Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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368
Übungsaufgabe 5.6
Ermitteln Sie für den dargestellten Balken die Reaktionskräfte und die Biegelinie!
M = 1
A
= 1
E, I = 1
z
x
y
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
x das Finite-Element-Modell erstellen,
x die Elementsteifigkeitsmatrix beschreiben,
x die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen,
x das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen,
x die Reaktionskräfte berechnen,
x die Biegelinie bestimmen.
1
1
2
M = 1
Ergebnisse
Reaktionskräfte:
F
1
3
2
M
1
1
2
F
2
3
2
369
Übungsaufgabe 5.7
Bestimmen Sie für den gezeigten Balken die Verschiebungen, die Reaktionskräfte und die
Schnittkräfte. Unterteilen Sie den Balken dazu in eine unterschiedliche Zahl von Elementen!
q = 1
A
= 2
E, I = 1
z
x
y
M
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie unter Berücksichtigung der Symmetrie für eine
Unterteilung in zwei und drei Elementen folgende Arbeitsschritte durchführen:
x die Elementsteifigkeitsmatrix beschreiben,
x die Belastungen verschmieren,
x die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen,
x das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen,
x die Schnittgrößen beschreiben,
x die Schnittgrößenverläufe darstellen.
1. Für zwei Elemente
1
3
2
2
1
1221
2. Für drei Elemente
1
4
2 3
2
3
1
12
21 21
z
x
Übungsaufgabe 5.7
370
Ergebnisse
für die unbekannten Verschiebungen für zwei Elemente
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
M
M
M
333,0
0
229,0
148,0
0
208,0
w
w
w
3
3
2
2
1
1
u
und für drei Elemente
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
M
M
M
M
333,0
0
283,0
105,0
160,0
181,0
0
208,0
w
w
w
w
4
4
3
3
2
2
1
1
u ,
der Schnittgrößen für zwei Elemente
1
F
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
375,0
5,0
5,0
0
48
1
25,0
48
1
25,0
395,0
25,0
5208,0
25,0
M
Q
M
Q
2
2
1
1
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
0
1
375,0
5,0
30208,0
25,0
30208,0
25,0
30208,0
75,0
33958,0
75,0
2
F
Übungsaufgabe 5.7
371
und für drei Elemente
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
44474,0
33,0
49974,0
0
00925,0
61,0
00925,0
61,0
45,0
61,0
509,0
61,0
1
F
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
2774,0
6,0
44474,0
33,0
00925,0
61,0
00925,0
61,0
287,0
5,0
454,0
5,0
2
F
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
0
1
72,0
6,0
00925,0
61,0
00925,0
61,0
00925,0
38,0
287,0
38,0
3
F
372
Übungsaufgabe 5.8
Bestimmen Sie die Verschiebungen bzw. Verdrehungen des dargestellten Systems!
z
x
M
F = 1
EI = 1 EI = 1/3
L = 1
1
L = 1
2
Gehen Sie bei der Lösung schrittweise vor, und zwar indem Sie
die einzelnen Steifigkeitsmatrizen erstellen,
die Verknüpfung der Elemente über eine Koinzidenztabelle und Boole‘sche Matrix
durchführen,
die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufstellen
und
die Gleichung lösen.
2
2
1
1
213
21
Ergebnisse
8
3
8
3
4
1
w
22
21
2
M
M
373
Übungsaufgabe 6.1
Erläutern Sie für ein eindimensionales 2-Knoten-Element veränderlichen Querschnitt die
Steifigkeitsmatrix:
A(x) = A e
0
-x
E
mit Et0 .
A
0
x
L
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
die einfachste geeignete Ansatzfunktion wählen,
die Bedingungen angeben, die diese Ansatzfunktion erfüllen muss,
die Formfunktion des stabartigen Elements bestimmen
und
mit der Formfunktion die Steifigkeitsmatrix berechnen.
Ergebnisse
ux x DD
01
gx
x
L
1
1() g
x
L
x
2
()
»
¼
º
«
¬
ª
11
11
ß
e1
L
AE
~
Lß
2
0
k
374
Übungsaufgabe 7.1
Ermitteln Sie für die dargestellte Grundplatte eines Hydro-Prüfstandes die größte Durch-
senkung! Der Rahmen sei als starr zu betrachten.
F
a a
a
a
tk k
k
x
z
y
Gegeben: a, t, E, F, k,
3
1
Ȟ
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
die Gleichung für die Gesamtdurchsenkung aufstellen,
die Gleichung für die Durchsenkung der Feder aufstellen,
die Gleichung für die Durchsenkung der Platte (mit den in Kapitel 7 gegebenen Matrizen)
aufstellen,
die beiden Gleichungen addieren.
Ergebnis
w
F
k
a
Et
max Kraftangriffspunkt
§
©
¨
¨
·
¹
¸
¸
4
1
80
79
2
3
375
Übungsaufgabe 7.2
Ermitteln Sie für das dargestellte System die kleinste kritische Beullast
pp
krit
!
t
a
a
p
y
z
x
Gegeben: a, t, E,
3
1
Q
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
die Randbedingungen und Freiheitsgrade ermitteln,
die benötigten linearen und nichtlinearen Teilmatrizen aufstellen,
die charakteristische Gleichung entwickeln
und
die kritische Beullast berechnen.
Ergebnis
p
Et
a
krit min
3
2
3
2
376
Übungsaufgabe 9.1
In einer dynamisch belasteten Tragstruktur tritt der folgende Stab auf. Bestimmen Sie die
Eigenfrequenz der Längsschwingung!
L = 1.000 mm
E = 70.000
2
N/mm
U = 27
3
,
kg
dm
{
429
/mmNs107,2
Idealisieren Sie einmal in einem und einmal in zwei Elemente(n).
Ergebnisse
Z 8 819,12
1
.
s
ZZ
12
8204
1
28664
1
ss
377
Übungsaufgabe 9.2
Ermitteln Sie für die dargestellte Rakete die erste harmonische Längsfrequenz!
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die für Längsfrequenz
die Massen- sowie die Steifigkeitsmatrix erstellen,
die Determinanten bestimmen,
die Gleichung lösen.
Ergebnis
OO
12
12
0
c
m
m, c