Кирин Е.М., Краснов М.Н. Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Плоскости общего и частного положения

Плоскость общего положения – это

плоскость, не параллельная и не

перпендикулярная ни одной из

плоскостей проекций. Признак

плоскости общего положения на

эпюре – ни одна проекция плоскос-

ти (ни один след) не параллельна, не

перпендикулярна осям проекций и

ни на одной проекции плоскость не

«выродилась» в прямую.

Плоскости, параллельные или пер-

пендикулярные плоскостям проек-

ций, называются плоскостями ча-

стного положения. Горизонтальная

плоскость параллельна плоскости

H. Главный признак плоскости на

эпюре – фронтальная проекция

«вырождается» в линию, парал-

лельную оси ОХ.

Фронтальная плоскость парал-

лельна плоскости V. На эпюре ее

горизонтальная проекция «вы-

рождается» в линию, параллель-

ную ОХ. Следы горизонтальной и

фронтальной плоскостей парал-

лельны оси ОХ.

Плоскости, перпендикулярные плос-

костям проекций, называются про-

ецирующими. По аналогии с прямой

различают горизонтально-, фрон-

тально- и профильно-проецирую-

щие плоскости. Главный признак

проецирующих плоскостей на эпю-

ре – на одной из проекций плос-

кость «вырождается» в линию.

Проецирующие следы перпендику-

лярны соответствующим осям.

Проведение в плоскости горизонтали и фронтали

Горизонталь и фронталь, прове-

денные в заданной плоскости,

называются главными линиями

плоскости. Построение горизон-

тали начинается с фронтальной

проекции, так как она всегда

проводится параллельно оси ОХ

из любой точки плоскости. На

эпюре дано построение проекций

горизонтали в плоскостях, задан-

ных фигурой и следами.

Проведение фронтали в плоскос-

ти начинается с горизонтальной

проекции, так как она всегда па-

раллельна оси ОХ.

Линии наибольшего наклона (ЛНН) плоскости

Различают линии наибольшего

наклона плоскости к плоскости

Н и к плоскости V.

Первая линия проводится пер-

пендикулярно горизонтали или

горизонтальному следу, вторая –

фронтали или фронтальному сле-

ду. Линии наибольшего наклона

используются для определения

углов наклона плоскости к плос-

костям проекций.

Угол между плоскостью и плоскостью проекций

Угол между плоскостью и плос-

костью проекций является дву-

гранным углом. С помощью ли-

ний наибольшего наклона его

можно заменить линейным плос-

ким углом, численно равным дву-

гранному. В задаче требуется оп-

ределить угол между плоскостями

ABC и H.

Для того, чтобы определить за-

данный угол, необходимо в плос-

кости треугольника провести ли-

нию наибольшего наклона к плос-

кости Н.

Так как она проводится перпенди-

кулярно горизонтали, то проведем

в плоскости треугольника проек-

ции горизонтали.

Используя горизонталь, проведем

проекции линии наибольшего

наклона плоскости треугольника

к плоскости проекций Н. Пост-

роение линии наибольшего на-

клона начинаем с горизонтальной

проекции.

Линия наибольшего наклона АО

определяет искомый двугранный

угол. Угол наклона линии АО к

плоскости H определяем методом

прямоугольного треугольника, по-

строив его на горизонтальной

проекции линии АО.

Позиционные задачи на принадлежность

Задачи на принадлежность:

- точка принадлежит прямой;

- точка принадлежит плоскости;

- прямая принадлежит плоскости;

- точка принадлежит поверхности.

Если точка принадлежит прямой,

то проекции точки принадлежат

одноименным проекциям прямой.

Точка принадлежит плоскости,

если она принадлежит любой пря-

мой этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости,

если она проходит через две точ-

ки, принадлежащие этой плос-

кости.

Если прямая принадлежит плос-

кости, то следы прямой находятся

на одноименных следах плос-

кости.

Точка принадлежит поверхности,

если она принадлежит любой пря-

мой или кривой линии, принад-

лежащей поверхности.

Проведение через прямую вспомогательных

плоскостей

Вспомогательные плоскости ши-

роко используются при решении

задач. В качестве таких плоскос-

тей чаще всего используют про-

ецирующие плоскости. След про-

ецирующей плоскости, который

не перпендикулярен оси ОХ, на-

зывается собирательным, так как

он «собирает» на себя все объек-

ты, находящиеся в плоскости.

На эпюрах представлено прове-

дение через прямую АВ фронталь-

но-проецирующей и горизонталь-

но-проецирующей плоскостей.

Проведение через прямую плос-

костей общего положения слож-

нее, чем проведение плоскостей

частного положения. Чаще всего

для решения задачи используют

следы прямой, через которые про-

водят следы плоскости. На эпюре

дано решение задачи с помощью

следов.

После нахождения следов прямой

проводим через горизонтальный

след прямой горизонтальный след

плоскости, а через фронтальный

след прямой – фронтальный след

плоскости. Точку схода следов

задаем произвольно.

Пересечение прямой с плоскостью

Задана плоскость общего положе-

ния Q. Требуется найти точку

пересечения (или точку встречи)

прямой АВ с плоскостью.

Проводим через прямую вспомо-

гательную плоскость Р. В качестве

вспомогательной плоскости наи-

более целесообразно взять проеци-

рующую плоскость, т.е. перпен-

дикулярную какой-либо плоскос-

ти проекций.

Находим линию пересечения за-

данной плоскости Q и вспомо-

гательной плоскости Р. Линия

пересечения плоскостей (1-2).

Продолжаем заданную прямую

АВ до пересечения с линией (1-2)

и получаем точку К. Точка К –

искомая. После построения точки

К необходимо определить види-

мость прямой АВ относительно

плоскости Q, которая считается

геометрически непрозрачной.

Позиционные задачи на пересечение плоскостей

Если пересекающиеся плоскости

заданы различными способами,

например, плоской фигурой и па-

раллельными прямыми, то пост-

роение линии пересечения наи-

более целесообразно производить

методом вспомогательных плос-

костей:

- пересекают обе плоскости вспо-

могательной плоскостью частного

положения;

- строят линии пересечения обеих

плоскостей с вспомогательной

плоскостью;

- находят общую точку линий пе-

ресечения;

- повторяют построения с другой

вспомогательной плоскостью;

- полученные две общие точки

соединяют прямой линией, кото-

рая является искомой.

На эпюре представлено решение

задачи методом вспомогательных

плоскостей.

Если обе пересекающиеся плоско-

сти заданы следами, то задача ре-

шается с использованием правила:

линия пересечения плоскостей,

заданных следами, определяется

проекциями точек пересечения

одноименных следов плоскостей.

Пересечение плоскостей,

заданных плоскими фигурами

При пересечении двух плоскос-

тей, заданных плоскими фигура-

ми, возможны два случая: полное

и неполное пересечение. Из пока-

занных иа рисунке примеров вид-

но, что в обоих случаях линия пе-

ресечения MN определяется дву-

мя точками М и N, каждая из ко-

торых является точкой встречи

стороны одного треугольника с

плоскостью другого. Кроме того,

линия пересечения MN может

быть построена и с помощью то-

чек А и В. Отсюда следует вывод:

для того, чтобы построить линию

пересечения, необходимо решить

две произвольно взятые задачи на

пересечение сторон одного тре-

угольника с плоскостью другого.

Эти задачи – типовые.

На эпюре представлено решение

задачи на пересечение треуголь-

ников ABC и EDK. Решены две

задачи на пересечение ED и EК с

треугольником ABC. Полученные

точки М и N определяют линию

пересечения треугольников. Види-

мость проекций треугольников

определена методом конкури-

рующих прямых (см. «Опре-

деление видимости скрещиваю-

щихся прямых»).

Определение видимости пересекающихся

объектов

Видимость пресекающихся объек-

тов определяется методом конку-

рирующих прямых (точек). Если

одним из пересекающихся объек-

тов является плоскость или по-

верхность, то они считаются гео-

метрически непрозрачными. В точ-

ке встречи прямой с плоскостью

видимость меняется. На эпюре

представлено пересечение прямой

с плоскостью. Отметим на гори-

зонтальной проекции любое кон-

курирующее место. В данном мес-

те скрещиваются АВ и ЕК. Про-

водим линию связи и сравниваем

аппликаты АВ и ЕК. У АВ аппли-

ката больше, она будет видна. Ви-

димость на фронтальной проекции

определяется аналогично, но срав-

ниваются ординаты.

Видимость двух пересекающихся

треугольников определяется ана-

логично. Отметим на фронталь-

ной проекции конкурирующее

место: ВС скрещивается с ED.

Проводим линию связи и вдоль

нее сравниваем ординаты конку-

рирующих прямых. Ордината ED

больше, значит, она будет видна

на фронтальной проекции. Но в

точке N ее видимость изменится.

На горизонтальной проекции от-

метим, например, место, где скре-

щиваются ЕК и АВ. Сравним их

аппликаты. Аппликата АВ боль-

ше, и она будет видна в данном

месте.

Позиционные задачи на параллельность

Если две прямые общего положе-

ния параллельны, то их одноимен-

ные проекции взаимно параллель-

ны. Однако если параллельные пря-

мые являются профильными пря-

мыми, то их параллельность надо

проверить на профильной проек-

ции.

Прямая параллельна плоскости, ес-

ли она параллельна любой прямой,

принадлежащей этой плоскости.

Две плоскости параллельны, если

две пересекающиеся прямые одной

плоскости взаимно параллельны

двум пересекающимся прямым дру-

гой плоскости. На эпюре через

точку К проведена плоскость, па-

раллельная заданной.

Если две параллельные плоскости

заданы следами, то одноименные

следы этих плоскостей взаимно

параллельны.