Хамханова Д.Н. Основы квалиметрии

5. Если экспертов несколько, то окончательно следует перейти

к результату многократного измерения.

Уточнять весовые коэффициенты можно и другими

способами, различие их состоит в определении результата

измерения в (

ω) приближении с использованием различных

средних взвешенных.

Второй способ уточнения весовых коэффициентов

методом последовательного приближения

Второй способ уточнения весовых коэффициентов

отличается от первого тем, что результат измерения в (

ω)

приближении определяется как среднее квадратическое

взвешенное.

В этом случае, результат измерения в (

ω) приближении

будет определяться по формуле (62):

где

ij

K

,

- число предпочтений j-го объекта одним

экспертом;

()

1−

ω

j

G

- результат измерения j-го объекта в (ω)

приближении.

Третий способ уточнения весовых коэффициентов

методом последовательного приближения

В третьем способе уточнения весовых коэффициентов

результат измерения в (

ω) приближении определяется как

среднее гармоническое взвешенное:

)1(

...

)1()1(

1

)(

,

2

2,

1

1,

−

++

−

+

−

=

ϖϖϖ

ϖ

m

mjjj

j

G

K

G

K

G

K

G

(63)

Пример 8. По данным примера 7 определить результат

измерения и значения весовых коэффициентов в третьем

приближении вторым способом уточнения весовых коэффициентов.

Решение. 1. В первом приближении результат

измерения:

(

)

()

3102001

6212011

1001001

7222101

8212211

5

4

3

2

1

=++++=

=

+

=

G

2. Значения весовых коэффициентов в первом приближении:

()

24,0

25

6

1

04,0

25

1

4

3

==

g

()

079,0

91,41

3166,3

1

5

==g

3. Значения результата измерения во втором приближении:

()

28,0

25

7

1

32,0

25

8

1

2

1

==

g

99 100

4. Значения весовых коэффициентов во втором приближении:

()

283,0

91,41

8743,11

2

352,0

91,41

7648,14

2

1

==

g

()

261,0

91,41

9544,10

2

024,0

91,41

1

2

4

3

==

g

()

079,0

91,41

3166,3

2

5

==g

5. Результата измерения в третьем приближении:

6. Значения весовых коэффициентов в третьем приближении

при уточнении весовых коэффициентов вторым способом:

()

052,0

92,69

61,3

3

272,0

92,69

02,19

3

014,0

92,69

1

3

288,0

92,69

12,20

3

363,0

92,69

37,25

3

5

4

3

2

1

==

g

7. Значения

j

g

, приведенные в таблице 8, в третьем

приближении отличаются от значений, определенных вторым

способом попарного сопоставления. Возникает вопрос, каким

способом можно быстрее добиться заданной точности? На этот

вопрос можно ответить, определив

(

)

(

)

1−−

ωω

jj

gg

при

первом и при втором способах.

Метод последовательного приближения позволяет

получить строгие количественные результаты измерения по

шкале отношений, если известно (или определено экспертным

методом), во сколько раз вес или показатель лучшего из

объектов экспертизы превосходит вес или такой же

показатель худшего. В этом случае через это отношение

α

предпочтение j-го объекта перед i-м выражается числом

Δ

+

=

1

,ij

К

, равноценность единицей, а предпочтение i-го

объекта перед j-м – числом

Δ

−

=

1

,ij

К

, где

()

317,313062107082

954,1023162107182

103061107082

874,1123262117082

765,1423162127182

22222

5

22222

4

22222

3

22222

2

22222

1

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅

G

()

61,3131,3095,1021087,11076,143

02,19231,3195,1021087,11176,143

1031,3095,1011087,11076,143

12,20231,3295,1021187,11076,143

37,25231,3195,1021287

,11176,143

22222

5

22222

4

22222

3

22222

2

22222

1

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅

G

101 102

m

05,0

1

+

−

=Δ

α

.

После этого попарное сопоставление производится

методом последовательного приближения. Процесс уточнения

значений

j

g

становится все меньшим и меньшим, это

условие можно записать в виде

()

(

)

εωω

≤−− 1

jj

gg

,

где обычно принимается

001,0=

ε

, если

5,11

≤

〈

α

и

01,0=

ε

, если

.5〉

α

При промежуточных значениях

α

выбирают и промежуточные значения

ε

.

После окончания расчетов фактическое отношение

значений показателей или весов крайних членов

ранжированного ряда

ф

α

сравнивается с исходным

α

. Если

отношение

ф

α

β

=

близко к единице, задача считается решенной. В противном

случае корректируется

m

05,0

1

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=Δ

α

β

и расчет повторяется.

Пример 9. Лучший объект из шести по сравниваемому

показателю превосходит худший в 2,4 раза. Следовательно,

5,0

6

05,0

14,2

≈+

+

−

=Δ

Мнения экспертов об объектах представлены в табл. 9.

Таблица 9

i

j

1 2 3 4 5 6

1 1,0 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5

2 0,5 1,0 0,5 1,5 0,5 1,5

3 0,5 1,5 1,0 0,5 1,5 1,5

4 0,5 0,5 1,5 1,0 1,5 0,5

5 0,5 1,5 0,5 0,5 1,0 1,5

6 0,5 0,5 0,5 1,5 0,5 1,0

Перейти к исходным данным для вычисления весовых

коэффициентов с точностью не ниже 0,5 %.

Решение. 1. В (ω) приближении, обеспечивающем заданную

точность,

(

)

24

3

,0

1

=

ω

g

;

(

)

14

8

,0

2

=

ω

g

;

(

)

17

6

,0

3

=

ω

g

;

()

16

1

,0

4

=

ω

g

;

(

)

146,0

5

=

ω

g

;

(

)

12

6

,0

6

=

ω

g

.

2. Ранжированный ряд имеет вид:

(

)

ω

6

g

;

(

)

ω

5

g

;

(

)

ω

2

g

;

(

)

ω

4

g

;

(

)

ω

3

g

;

(

)

ω

1

g

.

3. Отношение весов крайних членов ранжированного ряда

94,1

125,0

243,0

==

ф

α

.

4. Поправочный коэффициент

24,1

94,1

4,2

==

β

.

5. С учетом поправочного коэффициента

62,05,024,1

=

⋅

=

Δ .

6. Таким образом, исходные данные для попарного

сопоставления методом последовательного приближения имеют

вид, представленный в табл. 10.

103 104

Таблица 10.

i

j

1 2 3 4 5 6

1 1,0 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62

2 0,38 1,0 0,38 1,62 0,38 1,62

3 0,38 1,62 1,0 0,38 1,62 1,62

4 0,38 0,38 1,62 1,0 1,62 0,38

5 0,38 1,62 0,38 0,38 1,0 1,62

6 0,38 0,38 0,38 1,62 0,38 1,0

Уточнение результатов экспертиз, полученных

ранжированием, также можно производить методом

последовательного приближения. В этом случае в качестве

первого приближения G

j

(1) будет приниматься сумма рангов

j-го показателя:

()

∑

=

n

i

ijJ

GG

1

(64)

где n – количество экспертов;

G

ij

– ранг, поставленный j-му показателю i-ым экспертом.

Дальнейшие действия будут производиться также как,

при уточнении весовых коэффициентов, полученных

попарным сопоставлением. Уточнение весовых

коэффициентов, полученных ранжированием, методом

последовательного приближения не всегда приемлем, т.к. в

этом случае приходится работать с большими числами.

Результат измерения в (ω) приближении можно

определить как среднее геометрическое

взвешенное, но в этом

случае также приходиться работать с большими числами, что

не процесс уточнения становится очень трудоемким.

3.5 Комплексирование показателей качества

Аналогично делению физических величин на основные и

производные показатели качества делятся на основные и

комплексные. Единичные относятся к одному из свойств,

определяющих качество, комплексные – сразу к нескольким.

Производные физические величины связаны с основными (и

дополнительными) посредством определений или

фундаментальными физическими законами. Например, по

определению ускорение

2

d

t

xd

d

t

dv

a ==

,

где

а – ускорение, м/с

2

; х – длина, м; t – время, с;

второй закон Ньютона

amF

⋅

=

,

где

F – сила, Н; m – кг; а – ускорение, м/с

2

.

Точно так же комплексные показатели могут быть

связаны с единичными через функциональные зависимости,

отражающие основные законы природы, а могут быть

некоторой комбинацией их, соответствующей определению

комплексного показателя. Примером комплексного

показателя качества продукции, определяемого через

функциональную зависимость, служит объем помещения:

HSV

⋅

=

,

где

S – площадь основания, м

2

; Н – высота, м.

Примером комплексного показателя, который

получают как комбинацию единичных показателей согласно

определению, является показатель назначения «годовая

производительность автобуса»

ни

tvgW

⋅

=

γ

β

α

365

,

где

,

и

α

β

,

γ

- соответственно коэффициенты

использования парка автобусов, пробега автобуса и его

вместимости при номинальной вместимости g, чел; v –

105 106

эксплуатационная скорость автобуса, км/ч;

н

t

- средняя

продолжительность времени в наряде, ч.

Функциональный способ нахождения комплексного

показателя качества предпочтительнее, но не всегда

возможен по ряду причин. Одна из них состоит в том, что

получить функциональную зависимость, учитывающую

большое число единичных показателей качества,

практически очень сложно. Если комплексный показатель

качества невозможно выразить через единичные с помощью

объективной зависимости, применяют субъективный способ

образования комплексных показателей по принципу

среднего взвешенного. Субъективным в этом случае

является лишь параметр логики усреднения, сам же

комплексный показатель – объективная количественная

характеристика качества объекта. В самом общем виде

комплексный показатель качества по принципу среднего

взвешенного определяют по формуле:

γ

∑

=

Ω

=

m

j

m

j

g

Qg

Q

1

(65)

где

γ

- параметр логики усреднения;

j

g

- весовые

коэффициенты;

j

Q

- значение j-го показателя; m – число

единичных показателей

j

Q

.

Задавая разные значения

γ

, получаем разные виды

средних взвешенных комплексных показателей.

Наименование

комплексного

показателя

Параметр

логики

усреднени

я

Математическое

выражение

Среднее

гармоническое

взвешенное

γ

=-1

∑

=

m

j

m

j

Q

g

Q

1

~

(66)

Среднее

геометрическое

взвешенное

γ

=0

∑

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

m

j

gj

j

m

j

g

QQ

П

1

(67)

Среднее

арифметическо

е взвешенное

γ

=1

∑

=

⋅

=

m

j

m

j

jj

g

Qg

Q

1

(68)

Среднее

квадратическое

взвешенное

γ

=2

∑

=

⋅

=

n

j

m

j

jj

g

Qg

Q

1

2

)

(69)

По аналогии могут быть составлены и другие

выражения комплексных показателей при иных значениях

γ

.

107

108

На практике применяют также средние взвешенные

(назовем их смешанные), образованные сочетанием

(объединением) вышеперечисленных. Например:

∑

=

+=

m

j

m

j

jj

m

j

m

j

jj

g

Qg

g

Qg

Q

1

2

1

ˆ

(70)

С помощью весовых коэффициентов

j

g

, как и для

физических величин, учитывают важность или ценность

каждого единичного показателя качества

j

Q

среди

других. Ценность результатов измерения физических

величин тем больше, чем меньше их рассеяние, мера

которого дисперсия. Поэтому при обработке нескольких

серий измерений и решений системы уравнений методом

наименьших квадратов весовые коэффициенты выбирают

обратно пропорциональными дисперсиям.

В квалиметрии «вес» показателей качества определяют

иными соображениями. В зависимости от конкретных

условий та или иная группа показателей качества (или

отдельные показатели качества) бывает важней или весомей

других. Например, показатели назначения считают

наиболее важными. Но могут быть и иные ситуации. Для

ответа на вопрос, во сколько раз или насколько один

показатель важнее другого, используют экспертные и

аналитические методы определения коэффициентов

весомости.

В экспертных методах веса (весомости) показателей,

обычно, удовлетворяют условию:

1

=

∑

=

m

j

g

Поэтому формулы (66-69) принимают следующий вид:

∑

=

⋅=

m

j

jj

QgQ

1

; (71)

gj

j

m

j

QQ

П

1=

=

; (72)

∑

=

m

j

Q

g

Q

1

1~

; (73)

∑

=

⋅=

m

j

jj

QgQ

1

2

)

. (74)

Если единичные показатели качества

j

Q

имеют

одинаковые весовые коэффициенты

m

g

j

1

, то формулы (71-

74) переходят в формулы:

∑

=

m

j

Qm

Q

1

11

1

~

(75)

∏

=

m

j

m

QQ

1

(76)

∑

=

m

j

Q

m

Q

1

ˆ

(77)

109 110

∑

=

m

j

Q

m

Q

1

2

1

(78)

Выбор аналитического метода определения весовых

коэффициентов весомости

j

g

зависит от вида среднего

взвешенного и других причин.

При числовом представлении единичных показателей

качества

j

Q

их комплексирование с учетом весовых

коэффициентов

j

g

должно проводиться в соответствии с

правилами теории размерностей. Удобнее комплексировать

безразмерные показатели качества. Поэтому очень часто от

абсолютных значений единичных показателей качества

предварительно переходят к относительным, которые

всегда безразмерны.

Для перехода к относительным (единичным или

комплексным) показателям качества

j оот

Q

можно

использовать соотношения:

nj

j

отнj

Q

,

=

при

njj

QQ

,

〈

;

j

nj

отнj

Q

,

=

при

njj

QQ

,

〉

(79)

где

nj

Q

,

– нормирующее значение показателя качества,

имеющего ту же размерность, что и

j

Q

.

В качестве нормирующего значения

nj

Q

,

часто

принимают базовые показатели качества. Абсолютные

значения комплексных показателей качества (

Q

~

,

Q

,

Q

ˆ

,

Q

и т.д.) получаются в этом случае безразмерными.

Большинство отечественных и зарубежных

исследователей при разработке способов комплексной

оценки качества с учетом весомости свойств отдает

предпочтение среднеарифметической взвешенной оценке,

благодаря простоте вычисления. Действительно, алгоритм

комплексирования показателей качества по принципу

среднего арифметического взвешенного является наиболее

простым.

Пример 9. Комплексный показатель качества –

долговечность морского сухогрузного судна – определяют с

помощью среднего геометрического взвешенного, объединяя

единичные показатели качества:

1

Q

- срок службы судна, лет;

2

Q

- ресурс главного двигателя, ч (с учетом их весов

1

g

и

2

g

). Оба единичных показателя качества размерные.

Комплексный показатель

21

1

g

j

g

j

g

j

QQQQ

j

П

⋅==

=

.

Принимая

1

Q

=12 лет;

1

g

=0,5;

6,20108,1

5

2

=⋅= чQ

лет;

2

g

=0,5 и выбирая

нормирующие значения показателей

nj

Q

,

(например,

n

Q

,1

=12 лет,

9,22102

5

,2

=⋅= чQ

n

лет),

получают относительные значения единичных показателей

качества:

1

12

,1

==

отн

Q

;

9,0

9,20

6,20

,2

==

отн

Q

Тогда комплексный показатель качества (долговечность

судна) становится безразмерным и равным

111 112

949,09,01

5,05,0

21

=⋅=⋅=

g

j

g

j

QQQ

.

Кроме вышеперечисленных способов

комплексирования показателей качества различают еще

один способ ранжирования по трехуровневой шкале. Его

применяют в тех случаях, когда определение числовых

значений единичных показателей качества сложно и дорого.

В этом случае экспертным методом определяют

уровень единичных показателей качества: высокий – В;

средний – С; низкий – Н. При определении комплексного

показателя качества в качестве исходной предпосылки

принимают, что при высоком уровне всех единичных

показателей качества числовое значение комплексного

показателя должно ровняться 1; при среднем уровне всех

единичных показателей – 0,5; при низком уровне

единичных показателей – 0.

В этом случае значение комплексного показателя

определяют по формуле:

n

H

n

Q

c

H

5,01 −−=

(

(80)

где

H

n

и

C

n

- число единичных показателей низкого и

среднего уровня соответственно;

n

- число

комплексируемых единичных показателей.

Если же весомости единичных показателей различны,

тогда значение комплексного показателя качества

определяют по следующей формуле:

∑∑

==

−−=

C

j

H

j

m

j

C

m

j

H

ggQ

11

5,01

(

(81)

где

H

m

и

C

m

- число показателей низкого и среднего

уровня соответственно;

j

H

g

и

j

C

g

- нормированный вес единичного

показателя качества низкого и среднего уровня

соответственно, а требования нормировки сводится к тому,

чтобы сумма весов всех единичных показателей качества

равнялась единице.

Пример 11. Комплексный показатель качества – уровень

знаний выпускников при итоговой аттестации – определяют с

помощью среднего арифметического взвешенного, объединяя

единичные показатели качества:

1

Q

- актуальность;

2

Q

-

доклад;

3

Q

- содержание;

4

Q

- ответы на вопросы;

5

Q

-

внедрение;

6

Q

- публикации;

7

Q

- новизна;

8

Q

- применение

компьютерной технологии;

9

Q

- оформление (с учетом их весов

1

g

,

2

g

, … ,

9

g

). Все показатели безразмерные. В таблице

11 приведены уровни единичных показателей, проставленных

семи экспертами. Определить комплексный показатель – уровень

знаний выпускника при следующих значениях весовых

коэффициентов:

1

g

= 0,12;

2

g

= 0,2;

3

g

= 0,15;

4

g

= 0,15;

5

g

= 0,18;

6

g

= 0,055;

7

g

= 0,045;

8

g

= 0,065;

9

g

= 0,035.

Решение. 1. Количество единичных показателей низкого

уровня

21=

н

n

;

2. Нормированные веса единичных показателей низкого

уровня:

18,0

7

718,0

,5

=

⋅

=

н

g

;

0314,0

7

4055,0

,6

=

⋅

=

н

g

;

019,0

7

3045,0

,7

=

⋅

=

н

g

;

113 114

065,0

7

7065,0

,8

=

⋅

=

н

g

.

Таблица 11

3. Количество единичных показателей среднего уровня

25=

с

n

;

4. Нормированные веса единичных показателей среднего

уровня:

068,0

7

412,0

,1

=

⋅

=

с

g

;

085,0

7

32,0

,2

=

⋅

=

с

g

;

064,0

7

315,0

,3

=

⋅

=

с

g

;

085,0

7

415,0

,4

=

⋅

=

с

g

;

023,0

7

3055,0

,6

=

⋅

=

с

g

019,0

7

3045,0

,7

=

⋅

=

н

g

;

025,0

7

5035,0

,9

=

⋅

=

с

g

.

5. Комплексный показатель

(

5966,0)025,0019,0023,0085,0064,0

085,0068,0

2

1

)065,0019,00314,018,0(1

=+++++

++−+++−=Q

(

В комплексных показателях низкие значения одних

единичных показателей могут компенсироваться высокими

значениями других. Иногда такая компенсация

противоречит жизненным ситуациям. Например,

специально проведенные исследования и многолетние

наблюдения установили, что одежда и обувь отечественного

производства в целом более долговечна и прочна, чем

импортная. Однако последние имеют более

привлекательный внешний вид, чем объясняется

повышенный спрос на импорт. Высокие эстетические

показатели качества в данном случае компенсируют низкие

показатели надежности и долговечности. Другой пример: за

счет снижения отдельных показателей качества повышают

показатели транспортабельности (в частности

массогабаритные характеристики) оборудования и изделий,

которые устанавливают на летательных аппаратах.

В то же время недопустимо компенсировать низкие

значения главных показателей качества высокими

значениями второстепенных. Для исключения такой

возможности комплексный показатель качества умножают

на так называемый коэффициент вето

)(

j

Q

ϕ

.

Например:

QQQ

j

ˆ

)(

ˆ

⋅=

ϕ

Экспе

рты

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

5

Q

6

Q

7

Q

8

Q

9

Q

1

В В В В Н Н В Н В

2

С В В В Н С С Н В

3

В С В С Н Н С Н С

4

С С В В Н Н С Н С

5

С С С С Н Н Н Н С

6

В В С С Н С Н Н С

7

С В С С Н С Н Н С

115 116

где

ϕ

Q

ˆ

- среднее взвешенное арифметическое с учетом

коэффициента вето.

Коэффициент вето – это функция, которая при выходе

любого из важнейших единичных показателей за

допустимые (установленные нормативно-технической

документацией) пределы обращается в нуль. Во всех

остальных случаях коэффициент вето

)(

j

Q

ϕ

остается

равным единице. Формально это записывается так:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥≤

=≤≤

=

iii

i

QQиQQесли

niдлявсехQQQесли

Q

minmax

maxmin

,0

...1,1

ϕ

(82)

Из-за коэффициента вето комплексный показатель

качества падает до нуля, если хотя бы один из важнейших

единичных показателей оказывается неприемлемым.

3.6 Линии равного качества – изоквалиты

Чтобы наглядно представить различия

средневзвешенных (см. формулы 71 – 74), надо указанные

аналитические аналитические зависимости изобразить

графически. Рассмотрим случай, когда средневзвешенные

объединяют два (n=2) единичных

показателя качества и веса их одинаковы (g

1

= g

2

= 0,5).

Выберем прямоугольную систему координат, по осям

которой будем откладывать относительные значения

единичных показателей качества Q

1отн

и Q

2отн

(рис.8).

а)

б)

117

118

Хамханова Д.Н. Основы квалиметрии

Подождите немного. Документ загружается.