Коловский Ю В. Метрология, стандартизации и технические измерения

Подождите немного. Документ загружается.

определителя D столбца и строчки, на пересечении которых находится дан-

ный элемент),

- оценка дисперсии условных уравнений.

Оценка дисперсии условных уравнений вычисляется по формуле

(1.223)

Метод наименьших квадратов дает возможность найти оценки изме-

ряемых величин и оценить их средние квадратические отклонения.

Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых вели-

чин строят на основе распределения Стьюдента

. Число степеней свободы

при этом для всех измеряемых величин равно n-m.

Приведение линейных неравноточных условных уравнений к рав-

ноточным

При неравноточных условных уравнениях наиболее вероятную сово-

купность значений неизвестных A, B, C, ... получим, если минимизировать

(1.224)

где

- вес i-го условного уравнения.

Введение весов равносильно умножению условных уравнений на

В итоге в коэффициенты при неизвестных в нормальных уравнениях войдут

сомножители

Так, первое из системы нормальных уравнений (104) примет вид

(1.225)

Аналогично изменятся и все остальные уравнения. При этом каждый

коэффициент уравнения представляет собой сумму членов вида

(1.226)

Веса условных уравнений находят из условий:

(1.227)

(1.228)

Следовательно, для решения задачи нужно знать дисперсии условных

уравнений. Если веса определены (или выбраны), то после приведенных пре-

образований дальнейшее решение задачи выполняем в полном соответствии

с изложенным в 4.1. и в итоге получаем оценки измеряемых величин и их

средние квадратические отклонения. Однако обычно веса определяются при-

ближенно.

Линеаризация нелинейных условных

уравнений

Метод наименьших квадратов по ряду причин принципиального харак-

тера используется только для линейных условных уравнений. Поэтому нели-

нейные условные уравнения желательно преобразовывать к линейному виду.

Общий метод решения данной задачи основан на допущении, что несо-

вместность условных уравнений невелика, т.е. их невязки малы. Тогда, взяв

из системы условных

уравнений столько уравнений, сколько у нас неизвест-

ных, их решением находим начальные оценки неизвестных

. Полагая

далее, что

, (1.229)

и подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем ус-

ловные уравнения в ряды. Пусть

. (1.230)

Тогда, сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок a,b,c, по-

лучим

(1.231)

Частные производные находим путем дифференцирования функции

по A,B,C соответственно, а затем в полученные формулы подстав-

ляем

, находим их числовые значения. Кроме того,

(1.232)

Таким образом, мы получаем систему линейных условных уравнений

относительно a,b,c. Решение ее дает нам их оценки и средние квадратические

отклонения. Тогда

(1.233)

Поскольку A , B , C - неслучайные величины, то

и т.д. (1.234)

В принципе получив

можно сделать второе прибилжение и т.д.

Наряду с рассмотренным общим методом линеаризации условных

уравнений пользуются также методом подстановок. Так, если условное урав-

нение имеет вид:

(1.235)

где x,y,z - непосредственно измеряемые величины; A, B требуется оп-

ределить, то можно сделать подстановку:

(1.236)

Тогда получим линейное условное уравнение

(1.237)

Pешение этих уравнений дает

и оценки их дисперсий, используя ко-

торые, затем можем найти искомые величины A, B.

Метод подстановок удобен, однако возможен не во всех случаях.

Пример. Рассмотрим приведенный в начале пример совокупных изме-

рений емкости двух конденсаторов. Результаты прямых измерений следую-

щие:

= 0,2071 мкФ, = 0,2056 мкФ.

= 0,4111 мкФ, = 0,1035 мкФ;

Последнее уравнение - нелинейное. Разложим его в ряд Тейлора, для

чего найдем сначала частные производные:

(1.238)

и аналогично

(1.239)

Поскольку

, то можно написать:

(1.240)

Разложение в ряд выполним для точки с координатами

. Получим:

(1.241)

=0,249

Условные уравнения найдем, полагая :

Теперь вычислим коэффициенты нормальных уравнений:

[xx] = 2,062e [xy] = 1,0625;

[yy] = 2,063; [xl] = - 0,001738, [yl] =- 0,002237.

Нормальными уравнениями будут:

2,062

+ 1,0625 = - 0,001738;

1,0625

+ 2,0630 = - 0,002237.

Теперь находим искомые и . Согласно (7-5) вычисляем:

Отсюда находим:

Следовательно,

=0,2070-0,00039=0,20661 мкФ

=0,2060-0,00088=0,20512 мкФ

Остаточные невязки условных уравнений найдем, подставив найден-

ные оценки неизвестных в условные уравнения:

=0,00049, =0,00058

=-0,00063, =0,0048

Теперь по формуле (107) можно вычислить оценку дисперсии услов-

ных уравнений

Алгебраическими дополнениями определителя D будут

. Поскольку , то

Рассмотренный метод измерения емкостей конденсаторов, по-

видимому, был выбран для того, чтобы несколько уменьшить систематиче-

скую погрешность измерения, различную в разных точках диапазона измере-

ния; для уменьшения случайной составляющей погрешности было бы доста-

точно измерение каждой емкости выполнить с многократными наблюдения-

ми. Если приведенное предположение справедливо, то несовместность ус-

ловных уравнений

обусловлена тем, что систематические погрешности были

разными в разных точках диапазона измерения. В этом случае вероятностная

модель не оправдана и среднее квадратическое отклонение вряд ли можно

считать показательным параметром погрешности измерения.

Вопросы к лекции:

1. Линейные косвенные измерения?

2. Вычисление доверительных границ неисключенной систе-

матической погрешности результата косвенных измерений?

3. Нелинейные косвенные измерения?

4. Метод наименьших квадратов и общая схема его примене-

ния?

5. Приведение линейных неравноточных условных уравнений

к равноточным?

6. Линеаризация нелинейных условных уравнений?

Лекция 6.

Тема 3. Основы теории погрешностей.

План лекции:

 Классификация составляющих погрешности измерения: методи-

ческая и инструментальная, аддитивная и мультипликативная,

основная и дополнительная, статическая и динамическая, систе-

матическая и случайная составляющие.

 Грубые погрешности и промахи.

 Современные принципы нормирования и оценивания показателей

точности средств измерения и представления результатов изме-

рения.

Погрешности измерений

Основные понятия и определения

При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: ис-

тинные значения физических величин и их эмпирические проявления ─ ре-

зультаты измерений.

Истинные значения физических величин ─ это значения, идеальным

образом отражающие свойства данного объекта как в количественном, так и

в качественном отношении. Они не

зависят от средств нашего познания и яв-

ляются абсолютной истиной.

Результаты измерений, напротив, являются продуктами нашего позна-

ния. Представляя собой приближенные оценки значений величин, найденные

путем измерения, они зависят не только от них, но еще и от метода измере-

ния, от технических средств, с помощью которых проводятся измерения, и от

свойств органов чувств наблюдателя, осуществляющего измерения [3].

Как отмечалось ранее, разница



между результатами измерения X' и

истинным значением Q измеряемой величины называется погрешностью из-

мерения:

QX  '

(1.2)

Но поскольку истинное значение Q измеряемой величины неизвестно,

то неизвестны и погрешности измерения, поэтому для получения хотя бы

приближенных сведений о них необходимо в формулу (1) вместо истинного

значения подставлять так называемое действительное значение.

Под действительным значением физической величины мы будем пони-

мать ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся

к истинному

, что для данной цели оно может быть использовано вместо него.

Причинами возникновения погрешностей являются: несовершенство

методов измерений, технических средств, применяемых при измерениях, и