Кочергин В.И. Теория многомерных цифро-векторных множеств
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 6
340
Продолжение табл. 6.1.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
156 1'' 8'' 11'' 13''
157 8' 8 8' 8' 8'
158 1' 1 1' 1' 1'
159 1'' 8'' 9'' 15''
160 0'' 10'' 11'' 14''
161 14' 14' 14' 14 15'
162 10' 10' 10 10' 10'
163 2'' 9'' 10'' 14''
164 11' 11' 11' 11 11'
165 2'' 8'' 11'' 14''
166 2'' 10'' 11'' 12''
167 2' 2 2' 2' 2'
168 10' 10' 10 10' 10'
169 3'' 8'' 10'' 14''
170 10' 10 10' 10' 10 10' 10 10 10' 10 10'
171 10' 10' 10 10' 10'
172 6'' 8'' 10'' 11''
173 8' 8 8' 8' 8'
174 10' 10' 10 10' 10'
175 2'' 8'' 10'' 15''
176 11' 11' 11' 11 11'
177 3'' 9'' 11'' 14''
178 9'' 10'' 11''
179 9' 9' 9 9' 9'
180 11' 11' 11 11' 11' 11 11 11 11' 11' 11
181 11' 11' 11' 11 11'
182 11' 11' 11' 11 11'
183 2'' 9'' 11'' 15''
184 3'' 10'' 11'' 13''
185 3' 3' 3 3' 3'
186 10' 10' 10 10' 10'
187 3'' 9'' 10'' 15''
188 11' 11' 11' 11 11'
189 3'' 8'' 11'' 15''
190 1'' 10'' 11'' 15''
191 15' 15' 15' 15' 15
192 0'' 12'' 13'' 14''
193 14' 14' 14' 14 14'
194 12' 12' 12 12' 12'
195 4'' 9'' 12'' 14''
196 12' 12' 12 12' 12'
197 5'' 8'' 12'' 14''
198 12' 12 12' 12' 12 12' 12' 12 12 12 12'
199 12' 12' 12 12' 12'
200 13' 13' 13' 13 13'
201 4'' 8'' 13'' 14''
202 4'' 10'' 12'' 13''
203 4' 4 4' 4' 4'
204 6'' 8'' 12'' 13''
205 8' 8 8' 8' 8'
206 12' 12' 12 12' 12'
207 4'' 8'' 12'' 15''
208 13' 13' 13' 13 13'
209 5'' 9'' 13'' 14''
210 7'' 9'' 12'' 13''
211 9' 9' 9 9' 9'
Продолжение геометрического синтеза кодов, исправляющих ошибки
341
Окончание табл. 6.1.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
212 5'' 11'' 12'' 13''
213 5' 5' 5 5' 5'
214 12' 12' 12 12' 12'
215 5'' 9'' 12'' 12'' 15''
216 13' 13' 13 13' 13' 13 13' 13 13 13' 13
217 13' 13' 13' 13 13'
218 13' 13' 13' 13 13'
219 4'' 9'' 13'' 15''
220 13' 13' 13' 13 13'
221 5'' 8'' 13'' 15''
222 1'' 12'' 13'' 15''
223 15' 15' 15' 15' 15
224 14' 14' 14' 14 14'
225 14' 14' 14 14' 14' 14 14' 14 14' 14 14
226 7'' 10'' 12'' 14''
227 14' 14' 14' 14 14'
228 6'' 11'' 12'' 14''
229 14' 14' 14' 14 14'
230 12' 12' 12 12' 12'
231 2'' 12'' 14'' 15''
232 6'' 10'' 13'' 14''
233 14' 14' 14' 14 14'
234 10' 10' 10 10' 10'
235 4'' 10'' 14'' 15''
236 6' 6' 6 6' 6'
237 6'' 8'' 14'' 15''
238 6'' 10'' 12'' 15''
239 15' 15' 15' 15' 15
240 7'' 11'' 13'' 14''
241 14' 14' 14' 14 14'
242 7' 7' 7' 7 7'
243 7'' 9'' 14'' 15''
244 11' 11' 11' 11 11'
245 5'' 11'' 14'' 15''
246 11'' 12'' 15''
247 15' 15' 15' 15' 15
248 13' 13' 13' 13 13'
249 3'' 13'' 14'' 15''
250 7'' 10'' 13'' 15''
251 15' 15' 15' 15' 15
252 6'' 11'' 13'' 15''
253 15' 15' 15' 15' 15
254 15' 15' 15' 15' 15
255 15' 15' 15' 15 15' 15' 15 15' 15 15 15
Дальнейшие действия по определению геометрических образов исправ-
ленных сигналов информационных и контрольных разрядов систематического
кода, а также реализация покрытия этих геометрических образов и нахождения
соответствующих им логических функций не представляют какой-либо слож-
ности.
При этом число кодов контрольных разрядов, позволяющих исправлять
все одиночные и двойные ошибки, будет определяться данными табл. 6.1.2,
аналогичной табл. 4.2.2.
Глава 6
342
Таблица 6.1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
0 14 7 9 14 0 9 7 7 9 0 14 11 5 12 2 13 3 10 4 9 7 14 0 5 11 2 12 3 13 4 10
11 5 12 2 5 11 2 12 12 2 11 5 0 14 7 9 6 8 1 15 2 12 5 11 14 0 9 7 8 6 15 1
13 3 10 4 3 13 4 10 10 4 13 3 6 8 1 15 0 14 7 9 4 10 3 13 8 6 15 1 14 0 9 7
0
6 8 1 15 8 6 15 1 1 15 6 8 13 3 10 4 11 5 12 2 15 1 8 6 3 13 4 10 5 11 2 12
0 7 14 9 7 0 9 14 14 6 0 7 11 12 5 2 13 10 3 4 9 14 7 0 12 11 2 5 10 13 4 3
11 12 5 2 12 11 2 5 5 2 11 12 0 7 14 9 6 1 8 15 2 5 12 11 7 0 9 14 1 6 15 8
13 10 3 4 10 13 4 3 3 4 13 10 6 1 8 15 0 7 14 9 4 3 10 13 1 6 15 8 7 0 9 14
1
6 1 8 15 1 6 15 8 8 15 6 1 13 10 3 4 11 12 5 2 15 8 1 6 10 13 4 3 12 11 2 5
0 11 7 12 11 0 12 7 7 12 0 11 14 5 9 2 13 6 10 1 12 7 11 0 5 14 2 9 6 13 1 10
14 5 9 2 5 14 2 9 9 2 14 5 0 11 7 12 3 8 4 15 2 9 5 14 11 0 12 7 8 3 15 4
13 6 10 1 6 13 1 10 10 1 13 6 3 8 4 15 0 11 7 12 1 10 6 13 8 3 15 4 11 0 12 7
2
3 8 4 15 8 3 15 4 4 15 3 8 13 6 10 1 14 5 9 2 15 4 8 3 6 13 1 10 5 14 2 9
0 13 11 6 13 0 6 11 11 6 0 13 7 10 12 1 14 3 5 8 6 11 13 0 10 7 1 12 3 14 8 5
7 10 12 1 10 7 1 12 12 1 7 10 0 13 11 6 9 4 2 15 1 12 10 7 13 0 6 11 4 9 15 2
14 3 5 8 3 14 8 5 5 8 14 3 9 4 2 15 0 13 11 6 8 5 3 14 4 9 15 2 13 0 6 11
3
9 4 215 4 9 15 2 2 159414358710121152493148510 7 1 12
0 14 11 5 14 0 5 11 11 5 0 14 7 9 12 2 13 3 6 8 5 11 14 0 9 7 2 12 3 13 8 6
7 9 12 2 9 7 2 12 12 2 7 9 0 14 11 5 10 4 1 15 2 12 9 7 14 0 5 11 4 10 15 1
13 3 6 8 3 13 8 6 6 8 13 3 10 4 1 15 0 14 11 5 8 6 3 13 4 10 15 1 14 0 5 11
4
10 4 115 4 10 15 1 1 151041336879122151410313869 7 2 12
0 7 11 12 7 0 12 11 11 12 0 7 14 9 5 2 13 10 6 1 12 11 7 0 9 14 2 5 10 13 1 6
14 9 5 2 9 14 2 5 5 2 14 9 0 7 11 12 3 4 8 15 2 5 9 14 7 0 12 11 4 3 15 8
13 10 6 1 10 13 1 6 6 1 13 10 3 4 8 15 0 7 11 12 1 6 10 13 4 3 15 8 7 0 12 11
5
3 4 8 15 4 3 15 8 8 15 3 4 13 10 6 1 14 9 5 2 15 8 4 3 10 13 1 6 9 14 2 5
0 11 14 5 11 0 5 14 14 5 0 11 7 12 9 2 13 6 3 8 5 14 11 0 12 7 2 9 6 13 8 3
7 12 9 2 12 7 2 9 9 2 7 12 0 11 14 5 10 1 4 15 2 9 12 7 11 0 5 14 1 10 15 4
13 6 3 8 6 13 8 3 3 8 13 6 10 1 4 15 0 11 14 5 8 3 6 13 1 10 15 4 11 0 5 14
6
10 1 415 1 10 15 4 4 1510113638712921541106138312 7 2 9
0 13 7 10 13 0 10 7 7 10 0 13 11 6 12 1 14 3 9 4 10 7 13 0 6 11 1 12 3 14 4 9
11 6 12 1 6 11 1 12 12 1 11 6 0 13 7 10 5 8 2 15 1 12 6 11 13 0 10 7 8 5 15 2
14 3 9 4 3 14 4 9 9 4 14 3 5 8 2 15 0 13 7 10 4 9 3 14 8 5 15 2 13 0 10 7
7
5 8 2 15 8 5 15 2 2 15 5 8 14 3 9 4 11 6 12 1 15 2 8 5 3 14 4 9 6 11 1 12
0 14 133 14 0 3 13 13 301411568791043 13140511869 7 4 10
11 5 6 8 5 11 8 6 6 8 11 5 0 14 13 3 12 2 1 15 8 6 5 11 14 0 3 13 2 12 15 1
7 9 10 4 9 7 4 10 10 4 7 9 12 2 1 15 0 14 13 3 4 10 9 7 2 12 15 1 14 0 3 13
8
12 2 1 15 2 12 15 1 1 15 12 2 7 9 10 4 11 5 6 8 15 1 2 12 9 7 4 10 5 11 8 6
0 7 13 14 7 0 14 13 13 14 0 7 11 12 6 1 14 9 3 4 14 13 7 0 12 11 1 6 9 14 4 3
11 12 6 1 12 11 1 6 6 1 11 12 0 7 13 14 5 2 8 15 1 6 12 11 7 0 14 13 2 5 15 8
14 9 3 4 9 14 4 3 3 4 14 9 5 2 8 15 0 7 13 14 4 3 9 14 2 5 15 8 7 0 14 13
9
5 2 8 15 2 5 15 8 8 15 5 2 14 9 3 4 11 12 6 1 15 8 2 5 9 14 4 3 12 11 1 6
0 11 136 11 0 6 13 13 6011145387121016 131105148312 7 1 10
14 5 3 8 5 14 8 3 3 8 14 5 0 11 13 6 9 2 14 15 8 3 5 14 11 0 6 13 2 9 15 14
7 12 10 1 12 7 1 10 10 1 7 12 9 2 14 15 0 11 13 6 1 10 12 7 2 9 15 14 11 0 6 13
10
9 2 14 15 2 9 15 14 14 15 9 2 7 12 10 1 14 5 3 8 15 14 2 9 12 7 1 10 5 14 8 3
0 13 14 3 13 0 3 14 14 3 0 13 7 10 9 4 11 6 5 8 3 14 13 0 10 7 4 9 6 11 8 5
7 10 9 4 10 7 4 9 9 4 7 10 0 13 14 3 12 1 2 15 4 9 10 7 13 0 3 14 1 12 15 2
11 6 5 8 6 11 8 5 5 8 11 6 12 1 2 15 0 13 14 3 8 5 6 11 1 12 15 2 13 0 3 14
11
12 1 215 1 12 15 2 2 151211165879941521126118510 7 4 9
Продолжение геометрического синтеза кодов, исправляющих ошибки
343
Продолжение табл. 6.1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
0 14 7 9 14 0 9 7 7 9 0 14 13 3 10 4 11 5 12 2 9 7 14 0 3 13 4 10 5 11 2 12
13 3 10 4 3 13 4 10 10 4 13 3 0 14 7 9 6 8 1 15 4 10 3 13 14 0 9 7 8 6 15 1
11 5 12 2 5 11 2 12 12 2 11 5 6 8 1 15 0 14 7 9 2 12 5 11 8 6 15 1 14 0 9 7
12
6 8 1 15 8 6 15 1 1 15 6 8 11 5 12 2 13 3 10 4 15 1 8 6 5 11 2 12 3 13 4 10
0 7 14 9 7 0 9 14 14 9 0 7 13 10 3 4 11 12 5 2 9 14 7 0 10 13 4 3 12 11 2 5
13 10 3 4 10 13 4 3 3 4 13 10 0 7 14 9 6 1 8 15 4 3 10 13 7 0 9 14 1 6 15 8
11 12 5 2 12 11 2 5 5 2 11 12 6 1 8 15 0 7 14 9 2 5 12 11 1 6 15 8 7 0 9 14
13
6 1 8 15 1 6 15 8 8 15 6 1 11 12 5 2 13 10 3 4 15 8 1 6 12 11 2 5 10 13 4 3
0 11 7 12 11 0 12 7 7 12 0 11 13 6 10 1 14 5 9 2 12 7 11 0 6 13 1 10 5 14 2 9
13 6 10 1 6 13 1 10 10 1 13 6 0 11 7 12 3 8 4 15 1 10 6 13 11 0 12 7 8 3 15 4
14 5 9 2 5 14 2 9 9 2 14 5 3 8 4 15 0 11 7 12 2 9 5 14 8 3 15 4 11 0 12 7
14
3 8 4 15 8 3 15 4 4 15 3 8 14 5 9 2 13 6 10 1 15 4 8 3 5 14 2 9 6 13 1 10
0 13 116 13 0 6 11 11 6013143587101216 111303148510 7 1 12
14 3 5 8 3 14 8 5 5 8 14 3 0 13 11 6 9 4 2 15 8 5 3 14 13 0 6 11 4 9 15 2
7 10 12 1 10 7 1 12 12 1 7 10 9 4 2 15 0 13 11 6 1 12 10 7 4 9 15 2 13 0 6 11
15
9 4 2 15 4 9 15 2 2 15 9 4 7 10 12 1 14 3 5 8 15 2 4 9 10 7 1 12 3 14 8 5
0 14 115 14 0 5 11 11 501413368791225 11140313869 7 2 12
13 3 6 8 3 13 8 6 6 8 13 3 0 14 11 5 10 4 1 15 8 6 3 13 14 0 5 11 4 10 15 1
7 9 12 2 9 7 2 12 12 2 7 9 10 4 1 15 0 14 11 5 2 12 9 7 4 10 15 1 14 0 5 11
16
10 4 1 15 4 10 15 1 1 15 10 4 7 9 12 2 13 3 6 8 15 1 4 10 9 7 2 12 3 13 8 6
0 7 11 12 7 0 12 11 11 12 0 7 13 10 6 1 14 9 5 2 12 11 7 0 10 13 1 6 9 14 2 5
13 10 6 1 10 13 1 6 6 1 13 10 0 7 11 12 3 4 8 15 1 6 10 13 7 0 12 11 4 3 15 8
14 9 5 2 9 14 2 5 5 2 14 9 3 4 8 15 0 7 11 12 2 5 9 14 4 3 15 8 7 0 12 11
17
3 4 8 15 4 3 15 8 8 15 3 4 14 9 5 2 13 10 6 1 15 8 4 3 9 14 2 5 10 13 1 6
0 11 145 11 0 5 14 14 501113638712925 141106138312 7 2 9
13 6 3 8 6 13 8 3 3 8 13 6 0 11 14 5 10 1 4 15 8 3 6 13 11 0 5 14 1 10 15 4
7 12 9 2 12 7 2 9 9 2 7 12 10 1 4 15 0 11 14 5 2 9 12 7 1 10 15 4 11 0 5 14
18
10 1 4 15 1 10 15 4 4 15 10 1 7 12 9 2 13 6 3 8 15 4 1 10 12 7 2 9 6 13 8 3
0 13 7 10 13 0 10 7 7 10 0 13 14 3 9 4 11 6 12 1 10 7 13 0 3 14 4 9 6 11 1 12
14 3 9 4 3 14 4 9 9 4 14 3 0 13 7 10 5 8 2 15 4 9 3 14 13 0 10 7 8 5 15 2
11 6 12 1 6 11 1 12 12 1 11 6 5 8 2 15 0 13 7 10 1 12 6 11 8 5 15 2 13 0 10 7
19
8 8 2 15 8 5 15 2 2 15 5 8 11 6 12 1 14 3 9 4 15 2 8 5 6 11 1 12 3 14 4 9
0 14 13 3 14 0 3 13 13 3 0 14 7 9 10 4 11 5 6 8 3 13 14 0 9 7 4 10 5 11 8 6
7 9 10 4 9 7 4 10 10 4 7 9 0 14 13 6 12 2 1 15 4 10 9 7 14 0 3 13 2 12 15 1
11 5 6 8 5 11 8 6 6 8 11 5 12 2 1 15 0 14 13 3 8 6 5 11 2 12 15 1 14 0 3 13
20
12 2 115 2 12 15 1 1 151221156879104151212511869 7 4 10
0 7 13 10 7 0 10 13 13 10 0 7 14 9 3 4 11 12 6 1 10 13 7 0 9 14 4 3 12 11 1 6
14 9 3 4 9 14 4 3 3 4 14 9 0 7 13 10 5 2 8 15 4 3 9 14 7 0 10 13 2 5 15 8
11 12 6 1 12 11 1 6 6 1 11 12 5 2 8 15 0 7 13 10 1 6 12 11 2 5 15 8 7 0 10 13
21
5 2 8 15 2 5 15 8 8 15 5 2 11 12 6 1 14 9 3 4 15 8 2 5 12 11 1 6 9 14 4 3
0 11 13 6 11 0 6 13 13 6 0 11 7 12 10 1 14 5 3 8 6 13 11 0 12 7 1 10 5 14 8 3
7 12 10 1 12 7 1 10 10 1 7 12 0 11 13 6 9 2 4 15 1 10 12 7 11 0 6 13 2 9 15 4
14 5 3 8 5 14 8 3 3 8 14 5 9 2 4 15 0 11 13 6 8 3 5 14 2 9 15 4 11 0 6 13
22
9 2 415 2 9 15 4 4 159214538712101154295148312 7 1 10
0 13 143 13 0 3 14 14 301311658710943 141306118510 7 4 9
11 6 5 8 6 11 8 5 5 8 11 6 0 13 14 3 12 1 2 15 8 5 6 11 13 0 3 14 1 12 15 2
7 10 9 4 10 7 4 9 9 4 7 10 12 1 2 15 0 13 14 3 4 9 10 7 1 12 15 2 13 0 3 14
23
12 1 2 15 1 12 15 2 2 15 12 1 7 10 9 4 11 6 5 8 15 2 1 12 10 7 4 9 6 11 8 5
Глава 6
344
Продолжение табл. 6.1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
15 1 8 6 1 15 6 8 8 6 15 1 4 10 3 13 2 12 5 11 6 8 1 15 10 4 13 3 12 2 11 5
4 10 313 10 4 13 3 3 134101518687140133104115687 8 0 14
2 12 5 11 12 2 11 5 5 11 2 12 8 7 14 0 15 1 8 6 11 5 12 2 7 8 0 14 1 15 6 8
24
8 7 14 0 7 8 0 14 14 0 8 7 2 12 5 11 4 10 3 13 0 14 7 8 12 2 11 5 10 4 13 3
15 8 1 6 8 15 6 1 1 6 15 8 4 3 10 13 2 5 12 11 6 1 8 15 3 4 13 10 5 2 11 12
4 3 1013 3 4 13 10 10 134315816914701310348156114 9 0 7
2 5 12 11 5 2 11 12 12 11 2 5 9 14 7 0 15 8 1 6 11 12 5 2 14 9 0 7 8 15 6 1
25
9 14 7 0 14 9 0 7 7 0 9 14 2 5 12 11 4 3 10 13 0 7 14 9 5 2 11 12 3 4 13 10
15 4 8 3 4 15 3 8 8 3 15 4 1 10 6 13 2 9 5 14 3 8 4 15 10 1 13 6 9 2 14 5
1 10 6 13 10 1 13 6 6 13 1 10 15 4 8 3 12 7 11 0 13 6 10 1 4 15 3 8 7 12 0 11
2 9 5 14 9 2 14 5 5 14 2 9 12 7 11 0 15 4 8 3 14 5 9 2 7 12 0 11 4 15 3 8
26
12 7 11 0 7 12 0 11 11 0 12 7 2 9 5 14 1 10 6 13 0 11 7 12 9 2 14 5 10 1 13 6
15 2 4 9 2 15 9 4 4 9 15 2 8 5 3 14 1 12 10 7 9 4 2 15 5 8 14 3 12 1 7 10
8 5 314 5 8 14 3 3 148515249611130143582159411 6 0 13
1 12 10 7 12 1 7 10 10 7 1 12 6 11 13 0 15 2 4 9 7 10 12 1 11 6 0 13 2 15 9 4
27
6 11 13 0 11 6 0 13 13 0 6 11 1 12 10 7 8 5 3 14 0 13 11 6 12 1 7 10 5 8 14 3
15 1 4 10 1 15 10 4 4 10 15 1 8 6 3 13 2 12 9 7 10 4 1 15 6 8 13 3 12 2 7 9
8 6 3 13 6 8 13 3 3 13 8 6 15 1 4 10 5 11 14 0 13 3 6 8 1 15 10 4 11 5 2 14
2 12 9 7 12 2 7 9 9 7 2 12 5 11 14 0 15 1 4 10 7 9 12 2 11 5 0 14 1 15 10 4
28
5 11 14 0 11 5 0 14 14 0 5 11 2 12 9 7 8 6 3 13 0 14 11 5 12 2 7 9 6 8 13 3
15 8 4 3 8 15 3 4 4 3 15 8 1 6 10 13 2 5 9 14 3 4 8 15 6 1 13 10 2 2 14 9
1 6 10 13 6 1 13 10 10 13 1 6 15 8 4 3 12 11 7 0 13 10 6 1 8 15 3 4 11 12 0 7
2 5 6 14 5 2 14 9 9 14 2 5 12 11 7 0 15 8 4 3 14 9 5 2 11 12 0 7 8 15 3 4
29
12 11 7 0 11 12 0 7 7 0 12 11 2 5 9 14 1 6 10 13 0 7 11 12 5 2 14 9 6 1 13 10
15 4 1 10 4 15 10 1 1 10 15 4 8 3 6 13 2 9 12 7 10 1 4 15 3 8 13 6 9 2 7 12
8 3 6 13 3 8 13 6 6 13 8 3 15 4 1 10 5 14 11 0 13 6 3 8 4 15 10 1 14 5 0 11
2 9 12 7 9 2 7 12 12 7 2 9 5 14 11 0 15 4 1 10 7 12 9 2 14 5 0 11 4 15 10 1
30
5 14 11 0 14 5 0 11 11 0 5 14 2 9 12 7 8 3 6 13 0 11 14 5 9 2 7 12 3 8 13 4
15 2 8 5 2 15 5 8 8 5 15 2 4 9 3 14 1 12 6 11 5 8 2 15 9 4 14 3 12 1 11 6
4 9 3 14 9 4 14 3 3 14 4 9 15 2 8 5 10 7 13 0 14 3 9 4 2 15 5 8 7 10 0 13
1 12 6 11 12 1 11 6 6 11 1 12 10 7 13 0 15 2 8 5 11 6 12 1 7 10 0 13 2 15 5 8
31
10 7 13 0 7 10 0 13 13 0 10 7 1 12 6 11 4 9 3 14 0 13 7 10 12 1 11 6 9 4 14 3
15 1 2 12 1 15 12 2 2 12 15 1 4 10 9 7 8 6 5 11 12 2 1 15 10 4 7 9 6 8 11 5
4 10 9 7 10 4 7 9 9 7 4 10 15 1 2 12 3 13 14 0 7 9 10 4 1 15 12 2 13 3 0 14
8 6 5 11 6 8 11 5 5 11 8 6 3 13 14 0 15 1 2 12 11 5 6 8 13 3 0 14 1 15 12 2
32
3 13 14 0 13 3 0 14 14 0 3 13 8 6 5 11 4 10 9 7 0 14 13 3 6 8 11 5 10 4 7 9+
15 8 2 5 8 15 5 2 2 5 15 8 4 3 9 14 1 6 12 11 5 2 8 15 3 4 14 9 6 1 11 12
4 3 9 14 3 4 14 9 9 14 4 3 15 8 2 5 10 13 7 0 14 9 3 4 8 15 5 2 13 10 0 7
1 6 12 11 6 1 11 12 12 11 1 6 10 13 7 0 15 8 2 5 11 12 6 1 13 10 0 7 8 15 5 2
33
10 13 7 0 13 10 0 7 7 0 10 13 1 6 12 11 4 3 9 14 0 7 13 10 6 1 11 12 3 4 14 9
15 4 2 9 4 15 9 2 2 9 15 4 1 10 12 7 8 3 5 14 9 2 4 15 10 1 7 12 3 8 14 5
1 10 127 10 1 7 12 12 7110154296131107 121014159213 6 0 11
8 3 5 14 3 8 14 5 5 14 8 3 6 13 11 0 15 4 2 9 14 5 3 8 13 6 0 11 4 15 9 2
34
6 13 11 0 13 6 0 11 11 0 6 13 8 3 5 14 1 10 12 7 0 11 13 6 3 8 14 5 10 1 7 12
15 2 1 12 2 15 12 1 1 12 15 2 8 5 6 11 4 9 10 7 12 1 2 15 5 8 11 6 9 4 7 10
8 5 6 11 5 8 11 6 6 11 8 5 15 2 1 12 3 14 13 0 11 6 5 8 2 15 12 1 14 3 0 13
4 9 10 7 9 4 7 10 10 7 4 9 3 14 13 0 15 2 1 12 7 10 9 4 14 3 0 13 2 15 12 1
35
3 14 13 0 14 3 0 13 13 0 3 14 4 9 10 7 8 5 6 11 0 13 14 3 9 4 7 10 5 8 11 6
Продолжение геометрического синтеза кодов, исправляющих ошибки
345
Окончание табл. 6.1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
15 1 8 6 1 15 6 8 8 6 15 1 2 12 5 11 4 10 3 13 6 8 1 15 12 2 11 5 10 4 13 3
2 12 511 12 2 11 5 5 112121518697140115122115687 9 0 14
4 10 3 13 10 4 13 3 3 13 4 10 9 7 14 0 15 1 8 6 13 3 10 4 7 9 0 14 1 12 6 8
36
9 7 14 0 7 9 0 14 14 0 9 7 4 10 3 13 2 12 5 11 0 14 7 9 10 4 13 3 12 2 11 5
15 8 1 6 8 15 6 1 1 6 15 8 2 5 12 11 4 3 10 13 6 1 8 15 5 2 11 12 3 4 13 10
2 5 1211 5 2 11 12 12 112515816914701112528156114 9 0 7
4 3 10 13 3 4 13 10 10 13 4 3 9 14 7 0 15 8 1 6 13 10 3 4 14 9 0 7 8 15 6 1
37
9 14 7 0 14 9 0 7 7 0 9 14 4 3 10 13 2 5 12 11 0 7 14 9 3 4 13 10 5 2 11 12
15 4 8 3 4 15 3 8 8 3 15 4 2 9 5 14 1 10 6 13 3 8 4 15 9 2 14 5 10 1 13 6
2 9 5 14 9 2 14 5 5 14 2 9 15 4 8 3 12 7 11 0 14 5 9 2 4 15 3 8 7 12 0 11
1 10 6 13 10 1 13 6 6 13 1 10 12 7 11 0 15 4 8 3 13 6 10 1 7 12 0 11 4 15 3 8
38
12 7 11 0 7 12 0 11 11 0 12 7 1 10 6 13 2 9 5 14 0 11 7 12 10 1 13 6 9 2 14 5
15 2 4 9 2 15 9 4 4 9 15 2 1 12 10 7 8 5 3 14 9 4 2 15 12 1 7 10 5 8 14 3
1 12 107 12 1 7 10 10 7112152496111307 101212159411 6 0 13
39
8 5 3 14 5 8 14 3 3 14 8 5 6 11 13 0 15 2 4 9 14 3 5 8 11 6 0 13 2 15 9 4
6 11 13 0 11 6 0 13 13 0 6 11 8 5 3 14 1 12 10 7 0 13 11 6 5 8 14 3 12 1 7 10
15 1 4 10 1 15 10 4 4 10 15 1 2 12 9 7 8 6 3 13 10 4 1 15 12 2 7 9 6 8 13 3
2 12 9 7 12 2 7 9 9 7 2 12 15 1 4 10 5 11 14 0 7 9 12 2 1 15 10 4 11 5 0 14
40
8 6 3 13 6 8 13 3 3 13 8 6 5 11 14 0 15 1 4 10 13 3 6 8 11 5 0 14 1 15 10 4
5 11 14 0 11 5 0 14 14 0 5 11 8 6 3 13 2 12 9 7 0 14 11 5 6 8 13 3 12 2 7 9
15 8 4 3 8 15 3 4 4 3 15 8 2 5 9 14 1 6 10 13 3 4 8 15 5 2 14 9 6 1 13 10
2 5 9 14 5 2 14 9 9 14 2 5 15 8 4 3 12 11 7 0 14 9 5 2 8 15 3 4 11 12 0 7
41
1 6 10 13 6 1 13 10 10 13 1 6 12 11 7 0 15 8 4 3 13 10 6 1 11 12 0 7 8 15 3 4
12 11 7 0 11 12 0 7 7 0 12 11 1 6 10 13 2 5 9 14 0 7 11 12 6 1 13 10 5 2 14 9
15 4 1 10 4 15 10 1 1 10 15 4 2 9 12 7 8 3 6 13 10 1 4 15 9 2 7 12 3 8 13 6
2 9 12 7 9 2 7 12 12 7 2 9 15 4 1 10 5 14 11 0 7 12 9 2 4 15 10 1 14 5 0 11
8 3 6 13 3 8 13 6 6 13 8 3 5 14 11 0 15 4 1 10 13 6 3 8 14 5 0 11 4 15 10 1
42
5 14 11 0 14 5 0 11 11 0 5 14 8 3 6 13 2 9 12 7 0 11 14 5 3 8 13 6 9 2 7 12
15 2 8 5 2 15 5 8 8 5 15 2 1 12 6 11 4 9 3 14 5 8 2 15 12 1 11 6 9 4 14 3
1 12 6 11 12 1 11 6 6 11 1 12 15 2 8 5 10 7 13 0 11 6 12 1 2 15 5 8 7 10 0 13
4 9 3 14 9 4 14 3 3 14 4 9 10 7 13 0 15 2 8 5 14 3 9 4 7 10 0 13 2 15 5 8
43
10 7 13 0 7 10 0 13 13 0 10 7 4 9 3 14 1 12 6 11 0 13 7 10 9 4 14 3 12 1 11 6
15 1 2 12 1 15 12 2 2 12 15 1 8 6 5 11 4 10 9 7 12 2 1 15 6 8 11 5 10 4 7 9
8 6 5 11 6 8 11 5 5 11 8 6 15 1 2 12 3 13 14 0 11 5 6 8 1 15 12 2 13 3 0 14
4 10 9 7 10 4 7 9 9 7 4 10 3 13 14 0 15 1 2 12 7 9 10 4 13 3 0 14 1 15 12 2
44
3 13 14 0 13 3 0 14 14 0 3 13 4 10 9 7 8 6 5 11 0 14 13 3 10 4 7 9 6 8 11 5
15 8 2 5 8 15 5 2 2 5 15 8 1 6 12 11 4 3 9 14 5 2 8 15 6 1 11 12 3 4 14 9
1 6 12 11 6 1 11 12 12 11 1 6 15 8 2 5 10 13 7 0 11 12 6 1 8 15 5 2 13 10 0 7
4 3 9 14 3 4 14 9 9 14 4 3 10 13 7 0 15 8 2 5 14 9 3 4 13 10 0 7 8 15 5 2
45
10 13 7 0 13 10 0 7 7 0 10 13 4 3 9 14 1 6 12 11 0 7 13 10 3 4 14 9 6 1 11 12
15 4 2 9 4 15 9 2 2 9 15 4 8 3 5 14 1 10 12 7 9 2 4 15 3 8 14 5 10 1 7 12
8 3 514 3 8 14 5 5 148315429613110145384159213 6 0 11
1 10 12 7 10 1 7 12 12 7 1 10 6 13 11 0 15 4 2 9 7 12 10 1 13 6 0 11 4 15 9 2
46
6 13 11 0 13 6 0 11 11 0 6 13 1 10 12 7 8 3 5 14 0 11 13 6 10 1 7 12 3 8 14 5
15 2 1 12 2 15 12 1 1 12 15 2 4 9 10 7 8 5 6 11 12 1 2 15 9 4 7 10 5 8 11 6
4 9 10 7 9 4 7 10 10 7 4 9 15 2 1 12 3 14 13 0 7 10 9 4 2 15 12 1 14 3 0 13
8 5 6 11 5 8 11 6 6 11 8 5 3 14 13 0 15 2 1 12 11 6 5 8 14 3 0 13 2 15 12 1
47
3 14 13 0 14 3 0 13 13 0 3 14 8 5 6 11 4 9 10 7 0 13 14 3 5 8 11 6 9 4 7 10
Кодовые расстояния между комбинациями сигналов разрядов контроль-
ной части систематического кода, исправляющего одиночные и двойные ошиб-
ки для всех типов кодов основания n = 2
4
, одинаковы и на примере четырех
кодов с координатами (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0) таблицы приведены на рис. 6.8.
Глава 6
346
0 1 2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 W
i
x
8
2
7
x
7
2
6
x
6
2
5
x
5
2
4
x
4
2
3
x
3
2
2
x
2
2
1
x
1
2
0
(0,0)
x
8
2
7
x
7
2
6
x
6
2
5
x
5
2
4
x
4
2
3
x
3
2
2
x
2
2
1
x
1
2
0
(1,0)
x
8
2
7
x
7
2
6
x
6
2
5
x
5
2
4
x
4
2
3
x
3
2
2
x
2
2
1
x
1
2
0
(2,0)
x
8
2
7
x
7
2
6
x
6
2
5
x
5
2
4
x
4
2
3
x
3
2
2
x
2
2
1
x
1
2
0
(3,0)
0 4
4
4 4 4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
8
0
4
4 4 4
4
4
4
4
4
4
4
4
8
04 4 4
4
4
4
4
4
4
4
8
0 4 4
4
4
4
4
4
4
8
0 4
4
4
4
4
4
8
0
4
4
4
4
8
0
4
4
8
d
x
08
Рис. 6.8
Сложение этих кодовых расстояний с кодовыми расстояниями комбинаций
сигналов разрядов основного двоичного кода, где минимальное кодовое рас-
стояние равно d
мин
= 1, позволило нам синтезировать код с минимальным кодо-
вым расстоянием d
мин
= 5, что гарантирует возможность исправления всех оди-
ночных и двойных ошибок разрядов систематического кода.
Продолжение геометрического синтеза кодов, исправляющих ошибки
347
Коды контрольных разрядов, подобные рис. 6.8 и имеющие минимальные
кодовые расстояния d
мин
= 4 во всех ячейках, кроме расположенных на диаго-
налях этих таблиц, будем называть «образующими» контрольных разрядов
систематического кода определенного основания системы счисления. Для ос-
нования n = 2
4
число таких «образующих» кодов – 384.
Для того чтобы иметь возможность исправлять все одиночные, двойные и
тройные ошибки, необходимо иметь в систематическом коде минимальное
кодовое расстояние d
мин
= 7. Сложение кодовых расстояний совершенного сис-
тематического кода, исправляющего все одиночные ошибки (d
мин
= 3), с «обра-
зующим» кодом (d
мин
= 4) позволяет выполнить эту задачу синтеза. Тогда чис-
ло систематических кодов, исправляющих все одиночные, двойные и тройные
ошибки, будет равно произведению этих кодов S
1,2,3
= S
dмин [7]
= 192 × 384 =
= 73728. Пример такого кода, в основу которого взяты коды из табл. 4.2.2 и
6.1.2 с одноименными координатами (0,0), изображен на рис. 6.9.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(0,0)
a
4
a
3
a
2
a
1
x
11
x
10
x
9
x
8
x
7
x
6
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
Рис. 6.9
Здесь между сигналами разрядов систематического кода существуют сле-
дующие соотношения: a
1
= x
5
, a
2
= x
6
, a
3
= x
7
, a
4
= x
8
.
Для исправления всех одиночных, двойных, тройных и четверных ошибок
необходимо иметь в систематическом коде минимальное кодовое расстояние
d
мин
= 9. Следовательно, сложение кодовых расстояний совершенного система-
тического кода, исправляющего все одиночные и двойные ошибки (d
мин
= 5), с
«образующим» кодом (d
мин
= 4) позволяет это выполнить. Так же, как и выше,
число систематических кодов, исправляющих все одиночные, двойные и трой-
ные ошибки, будет равно произведению этих кодов S
1,2,3,4
= S
dмин [9]
= 384 × 384 =
= 147456, а пример такого кода при таких же условиях его формирования при-
веден на рис. 6.10.
Глава 6
348
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(0,0)
a
4
a
3
a
2
a
1
x
16
x
15
x
14
x
13
x
12
x
11
x
10
x
9
x
8
x
7
x
6
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
Рис. 6.10
Соотношения между разрядами восьми групп сигналов этого системати-
ческого кода следующие: a
1
= x
13
= x
5
; a
2
= x
14
= x
6
; a
3
= x
15
= x
7
; a
4
= x
16
= x
8
;
x
4
= x
12
; x
3
= x
11
; x
2
= x
10
; x
1
= x
9
.
В первых четырех группах сигналов, в каждой из которых содержится
один информационный и два контрольных разряда, что характеризует совер-
шенный мажоритарный код Дж. Неймана, имеется возможность автономно от
других разрядов весьма просто исправлять все одиночные ошибки и опреде-
ленное число двойных, тройных и четверных ошибок в сигналах этих групп.
Данное обстоятельство может быть использовано при реализации принципи-
альных схем исправления ошибок в этом типе кодов.
Определим общее число всех исправляемых ошибок, когда каждый ин-
формационный разряд систематического кода основания n = 2
4
представлен в
мажоритарном коде Дж. Неймана. Для этого обозначим контрольные разряды
для каждого информационного разряда буквами x, y:
a
1
a
2
a
3
a
4
x
1
x
2
x
3
x
4
y
1
y
2
y
3
y
4
.
Общее число всех типов возможных ошибок определяется числом сочета-
ний из 12 по 1, 2, 3 и 4. Это соответственно значения: 12, 66, 220, 495. Очевид-
но, что число всех исправляемых одиночных ошибок – 12, все остальные типы
Продолжение геометрического синтеза кодов, исправляющих ошибки
349
ошибок исправляются не полностью, поскольку в каждой из групп может быть
исправлена только одна ошибка.
Число исправляемых двойных, тройных и четверных ошибок следует из их
графического представления на рис. 6. 11–6.13, где цветом выделен сигнал
соответствующего разряда в каждой из групп, который участвует в соответст-
вующем сочетании за исключением сигналов этой группы.
Тогда число исправляемых двойных ошибок – 54, тройных – 76, четвер-
ных – 81.
a
1
a
2
a
3
a
4
a
2
a
3
a
4
a
3
a
4
a
4
x
2
x
3
x
4
x
1
x
3
x
4
x
1
x
2
x
4
x
1
x
2
x
3
y
2
y
3
y
4
y
1
y
3
y
4
y
1
y
2
y
4
y
1
y
2
y
3
x
1
x
2
x
3
x
4
x
2
x
3
x
4
x
3
x
4
x
4
y
2
y
3
y
4
y
1
y
3
y
4
y
1
y
2
y
4
y
1
y
2
y
3
y
1
y
2
y
3
y
4
y
2
y
3
y
4
y
3
y
4
Рис. 6.11
a
1
a
2
a
3
a
4
a
2
a
3
a
4
a
3
a
4
a
4
x
3
x
4
x
1
x
4
x
1
x
2
x
1
x
2
x
3
y
3
y
4
y
1
y
4
y
1
y
2
y
2
y
3
a
1
a
3
a
4
a
2
a
4
a
3
a
4
x
2
x
3
x
4
x
1
x
3
x
4
x
1
x
2
x
4
x
2
x
3
y
3
y
4
y
1
y
4
y
1
y
2
y
1
y
2
y
3
a
1
a
3
a
4
a
2
a
4
a
3
x
3
x
4
x
1
x
4
x
1
x
2
y
2
y
3
y
4
y
1
y
3
y
4
y
1
y
2
y
4
x
1
x
2
x
3
x
4
x
2
x
3
x
4
x
3
x
4
x
4
y
3
y
4
y
1
y
4
y
1
y
2
y
1
y
2
y
3
x
1
x
3
x
4
x
2
x
4
x
3
y
2
y
3
y
4
y
1
x
3
y
4
y
1
y
2
y
4
y
1
y
2
y
3
y
4
y
2
y
3
y
4
Рис. 6.12