Ивченко Л.А. Эконометрия. Методические указания

Подождите немного. Документ загружается.

измерений n = 35. Поэтому матрицу (Х*'

Х*) умножаем на 1/34. Для этого

выделяем массив 5

5, заносим «=», выделяем матрицу, затем знак «

», затем

выделяем ячейку с дробью 1/34. После комбинации Ctrl-Shift-Enter получа-

ем корреляционную матрицу r:

1 -0,21957 -0,5475 -0,04842 0,194406

-0,21957 1 -0,01934 0,381633 -0,95496

-0,5475 -0,01934 1 -0,39874 0,127933

-0,04842 0,381633 -0,39874 1 -0,44629

r =

0,194406 -0,95496 0,127933 -0,44629 1

6. Найдем определитель матрицы det r. Для этого выделим одну

ячейку и воспользуемся функцией МОПРЕД в списке математические:

det r = 0,030247.

7. Прологарифмируем определитель матрицы. Для этого выделяем

одну ячейку и в списке математические находим функцию LN:

ln det r = – 3,49836.

8. Вычислим наблюдаемое значение критерия

по формуле:

)ln(det)52(

набл

rmn

+---=

. (1)

Здесь n = 35 (число наблюдений); m = 5 (число переменных). Получа-

ем наблюдаемое значение критерия «хи-квадрат»:

набл

= 1775,403.

По таблице критических точек

(Приложение 3), по уровню значи-

мости

0,05 и числу степеней свободы

1045

)1(

=´´=-mm

находим кри-

тическое значение критерия:

крит

18,31.

Сравниваем наблюдаемое (фактическое) и критическое значения кри-

терия.

Так как

крит

набл

, в массиве независимых переменных есть муль-

тиколлинеарность.

9. Для установления наличия мультиколлинеарности для каждой из не-

зависимых переменных воспользуемся критерием Фишера. Вычислим наблю-

даемые значения F-критерия для x

; x

. Для этого, пользуясь функци-

ей МОБР, находим матрицу C, которая является обратной к матрице r:

1,712232 -0,52888 1,189147 0,395905 -0,81337

-0,52888 13,11954 -1,66343 0,045637 12,86465

1,189147 -1,66343 2,149016 0,767322 -1,75218

0,395905 0,045637 0,767322 1,559651 0,564508

C = r

-1

-0,81337 12,86465 -1,75218 0,564508 13,91947

Наблюдаемые значения F-критерия для каждой переменной рассчи-

тываются по формуле:

(2)

где с

– диагональные элементы матрицы С (k = 1; 2; 3; 4; 5). Тогда:

= 5,341741,

= 90,89653,

= 8,617617,

= 4,197385,

= 96,89604.

Критическое значение критерия Фишера находим по таблице (Прило-

жение 1) для уровня значимости 0,05 и степеней свободы k

= (n – m) и k

(m – 1):

крит

(30; 4) = 5,75.

Получаем

крит5крит4крит3крит2крит1

,,,, FFFFFFFFFF

Это означает, что мультиколлинеарность присутствует для перемен-

ных x

; x

, а для x

и x

ее нет.

10. Определим частичные коэффициенты корреляции r по формуле:

где C

– недиагональные элементы матрицы С, соответствующие той паре

переменных, для которых вычисляется r, например:

( )

´-=

kkk

jjkk

(3)

Аналогично находим остальные коэффициенты корреляции:

r -0,06199, =

r -0,95198,

r -0,24227, =

r 0,41913,

r 0,166608, =

r 0,32367,

r 0,31327, =

r -0,12116.

r -0,01009,

Делаем вывод о том, что только переменные x

и x

тесно связаны друг

с другом, т.к. имеют большой по модулю коэффициент корреляции.

11. Проверим наличие мультиколлинеарности по t-тесту Стьюден-

та. Подсчитаем наблюдаемые значения t-критерия для каждой пары пере-

менных по формуле:

(4)

0,615028, =

t -0,05527,

-0,34019, =

t -17,0316,

-1,3677,

-2,5286,

0,92549,

1,8737,

t 1,8067,

-0,6686.

По таблице t-распределения Стьюдента, по уровню значимости 0,05 и

числу степеней свободы (n – m) находим критическое значение t-критерия:

крит

= 2,042.

Сравниваем наблюдаемые значения критериев для каждой пары пере-

менных с критическим и делаем соответствующие выводы:

крит12

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны,

крит13

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны,

.111587,0

2211

mnr

)(

крит14

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны,

крит15

tt <

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны,

крит34

tt -<

– переменные х

и х

мультиколлинеарны,

крит23

tt <

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны,

крит24

tt ->

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны,

крит25

tt -<

– переменные х

и х

мультиколлинеарны,

крит35

tt <

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны,

крит45

– переменные х

и х

не мультиколлинеарны.

Другими словами, вывод о наличии или отсутствии мультиколлинеар-

ности между парой переменных делается на основании того, попадает или

нет наблюдаемое значение t-критерия этой пары в критическую область.

РАЗДЕЛ 4. ТЕСТИРОВАНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

(ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ТЕСТ ГОЛЬДФЕЛЬДА – КВАНДТА)

Проверить наличие гетероскедастичности для переменных, представ-

ленных в табл. 4.1. В качестве примера проверим наличие гетероскедастич-

ности для x

1. Выделим с наблюдений, которые находятся в середине совокупно-

сти, пользуясь соотношением:

В нашем примере n = 35, тогда решая пропорцию, получим:

435

Таким образом, из середины всей совокупности отбрасываем 9 на-

блюдений. Из 35 измерений остается: n – с = 35 – 9 = 26 элементов. Разделим

их на две совокупности n

= n

= 13.

Таблица 4.1

№

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0,17 0,62 0,02 0,05 13,21

2 0,03 0,17 0,62 0,06 0,09 13,38

3 0,24 0,19 0,65 0,08 0,14 13,69

4 0,3 0,22 0,66 0,1 0,15 14,42

5 0,44 0,23 0,68 0,11 0,15 14,48

6 0,56 0,23 0,68 0,15 0,16 15,06

7 0,6 0,23 0,68 0,17 0,18 15,41

8 0,71 0,23 0,69 0,19 0,21 15,98

9 0,82 0,24 0,7 0,2 0,21 16,38

0,84 0,25 0,71 0,2 0,23 16,66

0,86 0,26 0,71 0,2 0,23 16,83

0,89 0,26 0,71 0,2 0,25 17,55

0,9 0,26 0,72 0,24 0,29 17,6

1,01 0,27 0,72 0,24 0,32 17,72

1,02 0,29 0,73 0,25 0,32 17,98

1,16 0,29 0,73 0,25 0,34 18,13

1,22 0,29 0,74 0,26 0,38 18,27

1,35 0,3 0,74 0,27 0,39 18,29

1,46 0,31 0,75 0,3 0,41 18,39

1,5 0,31 0,75 0,32 0,42 19,35

Окончание табл. 4.1

1 2 3 4 5 6 7

21 1,53 0,32 0,76 0,33 0,43 19,52

22 1,63 0,34 0,76 0,34 0,45 21,21

23 1,66 0,35 0,77 0,37 0,48 21,76

24 1,67 0,36 0,77 0,39 0,5 21,92

25 1,7 0,36 0,77 0,4 0,54 22,09

26 1,78 0,37 0,78 0,4 0,56 22,37

27 1,8 0,37 0,78 0,4 0,62 22,76

28 1,89 0,38 0,78 0,4 0,66 22,97

29 1,97 0,41 0,78 0,42 0,74 23,99

30 2,12 0,41 0,78 0,44 0,75 25,68

31 2,17 0,42 0,79 0,47 0,77 25,74

32 2,65 0,43 0,79 0,5 0,89 26,05

33 2,81 0,43 0,79 0,53 1,2 26,46

34 2,84 0,49 0,8 0,54 1,31 28,13

35 2,97 0,51 0,81 0,64 1,76 30,53

2. С целью проверки наличия гетероскедастичности для переменной x

построим эконометрическую модель для совокупности n

=13 (в таблице но-

мера 1-13).

Для нахождения оценок параметров модели b

и b

, стандартных оши-

бок параметров, коэффициента детерминации и т.д. воспользуемся функцией

ЛИНЕЙН. В таблице показан порядок расположения данных регрессионной

статистики при использовании функции ЛИНЕЙН:

набл.

число степеней свободы

SSR SSE

, b

– параметры модели,

– стандартные отклонения параметров,

– коэффициент детерминации,

– стандартные отклонения переменной y,

SSR – сумма квадратов, поясняющих регрессию,

SSE – сумма квадратов ошибок (остатков).

Воспользовавшись функцией ЛИНЕЙН для совокупности n

, полу-

чим:

9,888889 -1,68333

0,866835 0,197786

лин 1: 0,922065 0,094591

130,1434 11

1,164455 0,098422

Таким образом, на основе первой совокупности получим эконометри-

ческую модель:

89,968,1 xy

3. Построим эконометрическую модель для совокупности n

= 13.

После применения функции ЛИНЕЙН (в таблице номера 23 – 35) по-

лучим:

9,149073 -1,56682

1,05594 0,432658

0,872199 0,182519

75,07156 11

лин 2:

2,500864 0,366444

Тогда эконометрическая модель, построенная на основе второй сово-

купности, будет выглядеть следующим образом:

.15,957,1

4. Выпишем суммы квадратов остатков для обеих моделей:

(

)

іі

yySSE

SSE

=0,098, SSE

= 0,366.

5. Сравним эти две суммы по критерию Фишера:

набл

SSE

F =

т.е

.72,3

098,0

366,0

набл

==F

Сравним наблюдаемое и критическое значения критерия Фишера.

Критическое значение критерия Фишера находится по уровню значи-

мости

= 0,05 и одинаковому числу степеней свободы:

= k

.112

935

Здесь n = 35 – число наблюдений,

с = 9 – центральные неучтенные наблюдения,

m = 2 – число оцениваемых параметров.

Тогда (Приложение 1) F

кр

(0,05; 11; 11) = 2,82.

Так как F

набл

> F

крит

, делаем вывод о том, что в данном массиве имеет-

ся гетероскедастичность для переменной x

РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ

КОББА–ДУГЛАСА

Приведены данные о выпуске продукции y, затратах труда x

и затра-

тах производственных фондов (ПФ) x

за десять лет:

Таблица 5.1

Год y x

1 4,7 2,4 4,1

2 6 2,8 5,5

3 7,4 3,6 6,7

4 7 3,3 6,4

5 8,2 3,9 7,5

6 9 4,2 8,4

7 11,4 4,8 11,3

8 12,6 5,3 12,4

9 13,8 5,8 13,6

10 15,6 6,7 15,2

ПРОГНОЗ 18 32,8

Используя эти данные, требуется:

1. Построить производственную функцию типа

210

xxay ××=

. (1)

2. Рассчитать характеристики:

1) среднюю производительность труда;

2) среднюю фондоотдачу;

3) предельную производительность труда;

4) предельную фондоотдачу;

5) эластичность выпуска продукции по затратам труда;

6) эластичность выпуска продукции по производственным фондам;

7) потребность в ресурсах труда;

8) потребность в производственных фондах;

9) фондовооруженность труда;

10) предельную норму замещения затрат труда производственными

фондами;

11) эластичность замещения ресурсов.

3. Найти прогноз выпуска продукции для заданных значений

=18 и х

= 32,8.

Решение

1. Для нахождения производственной функции нужно определить парамет-

ры а

, а

.Прологарифмируем функцию Кобба–Дугласа:

ln(y)=ln(a

)+a

ln(x

)+a

ln(x

Пусть Y=ln(y), A

=ln(a

), X

=ln(x

), X

=ln(x

). В новых обозначениях

получим:

Y= A

Получена функция линейного вида, поэтому параметры А

, а

найдем с помощью 1МНК.

Чтобы записать систему нормальных уравнений, составим табл. 5.2,

используя данные табл. 5.1