 0,0

1,0 0,1

0,1 1,0

0,0 1,1

Враховуючи скорочення, дана таблиця набуде вигляду:

pNp

Задамо значення для кон’юнкції, диз’юнкції та еквіва-

ленції:

3) К (a,b) (c,d) = (K (a,c) K (b,d))

4) A (a,b) (c,d) = (A (a,c) A (b,d))

5) Q (a,b) (c,d) = (Q (a,c) Q (b,d)).

Введемо табличне визначення для кон’юнкції (К),

диз’юнкції (А) та еквіваленції (Q).

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

448

0000000000

0000001010

0000110101

0010011111

00100111

,,,,,

,,,,K

У скороченому варіанті дана таблиця матиме вигляд:

00000

00033

00222

03211

0321K

Таблиця для диз’юнкції виглядатиме так:

0010011100

1010111110

0111011101

1111111111

00100111

,,,,,

,,,,A

Скорочений варіант таблиці:

03210

33113

21212

11111

0321A

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

449

Запишемо таблицю для еквіваленції:

1101100000

0111001010

1000010101

0010011111

00100111

,,,,,

,,,,Q

Скорочений варіант таблиці для еквіваленції:

12300

21033

30222

03211

0321Q

Нові символи, які введені для таблиць істинності «2» і

«3», можна тлумачити: «2» – «ближче до істини», «3» –

«ближче до хиби». Оскільки «2» і «3» взяті як додаткові

істинісні значення, то їх можна ототожнювати з «1» і «0»

байдуже як саме.

Візьмемо, наприклад, таблицю для імплікації і прийме-

мо умову: 2 = 1, а 3 = 0.

Таблиця 1

11110

00111

0011C

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

450

А тепер перепишемо дану таблицю за умови 2 = 0, а 3 = 1.

Таблиця 2

11110

01011

11110

01011

0101C

Аналізуючи таблицю 1, ми бачимо, що:

а) другий рядок ідентичний першому, а третій –четвер-

тому;

б) друга колонка ідентична першій, а третя – чет-

вертій.

Якщо викреслити менші проміжні рядки і колонки, то

отримаємо таблицю істинності для імплікації в двозначній

логіці. Це ж саме можна спостерігати, аналізуючи табли-

цю 2.

Отже, як і у випадку із тризначною логікою, чотири-

значна логіка так само є узагальненням двозначної логіки.

Все це дає право стверджувати, що будь-яке числення не-

класичної логіки у своїй основі як базову утримує двозна-

чну логіку.

Наприкінці знайомства з чотиризначною логікою задамо

алгоритм побудови таблиці істинності і знайдемо значення

для довільного виразу.

Таблиця істинності будується тут за формулою

«4

», де «4» – це кількість значень, що приймає одне

висловлювання, а «n» – це кількість простих вислов-

лювань, що входять до складу вихідного висловлю-

вання.

Наприклад, маємо вираз:

(p ⊃q) ∨ p.

Побудуємо для нього таблицю істинності. Відповідно до

формули 4

вона буде мати 16 рядків.