Кирин Е.М., Краснов М.Н. Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Построение сечений поверхностей плоскостями

частного положения

Поверхность может быть рассече-

на плоскостями частного и общего

положения. Наиболее эффектив-

ным методом построения сечений

поверхностей является метод се-

кущих вспомогательных плоскос-

тей. Он включает в себя ряд после-

довательных логических действий.

Рассмотрим пример построения

сечения конуса плоскостью част-

ного положения.

Находим характерные точки и

строим их проекции. Характер-

ными точками являются точки, в

которых секущая плоскость пере-

секает оси, очерковые образую-

щие, основания. В данном при-

мере это точки 1, 2 и 3. Проекции

этих точек строим с использова-

нием свойства эпюра Монжа:

= А

///

Далее на секущей плоскости на-

значаем произвольные промежу-

точные точки 4, 5. Строим проек-

ции точки 4. Проводим через нее

горизонтальную вспомогательную

плоскость. На горизонтальной

проекции поверхности строим

сечение конуса – окружность R.

На пересечении линии связи с кон-

туром окружности находим точ-

ки 4

. Проекции точки 5 строим

аналогично.

Построение сечений поверхностей плоскостями

общего положения

Рассмотрим построение сечения

конуса плоскостью общего поло-

жения. Характерными точками яв-

ляются точки 1, 8, в которых след

пересекает окружность основания

конуса, так как они лежат в одной

плоскости Н. Наивысшую точку се-

чения найдем с помощью вспомо-

гательной плоскости Q, проходя-

щей через вершину конуса. В сече-

нии конуса плоскостью Q будет

треугольник. Построим линию

пересечения заданной плоскости и

плоскости Q. На пересечении этих

элементов найдем высшую точку 4.

Точку касания линии сечения с

очерковой образующей найдем ана-

логично с помощью вспомогатель-

ной плоскости Р.

Промежуточные точки 2, 3, 6 и 7

найдем методом секущих вспомога-

тельных плоскостей, в качестве ко-

торых используем горизонтальные

плоскости. Полученные точки сое-

диняем плавной линией.

Пересечение прямой с поверхностью

(общий метод)

Задана поверхность Ф.

Требуется найти точки пересе-

чения (или точки встречи) прямой

АВ с поверхностью.

Проводим через прямую вспо-

могательную плоскость Р. В каче-

стве вспомогательной плоскости

наиболее целесообразно взять та-

кую плоскость общего или част-

ного положения, которая в сече-

нии поверхности образовывала

бы наиболее простые фигуры, на-

пример, многоугольник или ок-

ружность.

Строим сечение поверхности

вспомогательной плоскостью Р.

Находим общие точки заданной

прямой и контура построенного

сечения. Полученные точки М и

N являются искомыми.

Пересечение прямой с поверхностью

методом преобразования эпюра

При решении задач на пересечение

прямой с поверхностью в некоторых

случаях целесообразно использовать

методы преобразования с тем, чтобы

перевести прямую общего положе-

ния в частную, что позволяет упрос-

тить решение задач. Этот прием

эффективен, если поверхностью яв-

ляется, например, сфера.

Рассмотрим пересечение прямой об-

щего положения со сферой.

Решим задачу методом перемены

плоскостей проекций. Произведем

замену V→V

Новую ось располо-

жим параллельно горизонтальной

проекции прямой. Во второй системе

плоскостей проекций прямая зани-

мает положение фронтали.

Проводим через прямую вспомо-

гательную плоскость. Затем постро-

им сечение сферы вспомогательной

плоскостью. В сечении будет окруж-

ность радиуса R. Полученные точки

встречи прямой с поверхностью воз-

вращаем на исходные проекции.

Построение линий пересечения поверхностей

методом секущих вспомогательных плоскостей

Одной из основных и актуальных за-

дач начертательной геометрии явля-

ется задача построения линий пересе-

чения поверхностей. Линия пересе-

чения (ЛП) поверхностей – это линия,

общая для обеих поверхностей. Наи-

более распространенным и универ-

сальным способом построения ЛП

является метод секущих вспомога-

тельных плоскостей.

На рисунке показаны виды пересе-

чений.

Пусть пересекаются две поверхности

и Ф

. Сначала находим характер-

ные точки. Такими точками считаются

точки пересечения образующих линий

(точки 1, 2). Затем пересекаем обе по-

верхности вспомогательной плоско-

стью. В качестве вспомогательных

плоскостей берут плоскости, которые

образуют простые сечения поверхно-

стей.

Строим сечения обеих поверхностей.

Далее находим общие точки постро-

енных сечений (точки 3, 4). Повто-

ряем описанные построения с другой

вспомогательной плоскостью (3-5 раз).

Полученные точки соединяем плавной

линией с учетом видимости участков

этой линии.

Построение линий пересечения поверхностей

методом секущих концентрических сфер

Метод концентрических сфер ба-

зируется на частном случае пе-

ресечения поверхностей: соосные

со сферой тела вращения пересе-

каются по окружностям, фрон-

тальные проекции которых «вы-

рождаются» в прямые линии.

Рассмотрим метод на примере

пересечения двух цилиндров.

Сначала определяем характерные

точки 1. Далее в месте пересе-

чения осей находим центр сфер

О. Из центра О проводим нор-

мали N

и N

, максимальную нор-

маль берем за минимальный ра-

диус сфер. Проводим сферу ми-

нимального радиуса, находим ли-

нии пересечения ее с цилиндрами

и в месте их пересечения –

точку 3.

Повторяем описанные построе-

ния, используя сферы большего

радиуса. В результате построений

получаем промежуточные точки

2, 4. Полученные точки соеди-

няем плавной линией.

Теорема Монжа и ее использование

для построения линий пересечения поверхностей

Если две поверхности второго

порядка описаны вокруг одной и

той же сферы, то они пересе-

каются по кривым линиям вто-

рого порядка, фронтальная про-

екция которых «вырождается» в

прямые линии, соединяющие про-

тивоположные характерные точ-

ки. Характерными точками явля-

ются точки пересечения образую-

щих линий.

Пересекаются цилиндр и конус.

Обе поверхности описаны вокруг

одной и той же сферы. Следова-

тельно, на фронтальной проекции

линии пересечения «вырожда-

ются» в прямые линии. Находим

характерные точки поверхностей

и соединяем их прямыми ли-

ниями.

Далее находим характерные точ-

ки на прямых линиях пересечения

и строим их горизонтальные про-

екции. Промежуточные точки

строим методом секущих вспомо-

гательных плоскостей, подчинив

их одной из поверхностей, напри-

мер, конусу. Полученные точки

соединяем плавными линиями.

Построение разверток кривых поверхностей

Вce поверхности делятся на

развертывемые и неразверты-

ваемые. Развертка поверхности –

это геометрически закономерное

преобразование поверхности в

плоскость. Все многогранники и

линейчатые поверхности явля-

ются развертываемыми. Нели-

нейчатые поверхности, как пра-

вило, неразвертываемые.

Основным способом построения

разверток является способ рас-

катки.

На рисунке показаны развертки

конуса и цилиндра.

Рассмотрим построение разверт-

ки усеченного конуса. Известно,

что конус развертывается в сек-

тор окружности с радиусом, рав-

ным длине образующей. Угол

сектора определяется по фор-

муле (см. рисунок). Разделим ос-

нование на восемь частей. Отме-

тим точки пересечения образую-

щих с сечением. Каждую точку

сносим на НВ образующей.

Строим сектор развертки, делим

окружность сектора на восемь

частей. На каждую образующую

на развертке наносим точки се-

чения, замеряя на эпюре НВ рас-

стояния от вершины конуса до

каждой точки. Полученные точ-

ки соединяем плавной линией.

Неразвертываемые поверхности мо-

гут быть развернуты условно-при-

ближенно путем аппроксимации

(замены) неразвертываемых поверх-

ностей развертываемыми поверх-

ностями. Для этого исходную по-

верхность делят на отсеки (см. ри-

сунок) и участки неразвертывае-

мой поверхности заменяют раз-

вертываемыми поверхностями (ци-

линдрическими, коническими или

плоскостями).

Рассмотрим построение развертки

поверхности тора.

Делим поверхность тора на отсеки.

Выделим один отсек и заменим

участок торовой поверхности ци-

линдрической. В этом случае по-

верхность отсека можно развер-

нуть.

Строим развертку поверхности от-

сека. Построения ясны из чертежа.

Полная развертка тора будет со-

стоять из нескольких разверток от-

секов в зависимости от их коли-

чества.

Учебное издание

Кирин Евгений Михайлович,

Краснов Михаил Николаевич

Руководство для решения задач

по начертательной геометрии

Редактор Т. В. Веденеева

Корректор Н. А. Сидельникова

Компьютерная верстка М. Б. Жучковой

Подписано в печать 09.06.11.

Формат 60´84

. Усл. печ. л. 3,49.

Тираж 150. Заказ № 423.

Издательство ПГУ.

440026, Пенза, Красная, 40.

Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.