Кириченко М.Ф., Матвієнко В.Т. Аналіз та синтез керованих систем
Подождите немного. Документ загружается.
31
Ω
∃
( )
∃
:
∃
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
u
u u W W W x v= =
+ −
∫
+
t t t t t d t
T T
t
t
1 1 1 1
0
1
τ τ τ
−
∈ ∀ ∈
∫ ∫
+
W W W W v v R
T T
t
t
t
t
m
t t t t d t d t t t t( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ), [ , ] ( )
1 1 1 1 0 1
0
1
0
1
τ τ τ τ τ τ
,
де
v
(
)
t
- інтегровані
функції
на
інтервалі
[ , ]t t
0 1
.
5.5. Загальний розв'язок задачі термінального спостереження
для лінійних систем
Для
лінійних
систем
проблема
загального
розв
'
язку
задачі
термінального
спостереження
стану
системи
зводиться
до
проблеми
загального
розв
'
язку
задачі
термінального
керування
для
деякої
спряженої
системи
до
початкової
.
При
цьому
,
якщо
початкова
система
має
вигляд
x
A
x
(
)
(
)
(
)
k
k
k
+
=
1
, (5.18)
y
G
x
(
)
(
)
(
)
k
k
k
=
, (5.19)
k N k k
n m
= ∈ ∈0, , ( ) , ( )x R y R ,
то
спряжена
до
неї
система
керування
буде
мати
наступний
вид
ξ ξ
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ), ,k k k k N k k N
T T
= + + =A G v
c
1 0 (5.20)
при
ξ
ξ
( ) , ( )N
+
=
=
1 0 0 c . (5.21)
Тут
множина
лінійних
функцій
v y
c
T
k
N
N k k( , ) ( )
=
∑
0
,
що
реалізують
представлення
c x
T
( )0
по
формулі
спостереження
c x v y
c
T T
k
N
N k k( ) ( , ) ( )0
0
=
=
∑
,
визначається
множиною
функцій
v
c
( , )N k
у
задачі
термінального
керування
(5.20), (5.21).
Ці
функції
знаходяться
з
розв
'
язку
наступної
системи
алгебраїчних
рівнянь
c W v
c
= =
=
∑
ξ
( ) ( , ) ( , )0 0
1
0
k N k
k
N
,
або
в
наступному
виді
( )
W W W
v
v
v
c
c
c
1 1 1
01 01 0
0
1
( , ), ( , ), , ( , )
( , )
( , )
( , )
Κ
Μ
N
N
N
N N
= W v c
c1
0( ) ( )N
=
,
32
де матриця
(
)
W W W W
1 1 1 1
0 0 0 01 0( ) ( , ), ( , ), , ( , )= Κ N
розмірності
n
×
((N+1)m),
v
v
v
v
c
c
c
c
( )
( , )
( , )
( , )
N
N
N
N N
=
0
1
Μ
- вектор розмірності m(N+1),
матриця W A A A G
1
0 0 2 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k
T T T T
= +Κ розмірності n
×
m.
При розв'язуванні цієї системи алгебраїчних рівнянь може бути один із
чотирьох випадків.
1) Розв'язок задачі термінального спостереження стана c x
T
( )0 для
системи (5.18), (5.19) існує і єдиний.
Необхідні і достатні умови існування і одиничності розв'язку наступні
c Z P c
1
T
( ) = 0 ,
det ( ) ( )W W
1 1
0 0 0
T
> ,
де P W W W W
1 1 1 1 1
0
0 0 0 0= =
=
∑
( ) ( ) ( , ) ( , )
T T
j
N
j j .
Тоді функція v
c
( , )N k ,
що
визначає
термінальне
спостереження
,
має
вид
(
)
v W W W c W P c
c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )N
T T T
= =
−
+
1 1
1
1 1 1
0 0 0 0
.
Вектор
стану
x
(
)
0
системи
спостереження
представляється
формулою
x
e
e
e
x
v
v
v
y
e
e
e
( ) ( )
( , )
( , )
( , )
( )0 0
1
2
0
1
2
=
=
=
=
∑
T
T
n
T
T
T
T
k
N
N k
N k
N k
k
n
Μ
Μ
=
=
+
=
∑ ∑
W W W y( , ) ( , ) ( , ) ( )0 0 0
0 0
i i k k
T
i
N
k
N
. (5.22)
де
e
i
-
і
-
й
одиничний
орт
розмірності
n.
2)
Існує
множина
розв
'
язків
(
розв
'
язок
не
єдиний
)
задачі
термінального
спостереження
стану
c x
T
( )0
для
системи
(5.18), (5.19).
Необхідні
і
достатні
умови
існування
множини
розв
'
язків
наступні
c Z P c
1
T
( ) = 0 ,
det ( ) ( )W W
1 1
0 0 0
T
= .
Множина
функцій
v
c
( , )N k ,
що
визначають
термінальне
спостереження
в
системі
,
має
вигляд
{
}
Ω
v c c
v v W P c W P W R= = + − ∀ ∈ =
+ +
+
( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
N N
T T
m N
1 1 1 1 1
1
0 0 0
ω ω ω
33
{
= = + −
+
v v W P c
c c
( ): ( , ) ( , ) ( )N N j j j
T
1 1
0
ω
− ∀ ∈ =
+
=
∑
W P W R
1 1 1
0
0 0 0
T
k
N
m
j k k j j N( , ) ( , ) ( ), ( ) , ,
ω ω
(5.23)
Вектор стана системи (5.18), (5.19) представляється формулою
x P W W P W y( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ),0 0 0 0
1 1 1 1 1
00
= + −
+ +
==
∑∑
k N k N j j k k
T
j
N
k
N
Ω Ω
∀ ∈
×
Ω( , )N k
n m
R (5.24)
3) Стан
c x
T
( )0
є не спостережуваним і існує єдиний розв'язок задачі
оцінки стану
c x
T
( )0 .
У
цьому
випадку
псевдорозв
'
язок
задачі
термінального
спостереження
визначається
з
умови
min ( ) ( )
( )v
c
c
W v c
N
N
1
2
0 −
.
Необхідні
і
достатні
умови
неспостережуваності
стану
c x
T
( )0
і
існування
єдиного
розв
'
язку
задачі
термінального
оцінювання
наступні
c Z P c
1
T
( ) > 0 ,
det ( ) ( )W W
1 1
0 0 0
T
> .
Функція
v
c
( , )N k ,
що
визначає
розв
'
язок
задачі
оцінювання
,
має
вигляд
(
)
v W W W c W P c
c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )N
T T T
= =
+
+
1 1 1 1 1
0 0 0 0
.
Оцінка
стану
представляється
формулою
∃
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )x W W W y0 0 0 0
0 0
=
=
+
=
∑ ∑
i i k k
T
i
N
k
N
.
4)
Стан
c x
T
( )0
є
неспостережуваний
.
Існує
множина
розв
'
язків
(
розв
'
язок
не
єдиний
)
задачі
термінального
оцінювання
стану
c x
T
( )0 .
Множина
псевдорозв
'
язків
задачі
термінального
спостереження
визначається
з
умови
min ( ) ( )
( )v
c
c
W v c
N
N
1
2
0 −
.
Необхідні
і
достатні
умови
неспостережуваності
стану
c x
T
( )0
і
існування
множини
розв
'
язків
задачі
термінального
оцінювання
наступні
c Z P c
1
T
( ) > 0 ,
det ( ) ( )W W
1 1
0 0 0
T
= .
Множина
функцій
v
c
( , )N k ,
що
визначають
розв
'
язок
задачі
оцінювання
,
описуються
формулою
(5.23).
Оцінка
стану
системи
має
вид
34
∃
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ),x P W W P W y0 0 0 0
1 1 1 1 1
00
= + −
+ +
==
∑∑
k N k N j j k k
T
j
N
k
N
Ω Ω
∀ ∈
×
Ω( , )N k
n m
R .
У
випадку
системи
спостереження
з
неперевним
аргументом
d t
dt
t t
x
A x
( )
( ) ( )=
y
G
x
(
)
(
)
(
)
t
t
t
=
,
t t t
∈
[ , ]
0 1
. (5.25)
Стан
x
(
)
0
будемо
шукати
у
вигляді
наступної
лінійної
операції
c x y v
c
T T
t
t
t t d( ) ( ) ( , )
0 0
0
1
=
∫
τ τ τ
.
Функція
v
c
( , )t t
0
представляється
як
керування
в
системі
d t
dt
t t t t t
T T
ξ
ξ
( )
( ) ( ) ( ) ( , )= − +A G v
c 0
(5.26)
по переводу її траєкторії з точки
ξ
( )t
1
0
=
в точку
ξ
( )t
0
=
c.
При розв'язанні задачі термінального керування для систем з
неперервним аргументом можливі два випадки.
1) Існує множина розв'язків задачі термінального спостереження для
систем із неперевним аргументом.
Необхідна і достатня умова існування множини розв'язків задачі
термінального спостереження системою (5.26) наступне
c Z W W c
T
T
t
t
t t d( ( , ) ( , ) )
1 0 1 0
0
1
0
τ τ τ
∫
= , (5.27)
де W
1 0
( , )t t - матриця імпульсних перехідних характеристик для системи
(5.26). Якщо на інтервалі
[
]
t t
0 1
, виконується умова (5.27), то існує множина
розв'язків задачі термінального спостереження
Ω
v c c
c
v v W W W c= =
+ −
∫
+
: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )t t t t t t d t
T T
t
t
0 1 0 1 0 1 0
0
1
τ τ τ ω
−
∫ ∫
+
W W W W
1 0 1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
T T
t
t
t
t
t t t t d t d( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ,
τ τ τ τ ω τ τ
}
t t t t
m
∈ ∀ ∈[ , ] ( )
0 1
ω
R ,
де
ω
(
)
t
- інтегровані функції на інтервалі [ , ]t t
0 1
.
Вектор стану системи (5.25) має вид
35
x 0 W W W y y( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )=
+ −
∫ ∫ ∫
+
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
t t d t d d
T
t
t
t
t
t
t
τ τ τ τ τ τ τ τ τ
Ω
−
∫ ∫ ∫
+
Ω( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
τ τ τ τ τ τ τ τ τ
W W W W y
1 0 1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
T
t
t
T
t
t
t
t
t d t t d t d ,
∀ ∈
×
Ω( )
τ
R
n m
.
Матричні
функції
Ω
(
)
t
інтегровані
на
інтервалі
[ , ]t t
0 1
.
2) Розв'язок задачі термінального спостереження не існує.
У
цьому
випадку
множина
псевдорозв
'
язків
задачі
термінального
спостереження
визначається
виразом
∃
( , ) arg min ( , ) ( , )
( , )
v W v c
c
v
c
c
t t t t d
t t
t
t
0 0 0
2
0
0
1
= −
∫
τ τ τ
.
Необхідна
і
достатня
умова
розв
'
язку
задачі
термінального
спостереження
наступне
c Z W W c
T T
t
t
t t d( ( , ) ( , ) )
0 0
0
1
0
τ τ τ
∫
> .
Множина
псевдорозв
'
язків
задачі
термінального
спостереження
має
вид
Ω
∃
∃
:
∃
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
v c c
v v W W W c= =
+ −
∫
+
t t t t t t d t
T T
t
t
0 0 0 0
0
1
τ τ τ ω
−
∈ ∀ ∈
∫ ∫
+
W W W W R
T T
t
t
t
t
m
t t t t d t d t t t t( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ), [ , ] ( )
0 0 0 0 0 1
0
1
0
1
τ τ τ τ ω τ τ ω
,
Оцінка вектора стану системи (5.25) представляється такий чином
∃
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )x 0 W W W y y=
+ −
∫ ∫ ∫
+
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
t t d t d d
T
t
t
t
t
t
t
τ τ τ τ τ τ τ τ τ
Ω
τττττττττ
dtdttdt
t
t
t
t
T
t
t
T
∫∫∫
+
Ω−
1
0
1
0
1
0
)(),(),(),(),()(
01010101
yWWWW ,
mn×
∈Ω∀ R)(
τ
.
Матричні функції
Ω
(
)
t
інтегровані на інтервалі ],[
10
tt .
6. Синтез систем по оптимізації їх керованості
Розглянемо лінійну систему з дискретним аргументом
36
x
A
x
b
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
k
k
k
k
u
k
+
=
+
1
(6.1)
де u(k) – скалярні величини, x(k) – n – вимірні вектори. Тоді відомо [ 4, 6,
10 ], що у випадку відсутності властивості цілком керованості цією системою
на множині аргументу
{
}
k N: , , , ,012
Κ
має місце співвідношення
(
)
u k k N
T
n
N N N
( ), ,
( ) ( ) ( )
min
( ) ( ) ( ) ,
=
+
+ − = − + +
0
1
2
1 1
1 1 1x x x E W W x
(6.2)
де W W W( ) ( , ) ( , ) ,N N j N j
T
j
N
+ = + +
=
∑
1 1 1
0
W
+
+ −( )N 1
псевдообернена
матриця
до
матриці
W(N+1) ,
W
A
A
b
(
,
)
(
)
(
)
(
)
.
N
j
N
j
j
+
=
+
1
1
K
Складаючи
систему
рівнянь
для
W(N+1)
W A W A b b( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,j j j j j j
T T
+ = +1 (6.3)
W b b( ) ( ) ( ) ,1 0 0=
T
(6.4)
і
розглядаючи
для
x
1( )
множину
значень
{
}
x f f f
( )
: , , ,
1 1 2
Κ
M
для
системи
(6.3), (6.4)
складемо
функціонал
якості
I j j N n
i
i
M
( ( ), , ) ( )b x f= = + − =
=
∑
0 1
1
2
( )
= − + + =
+
=
∑
f E W W f
i
T
n i
i
M
N N( ) ( )1 1
1
(
)
[
]
= − + +
+
tr N N
n
E W W F( ) ( ) ,1 1 (6.5)
де
F f f=
=
∑
j j
T
j
M
1
.
Тому
що
мінімізація
функціоналу
(6.5)
еквівалентна
максимізації
функціоналу
(
)
I j j N tr N N( ( ), , ) ( ) ( ) ,b W W F= = + +
+
0 1 1 (6.6)
то
задачу
оптимального
синтезу
системи
(6.1)
по
максимізації
її
керованості
будемо
розглядати
як
задачу
оптимального
керування
системою
(6.3), (6.4)
при
b
b
b
( )
,
max
( ( ), , ) .
j
j N
I j j N
∈
=
=
Ω
0
0 (6.7)
Зокрема
,
якщо
вектори
f f f
1 2
, , ,
Κ
M
при
M=n
є
системою
ортонормованих
векторів
,
то
(
)
I j j N tr N N
( ( ), , ) ( ) ( ) .b W W= = + +
+
0 1 1 (6.8)
Дана
постановка
задачі
дозволяє
вибирати
структуру
керування
для
не
цілком
керованої
системи
по
переводу
її
в
задану
множину
фінальних
точок
так
,
щоб
якнайближче
наблизити
кінцеві
стани
системи
до
заданої
множини
точок
.
Керування
можна
здійснювати
як
одною
траєкторією
,
переводячи
її
в
мінімальні
околи
заданих
фінальних
точок
,
так
і
пучком
траєкторій
.
37
Наприклад, керування пучком частинок в лінійних прискорювачах з
концентрацією пучка в кінці прискорюючого тракту.
Для розв'язання задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.7) можна
використовувати один із двох наступних підходів.
Перший підхід визначається явною залежністю функціонала (6.6) від
вектора b(k) при фіксованих значеннях векторів b( ) , , , .j j k j N≠ = 0
Другий підхід складається в розв'язанні сформульованої задачі синтезу
як задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.5) з використанням функцій
Гамільтона.
Відповідно до результатів роботи [ 7 ] явна залежність матриці
W
+
+( )N 1
від
b(k)
має
наступний
вид
W W W b
+ +
=
≠
+
+ = + +
+ +
∑
( ) ( , ) ( , ) ( , , ( )) ,N N j N j N k k
j
j k
N
1 1 1 1
0
Φ
(6.9)
де
Φ( , , ( ))
( ) , ( ) ( ( )) ,
( ), ( ) ( ( )) ,
N k k
r
N
r
r
k N
r
N k N
T
k
T
k
+ =
+ + + ≠
− + + =
1
1
1 1 0
1
1 1 0
1
2
2
1
2
2
b
G d Z W
G d Z W
1
при
при
−++−=+
+
))1(()()()1()1( NkkNN
k
T
k
WZddWG
1
,)1()()())1(( ++− NkkN
T
k
T
k
WddWZ
r k N k
T
k
= +d Z W d( ) ( ( )) ( ) ,1
r k N k k N N k k
T
k1
1 1 1 1= + + = − +
+
d W d d A A A b( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Κ
G W d d W
2
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,N N k k N
k
T
k
+ = + +
+ +
Z W E W W( ( )) ( ) ( ) ,
k n k k
N N N+ = − + +
+
1 1 1
W W W
k
T
j
j k
N
N N j N j( ) ( , ) ( , ) .+ = + +
=
≠
∑
1 1 1
0
Тому що
(
)
[
I j j N tr N N k N k
k
T
( ( ), , ) ( ) ( , ) ( , )b W W W= = + + + + ×0 1 1 1
(
)
]
× + + +
+
W b F
k
N N k k( ) ( , , ( )) ,1 1Φ (6.10)
то
для
оптимальних
b
0
0( ) , , ,j j N=
для
котрих
38
b
b
b b
( )
,
max
( ( ), , ) ( ( ), , ) ,
j
j N
I j j N I j j N
∈
=
= = =
Ω
0
0
0 0
виконується наступна необхідна умова оптимального синтезу (на відміну від
принципу максимуму оптимізація проводиться по структурі системи
керування)
[
tr N k k k k N
T T
T
A A b b A A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Κ Κ+ + ×1 1
0 0
(
)
× + + + +
+
W b F
k
N N k k( ) ( , , ( ))1 1
0
Φ
(
)
]
+ + + + + =
+
W W b F
k k
N N N k k( ) ( ) ( , , ( ))1 1 1
0
Φ
[
= + + ×
∈b
b
A A b b A A
( )
max
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
T T
T
tr N k k k k N
Ω
Κ Κ1 1
(
)
++Φ++×
+
FbW ))(,,1()1( kkNN
k
(
)
]
.))(,,1()1()1( FbWW kkNNN
kk
+Φ++++
+
Розглянемо
задачу
оптимального
керування
(2.3), (2.4), (2.7).
Тут
функція
Гамільтона
має
вигляд
[
]
{
}
H j j j j tr j j j j j j
T T
( ( ), ( ), ( ), ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .W b A W A b bΦ Ψ+ = + +1 1
Матриця
Ψ
(
)
j
визначається
з
системи
матричних
рівнянь
Ψ Ψ Ψ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) , , ,
( )
j grad H j j j j j j j N
j
T
= + = + = +
W
W b A A1 1 1 1
(6.11)
(
)
Ψ( ) ( ) ( ) .
( )
N grad tr N N
N
+ = − + +
+
+
1 1 1
1W
W W F (6.12)
Для
знаходження
градіенту
у
формулі
(6.12)
від
псевдооберненої
матриці
,
скористаємося
формулою
рекурентного
псевдообернення
матриць
[
6 ].
З
цією
метою
спочатку
необхідно
знайти
градіенти
по
вектор
-
рядках
матриці
W
(
N
+1) .
Тоді
матриця
Ψ
в
кінцевій
точці
має
вид
Ψ( ) ( ) ,
N N
n
+ = + +
+
1 1
2
FW
g
g
g
1
T
T
T
Μ
g
w Z W w
w W F V d f V
w Z W w
T
k
T
k
T
k k
k
T
k
k
k
T
k
T
k k
N N
N N
N N
=
+ + >
− + + − −
+ + =
+
0 1 1 0
1 1
1 1 0
, ( ) ( ( ))
( ) ( ) ,
( ) ( ( )) ,
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
при
при
( )
V
v
v
v
R W W W=
+ = + +
+
1
2
1 1 1
T
T
n
T
k k k
T
T
N N N
Μ
, ( ( )) ( ) ( ) ,
39
×
++++
=
)1())1(()1(1
1
)()(
NNN
kk
T
k
T
wWRw
d
,)1())1(()1(
)(
)(
T
k
k
TT
k
NNN FWWRw +++×
W
k
N( )
+
−
1
матриця W(N+1) без k – го вектора-рядка,
w
( )
( )
k
T
N +1 – k–й вектор-рядок матриці W(N+1) ,
f
i
−
i – й вектор-стовпчик матриці
F,
F f f f
( )
( ) ( ) ( )
( , , , ) ,
k
k k n k
=
1 2
Κ де
−
i(k)
f вектор
i
f без k –ой
компоненти,
( )
v
w R W w R W
i
T
i
T
k k
T
k
N N r r N N
r
=
+ + + − + +
+
( ) ( )
( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( ))
,
1 1 1 2 1 1
1
2 2
2
2
r N N N
k
T
k k2
1 1 1= + + +w R W w
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) .
Тоді
grad I grad H i i i i
i ib b
W b
( ) ( )
( ) ( ( ), ( ), ( ), )
⋅
=
−
+
=
Ψ
1
[
]
{
}
= − + + =grad tr i i i i i i
i
T T
b
A W A b b
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ψ 1
(
)
= + + + =Ψ Ψ
T
i i i i N( ) ( ) ( ) , , .1 1 0b
А
процедура
градієнтного
спуску
має
вигляд
b b
b
( ) ( ) ( ) , , .
( )
i i grad I i N
i i
= − ⋅ =
β
0
7. Конструювання багатомірних модальних П-регуляторів
При
проектуванні
асимптотично
стійких
систем
керування
необхідно
забезпечити
перевід
системи
в
задану
точку
фазового
простору
з
бажаною
якістю
стійкості
,
тобто
вибором
власних
значень
замкнутої
системи
керування
.
В
явному
вигляді
зазначена
множина
усіх
зовнішніх
обурень
на
керування
системою
,
при
яких
асимптотично
стійка
система
досягає
заданої
точки
фазового
простору
.
У
випадку
неможливості
досягнення
заданої
точки
простору
,
вказується
помилка
досягнення
.
Зменшення
помилки
досягнення
заданої
точки
фазового
простору
досягається
за
рахунок
вибору
структури
розподілу
керуючих
сигналів
.
Наводиться
процедура
оптимального
синтезу
системи
керування
.
Розглянемо
лінійну
стаціонарну
систему
регулювання
,
що
описується
наступним
співвідношенням
40
d t
dt
t t
x
Ax Bu
( )
( ) ( )= + , (7.1)
де
x
(
)
t
− n - вимірний
вектор
стана
,
u
(
)
t
− m -вимірний
вектор
входу
системи
.
Будемо
припускати
,
що
система
(7.1)
цілком
керована
.
За
допомогою
вибору
зворотного
зв
'
язку
у
вигляді
u
Cx
(
)
(
)
t
t
=
(7.2)
забезпечимо
(7.1)
якість
асимптотичної
стійкості
за
рахунок
вибору
власних
значень
замкнутої
системи
.
Необхідні
власні
значення
замкнутої
системи
будемо
забезпечувати
за
рахунок
вибору
коефіцієнтів
підсилення
регулятора
[2, 4].
При
цьому
коефіцієнти
характеристичного
рівняння
замкнутої
системи
det( )
λ λ λ
E A BC
n
n n
n
a a− − = − − − =
−
1
1
0Κ (3)
будемо
припускати
заданими
.
Приведемо
один
з
алгоритмів
визначення
багатомірних
модальних
регуляторів
[ 9 ].
Представимо
(7.1)
у
виді
( )
d t
dt
t t t t
t
m m
T T
m m
T
x
Ax b u b u b u
A b c b c b c x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ),
= + + + + =
= + + + +
1 1 2 2
1 1 2 2
Κ
Κ
де
С
с
с
с
B b b b u=
= =
1
2
1 2
1
2
T
T
m
T
m
m
t
u (t)
u (t)
u (t)
Μ
Κ
Μ
, ( , , , ), ( ) .
Спочатку
розглянемо
систему
d t
dt
t u t
x
Ax b
( )
( ) ( )= +
1 1
і
визначимо
коефіцієнти
характеристичного
рівняння
det( )
λ
E A b c
n
T
− − =
1 1
0
по
формулі
[ 2 ]
p p P S b A c( ) ( ) ( ) ( , ( )) ,1 0 0 0
1 1
= −
T
де
p
p
A
A
(
)
,
(
)
,
0
0
=
=
елементами
вектора
p
є
коефіцієнти
характеристичного
рівняння
замкнутої
системи
.
На
наступному
кроку
розглядається
система
d t
dt
t t t
T
x
Ax b c x b u
( )
( ( ) ) ( ) ( )= + +
1 1 2 2
з
коефіцієнтами
характеристичного
рівняння
замкнутої
системи