Идельчик В.И. Электрические системы и сети

Подождите немного. Документ загружается.

410 Расчеты режимов электрических систем

сетей

на ЭВМ

Гл.

9.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают

установившийся режим электрической системы

при

зада-

нии нелинейных источников тока.

схеме замещения элек-

трической системы нелинейным источникам тока соответст-

вуют генераторы

заданной мощностью либо нагрузки

по-

требителей, заданные статической характеристикой

или

постоянной мощностью.

При

заданной мощности нагрузки

потребителя

или

генератора узловой

ток

задается

следу-

ющем виде:

где S^=const

—

сопряженная заданная мощность трех

фаз

k-то узла; U"

—сопряженный комплекс междуфазного

на-

пряжения

&-го

узла; Ik{U)—нелинейный

ток,

зависящий

от напряжения.

Если мощность нагрузки потребителя задана статичес-

кой характеристикой,

то

нелинейный

ток

источника опре-

деляется следующим выражением:

§1&1

(^)-iQ

(9.48)

узи

узу

где Pk(U), Qk(U)—статические характеристики активной

и реактивной нагрузок

k-то

узла.

Нелинейные уравнения узловых напряжений

при

зада-

нии постоянной мощности нагрузки потребителей

генера-

торов

узлах

для

системы переменного тока

из

четырех

уз-

лов запишем

виде, аналогичном (9.15):

^! +

ВД + ВД =

V\ Т-

£_

^.2

i_23

_3 ...

)

~у*ч#

•Г*&:

+ Y

Y„y

--£--Y

1)li

(9.49)

§9.4 Нелинейные уравнения установившегося режима 411

В матричной форме уравнения узловых напряжений

имеют вид, аналогичный (9.20):

*УУ =

1/З](У)-№.

(9-50)

где Y

— комплексная матрица собственных и взаимных уз-

ловых проводимостей; I(U) —вектор-столбец задающих то-

ков,

k-и элемент которого определяется выражением (9.47);

УъОб

— вектор-столбец, &-й элемент которого равен

Y_mU(s\

—

заданное напряжение балансирующего узла.

Каждое из записанных уравнений (9.49) соответствует

балансу комплексных токов в узле. Поэтому будем назы-

вать уравнения (9.49) и (9.50) уравнениями узловых напря-

жений в форме баланса токов. Система из трех комплекс-

ных уравнений узловых напряжений может быть заменена

системой из шести действительных уравнений, аналогичных

(9.12).

Три действительных уравнения соответствуют ба-

лансу активных токов в узлах, а три — балансу реактивных

токов.

Уравнения (9.49) записаны для трех независимых уз-

лов,

в каждом из которых заданы Р и Q нагрузки. В систе-

му (9.49) не входит уравнение балансирующего (четверто-

го) узла. Уравнение баланса тока для балансирующего уз-

ла является следствием соответствующих уравнений для

трех независимых узлов. Матрица производных

системы

уравнений, записанной для всех узлов, включая балансиру-

ющий, вырождена. Именно этим объясняется необходи-

мость введения балансирующего узла, уравнение которого

не включается в систему независимых нелинейных уравне-

ний установившегося режима.

Если один из узлов — балансирующий по реактивной

мощности, то его уравнение баланса реактивных мощностей

(или токов) не входит в число независимых уравнений уз-

ловых напряжений. В общем случае может быть не один,

а несколько балансирующих узлов. После решения системы

независимых уравнений все Р

и Q

для балансирующих уз-

лов и Q

для балансирующих по Q узлов определяются из

уравнений баланса активных и реактивных токов для этих

узлов, не входящих в число независимых уравнений узло-

вых напряжений.

Матрица производных рассмотрена в § 9.7, 9.8,

412 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Г л 9

Уравнения узловых напряжений часто используются

в форме баланса мощности, которые можно получить, ес-

ли каждое уравнение баланса токов (9.49) умножить на

сопряженный комплекс напряжения соответствующего уз-

ла. Узловые уравнения баланса мощности для системы пе-

ременного тока из четырех узлов можно записать следую-

щим образом:

У\

£п ^ +

Г»

Ч.г

+ Ги

Ч.*)

= 5;'

Ч1{1*Чл

+Ги^ + ад + Г*^) =5; (9.51)

^з

[У_Ш

Цг +

Гз

ВД +

Гзб^

)

= §•

Систему (9.51) можно записать в матричной форме сле-

дующим образом:

u;„

у+№)=«'.

)

где 11д

Иаг

—диагональная матрица, k-й диагональный эле-

мент которой равен сопряженному комплексу напряжения

k-то узла; S* — вектор-столбец сопряженных мощностей

в узлах, k-й элемент которого равен заданной сопряженной

мощности &-го узла.

Матричное уравнение узловых напряжений в форме ба-

ланса мощностей (9.52) можно получить в результате умно-

жения матричного уравнения Гшшиса токов (9.50) слева

на диагональную ма1рицу U^

lim

. Чтбы получить алгебраи-

ческое уравнение баланса мощностей, необходимо уравне-

ние баланса токов умножить на сопряженный комплекс на-

пряжения узла.

При учете емкостных проводимостей линий собственная

проводимость узла включает половины емкостных прово-

димостей всех линий, соединенных с данным узлом. При

расчетах режимов на ЭВМ применяют уравнения узловых

напряжений, учитывающие комплексные коэффициенты

трансформации [20].

Нелинейные уравнения установившегося режима в об-

щей форме можно записать в виде системы неявных функ-

ций

W (X.Y) = 0. (9.53)

где W

—

вектор-функция; X и

Y —

вектор-столбцы зависи-

мых и независимых параметров режима.

4 Нелинейные уравнения установившегося режима 413

Эти уравнения связывают между собой параметры уста-

новившегося режима электрической системы. Часть пара-

метров режима задана (независимые переменные). Обозна-

чим вектор-столбец независимых переменных при расчете

установившегося режима Y. Остальные (зависимые) пере-

менные могут быть найдены из уравнений установившегося

режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных

X. Число зависимых переменных

Хи

равно числу уравнений

установившегося режима. Это означает, что вектор-функ-

ция W и вектор-столбец X имеют одинаковую размерность.

В зависимости от постановки задачи и способов задания

исходных данных в состав векторов независимых и зависи-

мых переменных Y и X могут входить разные параметры

режима.

Разделение параметров режима на зависимые и незави-

симые переменные играет важную роль при оптимизации

режимов, при определении предельных по статической

апериодической устойчивости режимов и при исследовании

существования и единственности решения уравнений устано-

вившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор незави-

симых переменных задан, т. е. Y=const. Нелинейную систе-

му уравнений установившегося режима можно записать

в следующем виде, вытекающем из (9.53) при

= const:

W(X) = 0. (9.54)

Число уравнений в этой системе равно числу зависимых

пер.еменных х

, т. е. равно размерности вектора X. В ре-

зультате решения уравнений установившегося режима

(9.54) можно найти все зависимые переменные х

Выше рассматривались нелинейные уравнения узловых

напряжений. Частным случаем уравнений установившегося

режима (9.53) или (9.54) могут быть нелинейные контур-

ные уравнения [20]. Все методы, рассматриваемые в § 9.5—

9.7, могут использоваться и при решении нелинейных кон-

турных уравнений. Нелинейные контурные уравнения ока-

зались менее эффективными при расчетах и оптимизации

режимов на ЭВМ, чем уравнения узловых напряжений.

414 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

9.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАУССА

МАТРИЦЫ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Система нелинейных уравнений узловых напряжений

в форме баланса токов имеет следующую особенность. Эта

система уравнений линейна слева

нелинейна справа.

Сравним линейные уравнения узловых напряжений (9.15)

и нелинейные уравнения (9.50). Левые

их

части одинако-

вы

равны произведению матрицы проводимостей узлов на

вектор-столбец переменных

—

напряжений узлов. Именно

в этом смысле нелинейная система уравнений узловых

на-

пряжений

форме баланса токов линейна слева. Нелиней-

ность системы (9.50) состоит только

наличии нелинейных

правых частей. Физически

эта

особенность определяется

тем,

что все

параметры схемы замещения электрической

си-

стемы линейны, кроме источников токов

h(U).

Иногда

го-

ворят,

что

продольная часть схемы замещения линейна,

а поперечная

—

нелинейна.

Поскольку система уравнений узловых напряжений

не-

линейна лишь

правой части,

для ее

решений можно при-

менить метод Гаусса

матрицы

Метод Гаусса

при

расчете нелинейных уравнений узло-

вых напряжений можно использовать

на

каждом шаге

итерационного процесса, считая систему нелинейных уравне-

ний узловых напряжений линейной

на

данном шаге. Зада-

димся начальными приближениями переменных U

>. Опре-

делим правые части

нелинейной системе уравнений узло-

вых напряжений

форме баланса токов (9.49)

или

(9.50),

т.

е.

вычислим элементы вектор-столбца

при t/

^°>

I(U

(0)

)

him

urn

£;;<°>

и;

(0)

/;»(0)

ъ*ч*

•1*4.*

(9.55)

Полагаем,

что

токи

узлах постоянны

определяются

начальными приближениями узловых напряжений. Тогда

9.5

Применение метода Гаусса

матрицы

415

уравнения узловых напряжений (9.49) превращаются

си-

стему линейных алгебраических уравнений

правыми час-

тями, вычисляемыми

из

(9.55):

1 +

+ Y

y-3l(Umy,-

+ Y

= V3

(f/f); } (9.56)

Гз1

4.x

Гз2

Ъ +

Гзз

= КЗ /

В°>).

В матричной форме линейную систему (9.56) можно

за-

писать следующим образом:

U =У31(У<°>). (9.57)

Решая систему (9.57), определяем первое приближение

напряжений узлов

t/j

{/<•>, {/<•).

Далее переходим

ко

вто-

рому шагу,

т. е.

определяем правые части (9.55)

при

значе-

ниях узловых напряжений, равных

их

первым приближе-

ниям:

I(U<'>)==I(U<i>)--LY

. (9.58)

Уз

Затем найдем второе приближение узловых напряже-

ний, решая линейную систему

той

же

матрицей

, и так

до тех

пор,

пока процесс

не

сойдется.

При

этом каж-

дый

шаг

итерационного процесса состоит

из

определения

_l(U

(l)

)

решения системы линейных уравнений

T(U(O)=I(U(0)_ J_Y

; (9.59)

Уз

+1)

=]/3l(U<'>), (9.60)

где

—

номер шага.

Для решения линейной системы уравнений узловых

на-

пряжений (9.60)

на

каждом шаге итерационного процесса

целесообразно использовать метод исключения

по

Гауссу.

В этом случае система

комплексными переменными пре-

образуется

систему

действительными переменными.

Для

эффективного решения линейных уравнений установивше-

гося режима

по

Гауссу необходимо учитывать слабую

за-

полненность матрицы узловых проводимостей

(гл. 10).

Матрица

может использоваться

на

каждом шаге

ите-

416 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

рационного процесса, определяемого уравнениями (9.60).

Напомним, что матрица собственных и взаимных сопротив-

лений узлов является обратной по отношению к матрице

узловых проводимостей, т. е.

= Y-i. (9.61)

На каждом шаге итерационного процесса с матрицей

узловые напряжения определяются по выражению

U<H-D=U

+ "K3Z

I(U<<>), (9.62)

где Ue

—

вектор-столбец, каждый элемент которого равен

напряжению балансирующего узла; 1(1Н*>)—вектор-стол-

бец задающих токов, при этом его ~k-u элемент равен

si/Vsu;.

Основное достоинство расчета установившегося режима

с помощью матрицы узловых сопротивлений — быстрая

сходимость. Однако существенным недостатком этого ме-

тода является вычисление и хранение матрицы Z

, в кото-

рой нет нулевых элементов. Применение этого метода для

расчетов режимов сложных электрических систем с боль-

шим количеством узлов практически невозможно без спе-

циальных методов эквипалентирования и, кроме того, тре-

бует использования ЭВМ с большой оперативной памятью

либо увеличения времени расчетов за счет многократного

использования внешней памяти.

Расчет установившегося режима при решении на каж-

дом шаге итерационного процесса системы линейных урав-

нений (9.60) методом Гаусса требует столько же шагов,

сколько и расчет с использованием матрицы узловых со-

противлений. Но при этом меньше необходимая оператив-

ная память ЭВМ и меньше количество арифметических опе-

раций. К недостаткам первого метода можно отнести некото-

рое усложнение программы расчета, поскольку в ряде случа-

ев нельзя заранее указать требуемый объем памяти ЭВМ для

расчета режима данной сети. Основное преимущество пер-

вого метода перед использованием обратной матрицы со-

стоит в повышении вычислительной эффективности при уче-

те слабой заполненности матрицы Y

Расчет установившегося режима с помощью матрицы

узловых сопротивлений может оказаться эффективным при

§9.6

Применение метода Зейделя

417

многократных вариантных расчетах для одной и той же си-

стем

ы.

Следует отметить, что использование метода Гаусса

в рассмотренном выше виде не нашло применения в расче-

тах установившихся режимов, поскольку такой способ не

имеет никаких преимуществ по сравнению с расчетом уста-

новившегося режима по методу Ньютона (см. § 9.7).

9.6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Метод Зейделя и простая итерация могут применяться

для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

в форме баланса токов (9.49) аналогично тому, как они

применялись для решения систем линейных алгебраических

уравнений (9.35) и (9.38) или (9.39) и (9.40). Все различие

состоит в том, что вместо постоянных величин Ьи в итера-

ционных процессах (9.39) или (9.40) при решении нелиней-

ных уравнений узловых напряжений (9.49) необходимо ис-

пользовать нелинейные токи в узлах. По методу простой

итерации (i-fl)-e приближение напряжения k-то узла оп-

ределяется следующим выражением:

,+1)

= Ф*№ ^° ВД

-kk

№

ад° +

i+k

(,)

Y«v*

(9.63)

где ер* (U\°, Up, ..., £/</>) —нелинейная функция, опреде-

ляющая итерационный процесс простой итерации.

Если использовать вектор-функцию <p(U), k-й элемент

которой равен

щ{\]),

то вектор-столбец узловых напряже-

ний по методу простой итерации определяется с помощью

следующего итерационного процесса, записанного в век-

торной форме:

Ф, (£/<<>,

tff

,...,£#>)

Ф, (£/}<>, UP,...,U]P)

(

Uf'+D =ф(и«>) =

'WO,

27-237

"ОТ

418 Расчеты режимов электрических систем и сетей на ЭВМ Гл. 9

Итерационный процесс Зейделя определяется выражени-

ем,

аналогичным (9.40):

//(i+l)

= №

111(1+1)

7/(»+1)

Л/0'+1> г/(0 иЩ —

fe-1

1 / '

Ikk

Uy+»-

;

5+i <±*

(9.65)

-. ВД\

[/<<')

/7(0) _

нелинейная

где y

(UJ+V

функция, описывающая итерационный процесс Зейделя.

В расчетах на ЭВМ при замене комплексных перемен-

ных на действительные по методу Зейделя определяются

активные и реактивные напряжения узлов:

/7"(0 fj'(t)

rj"U)\.

'-'^"

' " >' I (9.66)

f/"«> //'(О /Г(*П

k+V->

n '

n }'

где ф^,

(f>l

— составляющие комплексной нелинейной

функции фзй, описывающей итерационный процесс Зейделя.

Расчетные выражения метода Зейделя легко получить,

если разделить мнимую и действительную составляющие

в правой части выражения (9.65). Если использовать век-

тор-функцию <p

(U), 6-й элемент которой равен

ц>

зк

(Щ,

то

можно записать итерационный процесс Зейделя в вектор-

ной форме, аналогичной (9.64).

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных

уравнений установившихся режимов медленная. Для уско-

рения сходимости метода Зейделя применяются ускоряю-

щие коэффициенты, или метод неполной релаксации. Ис-

пользование ускоряющих коэффициентов сводится к сле-

дующему. Обозначим и%

+1)

напряжение 6-го узла,

определенное на (J'+1)-M шаге по обычным итерационным

формулам (9.65). Ускоренное (t-f-1 )-е приближение значе-

ния напряжения 6-го узла £/£'+{' определяется по формуле

ВД =

U&*

,+1)

- i.) =

^УСК

'А

+,)

(9-67)

где А(7«+

= £^'

+1)

— ^уск — поправка по напряжению

9.7

Метод Нютона

419

А:-го узла на (i+l)-M шаге; t — ускоряющий коэффициент.

Напряжение

U^+^>

, вычисленное с ускорением, прини-

мается в качестве исходного при расчете следующего,

(t'-f 2)-го шага.

В случае t==l получим обычный итерационный процесс

метода Зейделя.

Метод Зейделя нашел широкое применение в расчетах

установившихся режимов, в особенности на ранних этапах

использования ЭВМ. Основное достоинство метода в том,

что он легко программируется и требует малой оперативной

памяти. Недостаток метода — в медленной сходимости. Ме-

тод Зейделя особенно медленно сходится, а в ряде случаев

и расходится, в расчетах установившихся режимов электри-

ческих систем с устройствами продольной компенсации,

с трехобмоточными трансформаторами или автотрансфор-

маторами с очень малым сопротивлением обмотки среднего

напряжения и для электрических систем с сильной неодно-

родностью параметров. Метод Зейделя также плохо схо-

дится либо расходится в расчетах режимов, близких к пре-

дельным по устойчивости.

9.7. МЕТОД НЬЮТОНА

Решение нелинейных алгебраических и трансцендент-

ных уравнений методом Ньютона эффективно, так как при

сравнительно несложной схеме

вычисления он обладает быст-

рой сходимостью. Метод Нью-

тона пригоден для решения об-

ширного класса нелинейных

уравнений.

Идея метода Ньютона со-

стоит в последовательной за-

мене на каждой итерации си-

стемы нелинейных уравнений

некоторой линейной системой,

решение которой дает значе-

ния неизвестных, более близ-

кие к решению нелинейной

системы, чем исходное приближение. Поясним идею этого

метода на примере решения уравнения

(х)

= 0. (9.68)

27*

Рис.

9.3. Итерационный процесс

метода Ньютона