Кирин Е.М. Метрические задачи в курсе начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Рисунок 5.4 – Определение плоского линейного угла

между двумя прямыми:

а – переменной плоскостей проекций; б – вращением вокруг h;

в – плоско-параллельным перемещением

)

б)

)

В первой задаче плоскость угла путём замены плоскости V на V

сначала переводится в проецирующее положение, а затем заменой Н

на Н

переводится в положение, параллельное плоскости Н

На плоскость Н

угол проецируется в натуральную величину.

Во второй задаче угол путём вращения вокруг горизонтали перево-

дится в положение, параллельное плоскости Н. По окончании враще-

ния угол проецируется на плоскость Н в натуральную величину.

В третьей задаче двумя плоско-параллельными перемещениями

ППП(Н) и ППП(V) переводится в положение, параллельное плоско-

сти Н, и проецируется на неё в натуральную величину.

5.4 Определение угла между прямой и плоскостью

Определение угла между прямой и плоскостью является сложной

геометрической задачей, которая может быть решена общегеометри-

ческим методом и методом дополнительного угла.

Общегеометрический метод очень трудоёмок и включает в себя

значительное количество построений. Предположим, требуется оп-

ределить угол между прямой общего положения АВ и плоскостью

общего положения, заданной следами (рисунок 5.5,а). Задача реша-

ется в логической последовательности, исходящей из пространствен-

ного макета задачи (см. рисунок рядом с проекционным чертежом):

- строят точку встречи С прямой АВ с заданной плоскостью;

- опускают из точки В перпендикуляр на заданную плоскость;

- строят точку встречи перпендикуляра с плоскостью (точка D);

- соединяют точки С и D, определяют натуральную величину

искомого угла ВСД путём построения натуральной величины тре-

угольника ВСD на свободном поле чертежа. Перед этим предвари-

тельно определяют НВ сторон треугольника методом прямоугольно-

го треугольника. Указанный способ редко используется в практике

конструкторской работы.

Рисунок 5.5 – Определение угла между прямой и плоскостью:

а – общегеометрическим методом; б – методом дополнительного угла

а)

б)

Более эффективным методом решения задачи является метод до-

полнительного угла. Дополнительным углом называется угол СВD,

который образуется между заданной прямой и перпендикуляром,

опущенным из любой точки прямой на заданную плоскость (см. до-

полнительную схему на рисунке 5.5,а). Дополнительный угол СВD

является вспомогательным углом, с помощью которого можно опре-

делить искомый угол. Искомый угол, как видно из схемы, может

быть найден из математического выражения или графически, если

достроить дополнительный угол до 90°.

На рисунке 5.5,б дано решение задачи методом дополнительного

угла. Задача решается в такой последовательности:

- из точки В опускаем перпендикуляр на заданную плоскость;

- отмечаем проекции дополнительного угла;

- определяем натуральную величину дополнительного угла (на-

пример, методом вращения вокруг горизонтали);

- графическим путём достраиваем полученный дополнительный

угол до 90° и получаем искомый угол.

5.5 Определение угла

между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми (рисунок 5.6,а) является

пространственным углом, в связи с чем его нельзя определить мето-

дами определения плоского угла без дополнительных преобразова-

ний. Путём преобразований угол между скрещивающимися прямыми

можно привести к плоскому углу. Это осуществляют параллельным

переносом одной из прямых в одну из точек другой прямой (в нашем

примере прямая АВ параллельно перенесена в точку С прямой СD,

точка В совмещена с точкой С). В результате описанного преобразо-

вания образуется плоский угол А

натуральную величину кото-

рого можно определить описанным ранее методом (см. раздел 5.3.).

На рисунке 5.6,б угол между двумя скрещивающимися прямыми оп-

ределён методом вращения вокруг горизонтали.

б)

Рисунок 5.6 – Определение угла между скрещивающимися прямыми

а)

5.6 Определение углов между плоскостью

и плоскостями проекций

Общегеометрический метод решения упомянутой задачи заклю-

чается в том, что двугранные углы между плоскостью и плоскостями

проекций заменяют плоскими углами, которые образуются с помо-

щью линий наибольшего наклона к плоскостям проекций: ЛНН(Н),

ЛНН(V) и ЛНН(W).

Углы между линиями наибольшего наклона и их соответствую-

щими проекциями являются искомыми углами. ЛНН(Н) проводится

перпендикулярно горизонтали или горизонтальному следу плоско-

сти, ЛНН(V) – перпендикулярно фронтали или фронтальному следу

плоскости, ЛНН(W) – перпендикулярно профильной прямой или

профильному следу плоскости. После проведения в заданной плос-

кости линии наибольшего наклона угол её наклона к плоскости про-

екций может быть определён методом прямоугольного треугольника.

На рисунке 5.7 представлено решение задачи на определение угла

наклона плоскости треугольника АВС к плоскости проекций Н с по-

мощью ЛНН(Н).

На рисунке 5.8 задача решена с помощью методов преобразования

эпюра: методом перемены плоскостей проекций (рисунок 5.8,а), ме-

тодом плоско-параллельного перемещения (рисунок 5.8,б) и методом

вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси i (рисунок 5.8,в).

В последней задаче ось i проведена в произвольную точку 1, взятую

на фронтальном следе плоскости.

5.7 Определение углов

между двумя плоскостями

Угол между двумя плоскостями называется двугранным углом.

Измерение двугранного угла на чертеже и на любой детали или кон-

струкции представляет определённую сложность, так как он должен

быть измерен строго в плоскости, перпендикулярной общему ребру

двугранного угла (рисунок 5.9,а).

Рисунок 5.7 – Определение угла между плоскостью и плоскостью проекций

с помощью линий наибольшего наклона

Рисунок 5.8 – Определение угла между плоскостью и плоскостью проекций:

а – методом замены плоскостей проекций; б – методом плоско-параллельного

перемещения; в – методом вращения вокруг проецирующих осей

б)

в)

)

Рисунок 5.9 – Определение двугранного угла:

а – общегеометрическим методом; б, в – методом дополнительного угла

а)

в)

б)

На этом рисунке представлен алгоритм решения задачи общегео-

метрическим методом. Алгоритм включает в себя следующие по-

строения: находят линию пересечения граней угла; двугранный угол

пересекают плоскостью, перпендикулярной общему ребру MN; нахо-

дят линии пересечения секущей плоскости с плоскостями граней

(линии l и m); находят угол между линиями l и m, который будет яв-

ляться искомым углом.

На рисунке 5.9,б представлена схема решения задачи методом до-

полнительного угла. Вывод формулы для определения двугранного

угла ясен из рисунка. Если посмотреть вдоль общего ребра MN дву-

гранного угла, то ребро «выродится» в точку, а грани угла – в линии.

Угол между этими линиями – искомый угол. Если в створе угла взять

любую точку и опустить из неё перпендикуляры на грани угла, то

между перпендикулярами образуется угол, который называется до-

полнительным углом. Искомый двугранный угол может быть выра-

жен через дополнительный угол как разность 180° и натуральной ве-

личины дополнительного угла.

На рисунке 5.9,в приведено решение задачи упомянутым методом.

Натуральная величина дополнительного угла найдена методом вра-

щения вокруг горизонтали. Двугранный угол между плоскостями

найден графическим путём с учетом зависимости, приведённой на

рисунке 5.9,б.

Наиболее эффективно задача на определение двугранного угла

может быть решена методами преобразования, если общее ребро

двугранного угла перевести из общего положения в проецирующее.

При таком преобразовании общее ребро двугранного угла «вырожда-

ется» в точку, а грани угла – в линии. Угол между линиями является

искомым двугранным углом.

На рисунке 5.10,а методом перемены плоскостей проекций опре-

делён двугранный угол при ребре ВD, а на рисунке 5.10,б аналогич-

ная задача решена методом плоско-параллельного перемещения.