Кирин Е.М. Метрические задачи в курсе начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Рисунок 3.1 – Методы определения натуральной величины прямой

по её проекциям

в)

а)

г)

б)

На рисунке 3.1,б приведён пример определения НВ прямой АВ.

Метод прямоугольного треугольника, как нетрудно убедиться из

пространственного макета, позволяет одновременно определять углы

наклона прямой к плоскостям проекций.

На рисунке 3.1,в натуральная величина прямой и углы её наклона

к плоскостям проекций определены методом перемены плоскостей

проекций.

На рисунке 3.1,г натуральная величина прямой и угол её наклона

к плоскости проекций V определены методом вращения вокруг фрон-

тально-проецирующей оси i.

3.2 Определение натуральной величины

плоских фигур

Как было показано ранее, плоские фигуры, расположенные в про-

странстве параллельно плоскости проекций, проецируются на эту

плоскость в натуральную величину. Из этого свойства ортогонально-

го проецирования следует вывод: для определения НВ плоской фигу-

ры необходимо перевести её из общего положения в положение, па-

раллельное какой-либо плоскости проекций, любым способом пре-

образования эпюра.

На рисунке 3.2,а приведён пример определения натуральной ве-

личины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали.

В задаче сторона ВС является горизонталью, в связи с чем метод вра-

щения в данном случае является наиболее рациональным. При вра-

щении будет перемещаться только точка А. Натуральная величина

радиуса вращения точки А определена методом прямоугольного тре-

угольника. Натуральная величина радиуса вращения отложена вдоль

плоскости вращения точки А и найдено конечное положение точки

после вращения (А

На рисунке 3.2,б приведён пример определения НВ плоского угла

методом перемены плоскостей проекций. Первой заменой V на V

угол переводим во фронтально-проецирующее положение. Для этого

в плоскости угла АВС проводим горизонталь и новую ось ОХ

распо-

лагаем перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, в

результате чего на новой фронтальной проекции плоскость угла «вы-

рождается» в линию.

Рисунок 3.2 – Методы определения натуральной величины

плоских фигур

в)

а)

)

Второй заменой Н на Н

плоскость угла располагаем параллельно

новой плоскости проекций Н

, что позволяет получить натуральную

величину угла на новой горизонтальной проекции угла.

На рисунке 3.2,в дан пример построения натуральной величины

сечения шестигранной пирамиды. Пирамида усечена фронтально-

проецирующей плоскостью. В сечении пирамиды образуется много-

угольник с эллипсом внутри от сечения отверстия. НВ сечения опре-

делена методом совмещения, т.е. вращением секущей плоскости

вместе с расположенным в ней сечением вокруг горизонтального

следа. Совмещённый фронтальный след при этом совпадает с осью

ОХ. Ход построений ясен из рисунка.

4 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

4.1 Определение расстояния между двумя точками

Задача на определение расстояния между двумя точками сводится

к определению натуральной величины прямой, соединяющей задан-

ные точки.

Расстояние между двумя точками – это, по сути дела, основная

метрическая задача, так как большинство метрических задач в ко-

нечном итоге сводится к решению этой основной задачи. Методы

определения натуральной величины прямой изложены в разделе 3.1.

4.2 Определение расстояния от точки до плоскости

Рассмотрим общегеометрический метод решения задачи (рису-

нок 4.1,а). Решение задачи сводится к таким последовательным ло-

гическим действиям:

- из заданной точки опускаем перпендикуляр на заданную плос-

кость;

- находим точку встречи перпендикуляра с плоскостью (точка K);

- определяем натуральную величину расстояния между точка-

ми А и K.

Эта схема решения задачи реализована в примерах на рисун-

ках 4.1,б, в. В первой задаче проекции перпендикуляра проведены с

помощью горизонтали и фронтали, проведённых в плоскости задан-

ного треугольника. Во второй задаче проекции перпендикуляра про-

ведены перпендикулярно следам плоскости в соответствии с алго-

ритмом проведения перпендикуляра к плоскости. Точки встречи

перпендикуляра с плоскостью в обеих задачах определены с помо-

щью вспомогательных плоскостей в соответствии с методикой реше-

ния задачи о пересечении прямой с плоскостью (см. раздел «Позици-

онные задачи» курса начертательной геометрии). Натуральная вели-

чина искомого расстояния определена методом прямоугольного тре-

угольника.

Рисунок 4.1 – Определение расстояния от точки до плоскости

общегеометрическим методом

б) в)

а)

На рисунке 4.2,а рассмотрена задача на определение расстояния

от точки до плоскости с использованием метода перемены плоско-

стей проекций. На рисунке 4.2,б аналогичная задача решена методом

плоско-параллельного перемещения. В обеих задачах смысл решения

сводится к следующему: чтобы реально увидеть в пространстве рас-

стояние от точки до плоскости необходимо так установить направле-

ние взгляда, чтобы плоскость «выродилась» в линию. Тогда расстоя-

ние от точки до плоскости найдётся с помощью перпендикуляра,

опущенного из точки на «вырожденную» линию плоскости. В связи с

этим для решения задачи обоими методами необходимо перевести

заданную плоскость из общего положения в проецирующее.

В первой задаче это достигнуто заменой V на V

, причем плос-

кость V

располагаем перпендикулярно горизонтальной проекции

горизонтали, в результате чего заданная плоскость становится фрон-

тально-проецирующей.

Во второй задаче плоскость общего положения переведена в гори-

зонтально-проецирующее положение путём плоско-параллельного

перемещения относительно плоскости V так, чтобы фронталь f, про-

ведённая в треугольнике АВС, стала перпендикулярной оси ОХ, а

следовательно, и плоскости проекций Н.

4.3 Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой измеряется с помощью перпенди-

куляра, опущенного из заданной точки на прямую.

Если прямая является прямой частного положения, то перпенди-

куляр проводится согласно теореме прямого угла (рисунок 4.3,а).

Если прямая занимает общее положение, то задача осложняется,

так как в этом случае необходимо использовать специальные методы.

Общегеометрический метод (рисунок 4.3,б) предполагает сле-

дующие этапы решения задачи:

- через точку D проводим плоскость, перпендикулярную пря-

мой АВ. Плоскость задаём пересекающимися горизонталью h и фрон-

талью f. Их проекции проводим согласно алгоритму проведения пер-

пендикуляра к плоскости (обратная задача);

Рисунок 4.2 – Определение расстояния от точки до плоскости

методами преобразования эпюра

а)

б)

- находим точку встречи прямой АВ с проведённой плоскостью с

помощью вспомогательной плоскости. Далее находим линию пере-

сечения обеих плоскостей. Там, где линия 1–2 пересекает пря-

мую АВ, находим точку встречи K;

- точки D и K соединяем, получаем проекции искомого перпен-

дикуляра, т.е. проекции кратчайшего расстояния от точки до прямой;

- методом прямоугольного треугольника находим НВ расстоя-

ния.

На рисунке 4.3, представлено решение задачи методом перемены

плоскостей проекций. Решение основано на том, что расстояние от

точки до прямой определится, если посмотреть вдоль прямой линии.

Тогда прямая «выродится» в точку, а расстояние между двумя точ-

ками будет искомым. Таким образом, задача решается путём перево-

да прямой общего положения в проецирующее положение. Ход ре-

шения задачи ясен из чертежа.

4.4 Расстояние между параллельными

прямыми и плоскостями

Расстояние между параллельными прямыми и параллельными

плоскостями определяется величиной перпендикуляра, опущенного

из любой точки одной прямой или плоскости на другую прямую или

плоскость.

Этот общегеометрический способ, аналогичный определению

расстояния от точки до прямой или от точки до плоскости (см. разде-

лы 4.2 и 4.3), достаточно трудоёмок, в связи с чем для решения упо-

мянутых задач наиболее целесообразно применять методы преобра-

зования эпюра.

Расстояние между двумя параллельными прямыми или двумя па-

раллельными плоскостями определится, если направить взгляд вдоль

прямых или плоскостей. При этом прямые «вырождаются» в точки, а

плоскости – в линии. Расстояния между «вырожденными» точками

или линиями являются искомыми расстояниями.

Рисунок 4.3 – Определение расстояния от точки до прямой

а)

в)

)