Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород

Подождите немного. Документ загружается.

382

ГЛАВА 1 г

в наборе исходных данных и может весьма успешно применяться для изу-

чения изменчивости, возникающей при изменении содержания того или

иного компонента породы.

21.16. ЧАСТНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Измерение силы связи можно до некоторой степени улучшить путем

использования коэффициентов частной корреляции, причем связь между

двумя переменными может быть определена независимо от третьего компо-

нента, особенно если последний имеет постоянное среднее значение. Коэф-

фициент частной корреляции можно вычислить по следующей формуле [127]:

Г123 =

:12-^23 (21.48)

[(1-¾) (1-¾)

]

172

Путем перестановки индексов в этой формуле можно получить три

новых частных корреляционных коэффициента, для которых можно про-

верить гипотезу равенства нулю с помощью той же таблицы, которая приме-

нялась для двух переменных с числом степеней свободы ν = η — 3. Кроме

того, коэффициенты частной корреляции могут быть преобразованы в ζ, для

которых проверена гипотеза на однородности, и т. д.

В качестве примера, пользуясь табл. 21.13, можно отметить, что раз-

меры кварцевых зерен, представленные замерами в шлифах длинных осей а,

имеют отрицательную связь с пористостью X

; но, с другой стороны,

количество связующей массы X

положительно коррелируется с размерами

кварцевых зерен X

и в то же время оно проявляет отрицательную связь

с пористостью. Было бы желательно определить, зависима ли корреляция

размеров зерен с пористостью от изменений содержания связующей массы?

Обозначив размер зерна через X

, количество связующей массы — X

и пористость — X

, получим следующие коэффициенты:

= + 0,8113, г

= — 0,7094, r

= — 0,6671.

Затем оцениваем силу связи между размерами зерен X

и пористостью

, исключив влияние связующей массы X

13 —

13,2

"[(I-I-J

)Sd-,а)»]

'* '

или

-0,7094 + 0,8113x0,6671

Λ ооа

Г13 2 = Tl—

—и,ООО.

[1—0,8113

1 —

(— 0,6671)

]

Для η = 33, ν = τι — 3 = 30 значение г

, согласно таблице, равно

0,349 при уровне значимости 0,05 [15]. Очевидно, что изменения размеров

зерен все же

сильно связаны с изменениями пористости, однако интенсив-

ность этой связи существенно ослабевает, если относительное количество

связующей массы (матрица) остается постоянным. Исключая влияние тре-

тьей переменной на каждую из двух первых, получим:

=+0,8113; T-J

=-0,7094; ^

= —0,6671;

''12.3= +0,6439; rja.a= -0,3862; r

23>1

=-0,222.

В данном перечне коэффициентов корреляции видно, что сила связи

уменьшается с переходом от одного коэффициента к другому, однако связь

между размером зерен и относительным количеством связующей массы сла-

бее, чем между размерами зерен и пористостью или между матрицей и пори-

стостью. Взаимоотношение между пропорцией матрицы и пористостью породы

[если считать, что размерность зерен остается постоянной (r

.i)] понижает

ИЗМЕРЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ

383

уровень значимости; следовательно, когда это отношение определено и устра-

нено влияние размерности зерен, пористость меняется независимо от изме-

нений количества связующей массы.

Понятие о частной корреляции можно распространить и на те случаи,

когда исключается влияние более чем одной переменной, но тогда лучше

прибегнуть к множественной корреляции и многомерному анализу с исполь-

зованием основных приемов факторного анализа [177, 201, 299]. Ясно также,

что могут быть оценены и многие другие сочетания переменных. Однако

у нас нет необходимости в таком подробном анализе прежде всего потому,

что ограниченные наборы данных содержат ограниченный объем информа-

ции, вероятно во многом лишней. Кроме того, последовательные проверки

пар и троек зависимых приводят к невыполнению переменных требований

независимости, необходимой для успеха проверки. В результате вероятно-

стный уровень различных проверок может сильно меняться. Итак, реко-

мендуется проверять только те характеристики, которые представляют для

нас первостепенный интерес и которые были рассмотрены до изучения кор-

реляционной матрицы.

21.17. ПЕРЕХОД ОТ ПРОСТОЙ КОРРЕЛЯЦИИ К МНОЖЕСТВЕННОЙ

И ОТ ЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ К НЕЛИНЕЙНЫМ

От измерения одной случайной величины очень просто перейти к изме-

рениям двух, трех, четырех и более величин, и в каждом случае взаимо-

отношения между ними можно выражать в одной и той же форме, например

в форме коэффициентов корреляции или в виде линейной регрессии с более

чем одной переменной. Такое утверждение формально выражается полино-

мом следующего вида:

F = P

+ PiXi + P

+ . · - + PftX

- (21.49)

В простейшем случае X

= 1, а β

эквивалентно формуле простой регрес-

сии. Равенство (21.49) отражает изменения Y в зависимости от изменений

нескольких переменных X, что дает множественную линейную регрессию.

Последняя может быть проанализирована процедурой, аналогичной про-

цедуре анализа простой линейной регрессии, только обобщенной на случай

обработки нескольких переменных [340, 344]. Аналогично, если X

= X

, X

= X

, Х4 = X

, X5 = X

и т. д., можно определить нели-

нейную зависимость. При этом данная процедура, которая приводит к более

сложной арифметике, не требует введения каких-либо принципиально

новых понятий. С другой стороны, при оценке степени связи коррелиро-

вание Y с несколькими X

приводит к коэффициенту множественной (линей-

ной) корреляции

Ry-X

.. .χ.

и т. д. Способы решения подобных [задач

описаны в ряде известных руководств, например в работах [27, 44, 340,

344, 454]. Многочисленные примеры использования этих методов для реше-

ния геологических задач приводятся в работах [164, 167, 172, 265, 299].

21.18. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОСТОЙ РЕГРЕССИИ

И КОРРЕЛЯЦИИ В НАУКАХ О ЗЕМЛЕ

В предыдущем изложении дано множество примеров использования

в геологии простой регрессии и корреляции; кроме того, много разнообраз-

ных подобных примеров рассматривают Миллер и Кан ([299], гл. 8—И).

Миллер и Кан описывают также возможные процедуры, предназначенные

для определения линии «наилучшего приближения» и применения ее к зада-

чам биометрии. Имеется также великолепная статья [245], касающаяся при-

менения в седиментологии экспоненциальных функций.

384

Таблица

21.14

Значения

я,

соответствующие значениям

От 0,0 до 0,59

1 2

5 6

7 8

0,0 0,0

0 0010 0

0020

0,0030

0040

0050

0060

0070

0,0080

0090

0,01

0,0100

0 оно 0

0120

0,0130

0140

0150

0160

0170

0,0180

0190

0,02

0,0200

0210

0220

0,0230

0240

0250

0260

0270 0,0280

0290

0,03

0,0300

0 0310

0320 0,0330

0340

0350

0360

0370 0,0380

0390

0,04

0,0400

0 0410 0

0420 0,0430

0440

0450

0460

0470

0,0480

0490

0,05

0,0500

0 0510

0520 0,0530

0541 0

0551

0 0561 0

0571

0,0581

0591

0,06

0,0601

0611

0621

0,0631

0641

0651

0661 0

0671

0,0681

0691

0,07

0,0701

0711 0

0721

0,0731

0 0741

0 0751

0761

0772

0,0782

0792

0,08

0,0802

0812

0822

0,0832

0842

0852

0862

0872

0,0882

0892

0,09

0,0902

0 0913 0

0923 0,0933

0943

0953

0963

0973 0,0983

0993

0,10

0,1003

1013 0 1024

0,1034

1044 0

1054

1064

1074

0,1084

0 1094

0,11

0,1104

1115

0 1125

0,1135

0 1145

1155 0

1165

1175

0,1186

0 1196

0,12

0,1206

1216

0 1226

0,1236

1246

0 1257

1267 0 1277

0,1287

1297

0,13

0,1307

1318

0 1328

0,1338

0 1348

1358 0

1368

1379

0,1389

1399

0,14

0,1409

1419

1430

0,1440

0 1450

1460

1471

1481

0,1491

1501

0,15

0,1511

1522

1532

0,1542

1552

0 1563

1573 0 1583

0,1593

0 1604

0,16

0,1614

1624

0 1634

0,1645

0 1655

0 1665 0 1676 0

1686

0,1696

1706

0,17

0,1717

0 1727

0 1737

0,1748

1758

1768

0 1779

1789

0,1799

0 1809

0,18

0,1820

0 1830 0

1841

0,1851

1861

1872

1882

1892

0,1903

0 1913

0,19

0,1923

1934

0 1944

0,1955

0 1965

1975

1986

1996

0,2007

2017

0,20

0,2027

2038

2048

0,2059

2069

2979

2090

0 2100

0,2111

2121

0,21

0,2132

2142

0 2153

0,2163

2174

2184

0 2195

2205

0,2216

2226

0,22

0,2237

2247

2258

0,2268

2279

2289

2300

0 2310

0,2321

2331

0,23

0,2342

2352

2363

0,2374

2384

2395

2405

2416

0.2427

2437

0 24

0,2448

2458

2469

0,2480

2490

2501

2512

2522

0,2533

2543

0,25

0,2554

2565

2575 0,2586

2597

2608

0 2618 0

2629

0,2640

2650

0,26

0,2661

2672

2683 0,2693

2704

0 2715 0

2726

2736 0,2747

2758

0,27

0,2769

2779

2790

0,2801

2812

2823

2833

2844

0,2855

2866

0,28

0,2877

2888

2899

0,2909

2920

0 2931 0

2942

2553

0,2964

2975

0,29

0,2986

2997

3008 0,3018

3029

3040

0 3051

3062

0,3073

3084

0,30

0,3095

3106

3117

0,3128

0 3139 0

3150

3161

3172

0,3183

3194

. 0.31

0,3205

3217

3228 0,3239

3250

0 3261 0

3272

3283 0,3294

3305

* 0,32

0,3316

3328

3339

0,3350

3361

3372

3383

3395 0,3406

0 3417

0,33

0,3428

3440

0 3451

0,3462

3473

3484

3496

3507

0,3518

3530

0,34

0,3541

3557

3564

0,3575

3586

3598

3609

3620

0,3632

3643

0,35

0,3654

3666

3677

3689

3700

3712

3723

3734 0,3746

3757

0,36

0,3769

3780

3792

0,3803

3815 0

3826

3838

3850

0,3861

3873

0,37

0,3884

3896

3907 0,3919

0 3931

3942

3954

3966

0,3977

3989

0,38

0,4001

0 4012 0

4024 0,4036

4047

4059

4071 0

4083

0,4094

4106

0,39

0,4118

0 4130 0

4142

0,4153

0 4165 0 4177

4189

4201

0,4213

4225

0,40

0,4236

4248

4260

0,4272

4284

4296

4308

4320

0,4332

4344

0,41

0,4356

4368

4380 0,4392

4404

4416 0

4428

4441

0,4453

4465

0,42

0,4477

4489

4501

0,4513

4526

4538

4550

4562

0,4574

4587

0,43

0,4599

4611

4624

0,4636

4648

4660

4673

4685

0,4698

4710

0,44

0,4722

4735

4747

0,4760

4772

4784

4797

4809 0,4822

4834

0,45

0,4847

4860

4872

0,4885

4897

4910

4992

4935

0,4948

4960

0,46

0,4973

4986

4999 0,5011

5024

5037

5049

5062

0,5075

5088

0,47

0,5101

5114

5126

0,5139

5152 0 5165 0

5178 0 5191

0,5204

0 5217

0,48

0,5230

5243

5256

0,5269

5282

5295

5308

5321

0,5334

5347

0,49

0,5361

5374

5387

0,5400

5413 0

5427

5440

5453

0,5466

5480

0,50

0,5493

5596

5520

0,5533

5547

5560

5573

5587

0,5600

5614

0,51

0,5627

5641

5654 0,5668

5682

5695

5709

5722

0,5736

5702

0,52

0,5763

5777

5791

0,5805

0 5818

5832

5846

5860

0,5874

5888

0,53

0,5901

5915

5929 0,5943

5957

5971 0

5985

5999

0,6013

6027

0,54

0,6042

6056

6070

0,6084

6098

6112

0 6127 0

6141

0,6155

0 6169

0,55

0,6184

0 6198

0 6213

0,6227

6241

6256

6270

6285 0,6299

0 6314

0,56

0,6328

6343

6358

0,6372

6387

6401

6550

6416

6565

6431

6580

0,6446

0,6595

6460

6610

Q,5I

0,6475

6490

6505

0,6520

0535

6401

6550

6416

6565

6431

6580

0,6446

0,6595

6460

6610

0,58

0,6625

6690

6655

0,6670

6685

6700

6716 0 6731

0,6746

0 6761

0,59

0,6777

6792

6807

0,6823

6838

6854

6869

6885

0,6900

6916

ИЗМЕРЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ 384

Продолжение табл.

385

21.14

От 0,60 до 0,99

0,60 0,6931 0,6947 0,6963 0,6978 0,6994 0,7010 0,7026 0,7042 0,7057 0,7073

0,61 0,7089 0,7105 0,7121 0,7137 0,7153 0,7169 0,7185 0,7201 0,7218 0,7234

0,62 0,7250 0,7266 0,7283 0,7299 0,7315 0,7332 0,7348 0,7365 0,7381 0,7398

0,63 0,7414 0,7431 0,7447 0,7464 0,7481 0,7498 0,7514 0,7531 0,7548 0,7565

0,64 0,7582 0,7599 0,7616 0,7633 9,7650 0,7667 0,7684 0,7701 0,7718 0,7736

0,65 0,7753 0,7770 0,7788 0,7805 0,7823 0,7840 0,7858 0,7875 0,7893 0,7910

0,66 0,7928 0,7946 0,7964 0,7981 0,7999 0,8017 0,8035 0,8053 0,8071 0,8089

0,67 0,8107 0,8126 0,8144 0,8162 0,8180 0,8199 0,8217 0,8236 0,8254 0,8273

0,68 0,8291 0,8310 0,8328 0,8347 0,8366 0,8385 0,8404 0,8423 0,8441 0,8460

0,69 0,8480 0,8499 0,8518 0,8537 0,8556 2,8576 0,8595 0,8614 0,8634 0,8653

0,70 0,8673 0,8693 0,8712 0,8732 0,8752 0,8772 0,8792 0,8812 0,8832 0,8852

0,71 0,8872 0,8892 0,8912 0,8933 0,8953 0,8973 0,8994 0,9014 0,9035 0,9056

0,72 0,9076 0,9097 0,9118 0,9139 0,9160 0,9181 0,9202 0,9223 0,9245 0,9266

0,73 0,9287 0,9309 0,9330 0,9352 0,9373 0,9395 0,9417 0,9439 0,9461 0,9483

0,74 0,9505 0,9527 0,9549 0,9571 0,9594 0,9616 0,9639 0,9661 0,9684 0,9707

0,75 0,9730 0,9752 0,9775 0,9798 0,9822 0,9845 0,9868 0,9892 0,9915 0,9939

0,76 0,9962 0,9986 1,0010 1,0034 1,0058 1,0082 1,0106 1,0130 1,0154 1,0179

0,77 1,0203 1,0228 1,0253 1,0277 1,0302 1,0327 1,0352 1,0378 1,0403 1,0428

0,78 1,0454 1,0479 1,0505 1,0531 1,0557 1,0583 1,0609 1,0635 1,0661 1,0688

0,79 1,0714 1,0741 1,0768 1,0795 1,0822 1,0849 1,0876 1,0903 1,0931 1,0958

0,80 1,0986 1,1014 1,1042 1,1070 1,1098 1,1127 1,1155 1,1184 1,1212 1,1241

0,81 1,1270 1,1299 1,1329 1,1358 1,1388 1,1417 1,1447 1,1477 1,1507 1,1538

0,82 1,1568 1,1599 1,1630 1,1660 1,1692 1,1723 1,1754 1,1786 1,1817 1,1849

0,83 1,1881 1,1914 1,1946 1,1979 1,2011 1,2044 1,2077 1,2111 1,2144 1,2178

0,84 1,2212 1,2246 1,2280 1,2315 1,2349 1,2384 1,2419 1,2454 1,2490 1,2526

0,85 1,2562 1,2598 1,2634 1,2671 1,2707 1,2745 1,2782 1,2819 1,2857 1,2895

0,86 1,2933 1,2972 1,3011 1,3050 1,3089 1,3129 1,3169 1,3209 1,3249 1,3290

0,87 1,3331 1,3372 1,3414 1,3456 1,3498 1,3540 1,3583 1,3626 1,3670 1,3714

0,88 1,3758 1,3802 1,3847 1,3892 1,3938 1,3984 1,4030 1,4077 1,4124 1,4171

0,89 1,4219 1,4268 1,4316 1,4365 1,4415 1,4465 1,4516 1,4566 1,4618 1,4670

0,90 1,4722 1,4775 1,4828 1,4882 1,4937 1,4992 1,5047 1,5103 1,5160 1,5217

0,91 1,5275 1,5334 1,5393 1,5453 1,5513 1,5574 1,5636 1,5698 1,5762 1,5826

0,92 1,5890 1,5956 1,6022 1,6089 1,6157 1,6226 1,6296 1,6366 1,6438 1,6510

0,93 1,6584 1,6658 1,6734 1,6811 1,6888 1,6967 1,7047 1,7129 1,7211 1,7295

0,94 1,7380 1,7467 1,7555 1,7645 1,7736 1,7828 1,7923 1,8019 1,8117 1,8216

0,95 1,8318 1,8421 1,8527 1,8635 1,8745 1,8857 1,8972 1,9090 1,9210 1,9333

0,96 1,9459 1,9588 1,9721 1,9857 1,9996 2,0139 2,0287 2,0439 2,0595 2,0756

0,97 2,0923 2,1095 2,1273 2,1457 2,1649 2,1847 2,2054 2,2269 2,2494 2,2729

0,98 2,2976 2,3235 2,3507 2,3796 2,4101 2,4427 2,4774 2,5147 2,5550 2,5987

0,99 2,6466 2,6996 2,7587 2,8257 2,9031 2,9945 3,1063 3,2504 3,4534 3,8002

Выделено несколько видов своеобразных связей, которые, видимо, могут

иметь общее значение для наук о Земле: взаимоотношения между объемной

плотностью и пористостью, проявляющиеся в виде отрицательной линейной

связи высокой степени — более 90% [92]; между размерностью зерен и сор-

тировкой по размерности при процедуре непосредственных измерений [175,

176, 213]; между пористостью нефтеносных песчаников и карбонатов и лога-

рифмом их проницаемости [167, 192, 267, 381]; между длиной осей кварце-

вых зерен и количеством обломков кварцитов (эта связь линейна при ф-еди-

ницах и очень значительна по измерениям в шлифах) [164, 167, 169].

Общий интерес представляет также явление ложной корреляции между

относительными количествами составных частей породы, вызываемой огра-

ничением, которое заключается в том, что сумма всех составляющих опреде-

ляется заранее в виде фиксированной величины [56, 65, 67, 436]. Понятие

ложной корреляции распространяется на анализ состава вещества в целом

независимо от того, анализируется ли валовой химический состав, шлифы

или состав минералов тяжелой фракции. До тех пор пока не будет найден

способ эффективного преобразования, все анализы такого рода будут оста-

25—429

386

ГЛАВА 1 г

ваться в значительной степени неопределенными. Подобная ложная корре-

ляция установлена, например, между размерами минералов в шлифах

по длинной и короткой осям или между длинной, средней и короткой осями

частиц рыхлых осадков вследствие того, что по определению α >

или

α >

~> с соответственно. Степень связи, порождаемая такими условиями,

может быть выражена численно, и, если коэффициенты корреляции по выбор-

кам значительно превышают полученные значения, можно допустить, что

ρ равно нулю [404].

Своеобразное использование коэффициента корреляции Драйден [103]

описал в работах [108, 196] с различных (как положительных, так и отри-

цательных) точек зрения. Драйден применил коэффициент корреляции

для измерения «сходства» между двумя комплексами тяжелых минералов,

а Эйзенхарт пришел к выводу, что для этой цели более подходящим крите-

рием является χ

. Хелсон, однако, поддержал способ Драйдена. Пример

такой полемики должен подчеркнуть, что «статистики» можно использовать

по-разному. Когда статистический критерий используется в качестве итого-

вой характеристики исходных данных, то, поскольку он удовлетворяет

алгебраическим требованиям, дальнейших уточнений не требуется. Однако,

если критерий используется просто как оценка параметра генеральной сово-

купности, возникает множество дополнительных требований. Таким обра-

зом, для дискретных классов подразумевается полиномиальное распределе-

ние частот и номинальное или в лучшем случае порядковое исчисление,

причем подходящей статистикой будет χ

. Если же две переменные являются

непрерывными случайными величинами, то требуется непрерывная шкала

(интервальная или шкала отношений), и тогда более эффективными ока-

жутся параметрические статистики, подобные коэффициенту корреляции.

Добавим, что коэффициенты корреляции широко применяются в палео-

биометрии, как это показано у Олсона и Миллера [313], использовавших

корреляционные матрицы для расширенного строгого многомерного анализа.

ГЛАВА 22

Принципы экспериментальных исследований

...хотя бесспорно, что одной из задач экспериментальной работы

является выработка решений, другая цель — это достижение знания

о состоянии природы (т. е. о значениях параметров) без какой-либо опре-

деленной мыслительной обработки этих данных.

D. V. Lindley, On a Measure of the Information Provided by

an Experiment, Ann. Math. Statistics, 27, 987, 1956

22.1. ВВЕДЕНИЕ

Любое исследование начинается с определения его цели, и важно, чтобы

это определение было как можно более точным. Ясно также, что цель работы

в итоге формулируется в виде гипотез, подлежащих проверке, а это в свою

очередь приводит в область философии метода, к методологии. Научный

метод, о котором говорилось в первой главе, заключается в последователь-

ном приближении экспериментального исследования к этому аспекту.

В общий план эксперимента по проверке гипотез входит план выборки,

и, если исследуются обломочные породы, входит также и описание выбороч-

ной модели, которая лежит в основе опробования (гл. 2). Случайное опробо-

вание требует применения к результатам эксперимента теории вероятностей.

Затем описываются процедуры сбора данных с аксиоматическим под-

ходом к анализу совокупности элементов. При этом набор основных свойств

определен как необходимый и достаточный для однозначного описания

совокупности. Этих свойств пять: количество элементов разного рода,

их размер, форма, ориентация и упаковка. Все другие свойства можно рас-

сматривать как производные, т. е. зависимые, представляющие собой неко-

торые частные сочетания значений этих пяти указанных основных свойств

(гл. 3).

При аксиоматическом подходе выбор подходящей методики, с помощью

которой получают данные описания горных пород (совокупностей), упро-

щается. Предпочтительны простые процедуры сравнения данных непосред-

ственных измерений, выполняемых на множестве однородных элементов,

и эти данные выражаются в виде итоговых статистик, которые представляют

обычную плотность распределения (гл. 4—11). Эти статистики являются

простыми оценками параметров совокупности и при надлежащим образом

выбранной процедуре отбора, дающей случайные выборки, эти статистики

удовлетворяют требованиям несмещенности, состоятельности, эффективности,

а нередко и достаточности. Во многих случаях такая информация, или шкала

результирующих измерений, достигает уровня шкалы отношений или

по крайней мере интервального уровня; тогда для последующего свертыва-

ния данных может быть использован параметрический статистический ана-

лиз (гл. 12).

25*

388

ГЛАВА 1 г

Свойства функции распределения описываются во всех руководствах,

так как существуют отклонения от этих идеальных моделей, и эти откло-

нения большей частью возникают вследствие неслучайности отбора исход-

ных данных (гл. 13—15). Вообще, если удалось путем применения подходя-

щего способа опробования достичь случайного характера выборки, то наб-

людаемые частоты будут согласовываться с теоретическим распределением,

а если выполнены условия центральной предельной теоремы, функции рас-

пределения окажутся асимптотическими, т. е. стохастическими, прибли-

жающимися к нормальному закону. Следовательно, измеренные данные

могут быть обоснованно использованы для последующей статистической

проверки. В гл. 16 были приведены примеры попарных сравнений, как при

проверке ί-критерия Стьюдента, а также более сложных сравнений, как,

например, при дисперсионном анализе (гл. 18—20). Наконец, в гл. 21 опи-

саны способы измерения силы связи между двумя случайными величинами,

опять же с использованием параметрических форм анализа.

Кроме того, мы кратко касались вопроса перехода к многомерному

анализу и здесь можем заметить, что если выполнены вышеописанные требо-

вания, то собранные данные могут пройти самую строгую проверку и самыми

сложными методами. Однако главное состоит в выполнении прежде всего

минимальных требований; в противном случае более полный анализ не даст

нужной информации, и тогда нельзя будет приступить к решению более

сложных и интересных вопросов. К сожалению, многие из подлежащих

выяснению проблем в науках о Земле настолько сложны, что почти всегда

для их разрешения необходимо прибегать именно к многомерному анализу.

Очень возможно, что такое положение объясняется отсутствием подходящих

моделей, которые, будучи достаточно емкими, могли бы привести к адекват-

ным и объективным формулировкам обычных геологических проблем в доста-

точно простых терминах. Видимо, именно поэтому решение геологических

задач до сих пор остается главным образом эвристическим.

Действительно, процедуры, описанные в предыдущих главах, можно

использовать, когда интересующая нас проблема адекватно сформулирована

и вопрос, подлежащий разрешению, сведен к одной из простых форм, т. е.

когда ответ можно получить при применении одномерного или в крайнем

случае двумерного анализа. С другой стороны, если исходный материал

собран непродуманно, без соблюдения тех процедур, которые позволяют

получить информацию нужного содержания, никакой, даже самый сложный

статистический анализ не приведет к состоятельному и верному ответу.

Малые успехи в прогнозах полезных ископаемых объясняются довольно

низким уровнем предсказаний при изучении обычных вопросов в области

наук о Земле. Ожидать даже незначительного улучшения прогнозирования

полезных ископаемых нет оснований, пока не будут выбраны более адекват-

ные формулировки геологических задач [178—180].

22.2. ОСНОВЫ ВЫВОДОВ H РЕШЕНИЙ ПРИ ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗ

До сих пор мы все время имели дело с выбором уровня значимости для

принятия или отклонения гипотез на основании их статистической проверки.

Выбор этот осуществлялся интуитивно или по соглашению, например часто

предпочитался 5-процентный уровень (P << 0,05). Такой способ выбора

довольно часто оспаривается, и обычно там, где это возможно, избранный

уровень стараются оправдать эмпирически — подтверждением эффектив-

ности именно данной процедуры. Имеется множество работ, в которых про-

цедура выбора уровня значимости рассматривается детально и основы выбора

подвергаются строгому логическому анализу на непротиворечивость. Наи-

более современная и исчерпывающая трактовка этого вопроса в приложении

к проблемам наук о Земле дана у Миллера и Кана [299, гл. 4—7]; аналогия-

ПРИНЦИПЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

389

ное изложение можно найти и во многих других современных статистиче-

ских руководствах, например у Беннетта и Франклина [27], Браунли [44],

Диксона и Масси [96].

В общем при наличии определенной нулевой гипотезы анализ соответ-

ственного набора данных приводит или к принятию ее, или к отклонению.

Здесь можно наметить два рода ошибок:

1) Нулевая гипотеза отвергается, в то время как она верна.

2) Нулевая гипотеза принимается, в то время как она неверна.

Первый случай называется ошибкой первого рода, второй — ошибкой

второго рода. Конечно, каждый стремится избежать этих обеих ошибок,

применяя соответственные статистические проверки, однако достигнуть

этого не так-то легко.

Вначале рассмотрим «простой» критерий проверки, основанный на срав-

нении двух средних значений X

и X

, которые, согласно нулевой гипотезе,

относятся к одной и той же нормальной совокупности и которые получены

по случайной выборке. Для этого можно применить ί-критерий Стьюдента;

в основу сравнения разности между средними значениями кладется оценка

дисперсии по двум наборам данных (см. раздел 16.4). Если данная гипотеза

верна, ожидаемое значение средних расхождений в достаточно большой

серии испытаний окажется нулевым, и среднее всей совокупности расхожде-

ний поэтому тоже будет нулевым: μ = 0.

Если принято альтернативное утверждение — или μ

> μ

или

^2 >

> μ

тогда эти две выборки будут относиться к совокупностям с различными

средними. Простота критерия заключается в том, что обе оценки дисперсии

относятся к одной и той же неизвестной дисперсии, т. е. σ

= о\ = о

;

иначе говоря, если две выборки представляют две совокупности, у них пред-

полагаются равные дисперсии. Совершенно очевидно, что даже этот «простой»

критерий трудно уточнить; однако для решения какого-либо вопроса необхо-

димо решить, в чем этот вопрос заключается; цель наших действий должна

быть точно определена. Но, даже когда задача определена точно, все еще

остается опасность ошибиться при принятии или отклонении гипотез, и чем

менее уточненным будет решаемый вопрос, тем более неясным окажется

ответ. В табл. 22.1 показаны возможные решения для случая, когда задача

исследования точно сформулирована с самого начала.

Таблица 22.1

Классификация ошибок при проверке гипотез

Действительное состояние

Решение, основанное на

эксперименте

Но верна

Hi неверна

Но неверна

Hi верна

верна

неверна

верна

Верно

Неверно (ошибка перво-

го рода)

Неверно (ошибка второ-

го рода)

Верно

Другими словами, имея гипотезу H

и альтернативную ей H

, жела-

тельно принять H

, если H

истинна, a H

ложна, или же отвергнуть H

, когда

она ложна, a H

истинна. Здесь можно впасть в два рода ошибок: отвер-

гнуть H

, когда она истинна (ошибка первого рода) или принять H

, когда

истинна H

(ошибка второго рода). Предположим, что H

достаточно четко

определена, a H

представляет множество возможных альтернатив, тогда

даже корректное отклонение H

, если она ложна, оставляет исследователя

в менее выгодном положении, чем то, которое существовало до решения

о выборе.

390

ГЛАВА 1 г

Мы стремимся подчеркнуть необходимость четкой постановки проблемы

еще до начала эксперимента и побудить исследователя заняться перечисле-

нием всех возможных альтернатив и изучить все возможные исходы реше-

ния проблемы, как это рекомендуют Чеймберлин [54] и Фишер [126], еще

до выбора наиболее подходящего критерия проверки, ί-критерий Стьюдента

имеет узкую специализацию и требует четкой альтернативы, в то время как

применение критерия χ

, например, требует хорошо определенной гипо-

тезы, но альтернативные гипотезы обычно остаются неопределенными.

Рассмотрим теперь такую проблему: как отличить пляжные пески

от тесно ассоциирующих с ними дюнных. В этом случае нулевая гипоте-

за H

может быть довольно точно определена таким образом: в пляжных

песках дисперсия (сортировка) кварцевых зерен по длинным осям α σ

долж-

на быть больше (более слабая сортировка) дисперсии осей а кварцевых

зерен из дюнных песков σ\. Иначе говоря, H

означает σ

> σ

, т. е. крите-

рий дисперсионного отношения, или F-критерий (см. раздел 17.9), имеет

в числителе оценку большей дисперсии, т. е. F = ο\Ισ\. Альтернативные

гипотезы следующие: или обе дисперсии равны (H

), или дюнные пески

отсортированы хуже пляжных, т. е. H

означает а\ < σ^. Нулевая гипо-

теза H

обычно формулируется так: «эти две выборки являются случайными

и относятся к совокупности с общей дисперсией (σ

= а\ = σ

)». Распола-

гая адекватно представительным способом отбора проб, можно перечислить

все возможные результаты эксперимента еще до его начала. В идеале ожи-

дается выполнение условий гипотезы H

, что и должно удовлетворить иссле-

дователя. В реальных же примерах такой работы [28, 204] результаты ока-

зываются намного сложнее, что требует многомерного подхода и применения

критерий Готелинга (многомерный аналог одномерного ί-критерия). На прак-

тике, однако, при решении подобных геологических задач альтернативные

гипотезы оказываются гораздо менее явными. Предположим, например, что

дюнные пески можно довольно легко различать от пляжных путем приме-

нения изложенной выше аппроксимации. Но что получится, если из двух

типов песков один окажется не пляжным и не дюнным, а каким-либо 'другим.

В практике геологических исследований это встречается довольно часто,

и, в то время как гипотеза H

достаточно проста, многочисленные альтер-

нативы оказываются весьма обширными. Если H

отвергнута, мы вообще

не получим каких-либо удовлетворительных результатов. Поэтому необхо-

димо, прежде чем попытаться рассмотреть, с какой ошибкой (первого или

второго рода) при принятии гипотез мы столкнулись, хорошенько уяснить

сущность поставленного вопроса. Когда это сделано, можно с большей опре-

деленностью рассматривать выбор уровня значимости для данного конкрет-

ного случая.

Теперь допустим, мы имеем точное определение гипотезы H

и альтер-

нативной гипотезы H

и хотим убедиться, что принятая H

истинна; другими

словами, используя терминологию табл. 22.2, нам надо убедиться в том,

Таблица 22.2

Диаграмма соотношения вероятностей первого и второго рода

Утверждение

на основе

эксперимента

Верное утверждение

Утверждение

на основе

эксперимента

Но верна

Hi неверна

Hо неверна

Hi верна

верна

Hι неверна

неверна

верна

Вероятность не допу-

стить ошибки первого

рода (большая)

Вероятность ошибки

первого рода (малая)

—α

1-β

Вероятность ошибки

второго рода (ма-

лая)

Мощность (большая)

ПРИНЦИПЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

391

что реальна низкая вероятность допущения как ошибки первого, так и вто-

рого рода. Сравнивая дисперсии с помощью /^-критерия, как это было пока-

зано выше, по данным значениям

σ^

и σ^, мы можем подобрать небольшие зна-

чения α и β, а также число степеней свободы (или объем выборки) по выбран-

ному уровню α и β. Для большинства критериев, рассмотренных в этой

книге, а и объем выборки (число степеней свободы) были определены, и это

автоматически определяло уровень β (или мощность данного критерия

1 - β).

В настоящее время мы чрезвычайно редко встречаемся с достаточно

хорошо сформулированными геологическими вопросами, поэтому более

строгий подход к определению вероятностей ошибок α, β и эффективности

статистической проверки гипотез совершенно необходим для достижения

более высокого уровня надежности; в общем вероятностный уровень выби-

рается, по-видимому, произвольно, хотя на деле это автоматически ведет

к неявному выражению α, β и объемов выборки. По мере того как в науках

о Земле возрастает значение экспериментов, сопровождающихся проверкой

гипотез, должна усиливаться тенденция к строгим формулировкам этих

гипотез, что приведет к значительно большей точности в оценке важнейших

характеристик эксперимента. Заинтересованных в этих вопросах мы отсы-

лаем к статьям Неймана и Пирсона, например [309, 310], рекомендуем также

ознакомиться с теорией принятия решений [68]. Мак-Интайр [295] приводит

пример формулирования гипотезы и последующей проверки ее с использо-

ванием решающих правил.

22.3. СРАВНЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ

С НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ

Выше мы приводили множество примеров применения статистических

критериев, которые относятся к довольно общей категории непараметриче-

ских; в их числе можно назвать порядковые статистики (раздел 5.3), критерий

знаков (раздел 16.6), ранговый коэффициент корреляции (раздел 15.4).

Подобные, так называемые быстрые и неточные процедуры, применяемые

главным образом из-за их простоты и на начальной стадии прикидочной

проверки, несомненно, оправданы. Сигель [398] с предельной ясностью дал

представление об имеющихся критериях такой категории и привел примеры

их применения. Принципы непараметрического статистического анализа

описал Фрейзер [134], а некоторые примеры применения многомерного

анализа дал Рой [370]; что касается вопросов применения этих статисти-

ческих процедур к геологическим задачам, то они освещены у Миллера

и Кана [299, гл. 14 и приложение G] и Мак-Каммона [291].

Можно сказать, что, если шкала, используемая при эксперименталь-

ных исследованиях, не достигает интервального уровня, надо применять

менее эффективные критерии, ибо параметрический анализ используется

тлавным образом только там, где это допустимо.

Непараметрические статистические критерии используются в тех слу-

чаях, когда шкала измерений является порядковой или номинальной.

Использование этих критериев с данными в интервальной шкале или шкале

отношений обязательно приведет к потере информации. В настоящей работе

пространная критика процедур косвенного определения размеров зерен

оправдана, по крайней мере частично, тем, что применение непараметриче-

ских или порядковых статистик при подобных данных служит единственным

выходом. Аналогично данные, выраженные в процентах, обычно требуют

менее строгих процедур проверки по сравнению с параметрическим анали-

зом. Например, Гарнер и Мак-Гилл [141], сравнивая взаимоотношение

между неопределенностью и дисперсионным анализом, подчеркивают, что

«мера неопределенности имеет большую общность», тогда как использова-