Ивченко Л.А. Эконометрия. Методические указания
Подождите немного. Документ загружается.
10
__________________________________
´
_________________
-t
крит
= -3,182 t
крит
= 3,182 t
0
b
=5,2 t
1
b
=17,24
Рис. 2. Двусторонняя критическая область для критерия Стьюдента t
крит
= 3,182
Оба наблюдаемых критерия больше t
крит
и попадают в критическую
область (рис. 2).
Это означает, что нулевая гипотеза о равенстве нулю параметров рег-
рессии отвергается. Параметры b
0
и b
1
значимы.
8. Найдем доверительные интервалы для параметров генеральной со-
вокупности
0
b
и
1
b
с помощью t – теста Стьюдента.
Параметры b
0
и b
1
, найденные на первом этапе построения модели, яв-
ляются выборочными. Зная их, можно указать границы, в которых находятся
параметры генеральной совокупности, т.е. определить доверительные интер-
валы этих параметров.
Доверительные интервалы для
0
b
и
1
b
находим по формулам:
0
крит00 b
tb
s
b
´
±
=
,
1
крит11 b
tb
s
b
´
±
=
.
(14)
Для нашего примера:
t
крит
(
2
a
; n – 2) = t
крит
(0,025; 3) = 3,182 (см. п.7);
параметры: b
0
= 10; b
1
= 3 (см. п.1);
средние квадратические отклонения:
173,0;923,1
10
»»
bb
ss
(см. п.7).
Подставляя все данные в формулы (14), получаем:
0
b
= 10
12
,
6
10
923
,
1
182
,
3
±
»
´
±
,
1
b
=
55,03173,0182,33
±
»
´
±
или доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности:
3,88 <
0
b
< 16,12,
2,45 <
1
b
< 3,55.
Отметим, что уровень значимости, равный 0,025 (вероятность ошиб-
ки), означает, что вероятность того, что параметры
0
b
и
1
b
попадут в ука-
занные интервалы, равна:
11
p = 1 – 0,025 = 0,975.
9. Составим прогноз с помощью построенной модели простой линейной
регрессии.
Если проверка показала адекватность модели и значимость парамет-
ров, ею можно воспользоваться для прогнозирования значения зависимой
переменной у по заданному значению независимой переменной х. Прогноз
может быть точечным или интервальным. Интервальный прогноз составля-
ем по следующей формуле:
(
)
( )
å
=
+
+
-
-
++´´-±+=
n
i
i
n
n
j
xx
xx
n
n
t
xbb
y
1
2
2
1
110
1
1);
σ2
2
α
(
e
(15)
Найдем прогнозируемое значение y, если х
п+1
= 15. Выпишем все не-
обходимые данные, которые были получены ранее:
у = 10+3х – построенная эконометрическая модель,
t (0,025;3) = 3,182 – критическое значение t-критерия,
826,1
3
10
2
»==
ee
ss
n = 5 – объем выборки,
x
= 10 (2-й столбец таблицы),
(
)
2
xx
і
-
= 110 (13-й столбец таблицы).
Тогда
×±=
-
++´±´+= 94,655
110
)1015(
5
1
1826,1182,315310
2
y
j
Таким образом, прогнозируемое значение переменной y может нахо-
диться в интервале от y = 48,06 до y = 61,94.
–
среднее отклонение ошибок (см. п. 7),
12
РАЗДЕЛ 2. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
Данные наблюдений, на основании которых будет построена модель
линейной множественной регрессии, приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
№ y
і
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
1 -0,66 0,68 0,82 0,42 128,52 25,68
2 1,41 0,74 0,84 0,05 177,84 18,13
3 -0,79 0,66 0,67 0,29 114,48 25,74
4 0,42 0,72 1,04 0,48 93,24 21,21
5 -0,24 0,68 0,66 0,41 126,72 22,97
6 1,41 0,77 0,86 0,62 91,8 16,38
7 1,89 0,78 0,79 0,56 69,12 13,21
8 0,36 0,78 0,34 1,76 66,24 14,48
9 1,18 0,81 1,6 1,31 67,68 13,38
10 2,18 0,79 1,46 0,45 50,4 13,69
11 1,44 0,77 1,27 0,5 70,56 16,66
12 1,55 0,78 1,58 0,77 72 15,06
13 0,09 0,72 0,68 1,2 97,2 17,6
14 1,9 0,79 0,86 0,21 80,28 15,98
15 1,43 0,77 1,98 0,25 51,48 18,27
16 2,39 0,8 0,33 0,15 105,12 14,42
17 -0,3 0,71 0,45 0,66 128,52 22,76
18 1,42 0,79 0,74 0,74 94,68 15,41
19 1 0,76 0,03 0,32 85,32 19,35
20 0,91 0,78 0,99 0,89 76,32 16,83
21 -1,76 0,62 0,24 0,23 153 30,53
22 1,12 0,75 0,57 0,32 107,64 17,98
23 0,03 0,71 1,22 0,54 90,72 22,09
24 0,55 0,74 0,68 0,75 82,44 18,29
25 -0,76 0,65 1 0,16 79,92 26,05
26 -0,78 0,66 0,81 0,24 120,96 26,2
27 1,72 0,84 1,27 0,59 84,6 17,26
28 0,61 0,74 1,14 0,56 85,32 18,83
29 0,5 0,75 1,89 0,63 101,52 19,7
30 0,61 0,75 0,67 1,1 107,64 16,87
13
В таблице:
n = 30 – число наблюдений;
y
і
– значения зависимой переменной;
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
– значения независимых переменных, или, другими
словами, факторы, влияющие на значения y.
1. Как и для простой линейной регрессии, первый этап построения
модели линейной множественной регрессии состоит в нахождении оценок
параметров модели методом наименьших квадратов (одношаговым МНК).
Включение в регрессионную модель новых независимых переменных, есте-
ственно, усложняет формулы и расчеты, которые были использованы в пер-
вом разделе. Поэтому построение модели множественной линейной регрес-
сии целесообразно проводить в матричном виде. Матричное описание рег-
рессии облегчает расчеты, которые могут быть произведены с использова-
нием электронных таблиц Excel.
Матрицу независимых переменных Х и матрицу Y запишем отдельно.
В матрице Х добавим первый столбец, состоящий из единиц, для определе-
ния параметра b
0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
y
1 0,68
0,82 0,42 128,52 25,68 -0,66
1 0,74
0,84 0,05 177,84 18,13 1,41
1 0,66
0,67 0,29 114,48 25,74 -0,79
1 0,72
1,04 0,48 93,24 21,21 0,42
1 0,68
0,66 0,41 126,72 22,97 -0,24
1 0,77
0,86 0,62 91,8 16,38 1,41
1 0,78
0,79 0,56 69,12 13,21 1,89
1 0,78
0,34 1,76 66,24 14,48 0,36
1 0,81
1,6 1,31 67,68 13,38 1,18
1 0,79
1,46 0,45 50,4 13,69 2,18
1 0,77
1,27 0,5 70,56 16,66 1,44
1 0,78
1,58 0,77 72 15,06 1,55
1 0,72
0,68 1,2 97,2 17,6 0,09
1 0,79
0,86 0,21 80,28 15,98 1,9
1 0,77
1,98 0,25 51,48 18,27 1,43
1 0,8 0,33 0,15 105,12 14,42 2,39
1 0,71
0,45 0,66 128,52 22,76 -0,3
1 0,79
0,74 0,74 94,68 15,41 1,42
1 0,76
0,03 0,32 85,32 19,35 1
1 0,78
0,99 0,89 76,32 16,83 0,91
1 0,62
0,24 0,23 153 30,53 -1,76
1 0,75
0,57 0,32 107,64 17,98 1,12
1 0,71
1,22 0,54 90,72 22,09 0,03
1 0,74
0,68 0,75 82,44 18,29 0,55
1 0,65
1 0,16 79,92 26,05 -0,76
1 0,66
0,81 0,24 120,96 26,2 -0,78
1 0,84
1,27 0,59 84,6 17,26 1,72
1 0,74
1,14 0,56 85,32 18,83 0,61
1 0,75
1,89 0,63 101,52 19,7 0,5
X =
1 0,75
0,67 1,1 107,64 16,87
Y =
0,61
14
На основе эмпирических данных, приведенных в табл. 2.1, построим
пятифакторную модель линейной регрессии:
y = b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
4
x
4
+ b
5
x
5.
Здесь b
0
, b
1
, b
2
, b
3,
b
4
, b
5
- оценки параметров модели. Оценку парамет-
ров модели произведем с помощью оператора А [1,2]:
А = (Х'
´
Х)
-1
´
Х'Y. (1)
1.1. Матрица Х имеет размерность 30
´
6, т.е. 30 строк и 6 столбцов.
Находим транспонированную матрицу. Для этого выделяем массив 6
´
30, т.е.
6 строк и 30 столбцов, по перечню функций математические или общему
алфавитному каталогу выбираем функцию ТРАНСП, выделяем исходную
матрицу, нажимаем OK. Затем, поскольку работаем с массивом данных, на-
жимаем F2 и клавиши Ctrl – Shift – Enter одновременно. Получаем матрицу
X':
1 1 1 1 1
0,68 0,74 0,66 0,72 0,68
0,82
0,84 0,67 1,04 0,66
0,42 0,05 0,29 0,48 0,41
128,52 177,84 114,48 93,24 126,72
Х'=
25,68 18,13 25,74 21,21 22,97
1 1 1 1 1 1 1 1
0,77 0,78 0,78 0,81 0,79 0,77 0,78 0,72
0,86 0,79 0,34 1,6 1,46 1,27 1,58 0,68
0,62 0,56 1,76 1,31 0,45 0,5 0,77 1,2
91,8 69,12 66,24 67,68 50,4 70,56 72 97,2
16,38 13,21 14,48 13,38 13,69 16,66 15,06 17,6
1
1
1
1 1 1 1 1
0,79 0,77
0,8
0,71
0,79 0,76 0,78 0,62 0,75
0,86 1,98
0,33 0,
45
0,74 0,03 0,99 0,24 0,57
0,21 0,25
0,15
0,66
0,74 0,32 0,89 0,23 0,32
80,28 51,48
105,12
128,52
94,68 85,32 76,32 153107,64
15,98 18,27
14,42
22,76
15,41 19,35 16,83 30,53 17,98
1 1 1 1 1 1 1
0,71 0,74 0,65 0,66 0,84 0,74 0,75 0,75
1,22 0,68 1 0,81 1,27 1,14 1,89 0,67
0,54 0,75 0,16 0,24 0,59 0,56 0,63 1,1
90,72 82,44 79,92 120,96 84,6 85,32 101,52 107,64
22,09 18,29 26,05 26,2 17,26 18,83 19,7 16,87
1.2. Аналогично, выделив массив 1
´
30, находим транспонированную
матрицу для матрицы Y.
15
Y ' = -0,66 1,41 -0,79 0,42 -0,24
1,41 1,89 0,36 1,18 2,18 1,44 1,55 0,09
1,9 1,43 2,39 -0,3 1,42 1 0,91 -1,76 1,12
0,03 0,55 -0,76 -0,78 1,72 0,61 0,5 0,61
1.3. Выделяем массив 6
´
6. В перечне функций математические вы-
бираем функцию МУМНОЖ и перемножаем матрицы X ' и X.
30 22,29 27,48 17,16 2861,28 571,01
22,29 16,6421 20,6397 12,9515 2100,6684
417,9802
27,48 20,6397 31,5096 15,8817 2442,5748
508,2342
17,16 12,9515 15,8817 14,0266 1521,6228
304,7835
2861,28 2100,668
2442,5748
1521,6228
296426,56
56612,4912
X '
´
X =
571,01 417,9802
508,2342 304,7835 56612,491
11439,5367
1.4. Выделяем массив 6
´
1 и перемножаем матрицы X ' и Y .
20,83
16,9034
23,1993
12,2955
1566,126
X '
´
Y =
278,3794
1.5. Находим матрицу, обратную матрице (X '
´
X).
Для этого выделяем массив 6
´
6, используем функцию МОБР из
списка математические или общего алфавитного каталога и получаем мат-
рицу (X '
´
X)
-1
.
88,60916442
-90,5101
0,32550315
-1,489118
-0,011504
-1,0337465
-90,5101308 94,55993
-0,7428282 1,0484344
0,0061372
1,03750311
0,325503151
-0,74283
0,21215772
0,03316 0,0016794
-0,0077261
-1,48911764 1,048434
0,03316003
0,3223426
0,0010572
0,02072903
-0,01150398 0,006137
0,00167936
0,0010572
8,107E-05
-0,000154
(X'
´
X)
-1
=
-1,03374646 1,037503
-0,0077261 0,020729 -0,000154
0,014332
1.6. Выделяем массив 6
´
1 и по формуле (1) перемножаем матрицы
(X'
´
X)
-1
и (X'
´
Y) с помощью функции МУМНОЖ, которая уже была ис-
пользована выше. Получаем оператор А, определяющий параметры модели:
16
-0,7484586
7,147328
0,03283449
-1,137394
0,0001673
A =
-0,1714393
Матрица А позволяет записать эконометрическую модель пятифак-
торной линейной регрессии:
y = –0,7485 + 7,1473 x
1
+ 0,0328 x
2
– 1,1374 x
3
+ 0,0002 x
4
– 0,1714 x
5.
2. Нахождение ковариационной матрицы позволит определить диспер-
сии и средние квадратические отклонения параметров модели.
Для этого вначале находим несмещенную оценку дисперсии остатков
(ошибок) по формуле:
s
e
2
= (Y'
´
Y – A'
´
(X'
´
Y)) / (n – m), (2)
где n – объем выборки исходных данных,
m – общее число переменных, входящих в эконометрическую модель,
(n – m) – число степеней свободы. Для нашего примера имеем:
n = 30,
m = 6,
n –m = 24.
2.1.Находим транспонированную матрицу для матрицы А, выделив
массив 1
´
6 и используя функцию ТРАНСП.
A' = -0,7484586
7,147328 0,03283449
-1,137394
0,0001673 -0,1714393
2.2. Перемножаем матрицы Y' и Y , а также матрицы A' и (X' Y), вос-
пользовавшись функцией МУМНОЖ. В обоих случаях выделяем массив
размером в одну ячейку:
Y'
´
Y = 44,6961,
A'
´
(X'
´
Y) = 44,53754.
2.3. По формуле (2) находим несмещенную оценку дисперсии ошибок.
Для этого выделяем ячейку, вводим «=», открываем скобки, вводим адрес
ячейки Y'
´
Y, набираем «–», вводим адрес ячейки A'
´
(X'
´
Y), закрываем
скобку и делим на (n – m), в данном случае на 24. После Enter получаем в
ячейке оценку дисперсии ошибок:
s
e
2
= 0,0066067.
17
2.4. Рассчитаем дисперсионно-ковариационную матрицу. Для этого
матрицу (X'
´
X)
-1
, полученную в п. 1.5, умножаем на несмещенную оценку
дисперсии ошибок
2
e
s
.
Умножение матрицы на число можно произвести следующим обра-
зом. Выделяем массив 6
´
6, вводим « = », выделяем матрицу (X'
´
X)
-1
, за-
тем вводим «
´
», выделяем ячейку со значением дисперсии ошибок и поль-
зуемся комбинацией клавиш Ctrl-Shift-Enter:
0,5854119 -0,597971 0,00215049 -0,0098381
-7,6E-05 -0,0068296
-0,597971 0,6247267 -0,0049076 0,0069267 4,0546E-05 0,00685445
0,0021505 -0,0049076 0,00140166 0,0002191 1,1095E-05 -5,104E-05
-0,009838 0,0069267 0,00021908 0,0021296 6,9843E-06 0,00013695
-7,6E-05 4,055E-05 1,1095E-05 6,984E-06 5,3562E-07 -1,017E-06
-0,00683 0,0068544 -5,104E-05 0,0001369 -1,017E-06 9,4687E-05
Диагональные значения полученной матрицы и соответствуют оцен-
кам дисперсии параметров модели:
,5854,0
2
0
=
b
s
,6247,0
2
1
=
b
s
,0014,0
2
2
=
b
s
,0021,0
2
3
=
b
s
,07-Е356,5
2
4
=
b
s
05. -Е469,9
2
5
=
b
s
Извлекая корень из значений дисперсий, найдем средние квадратиче-
ские отклонения параметров:
,7643,0
0
=
b
s
,0461,0
3
=
b
s
,7904,0
1
=
b
s
,0007,0
4
=
b
s
,0374,0
2
=
b
s
.009,0
5
=
b
s
3. Найдем множественный коэффициент детерминации по
формуле:
2
2
1
y
D
s
s
e
-= (3)
где
s
2
y
=
(
)
( )
1
'
-
´
n
YY
=1,5412 (4)
является дисперсией (вариацией) переменной y.
Тогда D = 0,9957.
Поскольку D = R
2
, можем найти множественный коэффициент кор-
реляции:
R = 0,9978.
18
4. Проверим значимость (адекватность) модели по критерию
Фишера.
Рассчитываем наблюдаемое значение критерия по формуле:
.
1
1
2
2
набл
-
-
-
´=
m
mn
R
R
F
(5)
.97,1114
набл
=
F
При уровне значимости
a
= 0,05 и числах степеней свободы k
1
= m–1 = 5;
k
2
= n – m = 24 по Приложению 1 найдем критическое значение F-критерия:
F
кр
(
a
, k
1
, k
2
) = F (0,05; 5; 24) = 2,62.
Поскольку F
набл
> F
кр
(1114,97 > 2,62), делаем вывод об адекватности
модели с надежностью не менее 95%.
5. Проверим значимость коэффициента корреляции с помощью t-
критерия.
Рассчитываем наблюдаемое значение критерия по формуле:
R
R
t
mn
2
набл
1-
-
=
. (6)
Получим t
набл
≈ 74,66.
По уровню значимости a = 0,05 и числу степеней свободы k = n – m = 24
найдем в Приложении 2 критическое значение t-критерия:
t
крит
(
a
; k) = t
крит
(0,05; 24) = 2,06.
Поскольку t
набл
> t
крит
(74,66 > 2,06), делаем вывод о том, что коэффи-
циент корреляции значим с надежностью не менее 95%.
6. Проверяем значимость параметров модели с помощью t-критерия
Стьюдента.
Находим наблюдаемые значения t-критерия для каждого параметра по
формуле:
s
i
b
i
i
b
b
t
=
(7)
Для нашего примера
(і = 0,…,5).
19
Получаем:
,98,0
0
=
b
t
,04,9
1
=
b
t
,88,0
2
=
b
t
,65,24
3
=
b
t
,23,0
4
=
b
t
.62,17
5
=
b
t
Сравним наблюдаемые значения t-критерия с критическим. Видим,
что самый незначимый коэффициент b
4
.
Поэтому исключим фактор х
4
и рассчитаем четырехфакторную эконо-
метрическую модель, не останавливаясь на подробностях, которые были уже
изложены выше.
Проведем построение четырехфакторной модели:
1. Находим оценки параметров четырехфакторной модели методом
1МНК
x
1
x
2
x
3
x
5
y
1 0,68 0,82 0,42 25,68 -0,66
1 0,74 0,84 0,05 18,13 1,41
1 0,66 0,67 0,29 25,74 -0,79
1 0,72 1,04 0,48 21,21 0,42
1 0,68 0,66 0,41 22,97 -0,24
1 0,77 0,86 0,62 16,38 1,41
1 0,78 0,79 0,56 13,21 1,89
1 0,78 0,34 1,76 14,48 0,36
1 0,81 1,6 1,31 13,38 1,18
1 0,79 1,46 0,45 13,69 2,18
1 0,77 1,27 0,5 16,66 1,44
1 0,78 1,58 0,77 15,06 1,55
1 0,72 0,68 1,2 17,6 0,09
1 0,79 0,86 0,21 15,98 1,9
1 0,77 1,98 0,25 18,27 1,43
1 0,8 0,33 0,15 14,42 2,39
1 0,71 0,45 0,66 22,76 -0,3
1 0,79 0,74 0,74 15,41 1,42
1 0,76 0,03 0,32 19,35 1
1 0,78 0,99 0,89 16,83 0,91
1 0,62 0,24 0,23 30,53 -1,76
1 0,75 0,57 0,32 17,98 1,12
1 0,71 1,22 0,54 22,09 0,03
1 0,74 0,68 0,75 18,29 0,55
1 0,65 1 0,16 26,05 -0,76
1 0,66 0,81 0,24 26,2 -0,78
1 0,84 1,27 0,59 17,26 1,72
1 0,74 1,14 0,56 18,83 0,61
1 0,75 1,89 0,63 19,7 0,5
X=
1 0,75 0,67 1,1 16,87
Y =
0,61
1 1 1 1 1
0,68 0,74 0,66 0,72 0,68
X' =
0,82 0,84 0,67 1,04 0,66