Ивания С.П. Математическое моделирование физических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

распространяющихся механических колебаний давления и плотности воздуха мы

воспринимаем звук; свет – это колебания электрического и магнитного полей, и

т.д. В колебательных и волновых процессах различной природы обнаруживаются

одни и те же закономерности, т.к. они описываются одними и теми же математи-

ческими моделями. Теория колебаний и волн устанавливает общие свойства ко-

лебательных систем, определяет связь между параметрами системы и ее колеба-

тельными свойствами. В силу общности выявленных закономерностей для коле-

баний различной природы результаты, полученные при исследовании, например,

механических колебаний могут быть перенесены в радиотехнику или оптику.

Изучение любого колебательного процесса начинается с идеализации реальной

системы, т.е. с построения модели явления и составления для нее соответствую-

щих уравнений.

7.2.Гармонические и ангармонические колебания.

Во многих задачах классической и квантовой физики приближенной моде-

лью может служить колебание гармонического осциллятора. К гармоническому

осциллятору могут быть отнесены системы, которые, будучи слегка выведены из

положения равновесия, совершают устойчивые колебания относительно этого

положения равновесия. К типичным гармоническим колебательным системам от-

носятся:

- математический маятник в пределах малых углов отклонения;

- масса на пружине в пределах малых амплитуд колебаний;

- электрический контур, состоящий из емкости и индуктивности для малых то-

ков и напряжений.

Дадим определение: колебательная система является линейной, если смеще-

ние из положения равновесия прямо пропорционально возбуждающей силе;

или, наоборот, если сила, возвращающая систему в положение равновесия, по

линейному закону зависит от смещения. Как правило, гармонический осцил-

лятор является идеальной моделью. В реальных системах всегда присутствует

элемент нелинейности. В механических системах он связан с трением и сопро-

тивлением среды; в колебательном контуре – с наличием электрического со-

противления. Нелинейность всегда усложняет задачу, и здесь на помощь при-

ходят численные методы. Нагляднее всего линейность и нелинейность демон-

стрируется на примере математического маятника.

Пусть материальная точка массой m подвешена на нерастяжимой, невесо-

мой нити без трения в подвеске. Положение равновесия определим как х = 0.

Отклоним груз на малый угол и рассмотрим действующие на него силы. Си-

лу тяжести разложим на две составляющие: вдоль нити, равную mg cos υ, ко-

торая уравновешивается силой натяжения нити, и перпендикулярную ей –mg

sin υ, которая стремится вернуть груз в положение равновесия. Знак «-» появ-

ляется потому, что смещаем груз в одну сторону, а сила стремится вернуть его

в обратном направлении. Тогда второй закон Ньютона можем записать в виде:

sinmg

. Линейную скорость v можем выразить через угловую скорость

ω (v=Lω) и через угловое смещение:

. В результате подстановок и про-

стых преобразований приходим к следующему уравнению:

sin

(1).

Если пренебречь затуханием и трением в подвеске, это точное уравнение коле-

баний. Оно явно нелинейно, т.к. сила, возвращающая маятник в положение

равновесия, не является линейной функцией смещения. И только предположив,

что угол отклонения мал, так что

sin

, придем к уравнению гармонического

колебания

(2).

Другой простой моделью гармонического осциллятора является колебание

массы, закрепленной на пружине, на гладкой поверхности без трения. Сила,

возвращающая груз в положение равновесия, при малых растяжениях пружи-

ны по закону Гука равна –kx, где k – коэффициент жесткости пружины, x –

смещение относительно положения равновесия. Получаемое уравнение коле-

баний:

(3).

Аналогично, для электрического контура, состоящего из индуктивности и ем-

кости, уравнение колебаний заряда буде выглядеть так:

qd 1

(4).

Для всех приведенных выше уравнений смещение зависит от времени по зако-

ну

)sin()cos( tbtax

(5)

или x = A cos( t + ) (6).

Легко видеть, что оба вида решения эквивалентны и удовлетворяют уравнениям

(2)–(4), превращая их в тождество, если частота =

, где ω

= g/L, k/m или 1/Lc

соответственно. Полученные решения описывают так называемое гармониче-

ское колебание, которое характеризуется частотой , амплитудой А и фазой .

Величина

называется собственной частотой колебаний. Кроме частоты, вве-

дем величину Т = 2 / , называемую периодом колебаний. Легко видеть, что

х(t+T) = x(t), т.е. Т - это наименьшее время, через которое движение повторяется.

Период простых гармонических колебаний зависит только от ω

и не зависит от

амплитуды колебаний. Постоянные

или амплитуда А и фаза могут быть

найдены из начальных условий: например, для уравнения (3) при t = 0 x = x

v = v

. Пусть в начальный момент скорость равна нулю (тело вывели из положе-

ния равновесия и отпустили). Тогда решение

x = x

cos t (7)

Рассмотрим на примере уравнения (3) энергию гармонического осциллято-

ра. Она складывается из кинетической W = mv

/2 и потенциальной U, которую

можем вычислить, исходя из формулы F = -dU/dx. Интегрирование с подстанов-

кой F = -kx дает U = kx

/2. Подстановка решения (4) приводит к следующему

результату:

E = W + U = kx

/2 = const (8),

т.е. полная энергия гармонического осциллятора cохраняется в процессе колеба-

ний.

7.3 Математический маятник

Другой общеизвестный пример колебательной системы - математический

маятник. Это идеализированная система, состоящая из материальной точки мас-

сой m, расположенной на нижнем конце невесомого стержня длиной L, верхний

конец которого вращается без трения в точке подвеса. Если груз вывести из по-

ложения равновесия и отпустить, то маятник будет совершать колебания в верти-

кальной плоскости. Для описания движения применим второй закон Ньютона,

учитывая связь между угловыми и линейными переменными.

mgsin

На материальную точку действует сила тяжести, которую можем разложить на

две взаимно перпендикулярные компоненты: вдоль стержня, которая уравнове-

шивает его силу натяжения, и по касательной к траектории, которая возвращает

систему в положение равновесия. Тогда уравнение движения запишется в виде:

mLd

/dt

= -mg sin

или d

/dt

+ (g/L) sin = 0 (9)

ma = F

a = dv/dt; v = L d /dt, где

L - длина нити, d /dt - угловая скорость.

Тогда a = Ld

/dt

Уравнение (9) - это нелинейное дифференциальное уравнение.

Напомним, что дифференциальное уравнение называется линейным, если оно со-

держит не более чем первую степень искомой функции и ее производных. sin –

нелинейная функция (см. разложение в ряд Тейлора: sin = - 1/6

+ ...).

Уравнение (9) может быть приведено к линейному виду в случае малых отклоне-

ний, когда в разложении синуса в ряд можно ограничиться первым членом.

Именно в этом случае получаем уравнение гармонических колебаний

/dt

+ (g/L) = 0 (10)

с собственной частотой

= g/L. Для этого уравнения и его решения справед-

ливо все сказанное выше о гармонических колебаниях.

Если же предположений о малости угла отклонения не делается, то колеба-

ния описываются уравнением (9) и носят название ангармонических (соответст-

венно осциллятор называют ангармоническим). Именно в этом случае для реше-

ния уравнения могут потребоваться численные методы.

7.4 Затухающие колебания. Природа затухания.

Допустим, что при рассмотрении колебаний груза на пружине мы учтем

трение поверхности. Очевидно, что влияние трения приведет к затуханию коле-

баний. Чтобы понять, как скажется учет трения на решении уравнения колебаний,

рассмотрим движение под действием только силы трения (тело толкнули и пре-

доставили самому себе).

Тогда уравнение движения запишется как

тр

В простейшем случае при малых скоростях считаем силу трения пропорциональ-

ной скорости, направление противоположно направлению движения. Тогда при

тр

= - dx/dt уравнение движения будет:

mdt

Поскольку dx/dt = v, то получаем уравнение для определения скорости

движения:

mdt

Это уравнение легко интегрируется при наличии начального условия

при t = 0 v = v

. Если обозначим m/ = , то решение для скорости

v = v

-t/

что означает экспоненциальное убывание скорости, а с ним и прекращение дви-

жения. Величину обычно называют временем релаксации.

Вернемся к колебательной системе: груз, колеблющийся на пружине с ко-

эффициентом упругости k; затухание происходит в результате силы трения, про-

порциональной скорости: F

тр

= - v = - dx/dt. Тогда уравнение колебаний примет

вид:

mdt

или

mdt

(1)

Если использовать чисто формальный, математический подход, то искать реше-

ние можно в экспоненциальном виде: х = Се

. Подстановка этого решения в

уравнение (1) приводит к квадратному уравнению для нахождения константы :

, где

– квадрат собственной частоты колебаний.

Решение квадратного уравнения дает следующие выражения для :

42 mm

Рассмотрим возможные случаи:

- подкоренное выражение положительно:



; это означает, что силы тре-

ния существенно превосходят силы упругости, коэффициент действитель-

ный и отрицательный, движение носит апериодический характер – это случай

сильного затухания;

- подкоренное выражение равно нулю, т.е. коэффициент действительный и

отрицательный, движение затухает – этот случай носит название критического

затухания;

- подкоренное выражение отрицательно, т.е.



, и силы упругости пре-

восходят силы трения; характер движения будет колебательным, но амплитуда

колебаний будет постепенно затухать.

Именно этот случай и представляет наибольший интерес, поэтому займемся ис-

следованием решения. Выражение для может быть записано в виде:

гдеi

Тогда общее решение имеет вид

eeCx

Константа С – начальная амплитуда колебаний, а само решение в наиболее удоб-

ном виде может быть записано как

)sin(

teAx

(2)

где А – начальная амплитуда, - фаза колебаний. Из решения видно, что ампли-

туда уменьшается со временем экспоненциально, а при

частота коле-

баний мало отличается от

. Этот случай называется случаем слабого затухания.

Величина τ= 2m/γ называется постоянной времени затухания амплитуды.

Что происходит с энергией при затухании колебаний? Ясно, что она теряет-

ся (говорят, происходит диссипация энергии), но по какой причине и с какой ско-

ростью это происходит? Запишем формулу для энергии осциллятора:

;

тр

Таким образом, скорость уменьшения энергии равна работе, совершаемой против

силы трения в единицу времени.

Найдем теперь выражение для средней за период колебаний энергии осциллято-

ра. В формулу для полной энергии подставим

)sin(

teAx

).cos()sin(

tAete

При усреднении квадратов этих вы-

ражений нужно учесть, что среднее за период от функции sin

( t)=1/2 (так же,

как и от cos

( t)), а усреднение произведения sin( t) cos( t) дает нуль. В резуль-

тате для средней за период энергии получаем:

ekAE

Видим, что средняя энергия убывает экспоненциально, но с постоянной времени

’

= m/ . Одной из характеристик затухания является добротность колебатель-

ного контура, которая характеризует скорость уменьшения энергии. Вычислим

энергию, теряемую осциллятором за один период:

dtE

и отношение средней за период энергии к этим поте-

рям:

, где величина

и называется добротностью. В случае

слабого затухания

, где

– собственная частота колебаний.

При заданной собственной частоте добротность тем выше, чем меньше затухание.

7.5 Поведение осциллятора под действием внешней силы. Вынужденные колеба-

ния.

1.Электрический колебательный контур.

Как уже говорилось выше, колебания различной природы подчиняются од-

ним и тем же закономерностям, поэтому результаты, полученные на одной коле-

бательной системе, могут быть использованы при изучении другой. В качестве

примера рассмотрим колебательный контур, состоящий из емкости С и индук-

тивности L. Если в цепи не действует ЭДС (внешняя сила отсутствует), то сумма

падений напряжения на элементах контура равна нулю:

где q – заряд

на обкладках конденсатора. Поскольку

то уравнение приводится к виду

– это типичное уравнение колебаний, т.е. в колебательном контуре

происходят колебания заряда с частотой

, которая и есть собственная

частота колебаний (незатухающих, если в цепи отсутствует омическое сопротив-

ление). При наличии сопротивления R к сумме падений напряжения добавится

= IR , что, при условии

приводит к уравнению

– это

уравнение затухающих колебаний электрического контура. На практике интерес

представляют колебания тока в колебательном контуре при наличии источника

периодической ЭДС. В электротехнике принято использовать синусоидальные

токи и напряжения, представляя их в комплексном виде:

titi

eVVeII

. Тогда

заряд

tititi

dteIq

000

eIi

. При наличии в цепи действую-

щей ЭДС сумма падений напряжения равна:

CLR

eVUUU

. (1)

При воздействии на осциллятор периодической внешней силы с частотой ω в нем

через некоторый промежуток времени, называемый временем релаксации, уста-

новятся колебания с частотой внешней силы. Их амплитуда будет зависеть от ам-

плитуды и частоты внешней силы. Чтобы определить вид этой зависимости, най-

дем решение для установившихся колебаний тока, т.е искать решение будем в

виде I = I

iωt

. При подстановке в (1) получим:

000

LiIRI

LiR

. (2)

Величина

)

(

LiRZ

называется комплексным сопротивлением, или импе-

дансом колебательной системы. Здесь R – активное сопротивление,

)

(

–

реактивное сопротивление; импеданс определяет и амплитуду тока, и его сдвиг

по фазе относительно действующей ЭДС. Импеданс может быть записан в виде

eZiZZ )sin(cos

, где

sin,cos

. (3)

Реальный ток в контуре находят как действительную часть от получившегося

комплексного выражения.

Понятие импеданса используется и для механических колебаний. Допус-

тим, что на механический осциллятор действует периодическая сила вида F =

iωt

. Тогда уравнение колебаний запишется как

eFkx

. (4)

(Действительная часть силы равна F

cos(ωt)). Решение ищем в виде

Aex

. Подстановка его в (4) приводит к уравнению

imk

FimkA

)(

, (5)

где Z

– импеданс механической системы;

)(

miZ

. Если сравнить с элек-

трическим импедансом, то соответствие следующее: коэффициент затухания γ

соответствует активному сопротивлению R, масса m – индуктивности L, 1/k – ем-

кости С. С учетом (3) механический импеданс может быть записан в виде

mZeZZ

}

(

sin,cos,)(,

. (6)

Тогда смещение

eiF

Aex

)2/(

)(

(7)

и максимальная амплитуда смещения равна

m ax

. Смещение отстает по фа-

зе от силы на ( /2 + ). Посмотрим, как обстоит дело со скоростью колебаний.

Используя (7), получим:

eiF

)(

)2/(

. (8)

Физический смысл имеют действительные части x, v, F. В частности, если мы хо-

тим вычислить среднюю мощность, поглощаемую осциллятором от внешней си-

лы в течение периода колебаний, то нужно взять произведение <P>=Re(F)

Re(v) и усреднить его по периоду. Так как Re(F) = F

cos( t),

Re(v) = F

/ Z

cos( t- ), получим

)cos(

)sin()sin()cos()cos()(cos

)cos()cos()cos()cos(

ttt

(9)

При каких условиях поглощенная мощность достигает максимума? Очевидно,

когда Z

имеет минимум. Из формулы (6) следует, что этот минимум достигает-

ся при условии:

, т.е.

, где

– собственная частота колеба-

ний. Это и есть условие резонанса. Максимально поглощаемая мощность состав-

ляет

0m ax

(учтите, что при резонансе Z

= , cos =1). При резонансе дос-

тигает максимальной величины и скорость колебаний осциллятора. Что касается

смещения х, то это вопрос более тонкий. Из формулы (7) следует, что для дости-

жения максимума смещения минимума должна достигать величина не Z

, а

. Процедура нахождения минимума сводится к дифференцированию этого

выражения по и приравниванию получившегося к нулю. В результате получа-

ем:

mmm

. Таким образом, частота максимального

смещения несколько смещена относительно резонансной частоты поглощения

мощности в сторону меньших частот.

Тема 8. Моделирование простейших нелинейных динамических систем.

8.1 Введение и постановка задачи.

Человечество подходит к той грани, которая отделяет нынешнюю эпоху техно-

генной цивилизации от совершенно нового периода, когда основной заботой сде-

лается преодоление наступающего экологического кризиса, который угрожает

существованию на Земле самого вида homo sapiens. В подтверждение можно при-

вести несколько фактов, которые установлены с достаточной достоверностью.

- Тепличный (или парниковый) эффект, который заключается в том, что про-

мышленные выбросы углекислого газа, метана и различного типа аэрозолей

поглощают солнечное излучение, но не пропускают длинноволновое излуче-

ние Земли, из-за чего происходит нагрев приземного слоя атмосферы. Расчеты

ученых показывают, что к середине 21-го века потепление климата вследствие

этого эффекта станет весьма ощутимым. Многочисленные последствия, среди

которых можно назвать следующие: расширение области пустынь и полупус-

тынь; подъем уровня мирового океана из-за таяния полярных льдов и теплово-

го расширения воды; изменение положения границ, разделяющих природные

зоны степь-тайга и тайга-тундра – нарушат экологическое равновесие, потре-

буется перестройка всей структуры сельскохозяйственного производства и т.п.

- Загрязнение мирового океана, что приводит к угнетению океанической живой

среды и, следовательно, к сокращению пищевых ресурсов человека. Кроме то-

го, в загрязненных акваториях заметно сокращается испарение с морской по-

верхности. Следовательно, меняется структура энергообмена между океаном и

атмосферой, а также уменьшается поступление влаги, необходимой нашей

среде обитания.

- Еще один печальный факт – сокращение площадей тропических лесов и се-

верной тайги, которые вырабатывают основную массу кислорода для живот-

ного мира.

- Ощутимую опасность для человечества представляет уменьшение плотности

озонового слоя, что приводит к интенсификации солнечной радиации и ее не-

гативных воздействий на живую природу.

Это факторы, действие которых станет ощутимо заметным через 2-3 поколе-

ния. Есть и другие, отрицательный эффект которых сказывается уже сейчас.

Во-первых, это знаменитая проблема Мальтуса (так принято ее называть), ко-

торая заключается в несоответствии роста населения росту производства про-

дуктов питания, т.е. исчерпание пищевых ресурсов планеты. Мальтус обозна-

чил эту проблему два века тому назад. Сегодня продолжается не только демо-

графический рост (на планете в целом), но и опустошение кладовых углерод-

ного топлива, накопленного биосферами прошлых времен. Перспектива неми-

нуемого исчерпания запасов угля, нефти и газа представляется человечеству

как страшный кошмар.