Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

Г. І. Кармелюк

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ТА МАТЕМАТИЧНА

СТАТИСТИКА

Посібник з розв’язування задач

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів

вищих навчальних закладів

Киів – 2007

УДК 519.2(075.8)

К 24

Гриф надано

Міністерством освіти і науки України

(Лист № 1.4/18–Г–854 від 31.05.2007 р.)

Рецензенти:

Каленюк П. І. – доктор фізикоматематичних наук, професор На

ціонального університету “Львівська політехніка”;

Єлейко Я. І. –доктор фізикоматематичних наук, професор

Львівського національного університету ім. І. Франка,

Бондар Д. І. – доктор фізикоматематичних наук, професор

Тернопільського національного економічного університету.

Кармелюк Г. І.

К 24 Теорія ймовірностей та математична статистика. Посібник з

розв’язування задач : Навч. посібник. — К.: Центр учбової

літератури, 2007 — 576 с.

ISBN 9789663644950

В посібнику в доступній формі викладені загальні теоретичні по

ложення основних розділів теорії імовірностей і математичної стати

стики, які ілюструються великою кількістю детально розглянутих при

кладів і задач різної складності. Для студентів економічних

спеціальностей вищих навчальних закладів, педуніверситетів, техніч

них вузів та осіб, що застосовують в своїй практиці імовірнісні мето

ди і методи математичної статистики.

ISBN 9789663644950 © Кармелюк Г. І. 2007.

Світлій пам’яті мого батька

Кармелюка Івана Степановича присвячую.

Передмова

Теорія ймовірностей і математична статистика лежить в

основі викладу ряду спеціальних дисциплін і є невід’ємною

складовою частиною фундаментальної підготовки майбутніх

фахівців з усіх областей знань. Застосування теоретико-ймо-

вірнісних і статистичних методів, які дають змогу аналізу-

вати, синтезувати і прогнозувати складні економічні процеси,

в даний час стають все більш

актуальними. Це обумовлює

необхідність вивчення економістами методів теорії ймовір-

ностей і математичної статистики.

Цей практикум виник на основі лекцій, які автор про-

тягом десяти років читала на різних факультетах Тернопіль-

ського національного економічного університету. Він написа-

ний відповідно до програми з теорії ймовірності для еконо-

мічних спеціальностей вищих навчальних закладів. В

посіб-

нику в конспективній формі викладені загальні теоретичні по-

ложення основних розділів теорії ймовірностей та математич-

ної статистики. Весь теоретичний матеріал проілюстрований

великою кількістю детально розглянутих прикладів і задач

різних ступенів складності. При цьому використаний прин-

цип: від простого до складного. Для ряду задач наведені кіль-

ка способів розв’язків

і дана їх порівняльна характеристика. В

посібнику подані розв’язки більш, ніж 650 задач. Даний по-

сібник може бути використаний студентами економічних, тех-

нічних, педагогічних і інших вищих навчальних закладів, а та-

кож для самостійного вивчення дисципліни. Нумерація фор-

мул в кожному розділі самостійна. Для поглибленого вивчен-

ня матеріалу може бути використаний

задачник автора [12].

Висловлюю щиру вдячність рецензентам доц. Базилевич-

Киричинській І. Б., докторам фіз.-мат. наук Єлейку Я. І.,

Калинюку П. І., Боднару Д. І. за зауваження та поради, які

допомогли покращити зміст посібника.

Частина І

Випадкові події

§1. Основні поняття теорії ймовірності

1.1. Простір елементарних подій. Відношення між

подіями

Подією в теорії ймовірностей називають довільний

наслідок або результат будь-якого випробування, спостере-

ження, стохастичного експерименту (який можна повторити

будь-яку кількість раз), який може наступити (відбутись,

здійснитись), або не наступити, тобто результат випробування

не можна напевне передбачити.

Якщо в усіх випробуваннях дана подія обов’язково від-

бувається, то вона

називається достовірною, якщо в усіх ви-

пробуваннях дана подія ніколи не може відбутись, то вона на-

зивається неможливою. Випадковою називається подія, яка в

результаті випробування може як відбутися, так і не від-

бутися. Дві або декілька випадкових подій називаються рівно-

можливими, якщо умови їх появи однакові і вони мають

однакові

шанси відбутися. Нерозкладні події називаються

елементарними. Для кожного випробування можна вказати

деяку сукупність (множину) можливих наслідків – елементар-

них подій, що виключають одна одну, причому в результаті

одного випробування повинна відбутись одна будь-яка з них.

Така сукупність (множина) називається простором елемен-

тарних подій і позначається буквою

, а події, що в нього

входять – елементарними подіями або точками простору

Ω і

позначаються буквами

або

. Сама множина

є вірогід-

ною (достовірною) подією, порожня множина

∅

– немож-

ливою подією. Простір елементарних подій

може бути

зліченним або скінченним, якщо кожній елементарній події

можна покласти у відповідність деяке натуральне число n.

Такий простір

Ω називається дискретним. Простір елемен-

тарних подій, який складається з нескінченного числа еле-

ментів, які не можна пронумерувати, називається неперерв-

ним. Простір елементарних подій може бути скінченною,

нескінченно зліченною або незліченною множиною.

Дві або декілька подій називаються сумісними (несуміс-

ними), якщо у випробуванні поява однієї з них не заперечує

появи (непояви) решти подій, або хоча б

дві з них можуть

відбутися одночасно.

Група несумісних подій A

, A

… A

називається повною

групою подій, якщо в результаті випробування обов’язково

наступить одна і тільки одна подія цієї групи. Кожна еле-

ментарна подія

простору

повинна входити в склад

однієї і тільки однієї з подій повної системи A

, A

… A

. Вся

множина

елементарних подій

, що описує дане випробу-

вання, завжди утворює повну групу подій.

Операції над подіями – це операції над підмножинами,

так що звичайні властивості операцій над множинами

переносяться на операції над подіями.

Запис

⊂

(читається: А підмножина В) означає, що

кожен елемент множини А належить множині В. Множини А і

В називаються рівними (А = В), якщо

⊂ і

⊂ .

Множина, яка не містить жодного елемента, називається

порожньою

∅ .

Сума (об’єднання)

∪

множин А і В є множина тих і

тільки тих елементів, які належать принаймні одній з множин

А і В.

Добуток (переріз)

∩

множин А і В є множина тих і

тільки тих елементів, які належать і А, і В.

Різниця А\В множин А і В є множина тих і тільки тих

елементів, які належать А і не належать В.

Доповнення

до множини А є множина тих і тільки тих

елементів множини

, які не належать )\( ААА Ω= .

Симетрична різниця

множин А і В є множина

(А\В)

∪ (В\А).

Множини А і В не перетинаються, якщо

∩

∅

Випадкові події геометрично ілюструють з допомогою

діаграм Ейлера-Венна, на яких простір елементарних подій

Ω зображають у вигляді квадрата, а подій – у вигляді кругів.

На рис. 1.1 а зображені сумісні події, на рис. 1.1 б – несу-

місні події. Подія А є окремим випадком В (або В є наслідком

А):

А ⊂ , якщо всі елементарні події, які входять в А,

входять також у В (рис.1.1 в).

Якщо

А ⊂ і А

⊂ , то А = В; якщо

А ⊂ і СВ ⊂ , то

СА ⊂ .

Сумою або об’єднанням двох подій А і В називається така

подія С, яка полягає в настанні події А чи події В, чи подій А і

В разом (рис. 1.1 г). Умовний запис такий: С = А + В або

=С

{

AВА ∈==

ωω

∪ або B або і А, і

}

B (1.1.1).

Сумою або об’єднанням будь-якого числа подій А

...

називається подія С, яка полягає в настанні хоч би однієї з

цих подій і записується так:

∑

AС

або

∪

AС

= (1.1.2).

Добутком або перетином двох подій А і В називається

подія С, яка полягає в настанні і події А і події В (рис.1.1 д).

Умовний запис:

ABВАС

або

{

АВС ∈=

ωω

∩

}

(1.1.3). Добуток подій А

2, ...

полягає в одночасному на-

станні всіх n подій і записується так:

∏

АС

або

∩

AС

= (1.1.4).

Різницею подій А і В називається подія С, яка полягає в

тому, що подія А відбувається, а подія В – ні (рис.1.1 е).

Симетрична різниця

BAС

зображена на рис. 1.1 є, є

такою подією, в яку входять ті елементарні події, які входять

в А чи В, але не входять в їх перетин

∩

. Отже

симетрична різниця може бути представлена таким чином:

)\()\( ABBABAC ∪=Δ= (1.1.5).

а б

в г

д е

є ж

Рис. 1.1.

А B

Протилежною подією

для події А або доповненням

до А називається подія, що складається з усіх елементарних

подій, які не входять в А:

{

}

{

}

ААА \Ω∈=∈=

ωω

(рис.1.1

ж).

Події А і В називаються несумісними, якщо

⋅

А ∅

(рис.1.1 б).

На рис.1.1 ж зображена повна група подій.

В табл. 1.1 подана відповідність основних понять теорії

множин в теорії імовірностей.

Таблиця 1.1.

Позначення Термінологія в теорії

множин

Термінологія в теорії

ймовірностей

простір (основна

множина)

простір елементарних

подій, достовірна подія

Ω∈

елемент простору

елементарна подія

Ω⊆АА,

множина А подія А

ВА

∪

сума або об’єднання

множин А і В

сума подій А і В

АВВА ,∩

перетин множин А і

добуток подій А і В

ВА \

різниця множин А і В різниця подій А і В

⊥

пуста множина неможлива подія

доповнююча

множина А

протилежна до А подія

⊥

А і В не

перетинаються

А і В несумісні

ВА ⊆

А є підмножиною В з А випливає В

А =

А і В рівні А і В рівнозначні

Задачі

1.1.1. Нехай А, В, С – довільні випадкові події. Вико-

ристовуючи поняття протилежної події, означення суми та

добутку подій, записати вирази для таких подій:

а) D – відбулась тільки подія С;

б) E – відбулись події В і С, а подія А не відбулась;

в) K – не відбулось жодної з цих подій;

г) L

– відбулись всі три події;

д) F – відбулось не більше двох з цих подій;

е) M – відбулись тільки дві події;

є) N – відбулось не менше двох з цих подій;

ж) O – відбулась хоча б одна з цих подій;

з) S – відбулось не більше однієї з цих подій;

и) T – не відбулася

хоча б одна з цих подій.

Розв’язок.

а)

CBAD = ;

б)

BCAE =

в)

CBAK = ;

г) L = ABC;

д) Дана подія F є протилежною подією до такої: відбу-

лись усі три події – АВС, тобто

ABCF =

;

е)

;)( АВСВСАСАВСАВСВАВСАМ −++=++=

є)

;BCACABABCCABCBABCAN ++=+++=

ж) СВАСВАО =++= або KO = ;

з)

АВССВАТ =++=

або L

и) подія S – “відбулось не більше однієї з цих подій”

означає суму несумісних подій: не відбулась жодна подія –

CBA і відбулась одна з подій А, В, С, що є теж сумою

несумісних подій –

CBACВACBA ++ . Дана подія

СBACВACBАCBAS +++= є протилежною до події:

відбулись дві і три події –

АВСВСAСBАСАВ +++ .

Отже,

АВСВСAСBАCАВСBACВACBАCBA +++=+++ .

1.1.2. З’ясувати, сумісні чи несумісні події:

а)

A × і

A× ;

б) AB і A + B ;

в)

A + і A + B.

Розв’язок.

а) Події

ВAС = і

несумісні, оскільки подія С

полягає у настанні події В, а подія D заперечує її настання.

Тому події С і D одночасно відбуватися не можуть, а отже, є

несумісними.

б) Оскільки сума подій

АВ

містить

подію

АВ , то події

є сумісними.

в) Дані суми подій

+×+×= і

містять одні і ті ж події

. Отже, події E і F є

сумісними.

1.1.3. Вказати, які з наведених подій утворюють повну

групу подій:

а)

A × і

A× ;

б)

A× і

A × ;

в)

A + і

A + ;

г)

A + і

A + ;

д)

A + ,

Розв’язок.

Якщо є дві події А і В, то повну групу подій утворить

сума таких єдиноможливих несумісних подій:

А× ,

× ,

× . Тому, події:

а)

А× і

А× не утворюють повну групу подій;