Кириченко М.Ф., Матвієнко В.Т. Аналіз та синтез керованих систем
Подождите немного. Документ загружается.
21
A A b c b c( ) ( ) ,k k
k k
T
k k
T
+ = + +
+ + + +
1
1 1 1 1
∆
.
)
0
(
,
0
)
0
(
A
A
p
=
=
∆
Тоді кінцевий стан системи для приростів має наступний вигляд
∑
−
=
+
∆=∆
1
0
1
,),()(
m
k
k
kmm cWp
де
)
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
,
(
k
k
m
m
k
m
D
V
V
V
W
+
−
−
=
Κ
– імпульсна перехідна функція
системи,
,
1
00
001
0001
)(
111111
1111
11
32
−
−
−
−=
++++++
++++
++
−−
k
T
kk
TT
kk
TT
k
k
T
kk
TT
k
k
T
k
nn
k
cbcAbcAb
cbcAb
cb
V
Κ
ΛΛΛΛΛ
Κ
Κ
Κ
.
)(
)(
)(
1)()(
0)()(
01)(
001
)(
1
2
1
1
1
1
21
12
1
−=
−
+
+
+
+
−−
k
k
k
kpkp
kpkp
kp
k
n
TT
k
TT
k
TT
k
T
k
nn
Ab
Ab
Ab
b
D
Κ
ΛΛΛΛ
Κ
Κ
Κ
Спроектуємо вектор
k
c
∆
,
використовуючи операцію псевдообернення
[1, 7], отримаємо, що при
c c W W W W c
k k
T T
i
m
j
j
m
m k m i m i m j k m= −
=
=
−
+
+
=
−
∑ ∑
∆ ∆( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , ,
0
1
1
0
1
1
з
точністю
до
величин
другого
порядку
малості
кінцевий
стан
системи
(3.4)
задовільняє
умові
(3.6) ,
де
T
+
–
операція
псевдообернення
матриці
до
матриці
T
.
4. Алгоритм оптимізації багатомірного модального
регулятора на прикладі коливної системи
Розглядається
задача
оптимального
вибору
структури
розподілу
керуючого
сигналу
в
лінійній
системі
з
метою
мінімізації
норми
матриці
коефіцієнтів
підсилення
в
зворотному
зв
'
язку
закону
модального
регулювання
.
Розглянемо
коливну
систему
з
трьох
мас
,
які
з
'
єднані
між
собою
пружинами
(
мал
. 4.1).
22
m
1
m
2
m
3
Мал. 1
Коливання центрів мас такої системи описується наступними
рівняннями
ux
x
+
+
−
+
−
+
−
=
1
1
3
43
3
3
2
3
2
21
2
2
1
2
1
21
1
0
00
00
00
0
1
00
0000
100000
000
001000
0000
000010
m
m
m
kk
m
k
m
k
m
kk
m
k
m
k
m
kk
dt
d
, (4.1)
де вектор стану системи коливання має вигляд )...,,,(
621
xxx
T
=x ,
321
,, xxx –
координати
положень
центрів
мас
321
,, mmm
відповідно
,
321
,, kkk –
коефіцієнти
пружності
відповідних
пружин
.
Керуючі
сили
для
системи
(4.1)
прикладені
до
мас
1
m
та
3
m
=
=
6
5
4
3
2
1
262524232221
161514131211
2
1
x
x
x
x
x
x
cccccc
cccccc
u
u
u .
Замкнутій системі (4.1) необхідно забезпечити наступні власні значення
ii 1.025.0,1.025.0
21
−
−
=
+
−
=
λ
λ
, ii 1.02.0,1.02.0
43
−
−
=
+
−
=
λ
λ
,
ii 1.01.0,1.01.0
65
−
−
=
+
−
=
λ
λ
,
які
забезпечують
замкнутій
системі
асимптотичну
стійкість
з
мінімальною
по
нормі
матрицею
підсилення
.
Маси
та
коефіцієнти
пружності
були
вибрані
наступні
8,25,12
321
=
=
=
mmm 12.0,7.0,9.0,14.0
4321
=
=
=
=
kkkk .
Модальний
регулятор
для
системи
(4.1)
будемо
будувати
за
умови
оптимізації
[10]
∑
=
=∀Ω∈
−+=
m
j
j
mjj
mI
j
1
2
2
,1),(
.)(min)( apcC
c
c
(4.2)
Тут компоненти вектора ),,,(
21 n
T
ppp Κ=p є коефіцієнтами
характеристичного рівняння розімкнутої системи (4.1)
23
n
nn
n
pp +++=−
−
Κ
1
1
)det(
λλλ
AE
.
Для розв'язання сформульованої задачі скористаємося результатами
попереднього параграфа. Запишемо чисельну процедуру знаходження
матриці
C
. З цією метою запишемо функцію Гамільтона для
сформульованої оптимізаційної задачі (4.1, 4.2)
+−=+Φ+Ψ
+
2
1
)),1(),1(),(),((
k
kkkkkH cAp
[
]
[
]
))(()1())(,()()()1(
1111
T
kk
T
kk
TT
kktrkkkk
++++
++Φ+−+Ψ+ cbAcAbSPp .
Спряжені змінні
)
(
,
)
(
k
k
Φ
Ψ
задовольняють наступним системам рівнянь
=
⋅
=
Ψ
)()(
)(
Hgradk
kp
)1(
0000
000
)(00
)()(0
11
1
3
111
1
2
11111
+Ψ
−=
++
+
−
+++
+
−
+++++
k
k
kk
k
T
k
k
nT
kk
T
k
k
nT
kk
T
kk
T
k
n
Λ
Λ
ΛΛΛΛΛ
Κ
Κ
bc
bAcbc
bAcbAcbc
E ,
,0,,1,))((2))(())((
)(
)( Κ−=−=−−
∂
∂
=Ψ mkmmm
m
m
T
apapap
p
=
⋅
=
Φ
)()(
)(
Hgradk
kA
(
)
×−+Φ=
+
−
++ 1
2
11
)(,,)(,)1(
k
n
k
T
k
kkk
T
cAcAc Κ
( )
+Ψ+Ψ+Ψ×
−
+
+
+
)(
)(
)1()(,,)1()(,)1()(
2
1
1
1
32
k
k
kkkkkk
T
nT
k
TT
k
T
k
T
n
TT
Ab
Ab
b
PEPEPE
Μ
Κ ,
.
0
,
,
1
,
0
)
(
Κ
−
=
=
Φ
m
k
m
Матриці ni
i
,2, =E розмірності
(
)
n
n
−
×
1
мають наступну структуру
,
0
0
,,
0
,
4
3
3
3
2
2
=
=
=
Μ
Κ
Μ
Μ
T
n
n
T
T
T
n
T
T
e
E
e
e
E
e
e
e
E
де ni
i
,2=−e одиничні орти розмірності n . Тоді
=
⋅
−
=
++
)()(
11
HgradIgrad
ii
cc
C
111
)1()1()())(,(2
+++
+Φ−+Ψ+=
i
TT
ii
iiii bPAbSc .
для градієнтних обчислювальних процедур
.,,2,1,)( mjIgrad
j
jjj
Κ=−= Ccc
c
ρ
24
В результаті проведення чисельного експерименту для коливальної
системи (4.1) отримана наступна оптимальна матриця модального керування
−−
−
−
−
−
−
=
0001.02817.04802.02698.10114.04998.0
3789.01374.07209.17125.50999.154670.
опт
C
На мал. 4.2 зображене коливання мас системи без керуючих впливів.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x1
x3
x5
Мал. 4.2
На мал. 4.3 зображене коливання центрів мас замкнутої системи з
оптимальним модальним керуванням.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-10
-5
0
5
10
15
x1
x3
x5
Мал. 4.3
25
На мал. 4.4 відображений процес збігання норми матриці модального
регулятора до його оптимального значення.
0 100 200 300 400 500 600 700 800
30
40
50
60
70
80
90
Мал. 4.4
5. Загальний розв'язок задачі термінального керування і
спостереження
В даному параграфі розглядається математична проблема побудови
загальних розв'язків термінального керування і спостереження. Доводяться
умови існування загального розв'язку цих проблем для лінійних динамічних
систем з неперервним і дискретним аргументами.
5.1. Постановка задачі термінального керування
Нехай динамічна система керування з дискретним аргументом
описується системою рівнянь
x
x
u
(
)
(
(
),
(
),
),
k
f
k
k
k
+
=
1
(5.1)
x x( ) ,
( )
0
0
=
(5.2)
де x u( ) , ( ) , ,k k k N∈ ∈ =R R
n m
0 .
Якщо
система
(1)
за
умови
(2)
керована
в
термінальний
стан
x x( ) ,
( )
N
+
=
1
1
(5.3)
то
проблему
загального
розв
'
язку
задачі
термінального
керування
будемо
формулювати
такий
чином
.
Знайти
множину
u
Ω
всіх
функцій
керування
Nkk ,0),( =u ,
при
яких
для
розв
'
язку
системи
(5.1)
виконуються
умови
(5.2),
(5.3).
Під
загальним
розв
'
язком
задачі
термінального
керування
(5.1), (5.2),
(5.3)
у
параметричній
формі
будемо
розуміти
функцію
керування
u x x v( ) ( , , , )
( ) ( )
k k
=
Ψ
0 1
, (5.4)
яка
∀
∈
v
v
Ω
задовольняє
умовам
26
x x x x( ) , ( ) ,
( ) ( )
0 1
0 1
=
+
=
N
x x x x v( ) ( ( ), ( , , , ), ), ,
( ) ( )
k f k k k k N+ = =1 0
0 1
Ψ .
При цьому векторний параметр v і множина
Ω
v
вибрана таким
чином, що кожний частковий розв'язок задачі термінального керування (5.1),
(5.2), (5.3) описується формулою (5.1.4) при відповідному виборі v з
Ω
v
.
Якщо система (5.1) за умови (5.2) не керована в термінальний стан
(5.3), то загальним псевдорозв'язком задачі термінального керування будемо
називати множину
Ω
u
усіх функцій u( ), ,k k N= 0 , що доставляють
мінімум виразу
x x( )
( )
N + −1
1
2
.
Аналогічне
формулювання
має
місце
і
для
параметричної
форми
представлення
загального
псевдорозв
'
язку
задачі
термінального
керування
.
5.2. Постановка задачі термінального спостереження
Нехай
задана
система
x x x( ) ( ( ), ), ( )k f k k k+ = ∈1 R
n
(5.5)
і
вимірюється
сигнал
y x y( ) ( ( ), ), ( ) , ,k g k k k k N= ∈ =R
m
0 . (5.6)
Проблема
загального
розв
'
язку
задачі
термінального
спостереження
стану
c x
T
( )0
для
системи
(5.6), (5.7)
формулюється
таким
чином
.
Знайти
множину
усіх
функцій
ϕ
c
y y y( ( ), ( ), , ( ))1 2
Κ
N
таких
,
що
∀
∈
x 0( )
Ω
0
має
місце
співвідношення
ϕ
c
y y y c x( ( ), ( ), , ( )) ( )1 2 0Κ N
T
= .
Тут
c R∈
n
і
Ω
0
розглядаються
як
наперед
задані
.
Якщо
стан
c x
T
( )0
не
спостережуваний
,
тобто
існують
′
∈
′
′
∈
x 0 x 0( ) , ( )
Ω
Ω
0 0
,
для
яких
сигнали
, y( ), ,j j N= 0
що
вимірюються
,
c x 0 c x 0
T T
′
≠
′′
( ) ( )
співпадають
,
то
загальним
розв
'
язком
c x
T
( )0
задачі
оцінювання
стану
будемо
називати
ϕ
c
y y y( ( ), ( ), , ( ))1 2
Κ
N
множину
усіх
функцій
,
для
котрих
ϕ
c
y y y c x( ( ), ( ), , ( ))
∃
( )1 2 0Κ N
T
= ,
c c c c
c
− = −
∃
min
~
~
2 2
,
де
~
( )c x
T
0 - стан, що спостерігається.
5.3. Загальний розв'язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Основою побудови загальних розв'язків задачі термінального
керування і спостереження є наступні розв'язки і їхні властивості для систем
лінійних алгебраїчних рівнянь
27
Ax b x R b R= ∈ ∈, ,
n m
.
4) Розв'язок існує і єдиний.
Необхідні і достатні умови існування єдиного розв'язку наступні
b Z A b
T T
( ) = 0 ,
detA A
T
>0 .
Тут
Z A I A A Z A I AA( ) , ( )= − = −
+ +
n
T
m
,
A A AA I A A I A
+
→
−
→
−
= + = +lim[ ( ) ] lim[( ) ]
δ δ
δ δ
0
2 1
0
2 1T T
m
T
n
T
,
де
A
+
називається
псевдообрненою
матрицею
.
Розв
'
язок
має
вигляд
x A b A A A b A AA b= = =
+ − +
( ) ( )
T T T T1
.
2) Існує множина розв'язків (розв'язок не єдиний).
Необхідні
і
достатні
умови
існування
множини
розв
'
язків
наступні
b Z A b
T T
( ) = 0 ,
detA A
T
=0 .
Множина
розв
'
язків
має
вигляд
{
}
Ω
x
x x A b Z A v v R= = + ∀ ∈
+
: ( ) ,
m
.
3) Розв'язок не існує і псевдорозв'язок
∃
argmin
x Ax b
x
= −
2
є єдиним.
У
цьому
випадку
необхідні
і
достатні
умови
існування
єдиного
псевдорозв
'
язку
наступні
b Z A b
T T
( ) > 0 ,
det
A A
T
> 0 .
Псевдорозв
'
язок
має
вид
∃
x A b
=
+
.
4) Розв'язок не існує і є множина псевдорозв'язків (псевдорозв'язок не
єдиний).
Необхідні
і
достатні
умови
існування
множини
псевдорозв
'
язків
наступні
b Z A b
T T
( ) > 0 ,
det
A A
T
= 0 .
Множина
псевдорозв
'
язків
має
вигляд
{
}
Ω
∃
∃
:
∃
( ) ,
x
x x A b Z A v v R
= = + ∀ ∈
+ m
.
28
5.4. Загальний розв'язок задачі термінального керування для
лінійних систем.
Попередні результати дозволяють знайти загальний розв'язок задачі
термінального керування для лінійних систем з дискретним аргументом
x A x B u( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,k k k k k k N+ = + =1 0 , (5.8)
x 0 x R u R( ) , ( ) , ( )0 = ∈ ∈k k
n m
.
Кінцевий
стан
системи
(5.8)
можна
записати
таким
чином
x x W u
( )
( ) ( , ) ( )
1
0
1 1= + = +
=
∑
N N k k
k
N
, (5.9)
де
W
A
A
A
B
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
N
k
N
N
k
k
=
−
−
+
1
2
1
Κ
.
Систему
(5.9)
можна
представити
також
у
вигляді
( )
W W W
u
u
u
x
1
( , ), ( , ), , ( , )
( )
( )
( )
( )
N N N N
N
+ + +
=10 11 1
0
1
Κ
Μ
,
або
W u x( )
( )
N
+
=
1
1
, (5.10)
де
(
)
W W W W( ) ( , ), ( ), ), , ( , )N N N N N+ = + + +1 10 1 1 1Κ
матриця
розмірності
n
×
((N+1)m),
u
u
u
u
=
( )
( )
( )
0
1
Μ
N
-
вектор
розмірності
(N+1)m
.
Такий
чином
задача
знаходження
термінального
керування
для
системи
(5.8)
за
умові
(5.3)
еквівалентна
пошуку
розв
'
язку
системи
алгебраїчних
рівнянь
(5.10).
1) Розв'язок задачі термінального керування для системи (5.8) за умови
(5.3) існує і єдиний.
Необхідні
і
достатні
умови
існування
і
єдиності
розв
'
язку
задачі
термінального
керування
x Z W x
( ) ( )
( ( ))
1 1
1 0
T T
N
+ = ,
det ( ) ( )W W
T
N N
+ + >1 1 0 .
Термінальне
керування
має
вид
(
)
u W W W x W P x
1 1
= + + + = +
−
+T T T
N N N N
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1
, (5.11)
де
P W W W W= + + = + +
=
∑
( , ) ( , ) ( ) ( )
N j N j N N
T
j
N
T
1 1 1 1
0
.
29
2) Існує множина розв'язків (розв'язок не єдиний) задачі термінального
керування (5.8), (5.3).
Необхідні і достатні умови існування множини розв'язків наступні
x Z W x
( ) ( )
( ( ))
1 1
1 0
T T
N + = ,
det ( ) ( )W W
T
N N+ + =1 1 0 .
Множина
термінальних
керувань
має
вид
{
}
Ω
u
u u W P x v W P W v v R= = + + − + + ∀ ∈ =
+ + +
: ( ) ( ) ( ) ,
( )
( )T T m N
N N N1 1 1
1
1
{
= = + + −
+
u u W P x v: ( ) ( , ) ( )
( )
k N k k
T
1
1
− + + ∀ ∈ =
+
=
∑
W P W v v R
T
j
N
m
N k N j j k k N( , ) ( , ) ( ), ( ) , ,1 1 0
0
3)
Не
існує
розв
'
язку
задачі
термінального
керування
(5.8), (5.3).
Тоді
псевдорозв
'
язок
задачі
термінального
керування
для
системи
(5.8)
при
min ( )
( )
( )
u
x x
k
N + −1
1
2
(5.12)
є
єдиним
.
Необхідні
і
достатні
умови
розв
'
язку
цієї
задачі
наступні
x Z W x
( ) ( )
( ( ))
1 1
1 0
T T
N + > ,
det ( ) ( )W W
T
N N+ + >1 1 0 .
А
псевдотермінальне
керування
визначається
формулою
(
)
∃
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u W W W x W P x
1 1
= + + + = +
−
+T T T
N N N N1 1 1 1
1
.
4)
Не
існують
розв
'
язку
задачі
термінального
керування
(5.8), (5.3).
Псевдорозв
'
язок
задачі
термінального
керування
(5.8), (5.12)
є
не
єдиним
.
Необхідні
і
достатні
умови
розв
'
язку
цієї
задачі
наступні
x Z W x
( ) ( )
( ( ))
1 1
1 0
T T
N + > ,
det ( ) ( )W W
T
N N+ + =1 1 0 .
Множина
псевдорозв
'
язків
задачі
термінального
керування
визначається
формулою
{
}
Ω
∃
( )
( )
∃
:
∃
( ) ( ) ( ) ,
u
u u W P x v W P W v v R= = + + − + + ∀ ∈
+ + +T T m N
N N N1 1 1
1
1
.
У
випадку
систем
керування
з
неперервним
аргументом
d t
dt
t t t t
x
A x B u
( )
( ) ( ) ( ) ( )= + (5.13)
будемо
шукати
керування
u
(
)
t
системою
(5.13)
по
переводу
її
зі
стану
x( )t
0
0
=
в
x x( )
( )
t
1 1
=
у
вигляді
[10]
u W l( ) ( , )t t t
T
=
1
, (5.14)
30
де
W( , )t t
1
-
матриця
імпульсних
перехідних
характеристик
системи
(5.13),
l
-
постійний
n - вимірний
вектор
.
Тоді
розв
'
язок
системи
(5.13)
в
кінцевий
момент
часу
запишеться
таким
чином
x W u( ) ( , ) ( )t t d
t
t
1 1
0
1
=
∫
τ τ τ
. (5.15)
Підставивши
(5.14)
у
(5.15),
одержимо
W W l x( , ) ( , )
( )
t t d
T
t
t
1 1 1
0
1
τ τ τ
∫
= . (5.16)
Таким
чином
,
задача
термінального
керування
звелася
до
розв
'
язку
системи
алгебраїчних
рівнянь
(5.16)
відносно
вектора
l
.
Можливі
наступні
випадки
розв
'
язку
задачі
термінального
керування
системою
(5.13)
з
стану
x( )t
0
0
=
в
x x( )
( )
t
1 1
=
.
2) Існує множина розв'язків задачі термінального керування для
систем з неперервним аргументом.
Необхідна і достатня умова існування множини розв'язків задачі
термінального керування системою (13) наступне
x Z W W x
( ) ( )
( ( , ) ( , ) )
1 1 1 1
0
1
0
T T
t
t
t t d
τ τ τ
∫
= . (5.17)
Якщо на інтервалі
[
]
t t
0 1
,
виконується
умова
(5.17),
то
існує
множина
розв
'
язків
задачі
термінального
керування
Ω
u
u u W W W x v= =
+ −
∫
+
: ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
( )
t t t t t d t
T T
t
t
1 1 1 1
0
1
τ τ τ
−
∈ ∀ ∈
∫ ∫
+
W W W W v v R
T T
t
t
t
t
m
t t t t d t d t t t t( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ), [ , ] ( )
1 1 1 1 0 1
0
1
0
1
τ τ τ τ τ τ
,
де
v
(
)
t
- інтегровані
функції
на
інтервалі
[ , ]t t
0 1
.
3)
Розв
'
язок
задачі
термінального
керування
не
існує
.
У
цьому
випадку
множина
псевдорозв
'
язків
задачі
термінального
керування
визначається
виразом
∃
( ) arg min ( , ) ( )
( )
( )
u W u x
u
1
t t d
t
t
t
= −
∫
1
2
0
1
τ τ τ
.
Необхідна
і
достатня
умова
розв
'
язку
цієї
задачі
наступна
x Z W W x
( ) ( )
( ( , ) ( , ) )
1 1 1 1
0
1
0
T T
t
t
t t d
τ τ τ
∫
>
.
Множина
псевдорозв
'
язків
задачі
термінального
керування
наступна