Кирин Е.М., Краснов М.Н. Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Метод вращения вокруг линий уровня

Линиями уровня называют гори-

зонталь, фронталъ и профильную пря-

мую. Метод вращения вокруг линий

уровня заключается в том, что в

плоскости проводят h или f, берут их

за ось и вращают плоскость до тех

пор, пока она не займет частное по-

ложение относительно плоскостей

проекций, например, параллельное ка-

кой-либо плоскости. Конечное поло-

жение точки после вращения опре-

делится, если от центра вращения

вдоль плоскости вращения отложить

радиус вращения в натуральной вели-

чине. Метод чаще всего применяют

для определения натуральной вели-

чины плоских фигур. Рассмотрим ре-

шение задачи на определение нату-

ральной величины треугольника.

Проводим в плоскости ABC горизон-

таль. Определяем объекты вращения –

точки В и С. Точка А находится на оси

и будет неподвижной. На горизон-

тальной проекции через точки В и С

проводим плоскости вращения пер-

пендикулярно h

. Найдем центр вра-

щения точки В. Определим НВ R

Найдем положение точки В после

вращения.

Положение точки С после вращения

можно определить аналогично. Но

можно и так: соединим новую точку

с точкой 1

и на продолжении этой

прямой с плоскостью вращения точки

С найдем новое положение точки С

Метод вращения плоскости вокруг следов

и способы построения совмещенного следа

Метод вращения вокруг следов чаще

называют методом совмещения. Он за-

ключается в том, что плоскость вместе с

находящимися в ней геометрическими

объектами вращают вокруг какого-либо

следа до совмещения с плоскостью про-

екций. После совмещения объект ото-

бражается на плоскости проекций в на-

туральной величине. Метод совмеще-

ния, как метод вращения, также подчи-

няется всем законам вращения. Глав-

ным вопросом метода совмещения явля-

ется вопрос построения совмещенного

следа.

Пусть осью вращения является след Q

В первом способе построения совме-

щенного следа на следе, который вра-

щается, возьмем любую точку А и най-

дем ее горизонтальную проекцию, через

которую проведем плоскость вращения.

Известным способом найдем совме-

щенное положение точки А

, а за-

тем Q

Во втором способе построения также

берем точку А на фронтальном следе.

Через точку А

проводим плоскость

вращения. Циркулем замеряем расстоя-

ние Q

и проводим дугу. На пересе-

чении с плоскостью вращения находим

точку А

Методика решения задач способом совмещения

Задача: построить проекции равносто-

роннего треугольника, принадлежа-

щего плоскости Q, если задана фрон-

тальная проекция его стороны. Задачу

решить способом совмещения путем

вращения вокруг горизонтального сле-

да плоскости.

Сначала находим горизонтальные про-

екции точек А и В. Точка А лежит на

фронтальном следе, значит, А

будет

лежать на оси ОХ. Точку В

находим с

помощью горизонтали. Вторым спо-

собом строим совмещенный фрон-

тальный след.

Находим совмещенное положение

точки В. Для этого точку 1

гори-

зонтали дугой переводим на совме-

щенный след и строим новое поло-

жение горизонтали. Через точку В

проводим плоскость вращения и на

пересечении с новым положением го-

ризонтали находим совмещенное

положение точки В. Точки А и В в

совмещенном положении соединяем.

Получаем НВ

АВ

. На ней строим

равносторонний треугольник АВС.

Через полученную совмещенную точ-

ку С проводим горизонталь и плос-

кость вращения и «обратным ходом»

возвращаем ее на проекции.

Метод плоско-параллельного перемещения (ППП)

Плоско-параллельное перемещение –

это вид механического

движения, при котором все точки объекта перемещаются в

плоскостях, параллельных какой-

либо плоскости проекций. При

ППП(Н) горизонтальная проекция

объекта меняет свое положение,

но не меняет своей конфигурации. Фронтальная проекция меняет

свою конфигурацию, причем проекции точек перемещаются по

прямым линиям, параллельным оси ОХ. При ППП(V

) наблюдается

обратная картина.

Задача: построить натуральную величину плоского угла ABC.

План решения:

– методом ППП(Н) переведем плоскость угла во фронтально-

проецирующее положение;

– методом ППП(V) преобразуем плоскость угла в горизон-

тальную плоскость.

Для того, чтобы плоскость угла стала фронтально-проеци-

рующей, она должна содержать прямую, перпендикулярную V

В качестве такой прямой возьмем горизонталь и повернем угол так,

чтобы линия h

стала перпендикулярна OX.

На фронтальной проекции угол «выродился» в прямую. Пере-

местим прямую в горизонтальное полож

ение. На горизонтальной

проекции получим натуральную величину угла.

Определение угла между прямой и плоскостью

Наиболее эффективным методом

определения угла между прямой и

плоскостью является метод дополни-

тельного угла. Дополнительным уг-

лом называется угол между прямой и

перпендикуляром, опущенным из

любой точки прямой на плоскость.

Искомый и дополнительный углы

связаны формулой, которая реали-

зуется графически.

Требуется определить угол между

прямой и плоскостью, заданной сле-

дами. Из любой точки прямой, на-

пример В, опустим перпендикуляр

на заданную плоскость. Проекции

перпендикуляра проводятся перпен-

дикулярно следам плоскости. Между

проекциями прямой и проекциями

перпендикуляра образуются проек-

ции дополнительного угла.

Определим натуральную величину

дополнительного угла методом вра-

щения вокруг горизонтали. Объек-

том вращения будет вершина В угла.

Проводим через В

плоскость враще-

ния, находим центр вращения О,

определяем натуральную величину

радиуса вращения R

и откладываем

его вдоль плоскости вращения.

Графически находим искомый угол.

Определение угла между плоскостями

Наиболее эффективным методом оп-

ределения угла между двумя плос-

костями является метод дополни-

тельного угла. Дополнительным уг-

лом называется угол между двумя

перпендикулярами, опущенными из

любой точки на обе плоскости. Ис-

комый и дополнительный углы свя-

заны формулой, которая реализуется

графически.

Требуется определить угол между

двумя плоскостями. Из любой точки

между плоскостями, например В,

опустим перпендикуляры на задан-

ные плоскости. Проекции перпенди-

куляров проводим согласно алго-

ритму перпендикулярности. Между

проекциями перпендикуляров обра-

зуются проекции дополнительного

угла.

Определим натуральную величину

дополнительного угла методом вра-

щения вокруг горизонтали. Объек-

том вращения будет вершина В угла.

Проводим через В

плоскость враще-

ния, находим центр вращения О,

определяем натуральную величину

радиуса вращения R

и откладываем

его вдоль плоскости вращения. Гра-

фически находим искомый угол.

Методы построения сечений многогранников

Разработано два метода построения

сечений многогранников – метод ре-

бер и метод граней. В методе ребер

находят точки пересечения ребер

многогранника с секущей плоскос-

тью, т.е. несколько раз решают

типовую задачу о пересечении пря-

мой с плоскостью. В методе граней

находят линии пересечения граней

многогранника с плоскостью, т.е.

решают типовую задачу о пере-

сечении плоскостей.

Рассмотрим пересечение пирамиды

фронтально-проецирующей плоско-

стью. Решаем задачу методом ребер.

Так как секущая плоскость фрон-

тально-проецирующая, то на фрон-

тальной проекции точки пересече-

ния определяются без построений.

По линиям связи находим горизон-

тальные проекции точек, соединив

которые получим сечение.

Если секущая плоскость является

плоскостью общего положения, то

задача усложняется. При построе-

нии точек сечения проводим через

ребра вспомогательные плоскости

частного положения, находим линии

пересечения заданной и вспомога-

тельной плоскостей и на пересече-

нии ребер с линиями пересечения

находим искомые точки.

Построение разверток многогранников

При построении разверток мно-

гогранников используют два ме-

тода: метод раскатки и метод нор-

мального сечения. Наиболее рас-

пространен первый метод. Метод

раскатки заключается в том, что

многогранник условно разрезают

по ребрам и «раскатывают» грани

в одну плоскость.

Рассмотрим построение развертки

пирамиды.

Требуется построить развертку и

указать на ней точки К и М,

лежащие на поверхности пира-

миды. Сначала определяем нату-

ральную величину ребер методом

вращения вокруг оси i. Проекции

точки К находим с помощью

вспомогательной прямой.

Далее на свободном поле чертежа

строим основание пирамиды. К ос-

нованию пристраиваем боковые

грани пирамиды. Точку К на раз-

вертке строим с помощью вспомо-

гательной прямой. Все построения

проводятся с помощью циркуля.

Построение проекций особых точек

на поверхности

Особые (характерные) точки –

это точки, лежащие на обра-

зующих поверхности, основа-

ниях, и точки, совпадающие с

осями. При построении проек-

ций характерных точек исполь-

зуется одно из свойств эпюра

Монжа : А

= A

///

Построение промежуточных точек

на поверхности

Промежуточные точки занимают общее положение на

поверхности. Их построение связано с определенными трудностями.

Имеется два способа построения проекций промежуточных точек:

способ образующих и метод секущих вспомогательных плоскостей.

Первый метод заключается в том, что через проекцию точки проводят

образующую линию (прямую), строят ее проекции и на них находят

проекции точки.

По второму способу через точку проводят вспомогательную

плоскость, строят сечение поверхности вспомогательной плоскостью

и на контуре сечения находят проекцию промежуточной точки.

Третью проекцию строят с помощью упомянутого свойства эпюра

Монжа. В качестве вспомогательных плоскостей применяют плос-

кости, которые образуют простые сечения поверхностей.

Конические, цилиндрические

и сферические сечения

Прямой круговой конус является по-

верхностью, имеющей большое коли-

чество разнообразных сечений. Если

секущая плоскость перпендикулярна

оси, то в сечении образуется окруж-

ность. Если секущая плоскость на-

клонна к оси и пересекает обе обра-

зующие, то в сечении будет эллипс.

При пересечении конуса плоскостью,

параллельной оси, в сечении получа-

ется гипербола. Парабола образуется в

сечении конуса, если секущая плос-

кость параллельна образующей. Если

плоскость проходит через вершину, то

сечением конуса является треуголь-

ник. Плоскости, образующие в сече-

нии конуса наиболее простые фигуры

(окружность известного радиуса и

треугольник), при решении различных

геометрических задач используются в

качестве вспомогательных.

В сечении прямого кругового цилинд-

ра образуется окружность, если секу-

щая плоскость перпендикулярна оси

цилиндра. Если секущая плоскость не

перпендикулярна оси, то в сечении

будет эллипс. В сечении цилиндра об-

разуется прямоугольник, если плос-

кость параллельна оси.

Всякое сечение сферы есть окруж-

ность, если направление проецирова-

ния перпендикулярно плоскости сече-

ния, и эллипс, если это условие не

соблюдается.