Кирин Е.М., Краснов М.Н. Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Построение проекций точки по заданным координатам

Необходимо построить проекции

точки А с координатами (-30,

-15, -20).

Предварительно по таблице зна-

ков (см. с. 8) определяем номер

октанта – седьмой. Вычерчиваем

оси координат.

От начала координат отклады-

ваем координату X (-30) вправо,

так как она со знаком минус, и

получаем точку А

. Через точку

проводим вертикальную ли-

нию связи. От точки вверх откла-

дываем координату Y (-15) и по-

лучаем горизонтальную проек-

цию точки А

От точки А

вниз откладываем

координату Z (-20) и получаем

фронтальную проекцию точки А

Через точку А

проводим гори-

зонтальную линию связи, и на пе-

ресечении с вертикальной осью

получаем точку А

. От нее от-

кладываем влево координату

Y (-15) и получаем профильную

проекцию точки А

///

Определение октанта по заданному эпюру точки

Предположим, необходимо опре-

делить номер октанта, в котором

находится точка, если задан эпюр

точки в двух или трех проекциях.

Определяем знаки координат точ-

ки. Так как точка А

находится

влево от начала координат, то ко-

ордината X имеет знак «плюс».

Так как координата Y, исполь-

зованная для построения горизон-

тальной проекции точки, отложе-

на вверх, то координата Y имеет

знак «минус». Так как координата

Z, использованная для построения

фронтальной проекции точки, от-

ложена вниз, то координата Z

имеет знак «минус». Значит точка

А имеет знаки координат (+, -, -).

Определяем номер октанта, в ко-

тором находится точка. Это

можно сделать двумя способами:

по таблице знаков или по модели

октантов, которую можно пред-

ставить зрительным воображе-

нием. Второй способ реализуется

так: если координата X имеет

знак +, то точка А может нахо-

диться только в I, II, III или IV

октантах; так как координата Y

имеет знак «минус», то это может

быть только во II и III октантах;

если координата Z имеет знак

«минус», то точка А может нахо-

диться только в III октанте.

Построение недостающей проекции точки

Предположим, задан эпюр точки

А в двух проекциях А

и А

///

Требуется построить недостаю-

щую горизонтальную проекцию

. Построения будем провод-

ить, используя свойства эпюра

Монжа.

Так как горизонтальная проекция

точки А

находится на одной

вертикальной линии связи с

фронтальной проекцией точки

, то через точку А

проводим

эту линию связи. На оси ОХ

получаем точку А

Недостающая проекция А

опре-

деляется координатами X и Y.

Координата X известна, а коор-

динату Y берем с профильной

проекции (отрезок А

///

). Так как

отрезок отложен вправо, то

значит координата Y имеет знак +.

Замеряем координату Y и от-

кладываем ее от точки A

вдоль

линии связи вниз. Получаем

искомую проекцию А

. Точка А

имеет знаки координат (+, +, -) и

находится в IV октанте.

Связь эпюра Монжа с проекционным чертежом

Эпюр Монжа является универ-

сальным способом изображения

геометрических объектов на плос-

кости. Он позволяет не только

изобразить объект в проекциях,

но и определить его положение в

пространстве. Основными про-

екциями объекта являются:

- горизонтальная проекция;

- фронтальная проекция;

///

- профильная проекция.

В проекционном черчении эпюр Монжа является теоретической

основой для составления чертежа детали. В отличие от эпюра Монжа

в проекционном черчении проекции называют видами:

- А

- вид сверху;

- А

- вид спереди;

- А

///

- вид слева.

Все свойства эпюра Монжа на чертеже сохраняются.

Фронтальная

проекция объекта –

вид спереди

Профильная

проекция объекта –

вид сл

ва

Горизонтальная

проекция объекта –

вид сверху

Прямые общего и частного положения

Прямой общего положения назы-

вается прямая, не параллельная и

не перпендикулярная ни одной из

плоскостей проекций. Признаком

прямой общего положения на

эпюре является то, что ни одна

проекция прямой не параллельна,

не перпендикулярна осям проек-

ций и ни на одной проекции пря-

мая не «выродилась» в точку.

Прямые, параллельные или пер-

пендикулярные плоскостям проек-

ций, называются прямыми частно-

го положения. Горизонталь – это

прямая, параллельная горизонталь-

ной плоскости проекций. Главный

признак горизонтали на эпюре – h

всегда параллельна оси ОХ.

Фронталь – прямая, параллельная

плоскости V.

Главный признак фронтали на

эпюре – f

параллельна ОХ.

Профильная прямая – прямая, па-

раллельная плоскости W.

Горизонтальная и фронтальная

проекции этой прямой парал-

лельны осям OZ и OY.

Прямые, перпендикулярные плос-

костям проекций, называются про-

ецирующими. В зависимости от

того, к какой плоскости проекций

прямая перпендикулярна, разли-

чают горизонтально-, фронтально-

и профильно-проецирующие пря-

мые. Главный признак проецирую-

щих прямых на эпюре – на одной

из проекций прямая «вырождает-

ся» в точку.

Построение следов прямой

Следами прямой называют точ-

ки пересечения прямой с плос-

костями проекций. На простран-

ственном макете представлены

построения следов и их проек-

ций. Различают горизонталь-

ный, фронтальный и профиль-

ный следы.

На эпюре представлено пост-

роение проекций горизонталь-

ного и фронтального следов

прямой.

Определение октантов,

через которые проходит прямая

В точках следов прямая перехо-

дит из одного октанта в другой.

Номера октантов можно опреде-

лить по знакам координат пря-

мой на участках прямой между

следами и за их пределами.

Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треуголь-

ника применяется для опреде-

ления натуральной величины

прямой и углов наклона ее к

плоскостям проекций. Если на

проекции прямой, например,

горизонтальной, построить пря-

моугольный треугольник, одним

катетом которого является сама

проекция, а другим – разность

аппликат концов прямой, то

гипотенуза будет натуральной

величиной (НВ) прямой.

Если прямоугольный треуголь-

ник строится на горизонтальной

проекции прямой, то одновре-

менно с построением НВ прямой

можно определить угол наклона

прямой к горизонтальной плос-

кости проекций.

Если прямоугольный треугольник

строится на фронтальной проек-

ции, то на катете откладывают

разность ординат; если – на про-

фильной, то – разность абсцисс.

В первом случае дополнительно

определяется угол наклона пря-

мой к фронтальной плоскости

проекций, во втором – угол на-

клона прямой к профильной плос-

кости проекций.

Теорема Фалеса и ее применение

для решения задач

Из элементарной геометрии из-

вестна теорема Фалеса: если на од-

ной стороне угла отложить рав-

ные или пропорциональные отрез-

ки и через засечки провести па-

раллельные прямые, то и другая

сторона угла разделится на равные

или пропорциональные отрезки.

Задача: разделить проекции пря-

мой АВ в отношении 2:4, предва-

рительно построив недостающую

профильную проекцию.

Используя свойства эпюра Мон-

жа, строим профильную проек-

цию прямой, для чего отклады-

ваем от оси OZ ординаты, заме-

ренные на горизонтальной проек-

ции прямой. Далее на любой

проекции прямой, например на

горизонтальной, проводим произ-

вольную вспомогательную пря-

мую m.

Откладываем на вспомогательной

прямой 6 равных отрезков произ-

вольной длины. Конец последнего

отрезка соединяем с точкой В

На вспомогательной прямой бе-

рем точку F

и из нее параллельно

отрезку В

проводим линию

связи, которая делит А

, а затем

и другие проекции в заданном

отношении.

Определение видимости скрещивающихся

прямых

При рассмотрении пространствен-

ного чертежа двух скрещиваю-

щихся прямых можно сделать

вывод: на горизонтальной проек-

ции будет видна та прямая, кото-

рая имеет бóльшую аппликату в

конкурирующем месте. На фрон-

тальной проекции будет видна та

прямая, которая имеет бóльшую

ординату. На профильной проекции

будет видна прямая, имеющая бóль-

шую абсциссу.

Для определения видимости пря-

мых на проекциях необходимо:

- отметить конкурирующее место;

- провести через него линию связи;

- вдоль линии связи сравнить ап-

пликаты скрещивающихся прямых,

если определяется видимость на го-

ризонтальной проекции;

- на рассматриваемой проекции бу-

дет видна та прямая, у которой

больше аппликата (АВ).

На фронтальной проекции будет

видна также прямая АВ, так как в

конкурирующем месте у нее боль-

ше ордината. Метод определения

видимости скрещивающихся пря-

мых получил название метод кон-

курирующих точек, или метод кон-

курирующих прямых.

Теорема прямого угла

Прямой угол может быть спро-

ецирован в натуральную вели-

чину, если его плоскость будет

параллельна плоскости проек-

ций. Однако в соответствии с

теоремой прямой угол также

проецируется без искажения, ес-

ли один из его катетов парал-

лелен плоскости проекций. Эта

теорема получила название тео-

ремы прямого угла и широко ис-

пользуется в геометрических за-

дачах.

На эпюре показано использова-

ние теоремы прямого угла для

построения проекций двух пере-

секающихся перпендикулярных

прямых, одна из которых явля-

ется фронталью.

Теорема прямого угла распрост-

раняется не только на пересекаю-

щиеся перпендикулярные прямые,

но и на скрещивающиеся перпен-

дикулярные прямые.