Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Подождите немного. Документ загружается.
Реш
е
н и е.
В
соответствии
с
формулой
(2.4.3)
находим
М(Х)
=
3·0,1+4·0,2+5·0,4+6·0,2+
7·0,1 =
0,3+0,8+2,0+
1,2+0,7 =
5.
Итак,
математическое
ожидание
данной
случайной
величины
равно
5.
Неравенства
(2.4.9)
выполняются:
3
<5<7.
При
м
е р
2.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величины
задан
таблицей
Х
-4 -2
О
2 4
Р
0,1
0,2 0,15 0,25 0,3
Записать
законы
распределения
случайных
величин
3Х,
)(/2.
Найти
математические
ожидания
случайных
величин
Х,
3Х,
Х/2.
Реш
е
н
и е.
Запишем
законы
распределения
случайных
величин
3Х
и
)(/2
с
помощью
таблиц:
3Х
-
12
I
-6
О
6
12
Р
0,1
0;2 0,15 0,25 0,3
Х/2
-2
-1
О
I
2
р
0,1
0,2 0,15 0,25 0,3
По
формуле
(2.4.3)
вычисляем
математические
ожидания
этих
величин:
М(Х)
=
-4
·0,1
+(-2)·
0,2+
О
·0,15
+2
·0,25
+4·0,3
=
0,9;
М(3Х)
=
-12·0,1
+(-6)·0,2
+0·0,15+6·0,25
+ 12·0,3 = 2,7;
М(Х
/2)
=
-2·0,1
+(-1)·0,2
+0·
0,15
+
1·
0,25 +
2·0,3
= 0,45.
3
а
м
е
ч
а
н
и
е.
Математическое
ожидание
случайных
величин
ЗХ
и
Х/2
можно
вычислить,
пользуясь
равенством
(2.4.11),
при
известном
математиче
ском
ожидании
величины
Х:
М(ЗХ)
=
ЗМ(Х)
=
3·0,9
= 2,7;
1 1 1
М(-Х)=-М(Х)=-·
О
9=0
45
..
2 2
2"
При
м
е
р
3.
Известны
математические
ожидания
двух
случайных
величинХи
У:
М(Х)=3,
М(У)=2.
Найти
математические
ожидания
суммы
и
разности
этих
величин.
121
Реш
е н
и
е.
На
основании
формул
(2.4.12)
и
(2.4.14)
заключаем,
что
М(Х
+У)=
М(Х)+М(У)=3+2
=5,
М(Х
-У)
=
М(Х)-М(У)
=3-2
= 1.
При
м
е
р
4.
Известны
математические
ожидания
двух
независимых
случайных
величинХи
У:
М(Х)=4,
М(У)=5.
Найти
математическое
ожидание
их
про
изведения.
Реш
е н
ие.
Применяя
формулу
(2.4.15),
находим
М(Х
·У)=М(Х)·М(У)
=4·5
=20.
При
м
е
р
5.
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины
У
=
2Х
+
7,
если
известно,
что
М(Х)
=
4.
Реш
е н
и
е.
Пользуясь
формулами
(2.4.10), (2.4.11), (2.4.12),
находим
М(У)
=
М(2Х
+7)
=
М(2Х)+
М(7)
=
=
2М(Х)+7
=
2·4+7
=
15.
При
м
е
р
6.
Подбрасывается
игральный
кубик.
Найти
математиче
ское
ожидание
дискретной
случайной
величины
Х,
равной
числу
вы
павших
очков.
Реш
е
н
и
е.
Эта
случайная
величина
может
принимать
шесть
значе
ний:
Х,
= 1 ,
Х
2
=
2,
Х
з
= 3 ,
Х
4
= 4 , X
s
= 5 ,
Х
6
=
6;
вероятность
каждого
из
них
одна
и
та
же,
равная
1/6.
Закон
распределения
случайной
величи
ны
Х
можно
задать
формулами
Р(Х
= X
k
) =
1/6,
k =
1,
2,
3,
4, 5,
6;
По
формуле
(2.4.3)
находим
математическое
ожидание
. 1
М
(Х)
=
(l
+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) .
6"
=
3,5
.
При
м
е
р
7.
Подбрасываются
два
игральных
кубика.
Дискретная
случайная
величина
Х
-
сумма
очков,
выпавших
на
обоих
кубиках.
Най
ти
математическое
ожидание
этой
случайной
величины.
Реш
е
н
и
е.
Данная
случайная
величина
принимает
все
целые
значе
ния
от
2
до
12.
Закон
ее
распределения
можно
задать
следующей
табли
цей:
122
Х
2 3
4
5 6
7
8 9
10
11
12
Р
1 2 3
4
5 6
5 4 3
2
1
-
-
- -
-
-
-
- -
-
-
36 36 36
36
36
36 36 36
36 36 36
По
формуле
(2.4.3)
находим
1
234
5
М(Х)=2·-+3·-+4·-+5·-+6·-+
36 36 36 36 36
+7 .
.i.+8.~+9.~+10.~+
11.2.+
12.~
=
36 36 36 36 36 36
=
2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12
= 252 =
7.
36
36
3
а
м
е
ч
а
н
и
е
1.
Этот
результат
можно
получить
проще.
Случайную
ве
личину
числа
очков,
выпадающих
на
одном
кубике,
обозначим
через
Х, а
на
другом
-
через
У. Эти.
случайные
величины
имеют
одинаковые
законы
распре
деления
(см.
пример
6).
По
формуле
(2.4.12)
получаем
М(Х
+
У)
==
М(Х)+М(У)
==
3,5+3,5
=7.
3
а
м
е
ч
а
н и
е
2.
Поскольку
величины
Х
и
У
независимы,
то
можно
найти
и
математическое
ожидание
случайной
величины
Z =
ХУ
-
произведения
числа
очков,
выпавших
при
одновременном
подбрасывании
двух
кубиков.
По
формуле
(2.4.15)
имеем:
M(Z)
=
М(Х
.
У)
=
М(Х)·
М(У)
= 3,5·3,5 = 12,25.
При
м
е
р
8.
Производятся
независимые
опыты,
в
каждом
из
которых
событие
А
наступает
с
вероятностью
р.
Опыты
продолжаются
до
перво
го
появления
события
А.
Случайная
величина
Х
-
ЧИС./IО
произведенных
опьiтов.
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины
Х.
Реш
е
н и
е.
Возможные
значения
этой
случайной
величины:
х"
=
n,
n =
1,
2,
3,
....
Событие
Х
= n
означает,
что
в
первых
n - 1
опы
тах
событие
А
не
наступает,
а в
n -
м
опыте
наС1)'пает.
Вероятность
та
кого
исхода
равна
Р(Х
=n)=qq
...
q·p=pq"-I,
(q=l-p).
~
u-'
раз
Следовательно,
закон
распределения
случайной
величины
Х
можно
представить
таблицей
Х
2
3
n
Р
р
pq
рс{
pq"'J
123
Находим
математическое
ожидание
этой
величины:
М{Х)=
1·
р+2·
pq2
+3.
j:щ2
+ ... +npq,,-I +
...
=
=
р{1+2q+з
q
2
+
...
+nq,,-I +
...
).
Ряд,
записанный
в
скобках,
получается
почленным
дифференциро
ванием
геометрического
ряда
2 3 " q 1 1
q+q
+q
+
...
+q
+ ...
=--=---
.
l-q
l-q
Следовательно,
,
М(Х)=р
--1
=р
=-=-.
(
1)
1
Р
1
l-q
(l-q/
р2
р
При
м
е
р9.
Дискретная
случайная
величина
Х,
которая
может
при
нимать
бесконечную
последовательность
значений,
задана
следующим
законом
распределения
г--;--+--~~-~-г--:~-~-:~-l-l~-~:-+---~Iг--~~-~-:-+--~I
'
~
1
IJk=l.
k=1
-
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины
Х.
Реш
е
н
и
е.
По
формуле
(2.4.6)
находим
~
1 1
~
1
1/6
1
М(Х)
=
Lзт·у=LБТ=I-1I6
=5·
k=1
k=1
При
м
е р
1
О.
Плотность
распределения
вероятностей
случайной
ве
личины
Х
задана
функцией
1
0
при
х
~
О,
р(х)
=
зх
2
/8
при
О
<
х
$. 2,
О
при
х
>
2.
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины
Х.
Реше
н и
е.
По
формуле
(2.4.7)
находим
2 2 3
412
М(Х)
=
fх.Зх
2
/8dx=fЗХ
3
/8dx=S·Х
4
0=1,5.
о о
124
При
м
е
р
1
1.
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины
Х,
если
известна
функция
распределения
этой
величины
{
О
при
х
~O,
F(x)=
х
2
npиO<x~l,
1
при
х
> 1.
Реш
е н
и
е.
Найдем
сначала
плотность
распределения
вероятностей
этой
величины.
I10ЛЬЗУЯСЬ
формулой
(2.3.5),
получаем
Следовательно,
{
О
при
х
~
О,
р(х)
=
2х
при
О
<
х
~
1,
О
при
х
> 1.
1 , 1 1 J
11
2
М
(Х)
= f
х
.
2х
dx
= f
2х
2
dx
= 2 f
х
2
dx
= 2 . ~
о
="3.
о о о
При
м
е
р
1
2.
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины
Х,
плотность
распределения
которой
задана
функцией
( -
00
<
Х
<
+00
).
Реш
е
н
и
е.
В
соответствии
с
формулой
(2.4.8)
находим:
M(X)~+f~
2х
..!..+f~
d(l+X2)=..!..f~
d(l+x
2
)+
_~
Щ1+х
2
)
1t
l+х
2
1t
l+х
2
+..!..+f~
d(l+X
2
2
)
=..!..ln(l+x
2
)1
о
+..!..ln(l+x2)1+~
=
1t
l+х
1t
-~
1t
о
о
=..!..(о-
lim
IП(I+Х
2
))+..!..(
lim
lП(l+х
2
)-О)=0,
1t
X~-
00
1t
х-++
00
поскольку
lim
ln(l+x
2
)=
lim
Iп(l+х
2
).
X~--
х-++-
Следовательно,
М(Х)=О
для
данной
случайной
величины.
125
3
а
м
е
ч
а
н
и
е.
Если
плотность
распределения
р(х)
-
функция
четная,
то
хр(х)
будет
нечетной
функцией
и
в
этом
случае
а
+-
J
xp(x)dx=O,
J
xp(x)dx=O,
М(Х)=О.
-а
Итак,
если
плотность
распределения
р.<х)
-
функция
четная,
то
центром
распределения
случайной
величины
Х
служит
начало
координат.
При
м
е
р
1
3.
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины
Х,
функция
распределения
которой
имеет
вид
о
nрuх
~-a,
(а+х)2
nрu-а<
х
~
О,
2а
2
F(x)
=
(а-х)2
1-
2а
2
nрuО<х
~a,
1 nрuх
>а.
Реш
е
н
и е.
Найдем
сначала
плотность
распределения
вероятностей
этой
случайной
величины.
Поскольку
р(х)
=
F'(x),
то:
о
nрuх
~-a,
~(1+:
)
nрu-а<х
~O,
р(х)=
~(1-:
J
npuO<x~a,
о
nрuх
>
а.
с
помощью
формулы
(2.4.7)
находим
искомое
математическое
ожи
дание
а
Ol!}
al!
}
М(Х)
= 1
хр(х)ш=
lal
1
+;
ш+
I
al
1
-;
ш>=
=-;
х+-
ш+-
х--
ш=-
-+-
+
1
О
[
х
2
J 1
Ja
[
х
2
J 1
[х
2
х
3
J I
О
а
а а а
а
2
За
-а
-а
О
+.!.[~-~Jla
=
.!.[-
(-
аУ
_
(-
а)3
]+.!.[(аУ
_
(аУ
]=
О.
а
2
За
О
а
2
За
а
2
За
126
Задачи
1.
НаЙдИте
математическое
ожидание
дискретной
случайной
вели
чины,
закон
распределения
которой
задан
таблицей:
х
2 3
4
р
0,15 0,25 0,3
0,2
0,1
2.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величины
задан
таб
лицей:
х
3
6 9
12
р
0,1 0,2
0,3
0,4
Запишите
закон
распределения
случайных
величин
2Х,
Х/3.
НаЙдите
математические
ожидания
случайных
величин
Х,
2Х,
Х/3.
3.
Известны
математические
ожидания
двух
случайных
величин
Х
и
У:
М(Х)=7,
М(
У)=4.
Найдите
математические
ожидания
суммы
и
раз
ности
этих
величин.
4.
Известны
математические
ожидания
двух
независимых
случаj1-
ных
величин
Х
и
У:
М(Х)=6,
М(У)=8.
Найдите
математическое
ожи
даниеих
про
изведения.
5.
Найдите
математическое
ожидание
случайной
величины
У=8Х+5,
если
известно,
что
М(Х)=1,5.
6.
Дискретная
случайная
величина
Х,
которая
может
принимать
бес
конечную
последовательность
значений,
задана
следующим
законом
распределения
х
1/4
1/42 1/43
1/4
k
I '
р
1/2
1/22
1/23
112
k
~
1
L-k
=1.
k=l
2
Найдите
математическое
ожидание
этой
случайной
величины.
7.
Плотность
распределения
вероятностей
случайной
величины
Х
задана
функцией
1
0
при
х:::;
О,
р(х)
=
зх
2
при
0<
х
:::;
1,
О
при
х
> 1.
Найдите
математическое
ожидание
случайной
величины
Х.
127
8.
Найдите
математИческое
ожидание
случайной
величины
Х,
если
известна
функция
распределения
этой
веЛИЧШIЫ
j
O
nрих
::;;0,
F(x)=
х/3
nриО<х
::;;3,
О
при
х
> 3.
9.
НаЙдИте
математическое
ожидание
случайной
величины
Х,
если
функция
распределения
имеет
вид
F(x)
=
{О
1
-ах
-е
при
х::;;
О,
при
х
>
О
(о:
>
О).
Ответы
1.2,85.
2.9,18,3.3.11,3.4.48.5.17
.
6.1/7.7.0,75.8.4,5.
9.
I1a
.
Вопросы
1.
Как
определяется
математическое
ожидание
дискретной
случай
ной
величины
Х,
принимающей
конечное
множество
значений?
2.
Какие
другие
названия
используют
для
математического
ожида
ния?
Чем
объясняются
эти
названия?
3.
Что
называют
математическим
ожиданием
дискретной
случайной
величины
Х,
принимающей
счетное
множество
значений?
4.
Как
определяется
математическое
ожидание
непрерывной
слу
чайной
величины,
все
значения
которой
принадлежат
отрезку
[0:,
~]?
5.
Как
определяется
математическое
ожидание
непрерывной
слу
чайной
величины,
все
значения
которой
принадлежат
бесконечному
промежутку
(-
00,
+
оо)?
6.
Каковы
свойства
математического
ожидания
случайной
величины?
7.
Какому
условию
должны
удовлетворять
случайные
величины
Х
и
У,
чтобы
выполнялось
равенство
(2.4.15)?
8.
Докажите,
что
математическое
ожидание
неотрицательной
дис
кретной
величины
неотрицательно.
§ 2.5.
Дисперсия
случайной
величины.
Среднее
квадратическое
отклонение
Разность
Х-М(Х)
называется
отклонением
случайной
величины
Х
от
ее
математического
ожидания
М(Х)
.
Математическое
ожидание
от
клонения
равно
нулю:
М(Х
-
М(Х»)=
о.
(2.5.1)
128
Дисперсией,
или
рассеянием,
случаiЩой
величины
Х
называется
ма
тематическое
ожидание
квадрата
ее
отклонения:
D(X)
=
М((Х
-
М(Х)У).
{2.5.2)
Из
определения
и
свойств
математического
ожидания
следует,
что
дисперсия
любой
случайной
величины
неотрицательна,
т.е.
D(X)~O
.
(2.53)
Для
вычисления
дисперсии
применяется
формула
D(X)
=
m(x
2
)-(м(х)У
. (2.5.4)
Дисперсия
случайной
величины
обладает
следующими
свойствами:
1.
Дисперсия
постоянной
величины
равна
нулю:
D(e)
=
О
(е
= const).
(2S5)
2.
Постоянный
множитель
можно
выносить
за
знак
дисперсии,
воз
водя
его
в
квадрат:
D(eX)
=
е
2
D(X)
(е
= const).
(2.5.6)
4.
Дисперсия
суммы
двух
независимых
случайных
величин
равна
сумме
их
дисперсий:
D(X
+
У)
=
D(X)
+
D(Y)
.
(2.5.7)
5.
Дисперсия
разности
двух
независимых
случайных
величин
равна
сумме
их
дисперсий:
D(X
-
У)
=
D(X)+
D(Y).
(2.5.8)
3
а
м
е
ч
а
н
и
е.
Свойство
3
распространяется
на
n
независимых
случайных
величин:
(2.5.9)
Дисперсия
дискретной
случайной
величины
с
законом
распределения
Р(Х
= X
k
) =
Pk
(k
=
1,
2,
... ,
n),
!.Рх
= 1
k=1
определяется
формулой
D(X)
= !.
(x
k
-
м(Х»2
Pk
(2.5.1
О)
k=1
53ак.
1874
129
или
формулой
11
D(X)
=
L(x
k
-
а)2
Pk
,
(2.5.10
а)
k=l'
где
а
=
М(Х)
(2.5.11)
-
другое
обозначение
для
математического
ожидания.
Этим
обозначени
.
ем
будем
пользоваться
и
в
дальнейшем,
в
зависимости
от
обстоятельств.
Если
ДИСКретная
случайная
величина
принимает
бесконеч~
по
следовательность-значений
с
законом
распределения
P(X=Xk)=Pk
(k=I,2,3,
...
),
то
ее
дисперсия
определяется
формулой
~
D(X)
=
L(x
k
-М(Хk)У
Pk
(2.5.12)
k=1
при
УСЛОВИИ,
что
этот
ряд
сходится.
Дисперсия
непрерывной
случайной
величины
Х,
все
значения
которой
принадлежат
отрезку
[а,
~],
определяется
формулой
J!
D(X)
= f
(Х
-
а)2
p(x)dx,
(2.5.13)
а
где
Р(Х)
-
плОтность
распределения
вероятностей
этой
величины,
а
=
М(Х)
-
ее
математическое
ожидание.
Дисперсию
можно
вычислять
по
формуле
J!
D(X)
= f
х
2
р(х)
dx
-
(М(Х)У
.
а
(2.5.14)
Дисперсия
непрерьmной
случайной
величины
Х,
все
значения
кото
рой
принадлежат
отрезку
(-
00,
+
00),
определяется
формулой
+~
D(X)
= f
(Х
-
а)2
Р(Х)
dx
,
если
этот
несобственный
интеграл
сходится.
абсолютно.
130
(2.5.15)