Кирин Е.М., Краснов М.Н. Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Проведение перпендикуляра к плоскости

Из элементарной геометрии извест-

но: прямая перпендикулярна плос-

кости, если она перпендикулярна

двум пересекающимся прямым,

принадлежащим этой плоскости.

В качестве таких прямых наиболее

целесообразно взять горизонталь и

фронталь.

Проекции перпендикуляра к плос-

кости проводятся следующим обра-

зом: горизонтальная проекция пер-

пендикуляра – перпендикулярно h

или Р

, фронтальная проекция –

перпендикулярно f

или Р

Если на плоскость опускают пер-

пендикуляр или восстанавливают

его из плоскости, то такая задача

называется прямой задачей.

Если к прямой проводят плоскость,

перпендикулярную заданной пря-

мой, то такая задача называется

обратной задачей. Она решается по

тому же алгоритму, что и прямая

задача.

Определение расстояния от точки до плоскости

Требуется определить расстояние

от точки до плоскости. Обший

план решения задачи:

- опускаем из точки перпенди-

куляр на плоскость;

- находим точку встречи его с

плоскостью;

- определяем натуральную вели-

чину расстояния.

Для того, чтобы опустить перпен-

дикуляр на плоскость, проводим в

ней горизонталь и фронталь. Да-

лее из заданной точки проводим

проекции перпендикуляра к плос-

кости согласно алгоритму пер-

пендикулярности.

Находим точку встречи перпенди-

куляра с плоскостью. Это типовая

задача о пересечении прямой с

плоскостью (см. разд. «Пересе-

чение прямой с плоскостью»).

Методом прямоугольного тре-

угольника на любой из проекций

перпендикуляра определяем нату-

ральную величину расстояния от

точки до плоскости.

Восстановление перпендикуляра

заданной длины

Требуется восстановить из плос-

кости перпендикуляр длиной

15 мм.

Общий план решения:

- из любой точки плоскости

восстанавливаем перпендикуляр;

- ограничиваем перпендикуляр

в любой точке и определяем НВ

полученного отрезка;

- на натуральной величине от-

резка отмеряем длину 15 мм и

возвращаем ее на проекции.

В плоскости треугольника про-

водим горизонталь и фронталь

для того, чтобы восстановить из

плоскости перпендикуляр и по-

строить его проекции.

Ограничиваем перпендикуляр в

произвольной точке М и опре-

деляем методом прямоугольного

треугольника натуральную вели-

чину ограниченного отрезка пер-

пендикуляра. Отмеряем на на-

туральной величине 15 мм и по-

лученную точку K возвращаем

на проекции перпендикуляра.

Определение расстояния от точки до прямой

Требуется определить расстояние

от точки до прямой. Общий план

решения задачи:

- через заданную точку проводим

плоскость, перпендикулярную за-

данной прямой;

- находим точку встречи прямой

с плоскостью;

- определяем натуральную вели-

чину расстояния.

Через заданную точку проводим

плоскость, перпендикулярную пря-

мой АВ. Плоскость задаем пересе-

кающимися горизонталью и фрон-

талью, проекции которых строим

согласно алгоритму перпендику-

лярности (обратная задача).

Находим точку встречи прямой

АВ с плоскостью. Это типовая

задача о пересечении прямой с

плоскостью (см. разд. «Пересе-

чение прямой с плоскостью»).

Найденную точку соединяем с

заданной точкой. Методом прямо-

угольного треугольника опреде-

ляем натуральную величину от-

резка между двумя точками, что

является искомым расстоянием от

заданной точки до заданной

прямой.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскости взаимно перпенди-

кулярны, если одна из них содер-

жит прямую, перпендикулярную

другой плоскости. Поэтому для

проведения плоскости, перпенди-

кулярной другой плоскости, не-

обходимо сначала провести пер-

пендикуляр к плоскости, а затем

через него провести искомую

плоскость. На эпюре плоскость

задана двумя пересекающимися

прямыми, одна из которых пер-

пендикулярна плоскости ABC.

Если плоскости заданы следами,

то возможны следующие случаи:

- если две перпендикулярные

плоскости являются проецирую-

щими, то их собирательные следы

взаимно перпендикулярны;

- плоскость общего положения и

проецирующая плоскость перпен-

дикулярны, ссли собирательный

след проецирующей плоскости

перпендикулярен одноименному

слсду плоскости общего поло-

жения;

- если одноименные следы двух

плоскостей общего положения

перпендикулярны, то плоскости

не перпендикулярны друг другу.

Метод замены плоскостей проекций

заключается в том, что плоскости про-

екций заменяются другими плоскос-

тями так, чтобы геометрический

объект в новой системе плоскостей

проекций стал занимать частное по-

ложение, что позволяет упростить ре-

шение задач. На пространственном ма-

кете показана замена плоскости V на

новую V

. Показано также проециро-

вание точки А на исходные плоскости

проекций и новую плоскость проекций

. При замене плоскостей проекций

ортогональность системы сохраняется.

Преобразуем пространственный макет

в плоскостной путем поворота плос-

костей по стрелкам. Получим три

плоскости проекций, совмещенные в

одну плоскость.

Затем удалим плоскости проекций и

оставим только проекции точки.

Из эпюра точки следует правило: при

замене V на V

для того, чтобы по-

строить новую фронтальную проек-

цию точки, необходимо от новой оси

отложить аппликату точки, взятую из

предыдущей системы плоскостей про-

екций. Аналогично можно доказать,

что при замене Н на Н

необходимо

отложить ординату точки.

Первая типовая задача метода замены

плоскостей проекций

Первая типовая задача метода замены

плоскостей проекций – это преобра-

зование прямой общего положения

сначала в линию уровня, а затем в

проецирующую прямую. Эта задача

является одной из основных, так как

применяется при решении других

задач, например, при определении

расстояния между параллельными и

скрещивающимися прямыми, при оп-

ределении двугранного угла и т.д.

Производим замену V → V

. Новую

ось проводим параллельно горизон-

тальной проекции. Строим новую

фронтальную проекцию прямой, для

чего от новой оси откладываем

аппликаты точек. Новая фронтальная

проекция прямой является НВ прямой.

Сама прямая становится фронталью.

Определяется угол α°.

Производим замену Н → Н

. Новую

ось проводим перпендикулярно фрон-

тальной проекции прямой. Строим но-

вую горизонтальную проекцию пря-

мой, для чего от новой оси отклады-

ваем ординаты прямой, взятые из

предыдущей системы плоскостей про-

екций. Прямая становится горизон-

тально-проецирующей прямой и «вы-

рождается» в точку.

Вторая типовая задача метода замены

плоскостей проекций

Вторая типовая задача метода замены

плоскостей проекций – это преобра-

зование плоскости общего положения

сначала в проецирующую, а затем в

плоскость уровня. Эта задача является

одной из основных задач, так как

широко применяется при определении

натуральной величины плоских фигур,

углов и сечений поверхностей.

Проводим в плоскости горизонталь.

Производим замену V → V

. Новую

ось проводим перпендикулярно h

Строим новую фронтальную проек-

цию плоскости, для чего от новой оси

откладываем аппликаты точек. Новая

фронтальная проекция плоскости «вы-

рождается» в прямую, так как плос-

кость стала фронтально-проецирую-

щей.

Производим замену Н → Н

. Новую

ось проводим параллельно фронталь-

ной проекции плоскости. Строим но-

вую горизонтальную проекцию плос-

кости, для чего откладываем ординаты

точек, взятые из предыдущей системы

плоскостей проекций. Плоскость ста-

новится горизонтальной плоскостью и

на H

проецируется в натуральную

величину.

Параметры вращения

и методы преобразования эпюра вращением

При вращении геометрического объекта,

например точки, можно выделить сле-

дующие параметры вращения, которые

определяют все геометрические пост-

роения:

- объект вращения (как правило, в ка-

честве объектов вращения берут точки);

- ось вращения (проецирующая прямая,

линия уровня, следы плоскости);

- плоскость вращения (ее располагают

перпендикулярно оси вращения);

- центр вращения точки (он находится

в точке пересечения оси с плоскостью

вращения);

- радиус вращения (расстояние между

объектом и центром вращения);

- траектория вращения точки (окруж-

ность, совпадающая с плоскостью вра-

щения). Основное правило вращения

конечное положение точки после вра-

щения определится, если от центра вра-

щения вдоль плоскости вращения от-

ложить радиус вращения в НВ.

Метод вращения

вокруг

проецирующей оси

Метод вращения

вокруг горизонтали

или фронтали

Метод вращения

вокруг следов

плоскости

Метод вращения вокруг проецирующих осей

Метод вращения вокруг проецирую-

щих осей заключается в том, что

объект вращают до тех пор, пока он не

займет частное положение. На прост-

ранственном макете показано враще-

ние точки вокруг горизонтально-про-

ецирующей прямой. Плоскость вра-

щения при этом будет являться гори-

зонтальной плоскостью. Натураль-

ную величину радиуса вращения

точки определять не надо, так как он

на горизонтальной проекции отобра-

жен в натуральной величине. Гори-

зонтальная проекция точки будет пе-

ремещаться по окружности, фрон-

тальная проекция – по прямой ли-

нии, параллельной оси ОХ. При вра-

щении вокруг фронтально-проеци-

рующей оси перемещения будут про-

тивоположными.

Требуется определить натуральную

величину прямой АВ. Через любую

точку прямой АВ проводим, напри-

мер, горизонтально-проецирующую

ось i. На фронтальной проекции про-

водим плоскость вращения точки А

перпендикулярно оси.

Находим центр вращения О. Радиу-

сом О

из точки О

проводим дугу

окружности до тех пор, пока прямая

АВ не займет положение фронтали.

Тогда на фронтальной проекции оп-

ределится НВ прямой и угол ее на-

клона к плоскости Н.