Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Подождите немного. Документ загружается.
CpeдHUМ
квадратuческuм
отклонением,
или
стандартным
откло
нением,
случайной
величины
Х
называется
корень
квадратный
из ее
дисперсии:
а(Х)
= J
D(X)
.
(2.5.16)
Это
определение
имеет
смысл,
ПОСКОЛЬКУ
выполнено
условие
(2.5.3).
При
м
е
р
1.
Доказать
формулы
(2.5.1)
и
(2.5.4).
Реш
е
н
и
е.
Так
как
математическое
ожидание
М
(Х)
-
постоянная
величина,
математическое
ожидание
постояlUЮЙ
равно
этой
постоянной,
математическое
ожидание
разности
случайных
величин
равно
разности
их
математических
ожиданий,
то
М(Х
-М(Х»)=
М(Х)-М(М(Х»)=
М(Х)-М(Х)=
О;
равенство
(2.5.1)
доказано.
Учитывая
свойства
математического
ожидания,
получаем
D(X)
=
М((Х
-
М(Х)У)=
М(х2
-
2ХМ(Х)
+
(М(Х)У)=
=
м(х
2
)-2М(ХМ(Х»)+
М((М(Х)У
)=М(Х
2
)
-2М(Х)М(Х)+(М(Х)У
=m(x
2
)-(м(х)У,
равенство
(2.5.4)
доказано.
При
м
е
р
2.
Доказать
равенства
(2.5.5) - (2.5.8).
Реш
е
н и
е.
Принимая
во
внимание
оПределение
дисперсии
и
тот
факт,
ЧТО
математическое
ожидание
постоянной
равно
этой
постоянной,
получаем
D(C) =
М((С
-
М(С)У)=
М(С
_С)2)=
М(О)
=
О
.
Из
определения
дисперсии
и
свойств
математического
ожидания
следует,ЧТО
D(CX)
=
М
((СХ
-М(СХ)У)=М((СХ
-см(х)У)=
=М(С
2
.(Х
-м(х)У)=С
2
М((х
-M(X)Y)=C
2
D(X).
для
доказательства
формулы
(2.5.8)
воспользуемся
формулой
(2.5.4):
D(X
+
У)
.
=
М(Х
+
у)2)_
(М(Х
+
у»)2
=
М(Х
2
+
2ХУ
+
у
2
)_
-
(М(Х)
+
м(у»)2
=
м(х
2
)+М(2ХУ)+
м(у
2
)_
-
[(М(Х)У
+
2М(Х)М(У)
+
(М(У)У
]=
м(х
2
)+
+
2М(Х)М(У)
+
м(у
2
)-(м(х»)2
-2М(Х)М(У)-
-(М(У)У
=
m(x
2
)-(м(х)У
+
м(у
2
)_
(м(У»)2
=
D(X)
+ D(Y).
131
Равенство
(2.5.8)
следует
из
формул
(2.5.6)
и
(2.5.7):
D(X
-У)
=
D(X
+(-У»)=
D(X)+D(-Y)
=
D(X)+(-1)2
D(Y)
=
=
D(X)
+
D(Y)
.
При
м
е
р
з.
ДИскретная
случайная
величина
Х
имеет
закон
распреде
ления
Х
О
2
р
0,3
0,5 0,2
Найти
дисперсию
и
среднее
квадратическое
отклонение
случайной
ве
личиных.
Реш
е
н и
е.
По
формуле
(2.4.3)
находим
М
(Х)
=
О
. 0,3 +
1·
0,5 + 2 . 0,2 = 0,9 .
Запишем
закон
распределения
квадрата
отклонения
этой
величины,
т.е
.
величины
(Х
-М(Х)У:
(х
-М(Х»)'
(0-0,9)2 (1-0,9)2
(2-0,9)2
Р
0,3 0,5
0,2
По
формуле
(2.5.10)
получаем
D(X)
=
(О
- 0,9)2 ·0,3 +
(1-
0,9)2 ·0,5 + (2 -
0,9/
·0,2
=
= 0,81· 0,3 + 0,01·0,5 +
1,21
·0,2
= 0,49 .
в
соответствии
с
формулой
(2.5.16)
находим
среднее
квадратиче
ское
отклонение
а(Х)
=
~
D(X)
=
~0,49
= 0,7 .
3
а
м
е
ч
а
н и
е.
Дисперсию
можно
вычисшiТЬ
и
по
формуле
(2.5.4).
Найдем
для
этого
математическое
ожидание
квадрата
случайной
величины
Х,
предвари
асп
еделения
сл
айной
величины
Х
2;
О
1 4
0,2
По
формуле
(2.4.3)
находим
132
м(х
2
)=0·
0,3
+ 1·
0,5+4·
0,2 = 1,3.
8
соответствии
с
формулой
(2.5.4)
находим
D(X)
=
м(х
2
)
-
(м(х»)2
=
1,3
- 0,92 =
1,3
-
0,81
= 0,49 .
При
м
е
р
4.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величины
Х
задан
таблицей
Х
-2
- 1
О
2
р
0,1
0,2 0,4 0,2
0,1
Вычислить
дисперсию
случайной
величины
Х
по
формуле
(2.5.4)
и
по
формуле
(2.5.1
О).
Реш
е н и
е.
Сначала
найдем
математическое
ожидание
случайной
величиныХ:
М(Х)
=
-2·0,1-1·0,2+0·
0,4+
1·0,2+2
·0,1 =
О.
Запишем
закон
распределения
случайной
величины
(Х
-
М
(х))2
:
(Х
-М(Х»)'
(-2-0)2
(_1_0)2
(O-Oi
(1
-
0)2
(2
-
0)2
Р
0,1
0,2
0,4 0,2
0,1
и
найдем
дисперсию
случайной
величиныХпо
формуле
(2.5.10):
D(X)
= 4·0,1
+}.
0,2 +
0·0,4
+
1·
0,2 + 4·0,1 =
1,2
.
Квадрат
случайной
величины
Х,
Т.е.
х
2
-
это
новая
случайная
вели
чина,
которая
с
теми
же
вероятностями,
что
и
случайная
величина
Х,
принимает
значения,
равные
квадратам
ее
·значениЙ.
Квадраты
значений
случайной
величины
Х
равны:
(_2)2 =
4,
(-1)2=1,02=0,12=1,
2
2
=4,т.е.
величинах
2
принимает
значения
Х\
=
О,
Х
2
= 1,
х
з
=
4.
Закон
распределения
случайной
величины
х
2
можно
записать
в
виде:
О
4
р
0,4 0,4
0,2
Вероятность
0,4
для
значения
X
z
= 1
получена
по
теореме
сложения
вероятностей,
с
которыми
случайная
величина
Х
принимает
значения
-1
и
1.
Аналогично
получена
вероятность
0,2
для
значения
х
з
= 4 .
По
формуле
(2.4.3)
находим
м(х
2
)
=
0·0,4
+
1·
0,4
+4·0,2
= 1,2.
Следовательно,
по
формуле
(2.5.4)
имеем
133
D(X)
=
м(х
2
)-(м(х))2
=
1,2-0
= 1,2.
При
м
е
р
5.
Симметричная
монета
подбрасывается
4
раза.
Случайная
величинаХ
-
"число
выпадений
герба
при
этих
подбрасываниях".
Найти
числовые
характеристики
случайной
величИJIЫ
Х:
М(Х),
D(X),
а(Х)
.
Реш
е
н
и
е.
Данная
дискретная
случайная
величина
Х
может
прини
мать
пять
значений:
Х
1
=
О,
Х
2
= 1,
Х
з
=
2,
Х
4
= 3 , X
S
= 4 .
Закон
распределения
случайной
величины
Х
можно
задать
таблицей
Х
о
2
3
4
р
1/16 4/16
6/16 4/16 1/16
Находим
математическое
ожидание
М(Х):
М(Х)
=
о
·1/16+
1·
4/16+2·6/16+3·4/16+
4
·1/16
=
2.
Закон
распределения
случайной
величины
(Х
- м
(Х))
имеет
вид:
(Х
-М(Х)У
(О
-
2)2
(1-
2)2
(2 -
2)2
(3
-
2)2
(4 -
2)2
Р
1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
Вычислим
дисперсию
D(X)
и
среднее квадратическое
отклонение
а(Х)
:
D(X)
= 4
·1/16
+
1·
4/16
+
0·6/16
+ 1·
4/16
+ 4
·1/16
= I ,
При
м
е
р
6.
Найти
дисперсию
дискретной
случайной
величины
Х
-
числа
очков,
выпадающиХ
при
подбрасывании
игр~ьного
кубика.
Реш
е н
и
е.
Запищем
сначала
закон
распределения
этой
случайной
величины
в
виде
таблицы
I
~
I
~
I : I i I
~
I ! I i I
Найдем
математические
ожидания
М(Х)
и
м(х
2
)
:
134
1 1 1 1 1 1
21
М(Х)
=
1·-+2·-+3
·-+4·-+5
·-+6·-
=-'
6 6
66
6 6
6'
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
91
М(Х
)=1·-+2
·-+3
·-+4
·-+5
·-+6
'-=-.
6666666
Дисперсmo
вычислим
по
формуле
(2.5.4):
~(X)=M(X2)-(M(X)Y
= 961_(261)2 =2.!.
__
44_1
=_10_5
=
35
6 36
36
12
При
м
е
р
7.
Даны
все
возможные
значения
дискретной
случайной
величины
Х:
Х
1
= 1,
Х
2
=
2,
Х
з
=
3,
а
также
извесп!:ы
М(Х)
= 2,3,
М(Х
2
)
=
5,9
.
Найти
закон
распределения
случайной
величиньг
Х.
Реш
е н
и
е.
Запишем
законы
распределения
дискретных
случайных
величин
Х
и
х
2
:
Х
2
3
I I
х
2
I I
4 9
I
р
Еl
Е2
l!.з
,
р
Еl
Е2
l!.з
,
где
Pl,
Р2,РЗ
пока
неизвестны,
причеМРl+
Р2+РЗ=
1.
Используя
условие,
получаем
систему
двух
уравнений
с
тремя
неиз
.
вестными
{
Рl
+2Р2
+3Рз
=2,3,
Рl
+4Р2
+9рз
=5,9.
Поскольку
Р
1 +
Р2
+
РЗ
= 1
и
Рз
=
1-
Рl
-
Р2
,
то
система
уравнений
при
нимаетвид
{
8
Р
1
+5Р2
=3,1,
2
Рl
+
Р2
= 0,7 ,
откуда
Рl
=
0,2,
Р2
=
0,3
.
Поэтому
Рз
=
1-
Рl
-
Р2
=
0,5
.
.
Итак,
закон
распределения
случайной
величины
Х
определяется
таб
лицей
Х
р
При
м
е
р
8.
Дискретная
случайная
величина
Х
может
принимать
135
только два
значения
Х,
и
Х
2
'
причем
Х,
<
Х
2
.
Известны
вероятность
PL
= 0,5,
математическое
ожидание
М(Х)
=
3,5
и
дисперсия
D(X)
=0,25.
Найти
закон
распределения
дискретной
случайной
вели
чиньгХ.
Решение.
Поскольку
р,+
pz=1
(см.
формулу
(2.1.2»
и
р,
=0,5,
то
Р2=0,5;
М(Х)=0,5х,+0,5х
2
=3,5,
откуда
х,+х
2
=7.
По
формуле
(2.5.12)
находим
D(X)=(x
L
-3,5)2
р,
+(Х
2
-3,5)2
Р2
=(Х,
-3,5)2 ·0,5-t-(X
2
-3,5)2 ·0,5
=0,25,
X~
+Х;
=
25.
Решая
систему
уравнений
и
УЧИ1ЪТВая
условие
Х,
<
Х
2
,
получаем
х,
=
3,
Х
2
= 4 .
Следовательно,
Р(Х
=
3)
=
0,5,
Р(Х
= 4) = 0;5.
Пр.и.м.ер
9.
Найти
числовые
характеристики
М(Х),
D(X),
а(Х)
непрерывной
случайной
величины
Х,
заданной
плотностью
распределе
ния
при
Х
::;2,
при
2 <
Х::;
4,
nрих>4.
Р-ешен
ие.
Сначала
находим
М(Х)
по
формуле
(2.4.7):
М(Х)=
jx
·0,5
dX
=~Jx
dx
=~.
х
2
2
1:
=±(l6-4)=3,
М(Х)=3.
2:
2
в
соответствии
с
формулой
(2.5.13)
найдем
D(X):
D(X)
=
[(Х-З
i
.~
dx
=~
[(х
2
-6х+9)
dx
=~[
х;
_зх
2
+9х
)1:
=
=.!.(64
_ 3
.16~
36)-.!.[!-
3·4
+
18)=.!.:
D(X)
=.!..
2 3 2 ·3 3 3
13:6
По
формуле
(2.5.16)
находим
а(Х)
=М
= 0,58 .
При
м
е
р
1
о.
Найти
числовые
характеристики
М(Х),
D(X),
а(Х)
непрерывной
случайной
величины
Х,
заданной
плотностью
вероятно
стей
nрих::;
О,
при
О
<х::;
1,
nрих>1.
Реш
е
н
и
е.
С
помощью
формулы
(2.4.7)
находим
математическое
ожидание:
1 1 2 2
_11
2
М(Х)
=
J2x.xdx=J2x
Ш=3·
Х
'
0=3·
о
о
По
формулам
(2.5.13)
и
(2.5.16)
соответственно
получаем
D(X)
=
[(х
_f)2.2x
dx
=[(х
2
-~x
+~
J2x
dx
=[[
2х
З
_~x2
+%х
Jdx
=
=
[х
2
4
-
8;
3 +
~
Х
2 J
1:
=
~
-% +
~
=
/8
.
D(X)=~,
cr(X)=/I/18
=0,24.
18
При
м
е
р
1
1.
Случайная
величина
Х
задана
функцией
распределения
1
0
при
х::;
О,
F(x)
=
х
3
при
О
<
х
:S;
1,
1
npих>1.
Найти
числовые
характеристики
случайной
Х:
М(Х),
D(X),
а(Х).
величины
Реш
е н и
е.
Сначала
найдем
плотность
распределения
р(х)
с
помо
щью
формулы
(2.3.5).
Так
как
р(х)
=
F'(x)
,
то
137
1
0
при
х
$0,
р(х)
=
зх
2
при
О
<
х::;
1,
.0
при
х
> 1.
По
формуле
(2.4.7)
вычисляем
математическое
ожидание:
М
(Х)
= f
х
.
3х
2 dx = 3 f
х
3 dx = 3 .
х
4
4
=
~
.
о о
в
соответствии
с
формулами
(2.5.13)
и
(2.5.16)
находим
дисперсию
и
среднее
квадратическое
отклонение:
I(
3)2
I(
3
9)
D(X)=I
Х-"4
.Зх
2
dx=зI
х
2
-"2
Х
+16
x
2
dx=
=
3[(
х
4 -%
х
3 +
1:
х
2
)dx
~
з[
x
5
s
-
% .
х
4
4
+
~
>з3
}
1:
=
=
3(
~-i+
136
J=
830;
D(X)
=
:0
;
~(X)
= ..}3/80
""
0,19.
При
м
е
р
1
2.
Независимые
случайные
величины
Х
р
Х
2'
...
,
Х"
имеют
одинаковые
распределения,
для
них
(О
при
k =
1,
2, ... , n .
Найти
числовые
характеристики
среднего
арифмети
ческого
этих
случайных
величин,
Т.е.
случайной
величины
X=X
1
+X
2
+",+X
II
•
n
Реш
е
н и
е.
С
учетом
формулы
(2.4.13)
и
условия
(1)
находим
(Il)
М(Х)
=
М(Х
1
+
Х
2
+
...
+
Х"
J=
M(X
1
)+
М(Х
2
)+
... +
М(Х,,)
=
па
=
а.
ппп
Итак,
М(Х)=а,
(Ш)
Т.е.
математическое
ожидание
среднего
арифметического
n
независимых
одинаково
распределенных
случайных
величин
равно
математическому
138
ожидаюno
каждой
из
этих
величин.
Учитывая
формулы
(2.5.6), (2.5.9)
и условие
(1),
получаем
D(X)=D(X
t
+X
z
+ ...
+Х
n
)=
D(Xt)+D(Xz)+
...
+D(X,,)
=
nD
=
D.
n n
z
n~
n
Значит
D
D(X)=-,
n
(IV)
т.е.
дисперсия
среднего
арифметического
n
независимых
одинаково
распределенных
случайных
величин
в
n
раз
меньше
дисперсии
каждой
из
этих
величин.
Учитывая
определение
и условие
(1),
находим
а(Х)
=
~
D(X)
=
.j
D / n =
.JD
/ n =
cr
/
-гп
.
(У)
Таким
образом,
среднее
квадратическое
отклонение
среднего
ариф
метического
n
независимых
одинаково
распределенных
случайных
ве-
личин
в
гп
раз
меньше
среднего
квадратического
отклонения
каждой
величины.
Задачи
1.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величиныI
Х
задан
таблицей
Х
2
3
4 5
р
0,05 0,15 0,3
0,4
0,1
Найдите
дисперсию
случайной
величины
Х.
2.
Подбрасr.IВается
игральный
кубик.
Случайная
величина
Х
-
"число
выпавших
очков".
Найдите
дисперсию
и
-среднее
квадратическое
отклонение
случайной
величиныI
Х.
3.
Симметричная
монета
подбрасывается
трижды.
Случайная
вели
чина
Х
-
"число
выпавших
цифр".
Найдите
числовые
характеристики
М(Х),
D(X),
а(Х).
4.
Найдите
числовые
характеристики
М(Х),
D(X),
а(Х)
случай
ной
величины
Х,
заданной
законом
распределения
Х
-
0,1
о
0,1 0,4
р
0,3
0,15
0,3
0,25
5.
Непрерывная
случайная
величина
Х
задана
плотностью
распреде-
139
I
ления
вероятностей
{
еЖ
р(х)
=
О
при
х
:5
О,
nрих
>
О.
Найдите
числовые
характеристики
М(Х),
D(X),
cr(X).
6.
Непрерывная
случайная
величина
Х
задана
функцией
распределе-
ния
{
О
при
х
:5
-2,
F(x)
= 0,2·
(х
+ 2)
при
- 2 <
х
:5
3,
1
при
х
>
3.
Найдите
числовые
характеристики
М(Х),
D(X),
cr(X),
P(l
<
Х
< 5) .
Ответы
1.1,0275.
2.
D(Х)=З5/12=2,917
;
а(Х)
=
1,708
.
3.
М(Х)=З/2=1
,
5
;
D(X)=O,75;
а(Х)=0,866
.
4.
M(X)=O,I;
D(Х)=0,ОЗ6;
а(Х)=0
,
190
.
5.
М(Х)=-I
;
D(X)=l;
a(X)=l.
а(Х)
'"
1,44З
.
Р(I
<Х
< 5) =
0,4.
6.
М(Х)=О,5;
D(Х)=6,25/З",2
,
08З;
Вопросы
1.
Что
называют
отклонением
случайной
величины
от
ее
математи-
ческого
ожидания?
2.
Чему
равно
математическое
ожидание
отклонения?
3.
Как
определяется
дисперсия
случайной
величины?
4.
Что
характеризует
дисперсия
случайной
величины?
5.
По
какой
формуле
можно
вычислять
дисперсию?
6.
Каковы
свойства
дисперсии
случайной
величины?
7.
Запишите
формулу
для
дисперсии
дискретной
случайной
величи
ны,
принимающей
конечное
множество
значений.
8.
Какой
вид
имеет
формула
для
дисперсии
дискретной
случайной
величины,
принимающей
счетное
множество
значений?
9.
По
каким
формулам
вычисляется
дисперсия
непрерывной
случай
ной
величины,
все
значения
которой
принадлежат
отрезку
[а,
~]?
10
.
Как
определяется
дисперсия
непрерывной
случайной
величины,
все
значения
которой
принадлежат
бесконечному
промежут-
ку(-
00,
+
оо)?
11.
По
какой
формуле
можно
вычислить
дисперсию
непрерывной
случайной
величины,
все
значения
которой
принадлежат
бесконечному
промежутку
(-
00, +
оо)?
140