Кирин Е.М. Метрические задачи в курсе начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

На основании изложенного можно сделать вывод: для того чтобы

определить расстояние между двумя параллельными прямыми или

плоскостями, необходимо любым методом преобразования перевести

прямые или плоскости из общего положения в проецирующее. Наи-

более эффективным методом преобразования для данного типа задач

является метод перемены плоскостей проекций (рисунок 4.4,а, б).

4.5 Определение расстояния

между скрещивающимися прямыми

Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

определяется величиной перпендикуляра, заключенного между парал-

лельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся пря-

мые. Эти плоскости называют плоскостями параллелизма (рисунок 4.5).

Для того, чтобы через скрещивающиеся прямые провести эти плос-

кости, необходимо через точку А провести прямую m, параллельную

прямой b, а через точку В – прямую n, параллельную прямой a. Эти пе-

ресекающиеся прямые а и m, b и n определяют две параллельные плос-

кости. Расстояние между ними и есть расстояние между скрещивающи-

мися прямыми. Однако изложенный метод трудоёмок.

Упростить решение задачи можно, используя методы преобразо-

вания, например, метод перемены плоскостей проекций (рису-

нок 4.5,б). Для решения задачи необходимо одну из скрещивающих-

ся прямых перевести из общего положения в проецирующее, после

чего из «вырожденной» точки опустить перпендикуляр на другую

прямую. Этот перпендикуляр и определяет расстояние между двумя

скрещивающимися прямыми. Полученные точки M и N обычно «воз-

вращают» на исходные проекции.

4.6 Расстояние между параллельными прямой

и плоскостью

Задачу можно решить двумя способами. Первый способ (обще-

геометрический) заключается в следующем (рисунок 4.6,а):

- возьмём на прямой любую точку М;

- опустим из точки М перпендикуляр на плоскость треугольни-

ка EDF;

б)

Рисунок 4.4 – Определение расстояния между параллельными прямыми (а)

и параллельными плоскостями (б)

а)

Рисунок 4.5 – Определение расстояния

между скрещивающимися прямыми

б)

а)

Рисунок 4.6 – Определение расстояния между параллельными прямой

и плоскостью

а)

б)

- найдём точку встречи перпендикуляра с плоскостью (точка K);

- соединим точки М и K и определим НВ прямой МК методом

прямоугольного треугольника.

Второй способ предполагает перевод объектов из общего положе-

ния в проецирующее. При этом можно перевести или прямую, или

плоскость. На рисунке 4.6,б показано решение задачи методом пере-

мены плоскостей проекций с преобразованием заданной плоскости

общего положения во фронтально-проецирующую плоскость.

5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ

МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

5.1 Классификация углов

и угловых метрических задач

Угловые метрические задачи в начертательной геометрии являют-

ся важным теоретическим и практически разделом, а понятие

«угол» – важнейшим геометрическим параметром объектов.

Углы в геометрии делятся на плоские (линейные) и пространст-

венные (двугранные, трёхгранные и т.д.). К пространственным углам

относятся также телесные углы.

Общая схема углов представлена на рисунке 5.1.

Плоские углы делятся на следующие виды:

- угол между двумя прямыми (рисунок 5.1,а);

- центральный угол: угол, отсекающий часть окружности, с вер-

шиной в центре окружности (рисунок 5.1,б);

- вертикальный угол: угол, образованный продолжением сторон

данного угла (рисунок 5.1,в);

- смежный угол: угол, образованный одной из сторон данного

угла и продолжением другой стороны (рисунок 5.1,г).

Пространственные углы делятся на следующие виды:

- угол между прямой и плоскостью (рисунок 5.1,д);

- угол между двумя плоскостями (двугранный угол) (рисунок 5.1,е;

- угол между двумя кривыми линиями (рисунок 5.1,ж);

- угол между двумя скрещивающимися прямыми (рисунок 5.1,з);

- конический телесный угол: угол, отсекаемый конической по-

верхностью на сфере (рисунок 5.1,и);

- многогранный телесный угол: угол, отсекаемый гранной по-

верхностью на сфере (рисунок 5.1,к).

На рисунке 5.2 представлена схема классификации метрических

задач на определение углов в начертательной геометрии.

Рисунок 5.1 – Общая схема плоских и пространственных углов

Рисунок 5.2 – Классификация угловых метрических задач

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ В КУРСЕ «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ»

Задачи

на определение

плоских

линейных углов

Задачи

на определение

двухгранных

углов

Задачи

на определе-

ние телесных

углов

Кониче-

ский

телесный

угол

Много-

гранный

телесный

угол

Угол

между

двумя

плоскостями

Угол между двумя

кривыми линиями

Угол

между

плоскостью

и плоско-

стью

проекций

Угол

между

двумя

прямыми

Угол

между

прямой

и плоско-

стью

Угол

между

прямой

и плос-

костью

проек-

ций

Угол

между

скре-

щиваю-

щимися

прямы-

ми

5.2 Определение углов между прямой

и плоскостями проекций

В разделе 3.1 рассмотрен метод прямоугольного треугольника, с

помощью которого определяются углы наклона прямой к плоскостям

проекций.

Метод прямоугольного треугольника является эффективным ме-

тодом определения углов наклона прямой к плоскостям проекций.

Но не менее эффективными методами являются методы преобразо-

вания.

На рисунке 5.3,а представлено использование метода вращения

прямой вокруг проецирующей оси. Если вращать прямую вокруг го-

ризонтально-проецирующей оси i, проведённой, например, через

точку А, то после вращения прямой до положения фронтали на фрон-

тальной проекции прямой АВ определится угол её наклона к плоско-

сти проекций Н. Если вращать прямую вокруг фронтально-про-

ецирующей оси, то после вращения прямой до положения горизонта-

ли можно определить угол её наклона к плоскости V.

На рисунке 5.3,б представлено определение углов наклона прямой

к плоскостям проекций методом перемены плоскостей проекций.

Ход решения задачи ясен из чертежа.

5.3 Определение угла

между двумя прямыми линиями

Плоский линейный угол между двумя прямыми представляет из

себя плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми. Пло-

ские линейные углы образуются также в плоских фигурах (тре-

угольниках и многоугольниках). В конечном итоге задача на опреде-

ление плоских линейных углов сводится к определению натуральной

величины фигур, в которых имеются плоские углы.

На рисунке 5.4 представлено решение задачи на определение на-

туральной величины плоского угла АВС методом перемены плоско-

стей проекций (рисунок 5.4,а), методом вращения вокруг горизонта-

ли (рисунок 5.4,б) и методом плоско-параллельного перемещения

(рисунок 5.4,в).

Рисунок 5.3 – Определение углов наклона прямой к плоскостям проекций

методами преобразования эпюра

а)

б)