Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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358
Übungsaufgabe 5.1
Ermitteln Sie für das dargestellte System aus zwei Stäben die Knotenverschiebungen und die
Knotenkräfte!
A, E,
111
A
A, E,
222
A
F
x
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
x das verwendete Element beschreiben,
x die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen,
x das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen,
x die Reaktionskräfte berechnen,
x die Schnittkräfte berechnen.
c
EA
1
11
1
A
c
EA
2
22
2
A
1
3
2
2
1
F
1
221
c
EA
1
11
1
A
c
EA
2
22
2
A
1, 2
Element-Nr.
lokale Knoten-Nr.
globale Knoten-Nr.
Ergebnisse
Berechnung der Reaktionskräfte:
FF
1
Berechnung der Knotenverschiebungen:
u
F
c
2
1
, u
cc
F
3
12
11
§
©
¨
·
¹
¸
Berechnung der Schnittkräfte:
SF
11
, SF
12
, SF
21
, SF
22
359
Übungsaufgabe 5.2
Ermitteln Sie für das abgebildete System aus vier Stäben die Knotenverschiebungen und
Kräfte im dargestellten Augenblickszustand!
F
x
starr
alle Stäbe E, A,
A
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
x das verwendete Element beschreiben,
x die Gesamtsteifigkeitsbeziehung über die Blockaddition erstellen,
x die Randbedingungen einarbeiten und die reduzierte Beziehung erstellen,
x das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen,
x die Reaktionskräfte berechnen,
x die Schnittkräfte berechnen.
1
4 5
2
4
2
3
1
1, 2
Element-Nr.
lokale Knoten-Nr.
globale Knoten-Nr.
F
1
1
11
2
2
22
3
Ergebnisse
Berechnung der Knotenverschiebungen:
u
F
c
4
5
u
F
c
3
2
5
Übungsaufgabe 5.2
360
Berechnung der Reaktionskräfte:
F
5
2
F
1
FF
2
2
5
FF
5
1
5
Berechnung der Schnittkräfte:
SF
11
2
5
SF
12
2
5
SF
21
2
5
SF
22
2
5
SF
31
1
5
SF
32
1
5
SF
41
1
5
SF
42
1
5
361
Übungsaufgabe 5.3
Ermitteln Sie für das dargestellte zweidimensionale Stabsystem aus zwei Stäben die Knoten-
verschiebungen und Kräfte!
45° 45°
x
y
F
A, E,
11
A
A, E,
22
A
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
x die Steifigkeitsbeziehung um die y-Komponente erweitern,
x die Transformationsmatrix erstellen,
x die Elemente transformieren,
x die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen,
x das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen,
x die Reaktionskräfte berechnen,
x die Schnittkräfte berechnen.
F
1
2
D
D
12
1
3
2
2
1
2
1
F
1
l
AE
c
2
l
AE
c
22
2
11
1
Übungsaufgabe 5.3
362
Ergebnisse
Reaktionskräfte:
F
x
1
1
4
F
y
1
1
4
4
1
F
3
x
F
y
3
1
4
Schnittkräfte:
S
x
11
1
4
S
x
21
1
4
S
y
11
1
4
S
y
21
1
4
S
x
12
1
4
S
x
22
1
4
S
y
12
1
4
S
y
22
1
4
363
Übungsaufgabe 5.4
Ermitteln Sie für das dargestellte System aus fünf Stäben die Knotenverschiebungen und
Kräfte unter besonderer Berücksichtigung der Symmetrie!
1
F
2
y
x
F
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
F= 1
F= 2
E = 1
A = 2
1
2
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
x das verwendete Element beschreiben,
x die Elementsteifigkeitsmatrizen transformieren,
x die Gesamtsteifigkeitsmatrix mithilfe der Boole‘schen Matrix erstellen,
x in die Gesamtsteifigkeitsbeziehung die Randbedingungen einarbeiten,
x die reduzierte Steifigkeitsbeziehung nach den unbekannten Verschiebungen auflösen,
x die Reaktionskräfte berechnen,
x die Schnittkräfte berechnen.
D
D
D
1
1
1
2
1
3
4
2
2
3
1
2
2
F
2
2
F
2
1
Übungsaufgabe 5.4
364
Ergebnisse
Reaktionskräfte:
F
x
1
2
3
F
y
1
2
3
F
x
4
5
6
F
y
4
5
6
Schnittkräfte:
S
x
11
2
3
S
21
1
3
S
y
11
2
3
S
21
0
S
x
12
2
3
S
22
1
3
S
y
12
2
3
S
22
0
S
x
31
5
6
S
y
31
5
6
S
x
32
5
6
S
y
32
5
6
365
Übungsaufgabe 5.5
Ermitteln Sie für das dargestellte zweidimensionale Stabsystem aus fünf Stäben die Knoten-
verschiebungen und Kräfte.
x
y
F
y
F
x
A
AA
alle Stäbe E, A
Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie
x die Elementsteifigkeitsmatrix beschreiben,
x die Elemente transformieren,
x die Gesamtsteifigkeitsmatrix über die Blockaddition erstellen,
x die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingearbeiteten Randbedingungen erstellen,
x das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen,
x die Reaktionskräfte berechnen,
x die Schnittkräfte berechnen,
x eine reduzierte Konstruktion erstellen.
1
3
4
2
2
4
5
1
3
F
y
F
x
22
1
2
2
1
1
21
1
Übungsaufgabe 5.5
366
Ergebnisse
Reaktionskräfte:
FF F
x
xy1
1
2
1
221
FF F
y
xy1
1
2
1
221
F
x
2
0
FF
y
y2
2
21
FF F
x
xy4
1
2
1
221
FF F
y
xy4
1
2
1
221
Schnittkräfte:
S
11
0 S
x
21
0
S
11
0 Scv
y
21 3
S
12
0 S
x
22
0
S
12
0 Scv
y
22 3
Suvc
x
31 3 3
1
22
Suvc
y
31 3 3
1
22
Suvc
x
32 3 3
1
22
Übungsaufgabe 5.5
367
Suvc
y
32 3 3
1
22
S
x
41
0
Suvc
51 3 3
1
22
S
y
41
0
Suvc
s
51 3 3
1
2
S
x
42
0
Suvc
52 3 3
1
22
S
y
42
0
Suvc
52 3 3
1
22