Киселёв Ю.Н. Оптимальное управление
Подождите немного. Документ загружается.
т.е.
c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ) ψh(F
1
,F
2
).
Если поменять ролями множества F
1
и F
2
, то, в силу симметричности
расстояния Хаусдорфа, получим неравенство
c(F
2
,ψ) − c(F
1
,ψ) ψh(F
1
,F
2
).
Из двух последних неравенств следует неравенство (18).
Следствие из свойства 15
◦
. Опорная функция c(F, ψ) непрерывна
по первому аргументу, т.е. c(F
,ψ) → c(F,ψ), h(F, F
) → 0.Здесь
F
,F ∈ Ω(E
n
), ψ ∈ E
n
.
Следствие из свойств 14
◦
, 15
◦
. Опорная функция c(F, ψ) непре-
рывна по совокупности аргументов, т.е.
c(F
,ψ
) → c(F, ψ) при h(F, F
)+ψ
− ψ→0 .
Здесь F
, F ∈ Ω(E
n
), ψ
, ψ ∈ E
n
.
Упражнение 5.6. Доказать последнее утверждение.
Свойство 16
◦
(вычисление расстояния Хаусдорфа между выпук-
лыми компактами при помощи опорных функций этих компактов):
пусть F
1
,F
2
∈ conv Ω(E
n
), тогда имеет место формула
h(F
1
,F
2
) = max
ψ∈S
c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ)
. (19)
2 Полагая M = max
ψ∈S
c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ)
, перепишем (19) в форме
h(F
1
,F
2
)=M. (20)
Докажем сначала, что
h(F
1
,F
2
) M. (21)
Из свойства 15
◦
следует неравенство
c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ)
h(F
1
,F
2
) ∀ψ ∈ S,
которое в силу определения числа M влечет (21).
Докажем теперь, что
h(F
1
,F
2
) M. (22)
Из определения числа M следует, что
c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ)
M ∀ψ ∈ S,
71
или
c
F
1
,
ψ
ψ
− c
F
2
,
ψ
ψ
M ∀ψ ∈ E
n
,ψ=0.
Умножив почленно последнее неравенство на ψ ипривлекаясвой-
ство 2
◦
,получаем
c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ)
M ψ∀ψ ∈ E
n
,
или
−M ψ c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ) M ψ∀ψ ∈ E
n
. (23)
Используя правую часть последнего неравенства, свойство 7
◦
,полу-
чаем
c(F
1
,ψ) c(F
2
,ψ)+c(S
M
(0),ψ)=c(F
2
+ S
M
(0),ψ) ∀ψ ∈ E
n
.
Так как компакты F
1
и F
2
+S
M
(0) выпуклы, то по следствию из свой-
ства 11
◦
опорных функций последнее соотношение влечёт включение
F
1
⊂ F
2
+ S
M
(0) . (24)
Левая часть неравенства (23) при помощи аналогичных рассуждений
приводит к включению
F
2
⊂ F
1
+ S
M
(0) . (25)
Итак, для числа M одновременно выполняются включения (24),
(25), и, таким образом, определение расстояния Хаусдорфа (17) при-
водит к обоснованию неравенства (22). Из (21) и (22) вытекает требу-
емое равенство (20).
Замечание 5.4. Формула (19) доказана для выпуклых компактов.
Приведем пример, показывающий, что без условия выпуклости эта
формула неверна. Пусть n =2,
F
1
=
−1
0
,
1
0
,F
2
=
0
−1
,
0
1
∈ Ω(E
2
) ,
– множества, каждое из которых состоит из двух точек. Ясно, что
включения
F
1
⊂ F
2
+ S
r
(0),F
2
⊂ F
1
+ S
r
(0)
72
выполняются лишь при r
√
2, поэтому h(F
1
,F
2
)=
√
2.Сдругой
стороны,
M = max
ψ∈S
c(F
1
,ψ) − c(F
2
,ψ)
= max
ψ
2
1
+ψ
2
2
=1
|ψ
1
|−|ψ
2
|
=1.
Таким образом, h(F
1
,F
2
)=
√
2 > 1=M, т.е. формула (19) для рас-
сматриваемых невыпуклых компактов F
1
и F
2
неверна.
В заключение рассмотрим пример применения формулы (19) для
нахождения расстояния между двумя шарами S
r
1
(a
1
) и S
r
2
(a
2
),где
a
1
,a
2
∈ E
n
, r
1
,r
2
0.Имеем:
h(S
r
1
(a
1
),S
r
2
(a
2
)) = max
ψ∈S
c(S
r
1
(a
1
),ψ) − c(S
r
2
(a
2
),ψ)
=
= max
ψ=1
(a
1
− a
2
,ψ)+(r
1
− r
2
)ψ
= a
1
− a
2
+ |r
1
− r
2
|.
Мы закончили рассмотрение основных свойств опорных функций,
которые являются удобным аналитическим аппаратом для описания
выпуклых компактов.
2.6 Интегралы. Три теоремы об интегралах
В этом разделе будут представлены три теоремы:
Теорема 6.1 –о внесении знака опорной функции под знак интеграла,
Теорема 6.2 –об основных свойствах интеграла,
Теорема 6.3 –о непрерывной зависимости интеграла от верхнего пре-
дела интегрирования.
2.6.1 Краткое введение
Мы уже знакомы с постановкой линейной задачи быстродействия,
компактная запись которой имеет вид
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙x = Ax + u,
x(t
0
) ∈ M
0
,
x(t
1
) ∈ M
1
,
t
1
− t
0
→ min .
(1)
Постановка линейной задачи быстродействия требует задания следую-
щего набора исходных данных {A, M
0
,M
1
, У = У
U
},гдеA –матрица
73
системы, M
0
– множество начальных состояний объекта, M
1
–мно-
жество конечных состояний объекта, У = У
U
– класс допустимых
управлений, U – область управления. Напомним, что начальный мо-
мент времени t
0
считается фиксированным. Класс допустимых управ-
лений
У =
u(s)
1) ∀s: u(s) ∈ U
2) u(s) – интегрируемая функция
состоит из векторных функций u(s) скалярного аргумента s,при-
нимающих значения из заданного множества U ∈ Ω(E
n
),причём
каждая из этих функций u(s) интегрируема. При изучении задачи
быстродействия (1) важную роль играет множество достижимости
X(t
0
,t,M
0
) ≡ X(t), которое может быть представлено в форме
X(t
0
,t,M
0
)=e
(t−t
0
)A
M
0
+
t
t
0
e
(t−s)A
У ds, t
0
<t; (2)
X(t
0
,t
0
,M
0
)=M
0
.
Множество X(t), как показывает правая часть равенства (2), яв-
ляется алгебраической суммой двух множеств. На основании свой-
ства 7
◦
опорных функций (аддитивность по первому аргументу) опор-
ную функцию множества достижимости X(t) можно представить в
виде суммы двух слагаемых:
c(X(t),ψ)=c
e
(t−t
0
)A
M
0
,ψ
+ c
⎛
⎝
t
t
0
e
(t−t
0
)A
У ds, ψ
⎞
⎠
. (3)
Последнее слагаемое в формуле (3) представляет собой опорную функ-
цию от множества, определяемого интегралом. Возникает вопрос о
том, как опорная функция интеграла выражается через опорную функ-
цию компакта U, входящего в описание класса У = У
U
допустимых
управлений. Ответ на поставленный вопрос даёт рассмотренная ни-
же теорема 6.1. Теоремы 6.2 и 6.3 дают описание некоторых свойств
интеграла.
Напомним определение интеграла
t
t
0
D(s) У ds (4)
74
от класса допустимых управлений.
Определение 6.1. Пусть D(s) – непрерывная (n × n)-матрица;
t
0
<t; интеграл (4) определяется равенством
t
t
0
D(s) У ds =
⎧
⎨
⎩
x ∈ E
n
: x =
t
t
0
D(s)u(s) ds, u(·) ∈ У
⎫
⎬
⎭
=
=
!
u(·)∈У
⎧
⎨
⎩
t
t
0
D(s)u(s) ds
⎫
⎬
⎭
.
Интеграл (4) является множеством, лежащим в пространстве E
n
.
Упражнение 6.1. Пусть n =1, D(s) ≡ 1, t
0
=0, 0 <t, U =[−1, 1].
Показать, что
t
0
1 · У ds =[−t, t] ,
2
0
1 · У ds =[−2, 2] .
2.6.2 Теорема о внесении знака опорной функции под знак ин-
теграла
Теорема 6.1. Пусть
1) U ∈ Ω(E
n
),
2) D(s) – непрерывная (n × n)-матрица,
3) У =
u(s)
1) ∀s: u(s) ∈ U
2) u(s) – интегрируемая функция
– класс допустимых управлений.
Рассмотрим множество
X =
t
t
0
D(s) У ds, t
0
<t. (5)
Тогда имеет место равенство:
c
⎛
⎝
t
t
0
D(s) У ds, ψ
⎞
⎠
=
t
t
0
c
D(s) U, ψ
ds, ψ ∈ E
n
. (6)
75
2 Введём обозначения:
a ≡ c(X, ψ) – левая часть равенства (6),
b ≡
t
t
0
c(D(s)U, ψ) ds – правая часть равенства (6).
Тогда утверждение теоремы 6.1 кратко запишется в форме
a = b. (7)
Доказательство теоремы 6.1 проводится по следующей схеме:
1. ∃a
2. ∃b
3. a b
4. a b
=⇒ a = b
Приведём сначала некоторые вспомогательные утверждения (лем-
мы 6.1, 6.2).
Лемма 6.1. Пусть
A =
⎛
⎝
a
1
1
... a
1
n
... ... ...
a
n
1
... a
n
n
⎞
⎠
– (n × n)-матрица,x=
⎛
⎜
⎝
x
1
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎠
– вектор из E
n
.
Справедливо неравенство
Ax x
+
,
,
-
n
i,j=1
a
i
j
2
. (8)
2 Действительно, пусть a
i
=(a
i
1
,...,a
i
n
) – i-ая строка матрицы A.
Тогда
Ax =
)
(a
1
,x)
2
+ ...+(a
n
,x)
2
)
a
1
2
x
2
+ ...+ a
n
2
x
2
=
= x
)
a
1
2
+ ... + a
n
2
= x
+
,
,
-
n
i,j=1
(a
i
j
)
2
,
т.к. A =
⎛
⎜
⎝
a
1
.
.
.
a
n
⎞
⎟
⎠
, Ax =
⎛
⎜
⎝
(a
1
,x)
.
.
.
(a
n
,x)
⎞
⎟
⎠
, что доказывает лемму 6.1.
76
Рассмотрим теперь квадратную матрицу порядка n
D(s)=
⎛
⎝
d
1
1
(s) ... d
1
n
(s)
... ... ...
d
n
1
(s) ... d
n
n
(s)
⎞
⎠
,
непрерывно зависящую от s ∈ [t
0
,t];каждыйеёэлементd
i
j
(s) являет-
ся непрерывной функцией аргумента s ∈ [t
0
,t].Положим,
ω
i
j
(δ)= sup
|s
1
−s
2
|δ
s
1
,s
2
∈[t
0
,t]
d
i
j
(s
1
) − d
i
j
(s
2
)
,i,j=1,...,n; δ>0.
Функция ω
i
j
(δ) аргумента δ>0,называемаямодулем непрерывности
функции d
i
j
(s), удовлетворяет условию ω
i
j
(δ) ↓ 0 при δ → +0 (это сле-
дует из равномерной непрерывности на отрезке [t
0
,t] функции d
i
j
(s),
которая предполагается непрерывной на этом отрезке). Положим
ω(δ)=
+
,
,
-
n
i,j=1
#
ω
i
j
(δ)
$
2
.
Ясно, что ω(δ) ↓ 0 при δ → +0.
Лемма 6.2. Пусть s
1
,s
2
∈ [t
0
,t]; δ>0; |s
1
− s
2
| δ; ψ ∈ E
n
,
u ∈ U . Имеют место неравенства
c(D(s
1
)U, ψ)−c(D(s
2
)U, ψ)
|U|·ψ·ω(|s
1
−s
2
|) |U |·ψ·ω(δ), (9)
(D(s
1
)u, ψ)−(D(s
2
)u, ψ)
|U|·ψ·ω(|s
1
−s
2
|) |U |·ψ·ω(δ), (10)
правая часть которых стремится к нулю при δ → +0.
2 Действительно, привлекая свойства опорных функций, последо-
вательно получаем
c(D(s
1
)U, ψ) − c(D(s
2
)U, ψ)
= {свойство 5
◦
,раздел2.5}
=
c(U, D
∗
(s
1
)ψ) − c(U, D
∗
(s
2
)ψ)
свойство 4
◦
,раздел2.5;
|U| –модулькомпактаU
|U|·[D(s
1
) − D(s
2
)]
∗
ψ {лемма 6.1}
|U|·ψ
+
,
,
-
n
i,j=1
[d
i
j
(s
1
) − d
i
j
(s
2
)]
2
{определение функции ω(δ)}
|U|·ψ·ω(|s
1
− s
2
|) {|s
1
− s
2
| δ}
|U|·ψ·ω(δ).
77
Неравенство (9) доказано. Неравенство (10) доказывается аналогично:
(D(s
1
)u, ψ) − (D(s
2
)u, ψ)
=
(u, [D(s
1
) − D(s
2
)]
∗
ψ)
u·[D(s
1
) − D(s
2
)]
∗
ψ |U|·ψ·ω(|s
1
− s
2
|)
|U|·ψ·ω(δ).
Обратимся теперь к доказательству теоремы 6.1 по указанной вы-
ше схеме 1., 2., 3., 4.
1. ∃a. Чтобы проверить утверждение 1. для величины a = c(X, ψ)
(при любом фиксированном векторе ψ ∈ E
n
),мыпокажем,чтомно-
жество X непусто и ограничено.
Проверим сначала, что X = ∅. Множество
X =
t
t
0
D(s)У ds =
⎧
⎨
⎩
x ∈ E
n
: x =
t
t
0
D(s)u(s) ds, u(·) ∈ У
⎫
⎬
⎭
непусто, так как множество U непусто и существует точка u
∗
∈ U;
управление u
∗
(s) ≡ u
∗
∀s является допустимым
u
∗
(s) ∈ У
иточка
x
∗
≡
t
t
0
D(s)u
∗
(s) ds ∈ X.
Для доказательства ограниченности множества X возьмем любую
точку x ∈ X.Точкуx можно представить в форме x =
t
t
0
D(s)u(s) ds,
где u(·) ∈ У, u(s) ∈ U при любом s ∈ [t
0
,t]. Следовательно,
x
t
t
0
D(s)u(s) ds {лемма 6.1}
t
t
0
u(s)
+
,
,
-
n
i,j=1
#
d
i
j
(s)
$
2
ds R,
где
R =(t − t
0
) |U| max
s∈[t
0
,t]
+
,
,
-
n
i,j=1
#
d
i
j
(s)
$
2
.
Таким образом, ∃R>0: X ⊂ S
R
(0). Ограниченность множества X
доказана. Следовательно, при каждом ψ ∈ E
n
величина a = c(X, ψ)
определена и принимает конечное значение. Утверждение 1. доказано.
78
2. ∃b. Чтобы проверить утверждение 2. для величины
b =
t
t
0
c(D(s) U, ψ) ds
(при любом фиксированном векторе ψ ∈ E
n
), перепишем последнюю
формулу в виде
b =
t
t
0
c(U, D
∗
(s)ψ) ds. (11)
Существование интеграла (11) следует из непрерывности подынте-
гральной функции по переменной интегрирования s ∈ [t
0
,t].Непре-
рывность подынтегральной функции по s вытекает из непрерывности
опорной функции по второму аргументу, непрерывности D
∗
(s)ψ по s и
теоремы о непрерывности суперпозиции двух непрерывных функций.
Заметим, что непрерывность функции c(D(s)U, ψ) по s следует также
из неравенства (9). Проверка утверждения 2. закончена.
3. a b. Любая точка x ∈ X =
t
t
0
D(s) У ds допускает представле-
ние
x =
t
t
0
D(s)u(s) ds, u(·) ∈ У.
Поэтому
(x, ψ)=
t
t
0
D(s)u(s) ds, ψ
=
t
t
0
D(s)u(s),ψ
ds =
=
t
t
0
(u(s),D
∗
(s)ψ) ds {по определению опорной функции}
t
t
0
c(U, D
∗
(s)ψ) ds = {свойство 5
◦
,раздел2.5}
=
t
t
0
c(D(s) U, ψ) ds ≡ b.
Итак, (x, ψ) b ∀x ∈ X. Следовательно, ∀ψ ∈ E
n
a ≡ c(X, ψ)=sup
x∈X
(x, ψ) b.
79
Утверждение 3. доказано.
Проведём теперь наиболее трудную часть доказательства теоре-
мы 6.1 – проверку утверждения 4.:
a b. (12)
Неравенство (12) вытекает из следующей леммы 6.3.
Лемма 6.3. Для любого натурального N имеет место неравенство
a b − ε
N
, (13)
где ε
N
> 0,ε
N
→ 0 при N →∞.
Лемма 6.4. Для любого натурального N
∃x
N
∈ X:(x
N
,ψ) b − ε
N
, (14)
где ε
N
> 0,ε
N
→ 0 при N →∞.
Очевидно, что
лемма 6.4 =⇒ лемма 6.3 =⇒ неравенство (12)
Действительно,
a = c(X, ψ)=sup
x∈X
(x, ψ) (x
N
,ψ) b − ε
N
,
т.е. a b − ε
N
∀N,ипереходкпределуприN →∞впоследнем
неравенстве (a и b от N независят,аε
N
→ 0, N →∞)приводитк
интересующему нас неравенству (12). Таким образом, для доказатель-
ства неравенства (12) остаётся установить утверждение леммы 6.4.
Лемма 6.5. Имеет место утверждение леммы 6.4, причём в (14)
точка x
N
допускает представление
x
N
=
t
t
0
D(s)u
N
(s) ds, (15)
где u
N
(·) – кусочно-постоянное допустимое управление (u
N
(·) ∈ У),
ачислоε
N
определяется равенством
ε
N
=2(t − t
0
) ·|U|·ψ·ω
t − t
0
N
, (16)
80