Идельчик В.И. Электрические системы и сети

Подождите немного. Документ загружается.

390

Расчеты режимов электрических систем

сетей

на

ЭВМ

Гл.

узел. Напряжение

этом узле

предполагается изве-

стным,

а ток /

— неизвестным

равным сумме токов ос-

тальных

узлов. Токи

остальных

узлах заданы,

а на-

пряжения неизвестны. Вместо вырожденной системы с пол-

ной матрицей

(9.13)

или

(9.14) решается система

независимых уравнений узловых напряжений

неполной

матрицей

. Эту

систему уравнений узловых напряжений

с неполной матрицей получают

из

(9.13)

или

(9.14) отбра-

сыванием последней строки

число записывают

виде,

когда известные слагаемые

UeY^ в

левой части переносят-

ся вправо,

т. е.

У и

fi +

У*

Ь\ + У

1б

;

YnUt+YnU^U-YnUe,

(9.15)

t/, -I-

+ Y

,t/

= /, - Y

или

матричном виде

= I

Y„t/„

(9.16)

где

k-я

элемент вектор-столбца Ygt/б равен Уьб^б,

т. е.

Y„f/„

*2б"б

*Яб^б

(9.17)

Если

системе уравнений узловых напряжений учесть,

что

6 в

соответствии

с (9.3)

можно представить

как

сум-

му проводимостей, например

У,*-У-

то (9.15) можно переписать

виде

Yu (t/i

)

+ Y

)

+ Y

[/„)

= /

Уч

(Ui

)

= /

;

Vi ~

U,)

+ Y

- U

) + У

- U

) = /

Будем использовать вектор-столбец ||U—Uell,

k-й

эле-

мент которого равен разности напряжений

£-го и

баланси-

рующего узлов, т. е.

для

электрической системы

из

четырех

узлов

-и

и-и« =

-U о

-и

(9.18)

§ 9, Линейные уравнения узловых

напряжений

391

Тогда уравнения узловых напряжений (9.15) при £/б#0

и матричной форме будут иметь вид

—

) = I. (9.19

Рассмотренное выше уравнение (9.6) —это частный слу-

чай (9.19) при [/б =

Изменим напряжение балансирующего узла и всех ос-

тальных узлов на одно и то же значение при заданных то-

ках в узлах. В этом случае не изменяются разности напря-

жений между узлами. Ток в ветви, соединяющей два узла,

равен разности напряжений между узлами, умноженной

на проводимость ветви. Соответственно при изменении на-

пряжений всех узлов на одно и то же значение в линейной

цепи не изменяются токи в ветвях, потоки мощности и по-

тери в ветвях, а также суммарные потери в цепях.

Можно показать, что напряжения в узлах, токи в ветвях

не зависят от того, какой узел линейной электрической цепи

выбирается в качестве балансирующего по току, если сум-

ма токов во всех (я+1) узлах равна нулю. Поэтому выбор

балансирующего узла, а также его напряжения (например,

или и^ФЩ не оказывают влияния на результат ра-

счета установившегося режима линейных электрических

систем. В этом смысле линейные уравнения узловых на-

пряжений (9.6) и (9.19) эквивалентны.

Для нелинейных уравнений установившегося режима

выбор балансирующего узла и значение его напряжения

оказывают влияние на результат расчета режима. Поэто-

му при нелинейных задающих токах в узлах уравнения.

(9.6) и (9.19) не эквивалентны. При расчетах нелинейных

уравнений установившегося режима электрических систем

используются уравнения узловых напряжений (9.19), так

как обычно в качестве балансирующего узла применяется

станция, ведущая по частоте (см. гл. 4), напряжение кото-

рой, конечно, не равно нулю.

Для сети переменного тока система уравнений узловых

напряжений может быть записана в виде комплексной си-

стемы порядка п, аналогичной (9.16):

U=K3I-Y

, (9.20)

где Yet/e — вектор-столбец, k-й элемент которого равен

^Гб[см. (9.17)].

392 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

Используя выражения (9.8), можно записать (9.20)

в виде системы действительных уравнений порядка 2п,

аналогичной (9.12). Например, при

—

получим

—

О,

И"

где £б^б и —Ьб£/е — вектор-столбцы, имеющие вид, анало-

гичный (9.17); g

6, b

5 — активные и реактивные взаимные

проводимости узлов &-го и балансирующего.

Матрица собственных и взаимных проводимостеи узлов

играет важную роль в расчетах установившихся режи-

мов электрических систем. Обычно в качестве исходных

данных для расчетов установившихся режимов электриче-

ских систем задают сопротивления продольных ветвей (ли-

ний электропередачи, трансформаторов), проводимости на

землю (линий электропередачи, реакторов), а также топо-

логию схемы (схему соединений) электрической системы.

Топология схемы, как правило, задается парами номеров

узлов, соединенных ветвями. Элементы матрицы проводи-

мостеи Y

рассчитываются на ЭВМ Такой расчет очень

прост и состоит практически в определении взаимных про-

водимостеи и в вычислении собственных проводимостеи.

Последние равны отрицательной сумме взаимных прово-

димостеи ветвей соединенных с данным узлом.

Матрица собственных и взаимных проводимостеи сим-

метричная, т.е.

Yk,

Y_,k-

Важнейшим свойством матрицы

Yy является большое количество нулевых элементов

—

ее

слабая заполненность (разреженность). Как отмечалось

выше, если узлы не соединены между собой ветвью, то их

взаимная проводимость равна нулю. В электрической си-

стеме каждый узел связан лишь с небольшим количеством

соседних узлов. Пусть, например, в электрической системе

из 100 узлов первый узел связан с 10 другими. Тогда в пер-

вой строке и в первом столбце матрицы Y

окажется 10 не-

нулевых проводимостеи, а остальные 90 равны нулю. Как

правило, большинство узлов в электрических системах сое-

динены со значительно меньшим количеством узлов, чем

10.

В большинстве отечественных и зарубежных программ

расчета установившегося режима предполагается, что пре-

= Кз

gr,^6

-ъ

(9.21)

§ 9.1

Линейные уравнения узловых напряжений

393

дельное число ветвей в 1,5 раза больше числа узлов. Это

означает, что с помощью программы можно рассчитывать

режимы систем, содержащих, например, не более 300 уз-

лов и 450 ветвей. С учетом симметричности матрицы необ-

ходимо запомнить столько ненулевых взаимных проводимо-

стей, сколько ветвей в электрической системе, и столько

собственных узлов проводимостей, сколько узлов в системе.

Информация о схеме соединений, как правило, требует

столько машинных слов памяти, сколько ветвей в системе.

Из сказанного легко убедиться, насколько меньше па-

мяти требуется для запоминания ненулевых элементов мат-

рицы Y

в сравнении с тем случаем, когда пришлось бы за-

помнить все элементы этой матрицы, число которых равно

Возможность использования слабой заполненности мат-

риц уравнений является важнейшим свойством, которое на-

до учитывать при сопоставлении различных методов расче-

тов установившихся режимов. В заключение отметим, что

уравнения узловых напряжений нашли очень широкое при-

менение при расчетах установившихся режимов сложных

электрических систем на ЭВМ.

Матрица соединений ветвей и узлов (первая матрица

инциденций)—это прямоугольная матрица, число строк

которой равно числу узлов

д-4-1,

а число столбцов — числу

ветвей т. Она обозначается следующим образом:

= ||т

|| при t = 1, ... , и-f 1, /= 1, ... , т.

При этом номера строк i соответствуют номерам узлов,

а номера столбцов / — номерам ветвей. Элементы матрицы

Мл могут принимать одно из трех значений:

/Лг

;

= +

ес-

ли узел i является начальной вершиной ветви /; т

, =

—

если узел i является конечной вершиной ветви*/; т

г/

если узел i не является вершиной ветви /.

Каждая строка матрицы Ms показывает, какими вер-

шинами соответствующие ветви присоединяются к данному

узлу схемы; каждый столбец—какие узлы являются на-

чальной и конечной вершинами данной ветви. Очевидно,

чго в каждом столбце матрицы M

может быть только од-

ни положительная и одна отрицательная единица; осталь-

ными элементами являются нули.

Если в матрице M

отбросить строку, соответствующую

394 Расчеты режимов электрических систем

сетей

на ЭВМ

Тл.

(п+1)-му балансирующему узлу,

то

получим прямоуголь-

ную матрицу

JVV,

которой

строк и m столбцов.

Матрица М дает возможность записать систему неза-

висимых уравнений первого закона Кирхгофа

следующем

виде:

М1

-1,

(9.22)

где

||//Н,

/=!,...,m;

]

||/

||,

\,...,n — столбцы токов

в ветвях и задающих токов в узлах.

Матрица узловых проводимостей

может быть опре-

делена следующим образом [18]:

Y^MZ-'M^MY,]^,

(9.23)

где М

—

транспонированная матрица соединений ветвей

и узлов М;

—

диагональные матрицы сопротивле-

ний и проводимостей ветвей.

9.2.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Точные и итерационные методы. Методы решения линей-

ных уравнений установившегося режима можно разделить

на две группы: точные (или прямые)

итерационные (ил$

приближенные).

Точными или прямыми методами называются такие, ко-

торые

предположении, что все вычисления ведутся точно

(без округлений), позволяют получить точные значения не-

известных

результате конечного числа операций. Практи-

чески все вычисления ведутся

округлениями, поэтому

и значения неизвестных, полученных точным методом, бу-

дут содержать погрешности. Из точных методов ниже рас-

смотрим метод Гаусса

решение линейных уравнений ус-

тановившегося режима

помощью обратной матрицы.

Итерационными

или

приближенными методами назы-

вают такие, которые даже

предположении, что вычисле-

ния ведутся без округлений, позволяют получить решение

системы уравнений лишь

заданной точностью. Точное ре-

шение системы

случае применения итерационных методов

может быть получено теоретически как результат бесконеч-

ного итерационного процесса.

данной главе рассмотрим

два итерационных метода: простую итерацию

метод Зей-

§ 9A

Методы

решения линейных уравнений узловых напряжений 395

ЛРЛИ

Э(и методы не всегда сходятся при решении линей-

ных уравнений установившегося режима.

Метод последовательного исключения (метод Гаусса) —

один из наиболее распространенных способов решения си-

стем линейных алгебраических уравнений. Если точно вы-

полнить все действия метода Гаусса, то получим точное ре-

шение системы. Алгоритмы, с помощью которых может быть

реализован метод Гаусса, различны. Наиболее распростра-

нен алгоритм единственного деления (или алгоритм с об-

ратным ходом), при обращении матриц применяется алго-

ритм метода Гаусса без обратного хода (или схема Жор-

дана) [18, 19].

Решение по алгоритму единственного деления распада-

ется на два этапа:

прямой ход — приведение системы линейных уравнений

(9.1) к эквивалентной системе с треугольной матрицей

1Я

-л

Uz +

= bA (9 24)

= bj

где коэффициенты треугольной матрицы Ьц и правые час-

1и Ь

определяются по известным выражениям, соответст-

вующим исключению неизвестных [19];

обратный ход

—

вычисление неизвестных в соответствии

с (9.24).

Общее количество арифметических действий в методе

Гаусса несколько меньше я

, где п

—

число неизвестных.

Машинное время, необходимое для выполнения арифмети-

ческих операций метода Гаусса, пропорционально кубу чис-

ла неизвестных.

При расчете режима сети переменного тока по методу

Гаусса на ЭВМ система комплексных уравнений, как пра-

вило,

заменяется эквивалентной системой с действительны-

ми переменными порядка 2п, где (я+1)—число узлов

схемы.

Достоинство метода Гаусса состоит в том, что его при-

менение гарантирует получение решения в результате вы-

полнения определенного числа арифметических операций,

причем число необходимых операций определяется только

порядком системы п. В этом состоит преимущество метода

Гаусса и других точных методов перед приближенными,

396 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

или итерационными, для которых число необходимых ариф-

метических вычислений зависит не только от порядка си-

стемы, но и от заранее неизвестного количества шагов, за

которое сойдется итерационный процесс.

Недостаток метода Гаусса состоит в необходимости за-

поминать матрицу элементов системы уравнений. Для рас-

чета сложных электрических систем эффективное примене-

ние метода Гаусса невозможно без использования специ-

альных методов, учитывающих слабую заполненность

матрицы узловых проводимостей. К сожалению, такой учет

алгоритмически достаточно сложен и, кроме того, его при-

менение не полностью устраняет недостатки метода Гаус-

са, связанные с необходимостью использования большой

памяти ЭВМ при расчетах режимов сложных электричес-

ких систем. Подробнее этот вопрос рассмотрен в гл. 10.

Решение с помощью матрицы Z

. Матрицей собственных

и взаимных сопротивлений узлов Z

, обратной по отноше-

нию к матрице собственных и взаимных проводимостей уз-

лов,

называют такую матрицу

= Y

i, (9.25)

при которой выполняется условие

= Z

= E, (9.26)

где Е — единичная матрица.

Например,

1 0 0

0 1 0 (9.27)

0 0 1

Е =

— единичная матрица третьего порядка.

Умножим обе части матричного уравнения узловых на-

пряжений (9.6) с помощью обратной матрицы Yy"

и получим

U = Z

I (9.28)

или с учетом (9.26)

U = Z

I. (9.29)

Формула (9.29) дает решение уравнения узловых на-

пряжений (9.6) с помощью обратной матрицы Y"y" =Z

§ 9.2 Mei

оды

решения линейных уравнений узловых напряжений 397

Решение уравнений узловых напряжений с помощью об-

ратной матрицы при напряжении балансирующего узла

L/бфО определяется следующим выражением, вытекающим

из (9.19):

- U

= Z

(9.30)

или

U = U„ + Z

I, (9.31)

где U и I — вектор-столбцы узловых напряжений и токов

в узлах (9.5); Ue — вектор-столбец, каждый элемент кото-

рого равен напряжению балансирующего узла:

При расчете режимов электрических систем переменного

тока напряжения узлов определяются по выражению, ана-

логичному (9.31), в котором все матрицы и вектор-столбцы

состоят из комплексных элементов:

U = U

+ У~йу

[

(9.32)

Обычно напряжение балансирующего узла принимается

равным действительной величине. Поскольку это не обяза-

тельно, для общности в (9.32) вектор-столбец Ив, каждый

элемент которого равен напряжению балансирующего уз-

ла, записан как комплексный.

В матрице собственных и взаимных сопротивлений уз-

лов Z

нет нулевых элементов, т.е. эта матрица заполнен-

ная.

Отсутствие нулевых элементов в матрице существенно

понижает эффективность ее использования при расчетах ус-

тановившихся режимов электрических систем.

Применение обратной матрицы для решения действи-

тельной системы порядка п>4 редко употребляется на

практике. Применение формул Крамера для решения ли-

нейной системы нецелесообразно уже при я>3. Соответст-

венно применение матрицы Z

для выполняемого лишь

1 раз расчета установившегося режима менее эффективно,

чем исключение Гаусса, даже без учета слабой заполнен-

ности матрицы узловых проводимостей.

Практика расчетов режимов электрических систем при-

водит к необходимости многократного расчета режимов для

398 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

одной и той же электрической системы при изменении то-

ков в узлах либо при незначительных изменениях схемы

соединений и параметров электрической сети. В таких мно-

гократных расчетах режимов применение матрицы Z

име-

ет важное преимущество, которое состоит в возможности

быстрой корректировки матрицы при небольших измене-

ниях схемы соединений или параметров сети. Разработаны

эффективные методы такой корректировки. Применение

матрицы Z

эффективно также при расчетах режимов элек-

трических систем с тяговой нагрузкой и при расчетах то-

ков коротких замыканий.

Простая итерация и метод Зейделя — простейшие из ите-

рационных методов. Рассмотрение простой итерации

важно для понимания сути применения итерационных

методов расчета установившихся режимов электрических

систем. Для определенности вначале ограничимся рас-

смотренной выше системой уравнений третьего поряд-

ка (9.1).

Предполагая, что диагональные элементы УиФО,

= l,

3, разрешим первое уравнение системы (9.1) от-

носительно U и второе — относительно U

, а третье —

относительно £/з. Тогда получим систему, эквивалент-

ную (9.1):

= +b

Uf\-bnU

+ bt, |

^з =

<л

Ui +

+ h, J

где

hj = -YkjIYub k Ф /; b

I,JY

k, j = 1, 2, 3. (9.34)

Зададим начальные приближения неизвестных U\

Up,

Up. Подставляя их в правые части системы (9.33),

получаем первые приближения Up, Up, Up. Вычисление

первого приближения неизвестных соответствует первому

шагу итерационного процесса. Полученные первые прибли-

жения могут быть таким же образом использованы для по-

лучения вторых, третьих и последующих приближений. Ис-

пользуя значения переменных, полученных на предыдущем,

t-м шаге, можно получить (i+l)-e приближения неизвест-

ных:

§ 9.2 Методы решения линейных уравнений узловых напряжений 399

+ b

Up + ЬгМ

Ь,;

+ b

UP + b

;

4А.

(9.35)

hi &12*1S Ui

"21 "22 "23

,и

и,

,ь-

"31 "32 "33

и*

и¥

+1)

= ь

и\

+ь

М°

Введем матрицу и вектор-столбцы:

В =

Диагональные элементы матрицы В равны нулю, т.е.

bkk

а недиагональные элементы (т.е. bk, при кФ1) со-

впадают с коэффициентами систем (9.33) или (9.35). Учи-

тывая правило умножения и сложения матриц, систему

(9.33) можно записать в матричной форме:

U = BU + Ь. (9.36)

Аналогично итерационное выражение (9.35) можно за-

писать в матричном виде:

(

= BU

+ b. (9.37)

Элементы матрицы

— безразмерные величины, а элемен-

ты вектора b имеют размерность напряжений.

Итерационный процесс, определяемый выражением

(9.35) или (9.37), называется простой итерацией.

Для сети переменного тока комплексные уравнения уз-

ловых напряжений представляются в виде системы дейст-

вительных уравнений. Затем к полученной системе действи-

тельных уравнений применяется метод простой итерации.

В принципе возможно применение простой итерации по вы-

ражению (9.35) или (9.37) к комплексным числам. При

практических расчетах на ЭВМ такой путь, как правило, не

используется.

Метод Зейделя представляет собой незначительную мо-

дификацию простой итерации. Основная его идея в отли-

чие от простой итерации заключается в том, что найденное

(j'-fl)-e приближение (k— 1)-го напряжения U{^У, сразу

же используется для вычисления следующего, /г-го напря-

жения

+l)

Иными словами, полученное (t-j-l)-e значение

напряжения сразу же используется для вычисления (t+1)-

lu значения напряжений U

, 0

и т.д. Таким образом, для