Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität
348
Die Gesamtdehnung ergibt sich so zu
plelges
HH H (1)
und die elastische Dehnung zu
E
F
el
V
H . (2)
1.77E+02
1.59E+02
1.42E+02
1.20E+02
1.06E+02
0.88E+02
0.71E+02
0.53E+02
3.54E+01
1.78E+01
3.35E-02
1.22E+02
1.09E+02
0.92E+02
0.85E+02
0.73E+02
0.61E+02
4.88E+03
3.65E+03
4.43E+03
1.22E+03
0.00E+00
31
F = 1200 N
300
50
240
Bild 10.2:
Verformungs- und Spannungsdiagramm Handgriff
a) linear elastische Berechnung
b) materialnichtlineare Berechnung
Im Bild 10.2
sind verschiedene Ergebnisse einer linear elastischen und der plastischen Be-
rechnung dargestellt. Die Verformungen bei der plastischen Rechnung sind etwas größer als
bei der linear elastischen Rechnung, da die innere Randzone in einem gewissen Bereich
wegfließt.
Im Weiteren ist die Spannungsauswertung gezeigt. Wie im Kapitel 10 dargelegt, wird die
Spannungsverteilung iterativ ermittelt, indem Gleichgewicht zwischen den äußeren Kräften
und der inneren Spannungsverteilung gefordert wird. Im ersten Iterationsschritt wird quasi
eine linear elastische Rechnung bis zur Fließgrenze durchgeführt und in den weiteren Itera-
tionsschritten mittels einer Überschreitungsrechnung auf der Ziegler-Prager-Kurve Gleich-
gewicht hergestellt.
Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität
349
Eine Gegenüberstellung der Höchstwerte der am Handgriff durchgeführten Rechnungen
zeigt noch die folgende Tabelle des Bildes 10.3
.
FEM-Rechnung
mmu
max
2
max
N/mmV
linear elastische Analyse 0,74 177
plastische Analyse 2,37 122
Bild 10.3:
Höchstwerte der Deformation und Spannungsverteilung
Es ist zu erkennen, dass die Spannung bei zugelassenem Fließen niedriger ist als bei unter-
stelltem linearem Werkstoffgesetz. Dafür bilden sich aber größere Verformungen aus. Sicher
kann aber die plastische Analyse als die realistischere Berechnungsmethode angesehen wer-
den. Insbesondere wenn die angesetzten Belastungen Spannungen im Bauteil erzeugen, die
höher als die Fließgrenze des Materials sind, muss für Berechnungen mit hohem Genauig-
keitsgrad die Materialnichtlinearität Anwendung finden.
350
Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität
Zum Problemkreis Nichtlinearität ist ausgeführt worden, dass man prinzipiell eine Material-
nichtlinearität
İE
und eine geometrische Nichtlinearität (K(U)) zu unterscheiden hat. In
Ergänzung zu dem vorstehenden Beispiel soll deshalb an einer Gummidichtung für den
Eisenbahnbereich exemplarisch auf große Verformungen eingegangen werden.
Die Abmessungen und die Einbausituation dieser Dichtung zeigt das vorstehende Bild 11.1.
Wegen der Symmetrie ist es dabei ausreichend, nur eine Hälfte zu betrachten. Beim Einsatz
z. B. als Abdichtung für eine Tür oder Fenster wird die Dichtung um einen definierten Weg
zusammengedrückt. Die dabei entstehende Verformung des Bauteils ist zu groß für eine
linear elastische Berechnung, da bei hohen Verformungsgraden nicht mehr von der Anfangs-
geometrie ausgegangen werden kann, sondern die Verformungen müssen inkrementell
aufgebracht werden. So kann in jeder „Teilrechnung“ auf ein aktuelles Netz Bezug
genommen werden.
Des Weiteren ist noch das Materialgesetz von Gummi zu berücksichtigen. Unter der Voraus-
setzung, dass Gummi homogen, isotrop und inkompressibel ist, kann hier das Materialgesetz
von Mooney-Rivlin /FUN 89/ in der Formänderungsformulierung angesetzt werden:
Tp cB cB
22
12
1
.
Danach ergibt sich der Spannungstensor nach CAUCHY T aus dem hydrostatischen Druckan-
teil p, dem linken CAUCHY-GREEN Tensor B und den beiden Materialkonstanten
1
c
und
2
c
,
Bild 11.1:
Gummidichtung im Trägerprofil
Fallstudie 11: zu Kap. 10.4 Geometrische Nichtlinearität
351
die für das hier durchgeführte Berechnungsbeispiel mit
2
1
N/mm50c , und
2
2
N/mm3,0c angenommen worden sind.
Das in der Berechnung zu Grunde liegende Modell ist in Bild 11.1 dargestellt. Die Feinheit
der Iterationsschritte wird in modernen nichtlinearen Lösern automatisch an die aktuelle
Geometrie angepasst. Dazu werden die Ergebnisse z. B. mit einer Energiebilanz auf Konver-
genzverhalten untersucht. Bild 11.2a zeigt die Geometrie vor und nach der Berechnung. In
Bild 11.2b sind die dabei auftretenden Spannungen dargestellt.
a) b)
4.70E-03
5.20E-02
9.93E-02
1.46E-01
1.93E-01
2.41E-01
2.88E-01
3.35E-01
3.83E-01
4.30E-01
4.77E-01
5.25E-01
5.72E-01
6.19E-01
MISES VALUE
Starrkörperweg
Tür
Rahmen
Bild 11.2: Situation am Gummiprofil
a) Verformung der Gummitürdichtung bei 10 mm Türweg
b) Spannungsverteilung in der Türdichtung im deformierten Zustand
Fallstudie 11: zu Kap. 10.4 Geometrische Nichtlinearität
352
Da der Türdichtungsverband für Hochgeschwindigkeitszüge ein Sicherheitsteil darstellt, war
es Auflage der abnehmenden Behörden, das Ergebnis zu verifizieren. Bei einfachen Bau-
teilen ist dies meist mit analytischen Rechenmodellen innerhalb gewisser Schranken mög-
lich. Bei dem vorliegenden nichtlinearen Problem und dem Mooney-Rivlin-Gesetz ist dies
nicht einfach möglich, weshalb der Weg über ein Experiment gegangen werden musste.
Bild 11.3 zeigt die Auswertung in einer Gegenüberstellung.
[N]
[mm]
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
10.0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
a)
b)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
123456789100
0
[N]
[mm]
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
Bild 11.3: Verifizierung und Validierung eines FE-Ergebnisses
a) Versuchsdaten
b) FE-Analyse zu zwei Shorehärten
Man erkennt eine recht gute Übereinstimmung des FE-Ergebnisses.
353
Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme
Wie bei der einführenden Beschreibung der FE-Methode erwähnt worden ist, lässt sich diese
auch auf viele verschiedene Feldprobleme wie z. B. die
Wärmeleitung,
Wärmeübertragung durch Konvektion
und
Wärmestrahlung
aus der Thermodynamik anwenden.
Wir wollen nun zu dieser Problemgruppe als einfaches Beispiel eine Zustandsanalyse eines
Kühlkörpers für einen Leistungstransistor im Überlastungsbetrieb betrachten. An den
Außenwänden des Kühlkörpers findet dabei Konvektion mit der Wärmeübergangszahl
CW/m20
2
q D statt. Die Wärmeleitung im Körper beträgt O = 0,45 W/mm °C. Der
Wärmeübergang vom Kühlkörper in die Grundplatine ist zu null gesetzt worden.
Bild 12.1: Leistungstransistor am Kühlkörper
Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme
354
Die Verlustleistung im Transistor wird im FE-Modell durch eine Wärmequelle mit konstant
abgegebener Energiemenge an vier Oberflächenknoten des Kühlkörpers simuliert. Es ergibt
sich mit diesen Randbedingungen ein wie im Bild 12.2
dargestellter stationärer Temperatur-
verlauf im Kühlkörper.
4.65E+02
4.62E+02
4.57E+02
4.52E+02
4.49E+02
4.46E+02
4.44E+02
4.42E+02
4.41E+02
4.39E+02
4.38E+02
Bild 12.2: Stationäre Temperaturverteilung im Kühlkörper
Eine Temperatur von 465 °C ist sicher zu hoch für jeden Halbleiter. Sowohl für den Her-
steller als auch für den Anwender ist es aber von großem Interesse abzuschätzen, wie lange
in dem Transistor die in Wärme umgesetzte elektrische Verlustleistung erzeugt werden kann,
bis die für das Halbleitermaterial höchstzulässige Temperatur von 200 °C überschritten und
das elektronische Bauteil zerstört wird.
Daher ist eine zeitabhängige Erwärmung, wie sie im Bild 12.3 dargestellt ist, zu bestimmen.
Zu diesem Zweck ist eine Serie von FE-Rechnungen mit zeitinkrementeller Abstufung
durchzuführen.
Als berechneter Temperaturwert ist jeweils die Temperatur an den Knoten, an denen die
Wärme in den Kühlkörper eingeleitet worden ist, als Referenzwert angenommen worden.
Dabei wird jedoch der Rücken des Transistors betrachtet. Die eigentliche Temperatur im
Inneren des Halbleiters ist jedoch in Wirklichkeit noch ein wenig höher als in Bild 12.3 dar-
gestellt. Dieses gilt insbesondere bei stufenartig einsetzenden Überlasten, wie sie z. B. im
Fall eines Kurzschlusses auftreten würden. Für derartige Fälle wäre es ratsam, den Transistor
ebenfalls im FE-Modell mitzumodellieren.
Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme
355
400
300
200
100
T [°
C
]
1
t [s]
20
234567
0,8
500
465
Bild 12.3: Zeitabhängige Erwärmung des Transistors
Es ergibt sich somit, dass der Halbleiter maximal 0,8 Sekunden mit der gewählten Überlast
betrieben werden kann, bis seine maximale Betriebstemperatur überschritten und die Funk-
tion gefährdet wird.
Ein derartiges Erwärmungszeit-Diagramm muss jeweils bei einer anderen Verlustwärme neu
erstellt werden.
356
Übungsaufgaben
357
Übungsaufgabe 4.1
Drei starre masselose Balken seien nur in der vertikalen Richtung verschieblich. Sie sind
durch ein System von linear elastischen Federn gekoppelt. Für die angegebene Belastung F
sind die Verschiebungen der Balken und die Federkräfte zu berechnen.
c
1
c
3
c
4
c
5
c
2
u
1
u
2
F
u
3
u
0
x
Ergebnis
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
F
0
0
u
u
u
cccc
cccccc
ccccccc
3
2
1
5454
553232
4324321